1.3乘法公式专项练习题（培优题）2024-2025学年北师大版数学七年级下册

1.3乘法公式专项练习题（培优题）2024-2025学年北师大版数学七下 一、单选题 1．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）下列各式能用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·全国·课后作业）对于任意的整数n，能整除代数式的整数是（　　） A．4 B．3 C． D．2 3．（2025·福建泉州·模拟预测）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·山西吕梁·期末）已知是完全平方式，则m的值是（   ） A．12 B． C． D． 5．（四川省绵阳市2024-2025学年上学期八年级期末数学试卷）如图，大正方形中恰好形成一个小正方形，包围小正方形的是四个全等的小长方形，下列（　　）中的等式能准确的描述其中所蕴含的几何关系． A． B． C． D． 6．（2025七年级下·全国·专题练习）下列整式的乘法计算中能运用平方差公式计算的是（ ） A． B． C． D． 7．（22-23七年级下·江苏盐城·阶段练习）已知 ， (为任意实数)， 、 的大小关系为(   ) A． B． C． D． 8．（2025·浙江宁波·一模）已知      则  的值是 （   ） A．13 B．11 C．9 D．8 9．（24-25九年级上·山东德州·期末）如图，C是线段上的一点，以，为边向上分别作正方形和正方形，连结．若，两正方形的面积和是25，求的面积（   ） A．6 B．9 C．12 D．16 10．（24-25八年级上·辽宁·期末）长方形的长和宽分别为a，b，若，，则该长方形的面积为（   ） A．10 B．11 C．12 D．13 11．（2025七年级下·全国·专题练习）已知，则 ． 12．（24-25八年级上·重庆万州·期末）若，则的最小值是（   ） A．2014 B．2016 C．2018 D．2020 13．（24-25七年级下·全国·课后作业）为了美化校园环境，学校将正方形花坛的一组对边各增加，另一组对边各减少，则所得长方形花坛的面积与原来相比（   ） A．减少了 B．增加了 C．保持不变 D．无法确定 二、填空题 14．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在1块边长为a的正方形花圃中，两纵两横的4条宽度为b的人行道把花圃分成9块．由此可以得到的乘法公式是 ． 15．（2025·河北保定·一模）若，a，b均为常数，则 ． 16．（24-25八年级上·四川乐山·阶段练习）对于任何实数，我们规定符号的意义是：．按照这个规定请你计算：当时， ． 17．（24-25八年级上·河南驻马店·阶段练习）图1为某校八（1）（2）两个班级的劳动实践基地，图2是从实践基地抽象出来的几何模型：两块边长为，的正方形，其中重叠部分为池塘，阴影部分，分别表示八（1）（2）两个班级的基地面积．若，，则 ． 18．（24-25七年级上·上海·期中）观察下列等式：；；；； 根据上述规律，计算 ． 19．（24-25七年级下·全国·周测）若，则 ． 三、解答题 20．（2025七年级下·全国·专题练习）利用平方差公式计算： (1)； (2)． 21．（24-25八年级上·四川乐山·阶段练习）已知：，，求及的值． 22．（24-25七年级上·山东济南·期末）先化简，再求值：，其中，． 23．（24-25七年级下·全国·单元测试）【阅读理解】若x满足，求的值． 解：设，则，所以． 【跟踪训练】请仿照上面的方法求解下列问题： (1)若x满足，求的值； (2)若，求的值； (3)如图，已知正方形的边长为分别是上的点，且，长方形的面积为15，分别以为边作正方形．求阴影部分的面积． 24．（24-25八年级上·河北廊坊·期末）将5张如图1所示的小长方形纸片按图2所示的方式不重叠地放在正方形内，未被覆盖的部分恰好被分割为两个长方形，面积分别为，，用含的式子表示下列结果． (1)求正方形的面积； (2)求的值． 25．（24-25八年级上·河南南阳·期末）【阅读材料】19世纪的法国数学家苏菲·热门给出了一种分解因式的方法：他抓住了该式只有两项，而且属于平方和的形式，要使用公式法就必须添一项，随即将此项减去，即可得，人们为了纪念苏菲·热门给出的这一解法，就把它叫做“热门定理”． 【知识应用】（1）利用“热门定理”把分解因式． 【知识迁移】热门定理的本质是构造完全平方，用的是“添项”的方法，对于超过两项的多项式，也可以采取“添项”的方法，先添项再减去这项，构造完全平方进行分解．例如对于二次三项式，可以先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有，像这样的方法统称为“配方法”． （2）请利用“配方法”分解因式： ①； ②． 26．（24-25八年级上·江西上饶·期末）【综合与实践】图1是长为，宽为的长方形，沿图中的虚线将该长方形裁剪成四块长为，宽为的小长方形，然后按图2方式拼成一个正方形． (1)根据图形可知，图2中，大正方形的边长为___________，阴影部分的面积为___________； (2)观察图2的面积可知，代数式，和之间存在一定的等量关系，请直接写出这个等量关系； (3)根据（2）中得到的等量关系，解决问题：已知长方形的周长为，面积为，求这个长方形长与宽的差． 27．（24-25八年级上·山东临沂·期末）【知识生成】图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．在学习整式的乘法时可以发现：用两种不同的方法表示同一个图形的面积，可以得到一个等式，进而可以利用得到的等式解决问题． （1）如图，用不同的代数式表示大正方形的面积，由此得到的等式为_____；（用、表示） 根据上面结论，当，时，_____． 【知识应用】 （2）类比的探究过程，请用不同的代数式表示图中大正方形的面积． 由此得到的等式为_____；（用、、表示）； 根据上面的结论，已知，，则_____． 【知识迁移】 （3）类比上述两个题目探究过程，请直接写出_____．（用、、、表示） 28．（24-25七年级下·全国·周测）（1）已知实数，满足，，求的值； （2）已知实数，满足，，求的值． 29．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）（1）已知，，求； （2）已知，，求的值． 30．（24-25八年级上·山西朔州·期末）综合与实践 从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图）． (1)上述操作可以得到一个公式：__________； (2)利用你得到的公式，计算：； (3)计算：． 31．（2025·河北沧州·模拟预测）在化简整式中，“”表示运算符号“”“”中的某一个，“”表示一个整式． (1)若，求出整式； (2)已知的计算结果是二次单项式，当是常数项时，直接写出表示的符号及的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C D C B C B A A D 题号 11 12 13 答案 80 A A 1．D 【分析】本题考查平方差公式，根据平方差公式，进行判断即可． 【详解】解：A、，不符合题意； B、，不符合题意； C、，不符合题意； D、，符合题意； 故选：D． 2．C 【分析】本题考查平方差公式、数的整除，利用计算，然后再合并同类项即可． 【详解】解：， 因此能整除代数式的整数是， 故选C． 3．D 【分析】本题主要考查了计算单项式乘单项式，完全平方公式，积的乘方，平方差公式等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以灵活运用是解题的关键．根据单项式乘单项式法则、完全平方公式、积的乘方法则、平方差公式逐项分析判断即可． 【详解】解：A. ，原计算错误，故选项不符合题意； B. ，原计算错误，故选项不符合题意； C. ，原计算错误，故选项不符合题意； D. ，计算正确，故选项符合题意； 故选：． 4．C 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，熟练掌握两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式是解决此题的关键．完全平方公式：，这里首末两项是和2这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去和2积的2倍，即可求出． 【详解】 解：由完全平方公式知，中间一项为加上或减去和2积的2倍， ， 故选：C． 5．B 【分析】本题考查了平方差公式，完全平方公式在几何图形中的应用，分别用代数式分别表示“大正方形”，中间“小正方形”以及个长方形的面积，再根据各个部分面积之间的和差关系即可得出答案． 【详解】解：整体上“大正方形”的边长为，因此面积为，中间“小正方形”的边长为，因此面积为，四个长方形的面积和为， 所以有， 即 ， 故选：B． 6．C 【分析】本题考查了利用平方差公式进行计算，熟练掌握公式是解题的关键． 根据平方差公式判断解答即可． 【详解】解：A．不符合平方差公式，本选项错误； B．不符合平方差公式，本选项错误； C．符合平方差公式，本选项正确； D．不符合平方差公式，本选项错误； 故选：C． 7．B 【分析】本题考查了作差法比较代数式的大小，整式的加减运算，以及完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方式和作差法是解题的关键．用作差法比较，作差后利用完全平方公式求解即可． 【详解】∵ ， ∴ ∴． 故选：B． 8．A 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，平方差公式，正确推出是解题的关键．设，，根据完全平方公式的变形求出，则，即可利用平方差公式求出． 【详解】解：设，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 9．A 【分析】该题主要考查了完全平方公式与几何图形，解题的关键是理解题意． 设为为，根据，两正方形的面积和是25，得出，，再根据完全平方公式变形求出即可解答． 【详解】解：设为为，则， ， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 10．D 【分析】此题考查了完全平方公式的应用能力，通过逆运用完全平方公式进行求解． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴该长方形的面积为． 故选：D． 11．80 【分析】本题考查了完全平方公式变形运算，由完全平方公式得，即可求解；掌握、、三者之间的关系是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴ ， 故答案为：80． 12．A 【分析】本题考查了完全平方公式的应用等知识，利用完全平方公式将转化为，再根据即可得到的最小值是2014． 【详解】解： ， ∵， ∴M的最小值是2014． 故选：A． 13．A 【分析】本题考查平方差公式的应用．用代数式表示变化前后的面积，比较得出答案． 【详解】解：设原正方形花坛的边长为，则正方形花坛的面积为， 长方形花坛的长和宽分别为， 则长方形花坛的面积为， ，且， 则所得长方形花坛的面积与原来相比减少了， 故选：A． 14． 【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何背景的应用，关键是运用几何直观理解，解决完全平方公式的推导过程．由平移法可得，种花土地总面积等于边长为的正方形的面积，进而可得到结论． 【详解】解：由平移法可得，种花土地总面积是以为边长的正方形， 种花土地总面积； 故答案为：． 15． 【分析】本题主要考查了完全平方公式特征，将左边利用完全平方公式计算出来，然后利用多项式等于多项式的条件求出、的值，最后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， 即． 所以答案为． 16． 【分析】本题考查了整式的混合运算，求代数式的值，根据题干所给定义结合整式的混合运算法则即可得出，由题意可得，整体代入计算即可得解． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 17．6 【分析】本题考查平方差公式与几何图形的面积，根据，得到，进行求解即可． 【详解】解：由图可知：， ∴， ∵，， ∴； ∴； 故答案为：6． 18． 【分析】本题考查了平方差公式，认真观察各式，根据指数的变化情况总结规律是解决本题的关键． 观察已知等式得到一般规律：，据此即可计算求值． 【详解】解：由题意可得， ， 故答案为：． 19．4 【分析】本题主要考查了平方差公式的应用， 先根据平方差公式分解，再整体的代入求值即可． 【详解】解：∵，， ∴， 解得． 故答案为：4． 20．(1) (2) 【分析】 （1）将看作一个整体，利用平方差公式进行计算即可； （2）利用平方差公式进行计算即可； 本题主要考查平方差公式，熟知两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差是解题的关键． 【详解】（1） 解：原式 ； （2） 解：原式 ． 21．， 【分析】本题考查了完全平方公式，由题意可得，，由可得出的值，由可得出的值． 【详解】解：∵，， ∴得：， ∴， 由可得：， ∴． 22．， 【分析】本题考查了完全平方公式，平方差公式，合并同类项，熟练运用完全平方公式，平方差公式对代数式进行化简是解题的关键．利用完全平方公式，平方差公式展开化简，然后代入值计算即可． 【详解】解： ， 当，时， 原式． 23．(1) (2) (3) 【分析】本题考查完全平方公式与几何图形的面积，利用完全平方公式变形计算： （1）设，仿照题干给出的解题方法进行求解即可； （2）设，仿照题干给出的解题方法进行求解即可； （3）根据题意，得到：，进而得到，根据，设，进行求解即可． 【详解】（1）解：设，则， 所以． （2）设，则，． 因为， 所以， 所以， 所以． （3）根据题意，得， 所以， ． 设，则（． 因为， 所以（负值已舍去）， 所以 ． 24．(1) (2) 【分析】本题考查整式的乘法的应用，涉及完全平方公式，单项式与多项式的乘法，整式的加减，熟练根据图形得出相关边长是解题的关键． （1）根据图形可得正方形的边长为，即可解答； （2）分别得出面积为的长方形的长为，宽为，面积为的长方形的长为，宽为，再进行计算即可． 【详解】（1）解：由题意，正方形的边长为， 则正方形的面积为； （2）解：由题意，可得面积为的长方形的长为，宽为， 则； 由题意，可得面积为的长方形的长为，宽为， 则； 则． 25．（1）；（2）①；② 【分析】本题主要考查了分解因式，灵活运用公式法进行因式分解是解题的关键． （1）把式子加上，再减去，再仿照题意分解因式即可； （2）①把式子加上9，再减去9，再仿照题意分解因式即可；②把式子加上，再减去，再仿照题意分解因式即可． 【详解】解：（1） ． （2）① ； ② ． 26．(1)； (2) (3) 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景， （1）根据图2可得出大正方形的边长和阴影部分的正方形的边长，可得结论； （2）根据图形各个部分面积之间的和差关系即可得出结论； （3）设这个长方形的长为，宽为，则，，利用（2）中的结论，将数据代入然后进行计算即可； 掌握完全平方公式的结构特征以及图形中各个部分面积的和差关系式是解题的关键． 【详解】（1）解：图2中，大正方形的边长为，阴影部分正方形的边长为， ∴阴影部分的面积为， 故答案为：；； （2）图2中阴影部分的面积为， 也可以表示为大正方形的面积减去四个长方形的面积，即：， ∴代数式，和之间的数量关系是：； （3）设这个长方形的长为，宽为，则，， ∴， ∵， ∴ ， ∴这个长方形长与宽的差为． 27．（1），13； （2），14； （3）． 【分析】用两种不同的方式表示正方形的面积，根据这两个面积相等列出等式即可； 把中得到的等式变形可得：，再把，代入计算即可； 类比用两种不同的方式表示正方形的面积，根据这两个面积相等列出等式即可； 把中得到的等式变形可得：，把、代入计算即可； 根据、中等式的规律直接写出结果即可． 【详解】正方形的边长为， 正方形的面积为， 大正方形可以分成个边长为的正方长、个边长为的正方长、个长为宽为的长方形， 大正方形的面积为， ， 故答案为：； 由可知， ， 又，， ， 故答案为：； 类比可得：， 故答案为：； 由可得：， ，， ， 故答案为：； 由可得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了多项式乘以多项式、完全平方式的几何背景、数形思想的结合、求代数式的值，解决本题的关键是用不同的方法表示同一个图形的面积，得到相等关系． 28．（1）；（2） 【分析】本题考查了完全平方公式的变形求值问题，掌握完全平方公式中、、三者之间的关系，并能熟练利用平方差公式进行运算是解题的关键． （1）根据题意求出，再根据，进行整体代换求值，即可求解； （2）由平方差公式可求，再由完全平方公式展开进行整体代换求值，即可求解； 【详解】解：（1），， ， ， ． （2）， ， ， ． ， ． 29．（1）5；（2）1 【分析】本题考查完全平方公式变形求值； （1）根据，代入求值计算即可； （2）根据，代入求值计算即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴； （2）∵，， ∴． 30．(1)； (2)； (3)． 【分析】（）求出图、阴影部分面积即可求解； （）利用（）中公式即可求解； （）利用（）中公式即可求解； 本题考查了平方差公式几何背景的应用，熟练掌握是解题的关键． 【详解】（1）解：图阴影部分面积为，图阴影部分面积为， 则述操作可以得到一个公式：， 故答案为：； （2）解：由（）得： ； （3）解：原式 ． 31．(1) (2)， 【分析】（1）由可得，利用平方差公式及整式的混合运算法则即可得出答案； （2）由的计算结果是二次单项式且是常数项可得表示的运算符号是“”，进而可得，由计算结果是二次单项式且是常数项可得，解方程即可求出的值． 【详解】（1）解：， ； （2）解：的计算结果是二次单项式，且是常数项， 表示的运算符号是“”， ， 计算结果是二次单项式，且是常数项， ， 解得：， 的值为． 【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，平方差公式，整式的加减运算，计算多项式乘多项式，解一元一次方程等知识点，熟练掌握整式的运算法则及平方差公式是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$