河南省信阳市信阳高级中学（北湖校区）2024-2025学年高二下学期3月测试（一）数学试题

河南省信阳高级中学北湖校区 2024-2025学年高二下期03月测试（一） 数学试题 命题人： 审题人： 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1．设a为实数，已知直线：，：，若，则 A．6 B． C．6或 D．或3 2．已知点是正四面体底面内一点，满足，其中，当最小时，的值为 A． B． C．2 D．1 3．已知随机变量，当且仅当时，取得最大值，则 A．7 B．8 C．9 D．10 4．已知两点，，直线过点且与线段有交点，则直线的倾斜角的取值范围为 1 学科网（北京）股份有限公司 A． C． B． D． 5．如果圆与圆关于直线l对称，则直线l的方程为 A． B． C．或 D． 6．已知函数为连续可导函数，的图象如图所示，以下命题正确的是 A．是函数的最小值 B．是函数的极小值 C．在区间上单调递增 D．在处的切线的斜率大于0 7．提供四种不同颜色的颜料给图中六个区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，有公共边的两个区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法共有 A．288种 B．296种 C．362种 D．384种 8．已知双曲线的左焦点为，离心率为e，直线分别与C的左､右两支交于点M，N.若的面积为，，则的最小值为 A．2 B．3 C．6 D．7 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9．已知为坐标原点，抛物线：的焦点为，准线为直线，直线与交于两点，则下列说法正确的是 A．点到直线的距离是4 B．若的方程是，则的面积为3 C．若的中点到直线的距离为3，则 D．若点在直线上，则 10．设数列的前项和为，，，则下列说法正确的是 A．是等差数列 B．当或时，取得最大值 C．数列的前项和是 D．，，成等差数列，公差为 11．如图，在直三棱柱中，点，，分别是棱，，的中点，直线平面，直线与平面所成角为45°，若，且则下列说法正确的是 A． B．点到平面的距离为 C．五面体的体积为 D．三棱柱的外接球的表面积为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．在二项式的展开式中，第四项的系数是 ． 13．大学生小明与另外3名大学生一起分配到某乡镇甲、乙、丙3个村小学进行支教，若每个村小学至少分配1名大学生，则小明恰好分配到甲村小学的概率为 ． 14．设函数，若在上满足的正整数至多有两个，则实数的取值范围是 ． 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15．（13分）在数列中，，. （1）证明：数列是等比数列； （2）求数列的前项和. 16．（15分）如图，在四棱锥中，是等边三角形，四边形是直角梯形，，，，. （1）证明：平面平面. （2）线段上是否存在点E，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 17．（15分）某家庭进行摸球得压岁钱游戏．规则如下：袋中有大小相同的3个红球，2个蓝球，每次从袋中摸出2个球，若摸到0个红球就没有压岁钱；若摸到1个红球就得压岁钱100元；若摸到2个红球就得压岁钱200元． （1）求摸球一次，摸到红球个数的分布列； （2）求摸球一次，得到的压岁钱的均值． 18.（17分）已知椭圆的左右焦点分别为，，且椭圆C上的点M满足，． （1）求椭圆C的标准方程； （2）点是椭圆的上顶点，点在椭圆C上，若直线，的斜率分别为，满足，求面积的最大值． 19．（17分）已知四数． （1）求在处的切线方程； （2）证明：函数只有一个零点； （3）当时，函数恒成立，求a的取值范围． $$ 河南省信阳高级中学北湖校区 2024-2025学年高二下期03月测试（一） 数学答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 A C B A D D D D BD ABC ACD 12．-160 13． 14． 15．（1）由得， 又．所以数列为首项为1，公比为3的等比数列．． （2）由（1）得，则， 16．（1）；（2）． 【分析】（1）由，结合可得解； （2）设，直线，将直线与椭圆联立，用坐标表示，代入韦达定理可解得，借助韦达定理表示，用均值不等式即得解. 【详解】（1）依题意得：，． 由椭圆定义知， 又，则， 在中，，由余弦定理得： 即，解得 又 故所求椭圆方程为 （2）设，直线 联立方程组，得， ，得， ，， ， 由题意知，由，，代入化简得 ， 故直线过定点， 由，解得， ， 令，则，当且仅当，即时等号成立，所以面积的最大值为． 17．(1) 0 1 2 (2)120元 【分析】（1）求出的所有可能取值及对应的概率，得到分布列； （2）在（1）基础上求出，由得到. 【详解】（1）的所有可能取值为，则， ，， 所以摸到红球个数的分布列为 0 1 2 （2）由题意得：摸球一次得到的压岁钱， 由（1）得， 所以， 故摸球一次得到的压岁钱的数学期望为120元． 18．(1)证明见解析 (2)存在，或 【分析】（1）取棱的中点O，连接，由题设条件结合勾股定理依次求出和，接着由线面垂直判定定理得证平面，再由面面垂直判定定理即可得证命题； （2）建立适当空间直角坐标系，设，，求出向量和平面的法向量，根据线面角的向量法公式即可建立关于的方程，解方程即可得解. 【详解】（1）证明：取棱的中点O，连接， 设，则，， 因为是等边三角形，且O是的中点，所以. 因为，所以，所以，则. 因为平面，平面，且， 所以平面. 因为平面，所以平面平面. （2）取棱CD的中点F，连接OF，则两两垂直， 以O为原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系. 设，则，，，，则，， 设，则， 又，所以. 设平面的法向量为， 则令，得. 设直线与平面所成的角为， 则， 解得或， 故当或时，直线与平面所成角的正弦值为. 19．(1)； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）应用导数的几何意义求切线方程； （2）讨论、、，根据函数值符号，且利用导数判断在上恒成立或的单调性，即可证结论； （3）问题化为在上恒成立，对求导，讨论参数，利用导数研究对应的单调性及其函数符号求参数范围. 【详解】（1）由题设，则，又， 所以在处的切线方程为，即. （2）当时，，，故恒成立； 当时，； 当时， 法一：令，则， 令，则，即在上单调递增， 所以，故在上单调递增， 所以在上恒成立； 法二：恒成立，即在上单调递增，所以； 综上，函数只有一个零点为，得证； （3）由题意，在上恒成立， 所以，在上恒成立， 而， 令，则， 对于且，则， 所以在上单调递增，则，可得， 对于且，则， 所以在上单调递增，则，可得， 综上，，则，即在上单调递增， 所以， 当时，，即在上单调递增，此时，满足； 当时，，， 所以使，即存在区间使，不符合； （保号性：，，故必存在的情况，不符合；） 综上，. 【点睛】关键点点睛：第二问，注意应用导数判断在上恒成立；第三问，问题化为在上恒成立为关键. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$