安徽省阜阳第一中学2025届高三上学期12月阶段检测（二）数学试题

阜阳一中2025届高三（上）12月阶段检测（二） 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知复数满足，则的虚部为（   ） A． B． C． D． 2．已知向量，满足，且，则在上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 3．已知，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．已知等比数列的前3项和为28，且，则（    ） A．28 B．56 C．64 D．128 5．已知，则的值为（  ） A．－ B．－ C．－ D．－ 6．已知事件与相互独立，且，则下列选项不一定成立的是（    ） A．； B．； C．； D．. 7．已知函数，是定义在R上的函数，其中是奇函数，是偶函数，且，若对任意，都有，则实数的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 8．在棱长为的正四面体中，过点的平面与底面所成锐二面角的正切值为，设平面与底面的交线为，当平面运动时，直线在内的部分形成的区域的面积为 A． B． C． D． 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分 9．在下列关于二项式的命题中，正确的是（   ） A．若二项式的展开式中，第3项的二项式系数最大，则 B．若，则 C．在的展开式中，常数项为60 D．的展开式中，的系数为5 10．已知函数（其中）的部分图象如图所示.将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象.则（    ） A． B．函数在区间上单调递增 C．若，则的最小值为 D．直线与的图象所有交点的横坐标之和为 11．已知函数的定义域均为的图象关于对称，是奇函数，且，则下列说法正确的有（    ） A． B． C． D． 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共 15 分 12．已知集合，，则的真子集个数为 ． 13．如图，平面与平面夹角为，四边形，都是边长为的正方形，则，两点间的距离是 .   14．已知，分别为双曲线的左、右焦点，以为直径的圆与双曲线在第一象限和第三象限的交点分别为，，设四边形的周长为，面积为，且满足，则该双曲线的离心率为 . 四、解答题:本题共5 小题,共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15．在中，内角所对的边分别为，且． (1)若，，求； (2)若是锐角三角形，求的取值范围． 16．如图，在研究某种粒子的实验装置中，粒子从腔室出发，到达腔室，粒子从室经过号门进入室后，等可能的变为上旋或下旋状态，粒子从室经过号门进入室后，粒子的旋转状态发生改变的概率为.粒子间的旋转状态相互独立.现有两个粒子从室出发. (1)求两粒子进入室都为上旋状态的概率； (2)若实验装置出现故障，两个粒子进入室后，共裂变为个粒子，裂变后的每个粒子再经过号门返回室的概率为，各粒子返回室相互独立. ①时，写出返回室的粒子个数的分布列、期望、方差； ②时，记有个粒子返回室的概率为，则为何值时，取最大值. 17．如图，在四棱锥中，，，，，面面，点E是PC的中点． (1)证明：面； (2)当面时，求二面角的余弦值． 18．已知函数，，其中在处取得极值 (1)求的值； (2)求函数的单调区间； (3)若恒成立，求实数的取值范围. 19．在平面直角坐标系中，已知椭圆的短轴长为，离心率为． (1)求的方程； (2)如图，过点的直线（异于轴）与交于点P，Q，过左焦点作直线PQ的垂线交圆于点M，N，垂足为.   ①若点，设直线AM，AN的斜率分别为，证明：为定值； ②记的面积分别为，求的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《阜阳一中2025届高三（上）12月阶段检测（二）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B B D B B C A BCD ABD 题号 11 答案 ACD 12．15 由题设，， 所以，则真子集个数为. 故答案为：15 13． 因为四边形、都是边长为的正方形，则，，平面平面， 又平面与平面夹角为，即，则， 因为，由图易知，， 所以 ， 即，两点间的距离是. 故答案为：. 14． 如图所示，根据题意绘出双曲线与圆的图像，设， 由圆与双曲线的对称性可知，点与点关于原点对称，所以， 因为圆是以为直径，所以圆的半径为， 因为点在圆上，也在双曲线上，所以有， 联立化简可得，整理得， ，，所以， 因为，所以，， 因为，所以， 因为，联立可得，， 因为为圆的直径，所以, 即，，， ，，，所以离心率． 15．(1) (2)． （1）， ， 又，， ，解得． ，． （2）， ， 或， 当时，， 解得，则，与已知矛盾， 故， 所以， 因为为锐角三角形， 所以，即，解得， 由于在上单调递减，故， ， ， 的取值范围为． 16．(1) (2)①分布列见详解，期望，方差； ② （1）设“两个粒子通过号门后处于上旋状态粒子个数为个”，， “两个粒子通过号门后进入室都为上旋状态”， 则，， 则. （2）①返回室的粒子个数的可能性为，，，， 服从二项分布： ，， ，， ， 所以期望，方差； ②的可能取值为，此时， 个粒子返回室的概率为， 则， 所以， 当时，取最大值. 17．(1)证明见解析； (2). （1）由题设，所以， 而，则，所以， 因为面面，面面，面，， 所以面，又面，所以， 因为面，且，所以面． （2）法一：取AD的中点O，作交BC于M，连接OP，则， 面面，面面，面， 则面， 以O为原点，OA、OM、OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系， 所以，设， 则，，，． 易知面PAD的一个法向量为，而面，故，得． 因为，所以，可得（负值舍），即． 设平面PBC的一个法向量为，则， 令，可得，易知平面ABC的一个法向量， 则，二面角为锐二面角， 所以二面角的余弦值为． 法二：取AD的中点O，连接OP和OC，再取OC的中点Q，连接QE， 在平面ABCD内过点Q作BC的垂线，垂足为点N，连接EN， 因为，且O是AD的中点，所以． 面面，面面，面，则面， 因为EQ是△POC的中位线，则，所以面， 因为面，所以，又，面，且， 所以面，又面，所以， 由二面角的定义知，∠ENQ为二面角的平面角． 连接BQ，并延长BQ交CD于点T． 由，面，面，所以面． 当面时，面，且，则面面． 由面面及线面平行的性质定理可知． 记AC交BT于F，因为点Q是OC的中点，，所以F是AC的中点， 由此可知，， 因为，所以，且． 由，知， 由，得，所以，， 因此，， 所以二面角的余弦值为． 18．(1) (2)增区间为，减区间为 (3) （1）因为，则，其中， 因为函数在处取得极值，则，解得， 经检验，合乎题意. 因此，. （2）由（1）可知，，其中， 则， 由，可得，列表如下： 单调递增 极大值 单调递减 所以，函数的增区间为，减区间为. （3）， 当时，由，可得， 令，其中， 则， 令，其中，则， 所以，函数在区间上单调递增， 因为，， 由零点存在定理可知，存在唯一的，使得， 即，即， 令，其中，则， 所以，函数在上为增函数， 因为，则，，由，可得， 则，所以，， 且当时，，即， 当时，，即， 所以，函数的减区间为，增区间为， 所以，，则， 所以，实数的取值范围是. 【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1），； （2），； （3），； （4），. 19．(1) (2)①证明见解析；② （1）依题意，，解得， 所以的方程为. （2）①设直线的方程为，， 由，消去并化简得， 则， ，则， 所以 . ②由题得，， 又，所以， 由椭圆的对称性可知， 所以， 因为直线的方程为，所以， 因为，所以直线的方程为， 将其代入，解得， 所以， 所以， 令，则， 所以， 函数在上单调递增， 所以， 当且仅当，即时取得等号， 所以，即， 综上所述，的取值范围是. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$