精品解析：山东省东营市利津县2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题

2024－2025学年度第一学期期末教学质量调研九年级数学试题 （总分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．本试题分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．第Ⅰ卷为选择题，30分；第Ⅱ卷为非选择题，90分；全卷共5页． 2．数学试题答题卡共4页，答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座号等填写在试题和答题卡上，考试结束后上交答题卡． 3．第Ⅰ卷每题选出答案后，都必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号（ABCD）涂黑，如需改动，先用橡皮擦干净，再改涂其它答案．第Ⅱ卷按要求用0.5mm碳素笔答在答题卡的相应位置上． 第Ⅰ卷（选择题共30分） 一、选择题：本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分． 1. 下列函数中是的反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，是河堤横断面的迎水坡，坡高，水平距离，则斜坡的坡度为（ ） A. B. C. D. 3. 校小卖部货架上摆放着某品牌方便面，它们的三视图如图，则货架上的方便面至少有（　　） A 7盒 B. 8盒 C. 9盒 D. 10盒 4. 如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点、、都在格点上，则（ ） A. B. C. D. 5. 二次函数的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 6. 已知点在双曲线上，则下列各点一定在该双曲线上的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，四边形内接于，若，则（ ） A. B. C. D. 8. 二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的图象大致为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，线段经过的圆心，分别与相切于点．若，，则的长度为（ ） A. B. C. D. 10. 对于反比例函数，下列说法正确的个数是（ ） ①函数图象位于第一、三象限；②函数值 y 随 x 的增大而减小；③若 A(-1， ），B（2，），C(1，)是图象上三个点，则 <<；④P 为图象上任一点，过 P 作 PQ⊥y 轴于点 Q，则△OPQ 的面积是定值． A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题：本大题共8小题，其中11-14题每小题3分，15-18题每小题4分，共28分．只要求填写最后结果． 11. 抛物线的顶点坐标为______． 12. 一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为4的正三角形，俯视图是一个半径为2的圆，那么这个几何体的全面积是______． 13. 有两组相同的牌，每组两张且两张牌的牌面数字分别是0，1，从每组牌中各摸出一张牌，两张牌的牌面数字和为1的概率是______． 14. 已知二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是______． 15. 如图，平行四边形的顶点在反比例函数的图象上，点在轴上，点，点在轴上，与轴交于点，若，则的值为______． 16. 如图，在平面直角坐标系中，直线与相交于A，B两点，且点A在x轴上，则弦的长为______． 17. 二次函数图象如图，下列结论：①；②；③当时，；④；⑤若，且则． 其中正确的有______． 18. 如图，曲线是二次函数图像的一部分（其中是抛物线与轴的交点，是抛物线顶点），曲线是反比例函数图像的一部分，两点的纵坐标相等，由点开始不断重复“”的过程，形成一组波浪线．若点和是波浪线上的点，则的最大值为______． 三、解答题：本大题共7小题，共62分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 计算：． 20. 某学校为了提高学生学科能力，决定开设以下校本课程：A．文学院，B．小小数学家，C．小小外交家，D．未来科学家，为了解学生最喜欢哪一项校本课程，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图，请回答下列问题： （1）这次被调查的学生共有____________人； （2）请你将条形统计图（2）补充完整； （3）在平时的小小外交家的课堂学习中，甲、乙、丙、丁四人表现优秀，现决定从这四名同学中任选两名参加全国英语口语大赛，求恰好同时选中甲、乙两位同学的概率（用树状图或列表法解答）. 21. 如图，一次函数y＝k1x+b的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点，与反比例函数y＝的图象分别交于C，D两点，点C（2，4），点B是线段AC的中点． （1）求一次函数y＝k1x+b与反比例函数y＝的解析式； （2）求△COD面积； （3）直接写出当x取什么值时，k1x+b＜． 22. 一架无人机沿水平直线飞行进行测绘工作，在点P处测得正前方水平地面上某建筑物AB的顶端A的俯角为30°，面向AB方向继续飞行5米，测得该建筑物底端B的俯角为45°，已知建筑物AB的高为3米，求无人机飞行的高度(结果精确到1米，参考数据：1.414， 1.732)． 23. 某商场以每件20元的价格购进一种护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量（件）与销售单价（元）之间的关系可近似的看作一次函数：，在销售过程中销售单价不低于成本价，而每件的利润不高于成本价的． （1）设商场每月获得利润为（元），求每月获得利润（元）与销售单价（元）之间函数关系式，并确定自变量的取值范围． （2）当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？每月的最大利润是多少？ 24. 如图，是直径，是上一点，在的延长线上，且． （1）求证：是的切线； （2）若半径为6，，求的长． 25. 如图，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）在对称轴上找一点，使的周长最小，求点的坐标； （3）是第四象限内抛物线上的动点，是否存在点，使面积的最大，若存在，请求出最大值及此时点的坐标；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024－2025学年度第一学期期末教学质量调研九年级数学试题 （总分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．本试题分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．第Ⅰ卷为选择题，30分；第Ⅱ卷为非选择题，90分；全卷共5页． 2．数学试题答题卡共4页，答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座号等填写在试题和答题卡上，考试结束后上交答题卡． 3．第Ⅰ卷每题选出答案后，都必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号（ABCD）涂黑，如需改动，先用橡皮擦干净，再改涂其它答案．第Ⅱ卷按要求用0.5mm碳素笔答在答题卡的相应位置上． 第Ⅰ卷（选择题共30分） 一、选择题：本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分． 1. 下列函数中是的反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的定义，根据或或进行逐项分析，即可求解． 【详解】解：A、不是反比例函数，故该选项是错误的； B、，y是x的反比例函数，故该选项是正确的； C、是正比例函数，故该选项是错误的； D、是关于y是的反比例函数，故该选项是错误的； 故选：B 2. 如图，是河堤横断面的迎水坡，坡高，水平距离，则斜坡的坡度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据坡度的定义直接求解即可． 【详解】解：∵坡高AC=1，水平距离BC=， ∴斜坡AB的坡度为， 故选：A． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，理解坡度的概念是解题的关键． 3. 校小卖部货架上摆放着某品牌方便面，它们的三视图如图，则货架上的方便面至少有（　　） A. 7盒 B. 8盒 C. 9盒 D. 10盒 【答案】A 【解析】 【分析】根据题中的主视图、左视图、俯视图，分别得出第一层有4碗，第二层最少有2碗，第三层最少有1碗，进而即可得出答案． 【详解】解：易得第一层有4碗，第二层最少有2碗，第三层最少有1碗，所以至少共有7盒． 故选：A． 【点睛】考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案． 4. 如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点、、都在格点上，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正弦值，勾股定理．解题的关键在于构造含有的直角三角形．如图，延长到，连接，由图可知，勾股定理求的值，代入中计算求解即可． 【详解】解：如图，延长到，连接 由图可知： ∵， ∴ 故选D． 5. 二次函数的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数相关知识，熟悉掌握该对称轴的求解公式是解题关键．根据对称轴的定义即可解答． 详解】解：∵， ∴对称轴为直线， 故选：D． 6. 已知点在双曲线上，则下列各点一定在该双曲线上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，解题的关键是熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式．先把点代入双曲线，求出k的值，再对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：∵点在双曲线上， ∴． A、∵， ∴此点在双曲线上，故本选项正确，不符合题意； B、∵， ∴此点不在双曲线上，故本选项错误，符合题意； C、∵， ∴此点不在双曲线上，故本选项错误，不符合题意； D、∵， ∴此点不在双曲线上，故本选项错误，不符合题意． 故选：A． 7. 如图，四边形内接于，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，解题的关键是掌握同弧所对的圆周角是圆心角的一半，圆内接四边形对角互补．先根据圆内接四边形的性质求出，再根据圆周角定理，即可解答． 【详解】解：∵，四边形内接于， ∴， ∴， 故选：A． 8. 二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质、反比例函数与一次函数的图象综合，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据开口方向以及与轴的交点位置，得，根据对称轴，得，再结合以及运用数形结合思想，进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：∵二次函数开口方向向上，与轴交于负半轴， ∴， ∵根据对称轴， ∴， ∴ ∴经过第一、二、三象限 结合二次函数的图象，得当时， 即经过第二、四象限， 故选：C 9. 如图，线段经过的圆心，分别与相切于点．若，，则的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，弧长的计算等，证得是解题的关键．连接，根据切线性质和，易证得和是等腰直角三角形，，进而求得，根据弧长公式求得即可． 【详解】解：如题所示，连接， ∵分别与⊙相切于点， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理， ∴和是等腰直角三角形，， ∵， ∴， ∴长度为： 故选：A． 10. 对于反比例函数，下列说法正确的个数是（ ） ①函数图象位于第一、三象限；②函数值 y 随 x 的增大而减小；③若 A(-1， ），B（2，），C(1，)是图象上三个点，则 <<；④P 为图象上任一点，过 P 作 PQ⊥y 轴于点 Q，则△OPQ 的面积是定值． A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 【答案】B 【解析】 【分析】根据反比例函数图象的性质对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】中,＞0，∴函数图象位于第一、三象限，①正确； 函数在各象限中，y随x的增大而减小，故②错误； 若 A(-1， ），B（2，），C(1，)是图象上三个点，则<<，故③错误； ④P 为图象上任一点，过P作PQ⊥y轴于点Q，则△OPQ的面积等于，为定值，故④正确． 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，对于反比例函数（k≠0），（1）k＞0，反比例函数图象在一、三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小；（2）k＜0，反比例函数图象在第二、四象限内，在每一个象限内，y随x的增大而增大． 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题：本大题共8小题，其中11-14题每小题3分，15-18题每小题4分，共28分．只要求填写最后结果． 11. 抛物线的顶点坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，将抛物线的一般式化为顶点式，然后可得顶点坐标．熟练掌握配方法的使用是解题关键． 【详解】解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为：， 故答案为：． 12. 一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为4的正三角形，俯视图是一个半径为2的圆，那么这个几何体的全面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是由三视图还原几何图形，求解圆锥的全面积；利用全面积公式即可得到答案． 【详解】解：由题意可得：该图形是边长即底面半径为2，母线长为4的圆锥，轴截面如图， ∴圆锥的全面积为：； 故答案为： 13. 有两组相同的牌，每组两张且两张牌的牌面数字分别是0，1，从每组牌中各摸出一张牌，两张牌的牌面数字和为1的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了画树状图求概率，画出树状图，共有4个等可能的结果，两张牌的牌面数字和为1的有2个，由概率公式即可求解． 【详解】解：画出树状图如图： 共有4个等可能的结果，两张牌的牌面数字和为1的有2个， ∴两张牌的牌面数字和为1的概率为， 故答案为：． 14. 已知二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的概念以及二次函数图象与坐标轴交点情况得判别式的范围；解题的关键是掌握二次函数与轴有交点得判别式大于等于0．根据二次函数定义二次项系数非0，与轴有交点，分别求解不等式取公共部分即可． 【详解】解：依题意得：， 解得， ∵， 解得， 故答案为：且． 15. 如图，平行四边形顶点在反比例函数的图象上，点在轴上，点，点在轴上，与轴交于点，若，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行四边形中三角形与平行四边形面积关系，反比例函数中的几何意义问题，解题关键在于找出三角形与平行四边形面积的关系，根据的几何意义求出的值．过向轴作垂线，垂足为，得到为矩形，又为平行四边形，，可得到平行四边形为，根据平行四边形的面积等于矩形的面积，可得出的值． 【详解】解：过向轴作垂线，垂足为， 四边形为矩形， 又为平行四边形， ， ， 又， ， 故答案为：． 16. 如图，在平面直角坐标系中，直线与相交于A，B两点，且点A在x轴上，则弦的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，垂径定理，勾股定理，过点作，设直线与轴交于点，求出两点坐标，勾股定理求出的长，等积法求出的长，再利用勾股定理求出的长，进而求出的长即可． 【详解】解：设直线与轴交于点，过点作，则， ∵， ∴当时，，当时，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 17. 二次函数图象如图，下列结论：①；②；③当时，；④；⑤若，且则． 其中正确的有______． 【答案】②③⑤ 【解析】 【分析】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求与的关系，以及掌握二次函数与方程之间的转换是解题关键． 由抛物线的开口方向判断与0的关系，由抛物线与轴的交点判断与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：①图象开口向下，与轴交于正半轴，对称轴在轴右侧， ，，， ，， ，；故①错误，故②正确； ∴当时，y有最大值，即为， 当时，，即为，故③正确； 对称轴是直线，与轴交点在左边， 二次函数与轴的另一个交点在与之间， ，故④错误； ， ， ， ， ， ， ，， ，故⑤正确； 故正确的有②③⑤， 故答案为：②③⑤． 18. 如图，曲线是二次函数图像的一部分（其中是抛物线与轴的交点，是抛物线顶点），曲线是反比例函数图像的一部分，两点的纵坐标相等，由点开始不断重复“”的过程，形成一组波浪线．若点和是波浪线上的点，则的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数图像上点的坐标特征、二次函数的性质等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键．由抛物线求出点、点，由点求出双曲线，再求出，得到个单位一循环，求出、的最大值即可求解． 【详解】解：∵点在抛物线上， ∴令，则， ∴， 又∵点是抛物线的顶点， ∴， ∴, ∵点B在双曲线上， ∴， ∴双曲线解析式为， ∵两点的纵坐标相等， 当时，， ∴点， ∵， 所以点P的纵坐标和时的纵坐标相等， 当时，, 所以， ∵波浪线的最高点为二次函数顶点， 所以n的最大值为12， 所以最大值为． 故答案为． 三、解答题：本大题共7小题，共62分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了含特殊角的三角函数值的混合运算、零指数幂与负整数指数幂、二次根式的混合运算等知识，熟练掌握运算法则是解题关键．先计算特殊角的三角函数值、零指数幂与负整数指数幂，再计算二次根式的乘法与加减法即可得． 【详解】解：原式 ． 20. 某学校为了提高学生学科能力，决定开设以下校本课程：A．文学院，B．小小数学家，C．小小外交家，D．未来科学家，为了解学生最喜欢哪一项校本课程，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图，请回答下列问题： （1）这次被调查的学生共有____________人； （2）请你将条形统计图（2）补充完整； （3）在平时的小小外交家的课堂学习中，甲、乙、丙、丁四人表现优秀，现决定从这四名同学中任选两名参加全国英语口语大赛，求恰好同时选中甲、乙两位同学的概率（用树状图或列表法解答）. 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查是用列表法或画树状图法求概率以及扇形统计图与条形统计图的知识，掌握列表法求概率是解题的关键． （1）由是，的人数为人，即可求得这次被调查的学生总人数； （2）求得的人数，即可将条形统计补充完整； （3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好同时选中甲、乙两位同学的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案． 【小问1详解】 解：这次被调查的学生共有：(人)， 故答案为： ； 【小问2详解】 解：如图， 有人数： (人)， 【小问3详解】 解：画树状图得： ∵共有种等可能的结果，恰好同时选中甲、乙两位同学的有种情况， ∴恰好同时选中甲、乙两位同学的概率为：． 21. 如图，一次函数y＝k1x+b的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点，与反比例函数y＝的图象分别交于C，D两点，点C（2，4），点B是线段AC的中点． （1）求一次函数y＝k1x+b与反比例函数y＝的解析式； （2）求△COD的面积； （3）直接写出当x取什么值时，k1x+b＜． 【答案】（1）y1＝x+2；y2＝；（2）S△COD＝6；（3）当0＜x＜2或x＜﹣4时，k1x+b＜． 【解析】 【分析】（1）把点C的坐标代入反比例函数，利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式，作轴于E，根据题意求得B的坐标，然后利用待定系数法求得一次函数的解析式； （2）联立方程求得D的坐标，然后根据即可求得△COD的面积； （3）根据图象即可求得时，自变量x的取值范围． 【详解】 （1）∵点C（2，4）在反比例函数y＝的图象上， ∴， ∴； 如图，作CE⊥x轴于E， ∵C（2，4），点B是线段AC的中点， ∴B（0，2）， ∵B、C在的图象上， ∴ ， 解得， ∴一次函数为； （2）由 ， 解得或， ∴D（﹣4，﹣2）， ∴； （3）由图可得，当0＜x＜2或x＜﹣4时，． 【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，方程组的解以及三角形的面积等，求得B点的坐标是解题的关键． 22. 一架无人机沿水平直线飞行进行测绘工作，在点P处测得正前方水平地面上某建筑物AB的顶端A的俯角为30°，面向AB方向继续飞行5米，测得该建筑物底端B的俯角为45°，已知建筑物AB的高为3米，求无人机飞行的高度(结果精确到1米，参考数据：1.414， 1.732)． 【答案】无人机飞行的高度约为14米． 【解析】 【分析】延长PQ，BA，相交于点E，根据∠BQE＝45°可设BE＝QE＝x，进而可分别表示出PE＝x＋5，AE＝x－3，再根据tan∠APE＝，∠APE＝30°即可列出方程，由此求解即可． 【详解】解：如图，延长PQ，BA，相交于点E， 由题意可得：AB⊥PQ，∠E＝90°， 又∵∠BQE＝45°， ∴BE＝QE， 设BE＝QE＝x， ∵PQ＝5，AB＝3， ∴PE＝x＋5，AE＝x－3， ∵∠E＝90°， ∴tan∠APE＝， ∵∠APE＝30°， ∴tan30°＝， 解得：x＝≈14， 答：无人机飞行的高度约为14米． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用-俯角仰角问题，难度适中，要求学生能借助其关系构造直角三角形并解直角三角形． 23. 某商场以每件20元的价格购进一种护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量（件）与销售单价（元）之间的关系可近似的看作一次函数：，在销售过程中销售单价不低于成本价，而每件的利润不高于成本价的． （1）设商场每月获得利润为（元），求每月获得利润（元）与销售单价（元）之间的函数关系式，并确定自变量的取值范围． （2）当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？每月的最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）当销售单价定为元时，每月可获得最大利润，最大利润是元 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）由题意得，每月销售量与销售单价之间的关系可近似看作一次函数，利润（定价进价）销售量，从而列出关系式，根据在销售过程中销售单价不低于成本价，而每件的利润不高于成本价的，确定自变量的取值范围； （2）首先确定二次函数的对称轴，然后根据其增减性确定最大利润即可． 【小问1详解】 由题意，得： ， ∵在销售过程中销售单价不低于成本价，而每件的利润不高于成本价的． ∴ ∴ 【小问2详解】 解：依题意， 又∵，抛物线开口向下，对称轴为直线． ∴当时，随着的增大而增大， ∴当时， 答：当销售单价定为元时，每月可获得最大利润，最大利润是元． 24. 如图，是的直径，是上一点，在的延长线上，且． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为6，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，切线的判定定理，勾股定理的应用，掌握相关定理是解题的关键． （1）连接，根据是的直径，得出，易得，结合，推出，则，即可求证是的切线； （2）在中，利用勾股定理即可求得． 小问1详解】 证明：连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵是的半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：的半径为，， ， 在中：， ． 25. 如图，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）在对称轴上找一点，使的周长最小，求点的坐标； （3）是第四象限内抛物线上的动点，是否存在点，使面积的最大，若存在，请求出最大值及此时点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）连接交对称轴于点Q，推出当C、B、Q三点共线时，的周长最小，求出直线的解析式为，则； （3）过点P作轴于点D．设点P坐标为则，据此利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：将点，点代入， ∴， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：连接交对称轴于点Q， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵A、B关于对称轴对称， ∴， ∴， 当C、B、Q三点共线时，的周长最小， ∵，， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， ∴； 【小问3详解】 解：过点P作轴于点D．设点P坐标为 则              ∴当时，． 此时 所以求面积S的最大值为，P点的坐标． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数综合，待定系数法求函数解析式，轴对称最短路径问题等等，正确作出辅助线利用数形结合的思想求解是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$