精品解析：安徽省芜湖市2024-2025学年九年级下学期开学考试数学试卷

2024-2025学年第二学期沈巷中学九年级开学数学检测试卷 一、选择题（本大题共10题，每小题4分，满分40分） 1. 2025的绝对值是（ ） A. 2025 B. ﹣2025 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了绝对值的定义，理解绝对值的定义是解题的关键，根据绝对值的定义进行求解即可． 【详解】解：的绝对值是 故选： A． 2. 2024年9月25日，注定是一个值得深刻铭记的时刻．继俄罗斯、美国、英国等世界强国在洲际弹道导弹的试射失败之后，中国火箭军从海南岛向太平洋成功发射了一枚射程达12000000米的洲际弹道导弹．用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】把一个大于10的数记成的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法，据此即可求得答案． 本题考查科学记数法表示较大的数，熟练掌握其定义是解题的关键． 详解】解：， 故选：C． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，二次根式的性质，利用合并同类项法则、同底数幂相除法则，积的乘方法则，二次根式的性质逐项判断即可． 【详解】解：A、，原计算错误，不符合题意； B、 ，原计算错误，不符合题意； C、 ，原计算正确，符合题意； D、 ，原计算错误，不符合题意； 故选：C． 4. 已知关于的不等式的解集是，则的取值范围在数轴上可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了解一元一次不等式，以及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式的方法，以及在数轴上表示不等式的解集的方法是解本题的关键． 根据不等式的性质，列出关于a的不等式，确定出a的范围即可，并在数轴上表示出来即可． 【详解】解：∵关于的不等式的解集是， ∴ 解得：， 在数轴上可表示为： ． 故选：B． 5. 如图，，．在同一条直线上，，则的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形性质，勾股定理，过点作于点，由，，可得是等腰直角三角形，即由勾股定理得，再根据三线合一及直角三角形斜边上的中线长等于斜边的一半可得，即可由勾股定理求得，进而即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 6. 如图，从一块半径为的圆形铁皮上剪出一个圆心角是的扇形，则扇形中弧的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，过O作交于点D，根据圆周角定理可得，根据垂径定理可得，，，即可得到，根据扇形可得，，可得是等边三角形，再结合扇形弧长公式即可得到答案； 【详解】解：连接，过O作交于点D， ∵， ∴， ∵，， ∴，，， ∴， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故选D； 【点睛】本题考查圆周角定理，垂径定理，扇形弧长公式，解题的关键是作辅助线． 7. 已知非零实数a，b，c满足：，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查不等式，根据不等式性质进行变形即可得出结论 【详解】解：由，得．代入中，得，则，A选项错误； 由，可得．代入中，可得：，B选项错误； 由于，则，C选项错误； 由于，则，D选项正确； 故选：D 8. 二次函数（m是常数且）的图象经过点，一次函数的图象经过点，当时，下列结论不一定正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 【答案】D 【解析】 【分析】该题主要考查了二次函数和一次函数的图象和性质，解题的关键是掌握二次函数和一次函数的图象和性质并画出大致图象． 根据二次函数和一次函数解析式得出两者都恒过定点，与轴的交点都为．当时，画出大致图象，根据选项一一判断即可； 【详解】解：∵， ， ∴抛物线与直线都恒过定点，与轴的交点都为． 当时，大致图象如下， 由图可知，当时，，故A正确，不符合题意； 当时，，故B正确，不符合题意； 当时，，故C正确，不符合题意； 当时，若，则， 若，则，故选项D不一定正确，符合题意． 故选：D． 9. 如图，在矩形中，，，F是边上的一动点（不与点A，B重合），过点F的反比例函数的图象与边交于点E，直线分别与y轴和x轴相交于点D，G．若，则k的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 2.5 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定和性质等多个知识点．设点E的坐标为，点F的坐标为，利用待定系数法求得直线的解析式，证明，利用相似三角形的性质列式计算即可求解． 【详解】解：在矩形中，，， ∴点B的坐标为， 设点E的坐标为，点F的坐标为， 设直线的解析式为， 则，解得， ∴直线的解析式为， 令，则， 解得， ∴点G的坐标为， ∴， ∵点E的坐标为， ∴， ∵矩形， ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∴，即， 解得， 故选：B． 10. 如图，在中，，，，以为圆心，3为半径作，为上一动点，连接、，则的最小值为（ ） A. 7 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理以及三角形三边关系的应用，利用相似三角形的性质得到是解题的关键．如图，在上截取，使得，连接．利用相似三角形的性质证明，可得，利用勾股定理求出即可解决问题． 【详解】解：在上截取，使得，连接，，． ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中， ，，， ， ． 则的最小值为． 故选：． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 因式分解：__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分解因式，根据先提公因式再利用公式的步骤分解即可．先提取公因式，再根据完全平方公式进行二次分解即可求得答案． 【详解】解： ， 故答案为：． 12. ，，，四名选手参加赛跑，赛场共设四条跑道，选手以随机抽签方式决定各自的跑道，则，两位选手抽中相邻跑道的概率为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了用树状图或列表法求概率，画出树状图，根据树状图即可求解，掌握树状图或列表法是解题的关键． 【详解】解：画树状图表示两位选手抽中赛道的情况如下： 由树状图可知，共有种等结果，其中，两位选手抽中相邻跑道的结果有种， ∴，两位选手抽中相邻跑道的概率为， 故答案为：． 13. 规定：如果两个函数的图象关于y轴对称，那么称这两个函数互为“Y函数”．例如：函数与互为“Y函数”．若函数的图象与x轴只有一个交点，则它的“Y函数”图象与x轴的交点坐标为___________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据题意与x轴的交点坐标和它的“Y函数”图象与x轴的交点坐标关于y轴对称，再进行分类讨论，即和两种情况，求出与x轴的交点坐标，即可解答． 【详解】解：①当时，函数的解析式为， 此时函数的图象与x轴只有一个交点成立， 当时，可得，解得， 与x轴的交点坐标为， 根据题意可得，它的“Y函数”图象与x轴的交点坐标为； ①当时， 函数的图象与x轴只有一个交点， ，即， 解得， 函数的解析式为， 当时，可得， 解得， 根据题意可得，它的“Y函数”图象与x轴的交点坐标为， 综上所述，它的“Y函数”图象与x轴的交点坐标为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了轴对称，一次函数与坐标轴的交点，抛物线与x轴的交点问题，理解题意，进行分类讨论是解题的关键． 14. 如图，在中，点是边上一点，，，，且，过边上一点作，若，则的长度为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，过点作于点，证明，根据相似三角形的性质得到，结合已知条件可得，进而可得，根据等腰三角形的性质求得，根据勾股定理得到，由，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】如图，过点作于点， ，， ∴， ， ， 解得或（舍去） ， ， ， ，， ， 解得或者（舍去）， ， ,， ， 在中， ， ， ， ， ， 又， ， ， 即， ． 故答案为：． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴或， 解得：． 16. 如图，在边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，O，B为格点（每个小正方形的顶点叫做格点），，，且，线段关于直线对称的线段为，将线段绕点逆时针旋得到线段； （1）画出线段，； （2）将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接．若，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了轴对称和旋转作图，以及勾股定理的逆定理，根据题意作出正确的图形是解题关键. （1）根据要求即可完成作图； （2）根据题意可推出是直角三角形，即可求解； 【小问1详解】 解：如图所示：线段，即为所求 【小问2详解】 解：由题意得：， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 一套衣服的上衣和裤子共100元．因市场需求变化，商家决定分开销售．裤子降价，上衣提价，调价后，这套衣服的售价比原来提高了8元．问调价后上衣和裤子的售价各是多少元？ 【答案】调价后上衣的单价是72元，袘子的单价是36元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的应用；设调价前上衣的单价是元，裤子的单价是元，列出二元一次方程组，解方程组即可作答． 【详解】解：设调价前上衣的单价是元，裤子的单价是元，由题意得 解得， （元） （元） 答：调价后上衣的单价是72元，袘子的单价是36元．（方法不唯一） 18. 观察以下等式： 第1个等式：　　　　第2个等式： 第3个等式：　　　　第4个等式： … 按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第5个等式：__________________________； （2）写出你猜想的第n个等式：______________________（用含n的等式表示），并证明． 【答案】（1）；（2），证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意规律，结合有理数混合运算的性质计算，即可得到答案； （2）结合题意，根据数字规律、整式混合运算的性质分析，即可得到答案． 【详解】（1）根据题意，得： 故答案为：； （2）∵第1个等式：　　　　 第2个等式： 第3个等式：　　　　 第4个等式： … ∴第n个等式： ∵， ∴等式成立； 故答案为：，证明见解析． 【点睛】本题考查了数字规律、有理数混合运算、整式混合运算,分式的运算等知识；解题的关键是熟练掌握数字规律的性质，从而完成求解． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴交于点A，，且直线l经过双曲线的左端点C． （1）求点A的坐标和m的值． （2）平移直线l到直线的位置，使其经过双曲线的右端点D，交x轴于点E，求的长． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数，一次函数的平移等知识， （1）将代入，可得直线l的解析式为：，进而可得，再根据直线l经过双曲线的左端点C，可得，问题随之得解； （2）结合（1）的结果得反比例函数解析式为：，即可得，根据平移直线到直线，设直线的解析式为：，代入，可得设直线的解析式为：，即可得，问题随之得解． 【小问1详解】 ∵在直线的图象上， ∴，即， ∴直线l的解析式为：， 当时，， 解得：， ∴， ∵直线l经过双曲线的左端点C， ∴当时，， ∴， ∴，即； 【小问2详解】 ∵， ∴反比例函数解析式为：， 当时，， ∴， ∵平移直线到直线， ∴设直线的解析式为：， ∵直线经过， ∴当时，， ∴， ∴设直线的解析式为：， ∴当时，， 解得：， ∴， ∵， ∴． 20. 如图，在中，以为直径的与相交于点D，过点D作的切线交于点E．． （1）求证：； （2）若的直径为13，，求的长． 【答案】（1）证明见解析； （2）． 【解析】 【分析】本题考查切线的性质、平行线的性质、直径所对圆周角是直角、等积法求线段等；灵活运用等积法确定线段间数量关系是解题的关键． （1）连接，由是的切线得，进而可证得，所以；由，知，所以可证得，结论得证； （2）连接，可得，由等腰三角形三线合一得；根据勾股定理求得，由求解． 小问1详解】 证明：连接， ∵是圆的半径，是的切线． ∴． ∵． ∴， ∴． ∵， ∴． ∴， ∴； 【小问2详解】 解：连接， ∵为直径， ∴， ∵， ∴， ∵的直径为13，， ∴，， ∴， ∵， ∴． 六、（本题满分12分） 21. 实验中学团支部发起了以“完善自我，服务社会，关爱弱势，大写人生”为主题的志愿活动，鼓励和倡导大家在暑假期间积极参加志愿活动，开学后该校团支部抽取了部分学生进行调查，并对他们参加志愿活动的次数进行了统计，根据调查数据绘制成不完整的统计图如下： 被抽取学生参加志愿活动的次数频数分布直方图 被抽取学生参加志愿活动的次数扇形统计图 （1）补全频数分布直方图，这组数据的中位数是______次，众数是______次； （2）求被抽取的这部分学生参加志愿活动次数的平均数； （3）若该校九年级共有800名学生，请估计九年级中参加志愿活动在4次及以上的学生人数． 【答案】（1）统计图见解析；4；4； （2）次 （3）520名 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形统计图与条形统计图信息相关联，求中位数，众数和平均数，用样本估计总体： （1）利用活动次数为4次的学生的数量以及对应的百分比，即可得到抽取的学生数，进而求出活动次数为3次的学生数，再根据中位数和众数的定义求解即可； （2）根据加权平均数的定义求解即可； （3）用800乘以样本中参加志愿活动在4次及以上的学生人数占比即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意得，被随机抽取的学生共有：人， ∴活动次数为3次学生数为：人， 补全统计图如下： ∵这组数据的中，次数为4出现的次数最多， ∴众数是4次， 将20个数中按从小到大排列，第10个和第11个都是4次， ∴中位数是4次； 【小问2详解】 解：次， ∴被抽取的这部分学生参加志愿活动次数的平均数为次； 【小问3详解】 解：名． ∴估计九年级中参加志愿活动在4次及以上的学生人数约有520名． 七、（本题满分12分） 22. 如图，四边形，，对角线相交于点，，点是上一点，，连接． （1）求证：为等边三角形； （2）若为边中点，连接并延长交的延长线于点，，，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握以上知识的综合运用，作出合理的辅助线证明三角形全等是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质，可得是等边三角形，可得，在中结合三角形的内角和定理可得，可证，可得，，根据，可得，由此即可求证； （2）如图所示，作交ND的延长线于点G，可证，可得，由（1）可知是等边三角形，可得，可证，可得是等腰三角形，，可求出，由此即可求解． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴ ， 在中， ∵， ∴， ∴，且， 在中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴等边三角形． 【小问2详解】 解：作交ND的延长线于点G， ∴，， ∵点是中点，即， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴，且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 八、（本题满分14分） 23. 如图1，抛物线与轴相交于点、，对称轴是直线，点是抛物线的顶点，直线与轴交于点． （1）求此抛物线的解析式； （2）若点是轴上一动点，分别连接，求的最小值； （3）点是直线上方抛物线上一点，连接交于点，若，如图2，求点的坐标． 【答案】（1） （2） （3）的坐标为或 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，掌握待定系数法求解析式，轴对称最短路径的计算方法，相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）把点，对称轴为直线，代入解析式，运用待定系数法即可求解； （2）根据题意分别求出，，在y轴上作点D的对称点，连接交于点N，此时的值最小，根据轴对称最短路径的方法即可求解； （3）根据题意求出直线的解析式，设，则，，根据题意可得，结合相似三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点，对称轴为直线， ∴， 解得， ∴该抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线AM的解析式为，当时，， ∴． 如图1， 在y轴上作点D的对称点，连接交于点N，此时的值最小． 过点M作轴于点T， ∴， ∴， ∴的值的最小值为； 【小问3详解】 解：抛物线的解析式为， ∴令时，；令时，, 解得，，， ∴，, ∴直线的解析式为．如图2，过点E，P分别作，，垂足分别为F，H． 设，则，， ∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∵点P在抛物线上， ∴， 得，， ∴， ∴P的坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年第二学期沈巷中学九年级开学数学检测试卷 一、选择题（本大题共10题，每小题4分，满分40分） 1. 2025的绝对值是（ ） A. 2025 B. ﹣2025 C. D. 2. 2024年9月25日，注定是一个值得深刻铭记的时刻．继俄罗斯、美国、英国等世界强国在洲际弹道导弹的试射失败之后，中国火箭军从海南岛向太平洋成功发射了一枚射程达12000000米的洲际弹道导弹．用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确是（ ） A. B. C. D. 4. 已知关于的不等式的解集是，则的取值范围在数轴上可表示为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，，．在同一条直线上，，则的长为（　　） A. B. C. D. 6. 如图，从一块半径为的圆形铁皮上剪出一个圆心角是的扇形，则扇形中弧的长为（ ） A. B. C. D. 7. 已知非零实数a，b，c满足：，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 二次函数（m是常数且）的图象经过点，一次函数的图象经过点，当时，下列结论不一定正确的是（ ） A 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 9. 如图，在矩形中，，，F是边上的一动点（不与点A，B重合），过点F的反比例函数的图象与边交于点E，直线分别与y轴和x轴相交于点D，G．若，则k的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 2.5 D. 3 10. 如图，在中，，，，以为圆心，3为半径作，为上一动点，连接、，则的最小值为（ ） A. 7 B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 因式分解：__________． 12. ，，，四名选手参加赛跑，赛场共设四条跑道，选手以随机抽签方式决定各自的跑道，则，两位选手抽中相邻跑道的概率为______． 13. 规定：如果两个函数的图象关于y轴对称，那么称这两个函数互为“Y函数”．例如：函数与互为“Y函数”．若函数的图象与x轴只有一个交点，则它的“Y函数”图象与x轴的交点坐标为___________． 14. 如图，在中，点是边上一点，，，，且，过边上一点作，若，则的长度为__________． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 解方程：． 16. 如图，在边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，O，B为格点（每个小正方形的顶点叫做格点），，，且，线段关于直线对称的线段为，将线段绕点逆时针旋得到线段； （1）画出线段，； （2）将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接．若，求的度数． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 一套衣服的上衣和裤子共100元．因市场需求变化，商家决定分开销售．裤子降价，上衣提价，调价后，这套衣服的售价比原来提高了8元．问调价后上衣和裤子的售价各是多少元？ 18. 观察以下等式： 第1个等式：　　　　第2个等式： 第3个等式：　　　　第4个等式： … 按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第5个等式：__________________________； （2）写出你猜想的第n个等式：______________________（用含n的等式表示），并证明． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴交于点A，，且直线l经过双曲线的左端点C． （1）求点A的坐标和m的值． （2）平移直线l到直线的位置，使其经过双曲线的右端点D，交x轴于点E，求的长． 20. 如图，在中，以为直径的与相交于点D，过点D作的切线交于点E．． （1）求证：； （2）若的直径为13，，求的长． 六、（本题满分12分） 21. 实验中学团支部发起了以“完善自我，服务社会，关爱弱势，大写人生”为主题的志愿活动，鼓励和倡导大家在暑假期间积极参加志愿活动，开学后该校团支部抽取了部分学生进行调查，并对他们参加志愿活动的次数进行了统计，根据调查数据绘制成不完整的统计图如下： 被抽取学生参加志愿活动的次数频数分布直方图 被抽取学生参加志愿活动的次数扇形统计图 （1）补全频数分布直方图，这组数据中位数是______次，众数是______次； （2）求被抽取的这部分学生参加志愿活动次数的平均数； （3）若该校九年级共有800名学生，请估计九年级中参加志愿活动在4次及以上的学生人数． 七、（本题满分12分） 22. 如图，四边形，，对角线相交于点，，点是上一点，，连接． （1）求证：为等边三角形； （2）若为边中点，连接并延长交的延长线于点，，，，求的长． 八、（本题满分14分） 23. 如图1，抛物线与轴相交于点、，对称轴是直线，点是抛物线顶点，直线与轴交于点． （1）求此抛物线的解析式； （2）若点是轴上一动点，分别连接，求最小值； （3）点是直线上方抛物线上一点，连接交于点，若，如图2，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$