第6章 平面向量及其应用 章末复习方案（课件PPT）-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教版2024）

平面向量及其应用 第六章 章末复习方案 知识网络·体系构建 知识整合·融会贯通 知识网络·体系构建 返回目录 数学　必修 第二册 探究一　平面向量的线性运算 知识整合·融会贯通 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 探究二　平面向量的数量积及其几何意义 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 探究三　应用正、余弦定理解三角形 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 探究四　正、余弦定理的综合应用 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 探究五　余弦定理、正弦定理的实际应用 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 制 作 者：状元桥 适用对象：高中学生 制作软件：Powerpoint2010、 Photoshop cs3 运行环境：WindowsXP以上操作系统 在进行向量的线性运算时，要能把向量转化到三角形、多边形或平行四边形中，熟练运用三角形法则构成“首尾相连”回路，或平行四边形法则，并结合三角形中的中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何知识，结合实数与向量的积，逐步将未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量求解．当M是线段AB的中点时，＝(＋)是中点公式的向量形式，应当作公式记忆．当已知向量的坐标容易建立坐标系时，常用向量的坐标运算解向量的线性运算问题． 【真题1】 (1)(2022·新课标Ⅰ)在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA，记＝m，＝n，则＝(　　) A．3m－2n B．－2m＋3n C．3m＋2n D．3m＋2n (2)(2024·上海)已知k∈R，a＝(2,5)，b＝(6，k)，且a∥b，则k的值为_______. 解析　(1)由题意得＝，根据向量的运算法则，可得＝＋＝＋＝＋(－)＝＋－，化简得＝－，即＝3－2＝3n－2m.故选B项． (2)因为a∥b，所以2k＝5×6，解得k＝15. 答案　(1)B　(2)15 在解决与平面几何有关的数量积问题时，充分利用向量的线性运算，将所求向量用共同的基底表示出来，再利用平面向量数量积的运算法则求解．注意向量的数量积不满足消去律和结合律．根据向量数量积定义的变形还可以求夹角和模． 【真题2】 (1)(2024·新课标Ⅰ)已知向量a＝(0,1)，b＝(2，x)，若b⊥(b－4a)，则x＝(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 (2)(2024·新课标Ⅱ)已知向量a，b满足|a|＝1，|a＋2b|＝2，且(b－2a)⊥b，则|b|＝(　　) A． B． C． D．1 解析　(1)因为b⊥(b－4a)，所以b·(b－4a)＝0，所以b2－4a·b＝0，即4＋x2－4x＝0，故x＝2.故选D项． (2)因为(b－2a)⊥b，所以(b－2a)·b＝0，即b2＝2a·b，又因为|a|＝1，|a＋2b|＝2，所以1＋4a·b＋4b2＝1＋6b2＝4，从而|b|＝.故选B项． 答案　(1)D　(2)B 【真题3】 (1)(2022·新课标Ⅱ)已知向量a＝(3,4)，b＝(1,0)，c＝a＋tb，若〈a，c〉＝〈b，c〉，则t＝(　　) A．－6 B．－5 C．5 D．6 (2)(2024·天津)在边长为1的正方形ABCD中，点E为线段CD的三等分点，CE＝DE，＝λ＋μ，则λ＋μ＝_______；若F为线段BE上的动点，G为AF的中点，则·的最小值为_______. 解析　(1)由题意得，c＝a＋tb＝(3＋t,4)，cos〈a，c〉＝cos〈b，c〉，所以＝，即＝，解得t＝5.故选 C项． (2)方法一　因为CE＝DE，即＝，则＝＋＝＋，可得λ＝，μ＝1，所以λ＋μ＝；由题意可知||＝||＝1，·＝0，因为F为线段BE上的动点，设＝k＝k＋k，k∈[0,1]，则＝＋＝＋k＝＋k，又因为G为AF的中点，则＝＋＝－＋＝＋，可得·＝· ＝2＋k＝2－，又因为k∈[0,1]，所以当k＝1时，·取到最小值－. 方法二　以B为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示，则A(－1,0)，B(0,0)，C(0,1)，D(－1,1)，E，可得＝ (－1,0)，＝(0,1)，＝，因为＝λ＋μ＝(－λ，μ)，则所以λ＋μ＝；因为点F在线段BE：y＝－3x，x∈上，设F(a，－3a)，a∈，且G为AF的中点， 则G，可得＝(a＋1，－3a)，＝，则·＝＋(－3a)＝52－，且a∈，所以当a＝－时，·取到最小值－. 答案　(1)C　(2)　－ 解斜三角形的常规思维方法 (1)已知两角和一边(如A，B，c)，由A＋B＋C＝π求C，由正弦定理求a，b． (2)已知两边和夹角(如a，b，C)，应用余弦定理求c；再应用正弦定理求较短边所对的角，然后利用A＋B＋C＝π求另一角． (3)已知两边和其中一边的对角(如a，b，A)，应用正弦定理求B，由A＋B＋C＝π求C，再由正弦定理或余弦定理求c，要注意解可能有多种情况，也可设出第三边，利用余弦定理建立方程，解方程即可． (4)已知三边a，b，c，应用余弦定理求A，B，再由A＋B＋C＝π求角c．熟练运用余弦定理、正弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用． 【真题4】 (1)(2023·全国甲)在△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝2，BC＝，∠BAC的角平分线交BC于D，则AD＝_______. (2)(2024·新课标Ⅱ)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin A＋cos A＝2. ①求A； ②若a＝2，bsin C＝csin 2B，求△ABC的周长． 解析　(1)如图，记AB＝c，AC＝b，BC＝A． 方法一　由余弦定理可得22＋b2－2×2×b×cos 60°＝6，因为b>0，解得b＝1＋. 由S△ABC＝S△ABD＋S△ACD可得×2×b×sin 60°＝×2×AD×sin 30°＋×AD×b×sin 30°，解得AD＝＝＝2. 方法二　由余弦定理可得22＋b2－2×2×b×cos 60°＝6，因为b>0，解得b＝1＋. 由正弦定理可得＝＝，解得sin B＝，sin C＝， 因为1＋>>，所以C＝45°，B＝180°－60°－45°＝75°， 又∠BAD＝30°，所以∠ADB＝75°，即AD＝AB＝2. 答案　2 (2)①方法一　由sin A＋cos A＝2可得sin A＋cos A＝1，即sin＝1，由于A∈(0，π)⇒A＋∈，故A＋＝，解得A＝. 方法二　由sin A＋cos A＝2，sin2 A＋cos2A＝1，消去sin A得4cos2A－4cos A＋3＝0⇔(2cos A－)2＝0，解得cos A＝，又A∈(0，π)，故A＝. ②由题设条件和正弦定理得bsin C＝csin 2B⇔·sin Bsin C＝2sin Csin Bcos B，又B，C∈(0，π)，则sin Bsin C≠0，进而cos B＝，得B＝，于是C＝π－A－B＝，所以sin C＝sin(π－A－B)＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋sin Bcos A＝，由正弦定理可得＝＝，即＝＝，解得b＝2，c＝＋，故△ABC的周长为2＋＋3. 【真题5】 (2023·新课标Ⅰ)已知在△ABC中，A＋B＝3C,2sin(A－C)＝sinB． (1)求sin A； (2)设AB＝5，求AB边上的高． 解析　(1)因为A＋B＝3C，所以π－C＝3C，即C＝， 又2sin(A－C)＝sin B＝sin(A＋C)， 所以2sin Acos C－2cos Asin C＝sin Acos C＋cos Asin C， 所以sin Acos C＝3cos Asin C， 所以sin A＝3cos A，即tan A＝3，所以0<A<， 所以sin A＝＝. (2)由(1)知，cos A＝＝， 由sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝＝， 由正弦定理＝，得AC＝＝2，所以AB·h＝AB·AC·sin A， 所以h＝AC·sin A＝2×＝6. 用公式S△＝absin C来求△ABC的面积是在已知两边及夹角的前提下来进行的，事实上，两边及夹角中的某个(或两个)量需要通过解三角形求出，这就需要先利用正、余弦定理解三角形．求解此类三角形的基本量的技巧：先将几何问题转化为代数问题，正确分析已知等式中的边角关系，利用正弦定理、余弦定理、任意三角形面积公式等工具进行三角形中边角的互化，然后利用三角形的内角和定理、大边对大角等知识求出所需要的量． 【真题6】 (2024·新课标Ⅰ)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin C＝cos B，a2＋b2－c2＝ab． (1)求B； (2)若△ABC的面积为3＋，求c． 解析　(1)由余弦定理有a2＋b2－c2＝2abcos C，对比已知a2＋b2－c2＝ab，可得cos C＝＝＝，因为C∈(0，π)，所以sin C>0，从而sin C＝＝＝，又因为sin C＝cos B，即cos B＝，且B∈(0，π)，所以B＝. (2)由(1)可得B＝，cos C＝，C∈(0，π)，从而C＝，A＝π－－＝，而sin A＝sin＝sin＝×＋×＝，由正弦定理有＝＝，从而a＝·c＝c，b＝·c＝c，由三角形面积公式可知，△ABC的 面积可表示为S△ABC＝absin C＝·c·c·＝c2，由已知△ABC的面积为3＋，可得c2＝3＋，所以c＝2. 【真题7】 (2023·全国甲)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝2. (1)求bc； (2)若－＝1，求△ABC的面积． 解析　(1)因为a2＝b2＋c2－2bccos A，所以＝＝2bc＝2，解得bc＝1. (2)由正弦定理得－ ＝－ ＝－ ＝＝1， 变形可得sin(A－B)－sin(A＋B)＝sin B， 即－2cos Asin B＝sin B， 而0<sin B≤1，所以cos A＝－，又0<A<π，所以sin A＝， 故△ABC的面积为S△ABC＝bcsin A＝×1×＝. 解决解三角形的实际应用问题的关键是建立三角形或三角函数模型，转化为数学问题；求解三角形的实际应用题的实质还是解三角形．实际问题中用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型有：测量高度问题、距离问题、角度问题．应熟练掌握实际问题中的常用角(即仰角、俯角、方向角、方位角和坡角)的有关概念． 【真题8】 信阳南湾湖以源远流长的历史遗产，浓郁丰厚的民俗风情而著称；以幽、朴、秀、奇的独特风格，山、水、林、岛的完美和谐而闻名，是融自然景观、人文景观、森林生态环境、森林保健功能于一体，是河南省著名的省级风景区．如图，为迎接第九届开渔节，某渔船在湖面上A处捕鱼时，天气预报几小时后会有恶劣天气，该渔船的东偏北θ方向上有一个小岛C可躲避恶劣天气，在小岛C的正北方向有一航标灯D距离小岛25 n mile，渔船向小岛行驶50 n mile后到达B处，测得∠DBC＝45°，BD＝25(－) n mile. (1)求A处距离航标灯D的距离AD； (2)求cos θ的值． 解析　(1)因为AB＝50，BD＝25(－)，∠DBC＝45°， 所以在△ABD中，由余弦定理得AD2＝AB2＋BD2－2AB·BDcos 135°＝502＋2－2×50×25(－)×＝5 000，所以AD＝50 n mile. (2)因为∠BCD＝90°＋θ，在△BCD中，由正弦定理得＝，所以cos θ＝sin(90°＋θ)＝＝－1. $$