专题02 解三角形12大考点（期末真题汇编，天津专用）高一数学下学期人教A版

**基本信息** 聚焦解三角形专题，汇编天津地区近年期末真题，覆盖12个高频考点，融合文化传承（如文昌阁测量）与实际应用，基础题与综合题梯度分明。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择填空|50题|正弦定理应用、三角形解的个数等基础考点|结合教材例题，注重概念辨析| |解答题|10题|面积计算、边角互化、实际测量|分层设问（如第34题三问），融入天津地标测量情境|

专题02 解三角形 高频考点概览 考点 01 利用正弦定理解三角形 考点 02 三角形解的个数问题 考点 03 正弦定理求外接圆半径 考点 04 利用余弦定理解三角形 考点 05 判断三角形形状 考点 06 正余弦定理边角互化的应用 考点 07 三角形的面积问题 考点 08 三角形的周长问题 考点 09 与三角恒等变换的综合 考点 10 角平分线、中线、高线问题 考点 11 解三角形的最值问题 考点 12 解三角形的实际应用 考点01 利用正弦定理解三角形 1．（2025春•天津期末）在△中，三个内角为，，．若，则的值是（　　） A． B． C． D． 2．（2024春•和平区校级期末）在中，，，所对的边分别为，，，若，则　　． 3．（2022春•红桥区校级期末）在中，内角，，所对的边分别是，，．若，，则角　　． 4．（2023春•仓山区校级期末）在△中，，，，则（　　） A． B． C．或 D．或 5．（2022春•西青区期末）在△中，，，，则此三角形（　　） 考点02 三角形解的个数问题 A．无解 B．两解 C．一解 D．解的个数不确定 6．（2020春•东丽区期末）若△的内角，，所对的边分别为，，，，，，则的解的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．不确定 7．（2024春•东丽区校级期末）在△中，，，，若三角形有两解，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 考点03 正弦定理求外接圆半径 8．（2021春•天津期末）在中，角，，所对的边分别为，，，且． （Ⅰ）求角的大小； （Ⅱ）若的外接圆半径，，求的面积． 9．（2025春•天津期末）在△中，，，分别是角，，的对边，下列四个命题中正确的个数为（　　） ①若，则△是等腰三角形； ②若，，三角形面积，则三角形外接圆半径为； ③若点为△内一点，且，则； ④在△中，，．若△有解，则的取值范围是． A．1 B．2 C．3 D．4 考点04 利用余弦定理解三角形 10．（2025春•天津期末）在△中，若，则 　　 ． 11．（2021春•东丽区期末）在△中，已知，，，则（　　） A． B． C． D． 12．（2024春•滨海新区校级期末）在△中，角，，所对的边分别为，，．若，则的值是（　　） A． B． C． D． 13．（2024春•天津期末）在△中，角，，所对的边分别为，，，，，，（　　） A． B． C． D． 14．（2022春•天津期末）在△中，角，，的对边分别为，，．若，则的值为（　　） A．1 B． C． D． 15．（2022春•南开区校级期末）在△中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则（　　） A． B． C． D． 16．（2022春•东丽区期末）在△中，，，，那么等于（　　） A．7 B． C．19 D． 17．（2022春•河东区期末）中，，，，则　　． 考点05 判断三角形形状 18．（2022春•和平区期末）若，且，那么△是（　　） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 19．（2022春•和平区校级期末）在△中，若，，则△的形状为（　　） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 20．（2020春•东丽区校级期末）已知△的内角，，所对的边分别为，，，下列四个命题中正确的是（　　） A．若，，，则只有一解 B．若，则△一定是锐角三角形 C．若，则△一定是等腰三角形 D．若，则△一定是等腰三角形 考点06 正余弦定理边角互化的应用 21．（2025春•天津期末）在△中，内角，，所对边分别为，，，若，，则（　　） A． B． C． D． 22．（2024春•西青区期末）已知，，分别为三个内角，、的对边，且，则角　　． 23．（2025春•南开区期末）在△中，已知，则角为（　　） A． B． C． D．或 24．（2021春•红桥区期末）在中，内角，，所对的边分别是，，，若，则角的大小为 　　． 25．（2022秋•天津期末）在中，角，，所对的边分别为，，．已知，，． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求的值； （Ⅲ）求的值． 26．（2022秋•河北区校级期末）在中，内角、、的对边分别为，，，． （Ⅰ）求角的大小； （Ⅱ）若，．求： （ⅰ）边长； （ⅱ）的值． 27．（2024春•和平区校级期末）在中，内角，，所对的边分别为，，，已知． （Ⅰ）求角的大小； （Ⅱ）设，， （ⅰ）求， （ⅱ）求的值． 考点07 三角形的面积问题 28．（2025春•天津校级期末）在△中，角，，的对边分别是，，，已知，，三角形的面积为6，则（　　） A．65 B．17 C． D． 29．（2024秋•和平区期末）在△中，角，，所对的边分别为，，，． （Ⅰ）求角的大小； （Ⅱ）若． 求△的面积； 求的值． 30．（2024秋•天津期末）在△中，内角，，所对的边分别为，，，且，，△的面积为，． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求的值； （Ⅲ）求的值． 31．（2025春•红桥区期末）在△中，内角，，所对的边分别是，，，已知，，，． （1）求的值； （2）求的值； （3）求△面积的值． 32．（2025春•和平区期末）已知△的内角，，所对的边分别为，，，． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求△的面积． 33．（2025春•河北区期末）已知函数． （Ⅰ）求的最小正周期； （Ⅱ）求的单调递增区间； （Ⅲ）在△中，角，，所对的边分别为，，，若（C），，且△的面积为，求的值． 34．（2025春•天津期末）在△中，，，分别是角，，的对边，若：． （1）求角的大小． （2）若是的中点，，求△面积的最大值； （3）若在△所在平面内，满足，且，求实数的值． 35．（2025春•天津期末）勾股定理是初等几何中最精彩、最著名的定理之一，是几何学的明珠，它不仅揭示了直角三角形三边之间的数量关系，而且体现了“数形统一”的思想，对我们解决直角三角形类问题的帮助很大．如果一个直角三角形的周长等于，则该三角形面积的最大值为 ． 36．（2025春•天津期末）在△中，，，为角，，对应的边，为△的面积，且满足如下条件：． （Ⅰ）求角； （Ⅱ）若，求△面积的最大值； （Ⅲ）△为锐角三角形，且，若恒成立，求实数的取值范围． 考点08 三角形的周长问题 37．（2024春•金凤区校级期末）的内角，，的对边分别为，，，已知． （1）求的值； （2）若，的面积为，求的周长． 38．（2022秋•河西区校级期末）已知△的内角、、的对边分别为、、，满足已知． （1）求角的大小； （2）若，求的值； （3）若△的面积为，，求△的周长． 39．（2024春•南开区校级期末）已知，，分别是△的内角，，的对边，且． （1）求． （2）若，△的面积为，求△的周长． （3）在（2）的条件下，求的值． 40．（2024春•河北区期末）已知的内角，，所对的边分别为，，，设向量，，且． （Ⅰ）求角的大小； （Ⅱ）若，的面积为，求的周长， 41．（2023春•南开区期末）已知的内角，，的对边分别是，，，且，． （1）求角； （2）求周长的取值范围． 42．（2023春•南开区校级期末）在中，角，，所对的边分别为，，，已知． （Ⅰ）求； （Ⅱ）已知， 若的面积为，求的周长： 求周长的取值范围． 考点09 与三角恒等变换的综合 43．（2025秋•和平区期末）在△中，角，，所对的边分别为，，，已知． （Ⅰ）求角的大小； （Ⅱ）若，． 求的值； 求的值． 44．（2025秋•西青区期末）在△中，角，，的对边分别为，，，且，，． （1）求的值； （2）求的值． 45．（2025秋•天津校级期末）在△中，角，，所对的边分别为，，．满足 （1）求角的大小； （2）设， （ⅰ）求的值； （ⅱ）求的值． 46．（2025秋•南开区期末）在△中，角，，所对的边分别为，，，且，，． （Ⅰ）求； （Ⅱ）求； （Ⅲ）求的值． 47．（2025秋•河西区期末）在中，内角，，所对的边分别为，，．已知，，又知． （Ⅰ）求角的大小、边的长： （Ⅱ）求的值． 48．（2025秋•红桥区期末）在△中，内角，，所对的边分别是，，，已知． （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值． 49．（2025春•天津校级期末）在△中，角，，所对的边分别为，，，且，，． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求的值； （Ⅲ）求的值． 考点10 角平分线、中线、高线问题 50．（2023春•天津期末）已知中，，，分别为角，，的对边，且． （1）求角； （2）若，，为角的平分线，求的长； （3）若，求锐角面积的取值范围． 51．（2025春•滨海新区校级期末）在△中，角，，所对的边分别为，，，，，． （1）求； （2）若，，，求△的面积； （3）若是的平分线与的交点，且，求的最小值． 52．（2024春•和平区期末）在中，角，，所对的边分别为，，，已知为边上的中线，点、分别为边与上的动点，若直线与交于点，且，，且满足． （Ⅰ）求边的长度； （Ⅱ）若的面积是面积的4倍，求的最小值． 考点11 解三角形的最值问题 53．（2022春•和平区期末）是钝角三角形，角，，所对的边分别为，，，，，则最大边的取值范围是 　． 54．（2025秋•和平区校级期末）在△中，内角、、的对边分别为、、，且． （1）求角； （2）若△是锐角三角形，且，求的取值范围． 55．（2024春•东丽区校级期末）△的内角，，的对边分别为，，，已知． （1）求角的大小； （2）若，，求△的面积； （3）若△锐角三角形，且外接圆直径为，求的取值范围． 考点12 解三角形的实际应用 56．（2025春•西青区期末）在我区杨柳青的大运河畔，有一座建于明代万历四年的馆阁式建筑——文昌阁．在天津市的文化地标中，文昌阁因其悠久的历史和独特的建筑风格，被认为是一个重要的文化遗产．如图，某校高一年级张华同学参加了主题为《追寻历史足迹，传承运河文化》测量文昌阁高度的实践活动．该同学在文昌阁塔的正西方向找到一座建筑物，高约为，，，三点共线，在地面上点处测得建筑物顶部与文昌阁顶部的仰角分别为和，在处测得塔顶部的仰角为，则文昌阁的高度约为（　　） A． B． C． D． 57．（2024春•西青区期末）天津广播电视塔是律门十景之一，被人们称为“天塔”，建成于1991年．它普是亚洲第一高塔，现为集广播电视，观光旅游、娱乐餐饮于一体的级景区，某校一项目学习小组开展数学建模活动，欲测量天塔的高度，在天塔湖岸边上，选取与塔底在同一水平面内的两个观测点，．测得，，在、两观测点处测得天塔顶部的仰角分别为，，则天塔的高约为（　　） A． B． C． D． 58．（2025春•滨海新区校级期末）如图，为测量某塔的高度，在地面上选择一个观测点，在处测得处的无人机和塔顶的仰角分别为，无人机距地面的高度为45米，且在处无人机测得点的仰角为，点，，在同一条直线上，则该塔的高度为 　　米． 59．（2023春•西青区期末）第四届数字中国建设峰会将于2021年4月25日至26日在福州举办，福州市以此为契机，加快推进“光网”双千兆城市建设．如图，某县区域地面有四个基站，，，．已知，两个基站建在江的南岸，距离为；基站，在江的北岸，测得，，，，则，两个基站的距离为　　 A． B． C． D． 60．（2023春•和平区期末）如图，一艘船向正北方向航行，航行速度为每小时海里，在处看灯塔在船的北偏东的方向上．1小时后，船航行到处，在处看灯塔在船的北偏东的方向上，则船航行到处时与灯塔之间的距离为（　　） A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 解三角形 高频考点概览 考点 01 利用正弦定理解三角形 考点 02 三角形解的个数问题 考点 03 正弦定理求外接圆半径 考点 04 利用余弦定理解三角形 考点 05 判断三角形形状 考点 06 正余弦定理边角互化的应用 考点 07 三角形的面积问题 考点 08 三角形的周长问题 考点 09 与三角恒等变换的综合 考点 10 角平分线、中线、高线问题 考点 11 解三角形的最值问题 考点 12 解三角形的实际应用 ( 考点01 利用 正弦定理解三角形 ) 1．（2025春•天津期末）在△中，三个内角为，，．若，则的值是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：因为， 所以， 设，，， 由余弦定理得． 故选：． 2．（2024春•和平区校级期末）在中，，，所对的边分别为，，，若，则　　． 【解答】解：由题意可知：， 由正弦定理，可得． 故答案为：． 3．（2022春•红桥区校级期末）在中，内角，，所对的边分别是，，．若，，则角　　． 【解答】解：由正弦定理知，， 所以， 因为，且，所以或． 故答案为：或． 4．（2023春•仓山区校级期末）在△中，，，，则（　　） A． B． C．或 D．或 【解答】解：因为，，， 所以由正弦定理，可得，解得， 因为，可得， 则． 故选：． ( 考点02 三角形解的个数 问题 ) 5．（2022春•西青区期末）在△中，，，，则此三角形（　　） A．无解 B．两解 C．一解 D．解的个数不确定 【解答】解：在△中，，，， 则， 可得， 可得此三角形有两解． 故选：． 6．（2020春•东丽区期末）若△的内角，，所对的边分别为，，，，，，则的解的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．不确定 【解答】解：因为，，， 由正弦定理得，， 所以， 因为， 所以， 故有两解． 故选：． 7．（2024春•东丽区校级期末）在△中，，，，若三角形有两解，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：由三角形有两解，则满足， 所以，解得：， 即的取值范围是． 故选：． ( 考点0 3 正弦定理求外接圆半径 ) 8．（2021春•天津期末）在中，角，，所对的边分别为，，，且． （Ⅰ）求角的大小； （Ⅱ）若的外接圆半径，，求的面积． 【解答】解：（Ⅰ）因为， 由正弦定理可得， 又， 所以，即， 因为， 所以，即， 因为， 所以． （Ⅱ）因为，的外接圆半径， 所以由，可得， 因为， 由余弦定理，可得，即，解得，（负值舍去）， 所以的面积． 9．（2025春•天津期末）在△中，，，分别是角，，的对边，下列四个命题中正确的个数为（　　） ①若，则△是等腰三角形； ②若，，三角形面积，则三角形外接圆半径为； ③若点为△内一点，且，则； ④在△中，，．若△有解，则的取值范围是． A．1 B．2 C．3 D．4 【解答】解：①若，可得， 则△是等腰三角形，故①正确； ②若，，三角形面积，可得，解得， 则，即， 则三角形外接圆半径为，故②错误； ③若点为△内一点，且，可得为△的重心， 由重心的性质和三角形的面积公式，可得，故③正确； ④在△中，，． 可得， 若△无解，可得，即有， 可得，若△有解，则的取值范围是，故④错误． 故选：． ( 考点0 4 利用余弦定理解三角形 ) 10．（2025春•天津期末）在△中，若，则 　　 ． 【解答】解：根据题意可知，，，， 由余弦定理得，代入得， 计算得． 故答案为：． 11．（2021春•东丽区期末）在△中，已知，，，则（　　） A． B． C． D． 【解答】解：在△中，已知，，， 所以：． 故选：． 12．（2024春•滨海新区校级期末）在△中，角，，所对的边分别为，，．若，则的值是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：由，设、、，其中， 由余弦定理得． 故选：． 13．（2024春•天津期末）在△中，角，，所对的边分别为，，，，，，（　　） A． B． C． D． 【解答】解：，，， 则，解得， ，为三角形的内角， 则， 由正弦定理可知，，即，解得． 故选：． 14．（2022春•天津期末）在△中，角，，的对边分别为，，．若，则的值为（　　） A．1 B． C． D． 【解答】解：在△中，已知，，， 由余弦定理得：． 所以． 故选：． 15．（2022春•南开区校级期末）在△中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则（　　） A． B． C． D． 【解答】解：因为△中，，，， 所以由余弦定理， 则． 故选：． 16．（2022春•东丽区期末）在△中，，，，那么等于（　　） A．7 B． C．19 D． 【解答】解：，，， 由余弦定理可得，，解得． 故选：． 17．（2022春•河东区期末）中，，，，则　　． 【解答】解：设，由余弦定理得， 即， 整理得， 由于，解得，即． 故答案为：5． ( 考点0 5 判断三角形形状 ) 18．（2022春•和平区期末）若，且，那么△是（　　） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【解答】解：， ， ， ， ， 根据余弦定理有， ， ， ， ， 又由， 则，即， 化简可得，， 即， △是等边三角形 故选：． 19．（2022春•和平区校级期末）在△中，若，，则△的形状为（　　） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【解答】解：在△中，若， 利用正弦定理：； ， 故； 由于， 故或， 由于， 所以：； 故； 所以； 所以△为等边三角形； 故选：． 20．（2020春•东丽区校级期末）已知△的内角，，所对的边分别为，，，下列四个命题中正确的是（　　） A．若，，，则只有一解 B．若，则△一定是锐角三角形 C．若，则△一定是等腰三角形 D．若，则△一定是等腰三角形 【解答】解：对于，根据正弦定理，可得，结合可知有2解，故错误； 对于，△中，，角为锐角，但△不一定是锐角三角形，故错误； 对于，若，，即，则△是等腰三角形，故正确； 对于，若，则由正弦定理得，即，则或，即或，则△为等腰三角形或直角三角形，故错误； 故选：． ( 考点0 6 正余弦定理边角互化的应用 ) 21．（2025春•天津期末）在△中，内角，，所对边分别为，，，若，，则（　　） A． B． C． D． 【解答】解：因为，， 所以由正弦定理可得，， 由余弦定理可得：，即， ， 所以，． 故选：． 22．（2024春•西青区期末）已知，，分别为三个内角，、的对边，且，则角　　． 【解答】解：由正弦定理可得：， 在三角形中，，则， 因为，所以． 故答案为：． 23．（2025春•南开区期末）在△中，已知，则角为（　　） A． B． C． D．或 【解答】解：因为，即， 由余弦定理可得， 又因为， 所以． 故选：． 24．（2021春•红桥区期末）在中，内角，，所对的边分别是，，，若，则角的大小为 　　． 【解答】解：，又，所以． 故答案为． 25．（2022秋•天津期末）在中，角，，所对的边分别为，，．已知，，． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求的值； （Ⅲ）求的值． 【解答】解：（Ⅰ）因为， 所以由余弦定理可得， 可得， 又为的内角， 所以； （Ⅱ）由，可得， 由（Ⅰ）知， 又因为， 则由正弦定理得：； （Ⅲ）因为，， 所以． 26．（2022秋•河北区校级期末）在中，内角、、的对边分别为，，，． （Ⅰ）求角的大小； （Ⅱ）若，．求： （ⅰ）边长； （ⅱ）的值． 【解答】解：（Ⅰ）由已知及正弦定理得 ，， ， （Ⅱ）（ⅰ）因为，， 由余弦定理得， （ⅱ）由， 因为为锐角，所以 ， 27．（2024春•和平区校级期末）在中，内角，，所对的边分别为，，，已知． （Ⅰ）求角的大小； （Ⅱ）设，， （ⅰ）求， （ⅱ）求的值． 【解答】解：（1）在中，由正弦定理，可得， 又由，得，即， 又因为，可得． （Ⅱ）（ⅰ）在中，由余弦定理及，，， 有， 故． （ⅱ）由，可得， 因为，故． 因此，， 所以． ( 考点0 7 三角形的面积问题 ) 28．（2025春•天津校级期末）在△中，角，，的对边分别是，，，已知，，三角形的面积为6，则（　　） A．65 B．17 C． D． 【解答】解：因为，，△的面积为6， 所以， 所以， 由余弦定理， 可得， 所以． 故选：． 29．（2024秋•和平区期末）在△中，角，，所对的边分别为，，，． （Ⅰ）求角的大小； （Ⅱ）若． 求△的面积； 求的值． 【解答】解：（Ⅰ）因为， 由余弦定理可得， 整理可得：， 再由余弦定理可得， 而， 解得； （Ⅱ）因为，由余弦定理可得， 即， 整理可得，可得或（舍， 所以， 所以； 由正弦定理可得：，即，可得， 因为，所以为锐角，所以， 所以，， 所以． 30．（2024秋•天津期末）在△中，内角，，所对的边分别为，，，且，，△的面积为，． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求的值； （Ⅲ）求的值． 【解答】解：（Ⅰ）因为 ， 在△中，， 由正弦定理可得， 所以，而， 所以； （Ⅱ）因为，可得，① 再由余弦定理可得，， 即，可得，② 由①②可得，为方程的根，而， 所以； （Ⅲ）由（Ⅰ），（Ⅱ）及正弦定理可得，即， 可得， 又因为， 所以为锐角，所以， 所以，， 所以． 31．（2025春•红桥区期末）在△中，内角，，所对的边分别是，，，已知，，，． （1）求的值； （2）求的值； （3）求△面积的值． 【解答】解：（1）因为， 所以， 由正弦定理得，，即， 解得． （2）由余弦定理知，， 所以， 整理得，即， 解得或， 由于，所以． （3）因为，且， 所以， 所以． 32．（2025春•和平区期末）已知△的内角，，所对的边分别为，，，． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求△的面积． 【解答】解：（Ⅰ）由正弦定理及，得， 由余弦定理得，， 所以， 解得． （Ⅱ）由（1）可得， 所以△的面积． 33．（2025春•河北区期末）已知函数． （Ⅰ）求的最小正周期； （Ⅱ）求的单调递增区间； （Ⅲ）在△中，角，，所对的边分别为，，，若（C），，且△的面积为，求的值． 【解答】解：由题意， （Ⅰ）的最小正周期； （Ⅱ）令，，，解得，，， 可得的单调递增区间为，，； （Ⅲ）在△中，角，，所对的边分别为，，，因为（C），可得， 又，，， 可得，或，解得或0（舍去）， 又，且△的面积为，解得， 所以． 34．（2025春•天津期末）在△中，，，分别是角，，的对边，若：． （1）求角的大小． （2）若是的中点，，求△面积的最大值； （3）若在△所在平面内，满足，且，求实数的值． 【解答】解：（1）由于， 可得， 则， 又， 所以， 又， 可得； （2）因为是的中点， 所以， 则 ， 可得， 又， 可得，当且仅当时取等号， 所以， 可得△面积的最大值为； （3）由， 可知为△的外心， 设△的外接圆为单位圆，以为原点，为的正半轴， 因为，，， 则，，，， 所以， 由， 可得， 则化简得，可得或， 可得或， 又， 当时，所以，代入上式可得， 当时，所以，代入上式可得， 所以． 35．（2025春•天津期末）勾股定理是初等几何中最精彩、最著名的定理之一，是几何学的明珠，它不仅揭示了直角三角形三边之间的数量关系，而且体现了“数形统一”的思想，对我们解决直角三角形类问题的帮助很大．如果一个直角三角形的周长等于，则该三角形面积的最大值为 ． 【解答】解：设直角三角形的两直角边长分别为，，则斜边长为， 因为直角三角形的周长为，所以， 由，当且仅当时，等号成立， 所以，即， 所以，即三角形面积的最大值为． 故答案为：． 36．（2025春•天津期末）在△中，，，为角，，对应的边，为△的面积，且满足如下条件：． （Ⅰ）求角； （Ⅱ）若，求△面积的最大值； （Ⅲ）△为锐角三角形，且，若恒成立，求实数的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）因为， 所以， 由正弦定理得， 整理得， 由余弦定理得， 又，所以； （Ⅱ）由， 得， 则， 从而， 由余弦定理， 可得， 因为， 所以，所以， 当且仅当时等号成立， 从而， 所以△面积的最大值为； （Ⅲ）由，及正弦定理可得：，， 因为，所以， 则 ， 因为△为锐角三角形， 所以， 所以，， 令， 则， 因为二次函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，则， 所以实数的取值范围是． ( 考点0 8 三角形的周长问题 ) 37．（2024春•金凤区校级期末）的内角，，的对边分别为，，，已知． （1）求的值； （2）若，的面积为，求的周长． 【解答】解：（1）已知， 代入正弦定理得， 即，又，则． （2）由于，则， 的面积为，则，所以． 由已知及余弦定理得，所以， 从而，， 所以的周长为． 38．（2022秋•河西区校级期末）已知△的内角、、的对边分别为、、，满足已知． （1）求角的大小； （2）若，求的值； （3）若△的面积为，，求△的周长． 【解答】解：（1）， 由正弦定理得， 从而有， ， ， ， ； （2）由已知得，， ，， ， （3）， ， 由余弦定理得，， 即，解得， 的周长为． 39．（2024春•南开区校级期末）已知，，分别是△的内角，，的对边，且． （1）求． （2）若，△的面积为，求△的周长． （3）在（2）的条件下，求的值． 【解答】解：（1）由，得， 由正弦定理和两角和的正弦展开式，得， 所以． （2）因为，且， 由，，解得，所以， 又由余弦定理和上问，可得，解得， 将代入上式可得，解得， 所以，△的周长为． （3）因为，① 由（2）知，等腰△中，，， 所以，， 代入①得，． 40．（2024春•河北区期末）已知的内角，，所对的边分别为，，，设向量，，且． （Ⅰ）求角的大小； （Ⅱ）若，的面积为，求的周长， 【解答】解：（Ⅰ）由，，且， 可得：， 由正弦定理可得， 整理得， 由余弦定理可得， 所以，又，所以； （Ⅱ）由，可得， 解得，又， 由余弦定理，可得， 即，解得， 所以的周长为． 41．（2023春•南开区期末）已知的内角，，的对边分别是，，，且，． （1）求角； （2）求周长的取值范围． 【解答】解：（1）因为， 由正弦定理可得， 整理得， 由余弦定理可得， 又， 所以． （2）由正弦定理， 可得， 则周长 ， 因为， 则， 可得， 所以周长， 即周长的取值范围为，． 42．（2023春•南开区校级期末）在中，角，，所对的边分别为，，，已知． （Ⅰ）求； （Ⅱ）已知， 若的面积为，求的周长： 求周长的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）由题意及正弦定理可得：， 整理可得：， 即，在三角形中，可得， 即， 解得； （Ⅱ）因为，可得， 由余弦定理可得，而， 即，解得， 所以三角形的周长为； ，而， 所以，当且仅当时取等号， 解得，而， 所以，． 所以三角形的周长为，． ( 考点0 9 与三角恒等变换的综合 ) 43．（2025秋•和平区期末）在△中，角，，所对的边分别为，，，已知． （Ⅰ）求角的大小； （Ⅱ）若，． 求的值； 求的值． 【解答】解：（Ⅰ）由正弦定理及二倍角公式， 可得，又因为，，所以，， 解得，由，故； （Ⅱ）将，，代入余弦定理解得，； 因为，故，， 由正弦定理，解得，由， 故，代入． 44．（2025秋•西青区期末）在△中，角，，的对边分别为，，，且，，． （1）求的值； （2）求的值． 【解答】解：（1）由正弦定理及， 得：， 又因为， 所以； （2）由（1）知，又，， 根据余弦定理，， 又因为且， 所以， 又因为， ， 所以． 45．（2025秋•天津校级期末）在△中，角，，所对的边分别为，，．满足 （1）求角的大小； （2）设， （ⅰ）求的值； （ⅱ）求的值． 【解答】解：（1）， ， ， ，故，则， 又，； （2）由（1）知，，且，， （ⅰ），即， 化简，解得（舍，， ； （ⅱ）由， 则， 则，， ． 46．（2025秋•南开区期末）在△中，角，，所对的边分别为，，，且，，． （Ⅰ）求； （Ⅱ）求； （Ⅲ）求的值． 【解答】解：（Ⅰ）由，及正弦定理得， 从而，所以，所以； （Ⅱ）由，，及余弦定理得，解得，从而； （Ⅲ）由（Ⅰ）得，所以， ， 所以． 47．（2025秋•河西区期末）在中，内角，，所对的边分别为，，．已知，，又知． （Ⅰ）求角的大小、边的长： （Ⅱ）求的值． 【解答】解：（Ⅰ）． ， 由正弦定理可得， ， ，可得， ，，， ，可得． ，， 由余弦定理可得． （Ⅱ），，． 由正弦定理，可得，，，， ． 48．（2025秋•红桥区期末）在△中，内角，，所对的边分别是，，，已知． （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值． 【解答】解：（1）因为，，， 由正弦定理得，即， 所以， 由余弦定理， 所以； （2）因为，在△中，可得； 由正弦定理，即， 可得； （3）因为， ； 所以． 49．（2025春•天津校级期末）在△中，角，，所对的边分别为，，，且，，． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求的值； （Ⅲ）求的值． 【解答】解：（Ⅰ）因为，， 由正弦定理可知，故， 则， 由余弦定理，得， 故； （Ⅱ），，则， 由正弦定理，得； （Ⅲ）因为，故为锐角，则， ， ， 则． ( 考点 10 角平分线、中线、高线问题 ) 50．（2023春•天津期末）已知中，，，分别为角，，的对边，且． （1）求角； （2）若，，为角的平分线，求的长； （3）若，求锐角面积的取值范围． 【解答】（1）由得， ，， ，； （2）设，由得． 解得，即角平分线的长度为； （3）设外接圆半径为，由， 即，， 的面积， ，，， ， ，，，，， ，， ． 51．（2025春•滨海新区校级期末）在△中，角，，所对的边分别为，，，，，． （1）求； （2）若，，，求△的面积； （3）若是的平分线与的交点，且，求的最小值． 【解答】解：（1）因为，， 所以， 又， 所以， 即， 由正弦定理得，， 因为， 所以， 又，所以，即， 因为，所以，所以，即． （2）由， 所以 因为，，， 所以，解得（舍或， 所以． （3）因为， 所以， 所以，即， 所以，当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为． 52．（2024春•和平区期末）在中，角，，所对的边分别为，，，已知为边上的中线，点、分别为边与上的动点，若直线与交于点，且，，且满足． （Ⅰ）求边的长度； （Ⅱ）若的面积是面积的4倍，求的最小值． 【解答】解：因为， 由正弦定理得， 由余弦定理得， 所以，故； （Ⅱ）设，，， 因为， 所以， 即，即，① 因为， 所以， ， 即，整理有，解得，② 由①②得， 因为， ， 所以 ， 又，且等号不同时取得，即， 此时为单调递减函数， 因此当时，． ( 考点 11 解三角形的最值问题 ) 53．（2022春•和平区期末）是钝角三角形，角，，所对的边分别为，，，，，则最大边的取值范围是 　． 【解答】解：是钝角三角形，最大边为，角为钝角， 在中，由余弦定理得： ，解得， ， ， 最大边的取值范围是，． 故答案为：，． 54．（2025秋•和平区校级期末）在△中，内角、、的对边分别为、、，且． （1）求角； （2）若△是锐角三角形，且，求的取值范围． 【解答】解：（1）因为， 由正弦定理可得， 因为、，则， 所以，， 则有，故； （2）因为△为锐角三角形， 则，所以， 所以，则， 由正弦定理可得， 所以，， 即的取值范围是． 55．（2024春•东丽区校级期末）△的内角，，的对边分别为，，，已知． （1）求角的大小； （2）若，，求△的面积； （3）若△锐角三角形，且外接圆直径为，求的取值范围． 【解答】解：（1）由正弦定理及，得， 所以， 因为， 所以， 又，所以． （2）由余弦定理知，， 所以， 解得， 所以△的面积． （3）由正弦定理知，， 所以，， 因为△是锐角三角形， 所以，解得， 所以， 令，，则， 由对勾函数的性质知，当时，函数单调递减；当时，函数单调递增， 所以当时，；当时，；当时，， 因为，所以， 所以， 所以，， 故的取值范围为，． ( 考点 12 解三角形的实际应用 ) 56．（2025春•西青区期末）在我区杨柳青的大运河畔，有一座建于明代万历四年的馆阁式建筑——文昌阁．在天津市的文化地标中，文昌阁因其悠久的历史和独特的建筑风格，被认为是一个重要的文化遗产．如图，某校高一年级张华同学参加了主题为《追寻历史足迹，传承运河文化》测量文昌阁高度的实践活动．该同学在文昌阁塔的正西方向找到一座建筑物，高约为，，，三点共线，在地面上点处测得建筑物顶部与文昌阁顶部的仰角分别为和，在处测得塔顶部的仰角为，则文昌阁的高度约为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：在直角△中，，，则， 在△中，，，所以， 由正弦定理得，即，解得， 所以，在等腰直角△中，直角边． 故选：． 57．（2024春•西青区期末）天津广播电视塔是律门十景之一，被人们称为“天塔”，建成于1991年．它普是亚洲第一高塔，现为集广播电视，观光旅游、娱乐餐饮于一体的级景区，某校一项目学习小组开展数学建模活动，欲测量天塔的高度，在天塔湖岸边上，选取与塔底在同一水平面内的两个观测点，．测得，，在、两观测点处测得天塔顶部的仰角分别为，，则天塔的高约为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：设， 在直角三角形中，，则， 在直角三角形中，，则， 在三角形中，，， 由余弦定理可得：， 即，解得，即． 故选：． 58．（2025春•滨海新区校级期末）如图，为测量某塔的高度，在地面上选择一个观测点，在处测得处的无人机和塔顶的仰角分别为，无人机距地面的高度为45米，且在处无人机测得点的仰角为，点，，在同一条直线上，则该塔的高度为 　　米． 【解答】解：由题意，在中，， 在中，，， 可得， 由正弦定理，得， 又在中，（米． 故答案为：90． 59．（2023春•西青区期末）第四届数字中国建设峰会将于2021年4月25日至26日在福州举办，福州市以此为契机，加快推进“光网”双千兆城市建设．如图，某县区域地面有四个基站，，，．已知，两个基站建在江的南岸，距离为；基站，在江的北岸，测得，，，，则，两个基站的距离为　　 A． B． C． D． 【解答】解：在中，，， 所以，即， 根据等角对等边，得． 在中，． 由正弦定理得，， 解得， 在中，由余弦定理得， ， 解得，即两个基站、之间的距离为． 故选：． 60．（2023春•和平区期末）如图，一艘船向正北方向航行，航行速度为每小时海里，在处看灯塔在船的北偏东的方向上．1小时后，船航行到处，在处看灯塔在船的北偏东的方向上，则船航行到处时与灯塔之间的距离为（　　） A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 【解答】解：由题意可知海里，，， 所以， 所以，，所以， 在△中，由正弦定理可得， 即，解得海里， 故选：． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $