第6章 平面向量及其应用 章末复习方案（Word教参）-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教版2024）

章末复习方案 探究一　平面向量的线性运算 在进行向量的线性运算时，要能把向量转化到三角形、多边形或平行四边形中，熟练运用三角形法则构成“首尾相连”回路，或平行四边形法则，并结合三角形中的中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何知识，结合实数与向量的积，逐步将未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量求解．当M是线段AB的中点时，＝(＋)是中点公式的向量形式，应当作公式记忆．当已知向量的坐标容易建立坐标系时，常用向量的坐标运算解向量的线性运算问题． 【真题1】 (1)(2022·新课标Ⅰ)在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA，记＝m，＝n，则＝(　　) A．3m－2n B．－2m＋3n C．3m＋2n D．3m＋2n (2)(2024·上海)已知k∈R，a＝(2,5)，b＝(6，k)，且a∥b，则k的值为________. 解析　(1)由题意得＝，根据向量的运算法则，可得＝＋＝＋＝＋(－)＝＋－，化简得＝－，即＝3－2＝3n－2m.故选B项． (2)因为a∥b，所以2k＝5×6，解得k＝15. 答案　(1)B　(2)15 探究二　平面向量的数量积及其几何意义 在解决与平面几何有关的数量积问题时，充分利用向量的线性运算，将所求向量用共同的基底表示出来，再利用平面向量数量积的运算法则求解．注意向量的数量积不满足消去律和结合律．根据向量数量积定义的变形还可以求夹角和模． 【真题2】 (1)(2024·新课标Ⅰ)已知向量a＝(0,1)，b＝(2，x)，若b⊥(b－4a)，则x＝(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 (2)(2024·新课标Ⅱ)已知向量a，b满足|a|＝1，|a＋2b|＝2，且(b－2a)⊥b，则|b|＝(　　) A． B． C． D．1 解析　(1)因为b⊥(b－4a)，所以b·(b－4a)＝0，所以b2－4a·b＝0，即4＋x2－4x＝0，故x＝2.故选D项． (2)因为(b－2a)⊥b，所以(b－2a)·b＝0，即b2＝2a·b，又因为|a|＝1，|a＋2b|＝2，所以1＋4a·b＋4b2＝1＋6b2＝4，从而|b|＝.故选B项． 答案　(1)D　(2)B 【真题3】 (1)(2022·新课标Ⅱ)已知向量a＝(3,4)，b＝(1,0)，c＝a＋tb，若〈a，c〉＝〈b，c〉，则t＝(　　) A．－6 B．－5 C．5 D．6 (2)(2024·天津)在边长为1的正方形ABCD中，点E为线段CD的三等分点，CE＝DE，＝λ＋μ，则λ＋μ＝________；若F为线段BE上的动点，G为AF的中点，则·的最小值为________. 解析　(1)由题意得，c＝a＋tb＝(3＋t,4)，cos〈a，c〉＝cos〈b，c〉，所以＝，即＝，解得t＝5.故选 C项． (2)方法一　因为CE＝DE，即＝，则＝＋＝＋，可得λ＝，μ＝1，所以λ＋μ＝；由题意可知||＝||＝1，·＝0，因为F为线段BE上的动点，设＝k＝k＋k，k∈[0,1]，则＝＋＝＋k＝＋k，又因为G为AF的中点，则＝＋＝－＋＝＋，可得·＝·＝2＋k＝2－，又因为k∈[0,1]，所以当k＝1时，·取到最小值－. 方法二　以B为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示，则A(－1,0)，B(0,0)，C(0,1)，D(－1,1)，E，可得＝(－1,0)，＝(0,1)，＝，因为＝λ＋μ＝(－λ，μ)，则所以λ＋μ＝；因为点F在线段BE：y＝－3x，x∈上，设F(a，－3a)，a∈，且G为AF的中点，则G，可得＝(a＋1，－3a)，＝，则·＝＋(－3a)＝52－，且a∈，所以当a＝－时，·取到最小值－. 答案　(1)C　(2)　－ 探究三　应用正、余弦定理解三角形 解斜三角形的常规思维方法 (1)已知两角和一边(如A，B，c)，由A＋B＋C＝π求C，由正弦定理求a，b. (2)已知两边和夹角(如a，b，C)，应用余弦定理求c；再应用正弦定理求较短边所对的角，然后利用A＋B＋C＝π求另一角． (3)已知两边和其中一边的对角(如a，b，A)，应用正弦定理求B，由A＋B＋C＝π求C，再由正弦定理或余弦定理求c，要注意解可能有多种情况，也可设出第三边，利用余弦定理建立方程，解方程即可． (4)已知三边a，b，c，应用余弦定理求A，B，再由A＋B＋C＝π求角c.熟练运用余弦定理、正弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用． 【真题4】 (1)(2023·全国甲)在△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝2，BC＝，∠BAC的角平分线交BC于D，则AD＝________. (2)(2024·新课标Ⅱ)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin A＋cos A＝2. ①求A； ②若a＝2，bsin C＝csin 2B，求△ABC的周长． 解析　(1)如图，记AB＝c，AC＝b，BC＝A. 方法一　由余弦定理可得22＋b2－2×2×b×cos 60°＝6，因为b>0，解得b＝1＋. 由S△ABC＝S△ABD＋S△ACD可得×2×b×sin 60°＝×2×AD×sin 30°＋×AD×b×sin 30°，解得AD＝＝＝2. 方法二　由余弦定理可得22＋b2－2×2×b×cos 60°＝6，因为b>0，解得b＝1＋. 由正弦定理可得＝＝，解得sin B＝，sin C＝， 因为1＋>>，所以C＝45°，B＝180°－60°－45°＝75°， 又∠BAD＝30°，所以∠ADB＝75°，即AD＝AB＝2. 答案　2 (2)①方法一　由sin A＋cos A＝2可得sin A＋cos A＝1，即sin＝1，由于A∈(0，π)⇒A＋∈，故A＋＝，解得A＝. 方法二　由sin A＋cos A＝2，sin2 A＋cos2A＝1，消去sin A得4cos2A－4cos A＋3＝0⇔(2cos A－)2＝0，解得cos A＝，又A∈(0，π)，故A＝. ②由题设条件和正弦定理得bsin C＝csin 2B⇔·sin Bsin C＝2sin Csin Bcos B，又B，C∈(0，π)，则sin Bsin C≠0，进而cos B＝，得B＝，于是C＝π－A－B＝，所以sin C＝sin(π－A－B)＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋sin Bcos A＝，由正弦定理可得＝＝，即＝＝，解得b＝2，c＝＋，故△ABC的周长为2＋＋3. 【真题5】 (2023·新课标Ⅰ)已知在△ABC中，A＋B＝3C,2sin(A－C)＝sinB． (1)求sin A； (2)设AB＝5，求AB边上的高． 解析　(1)因为A＋B＝3C，所以π－C＝3C，即C＝， 又2sin(A－C)＝sin B＝sin(A＋C)， 所以2sin Acos C－2cos Asin C＝sin Acos C＋cos Asin C， 所以sin Acos C＝3cos Asin C， 所以sin A＝3cos A，即tan A＝3，所以0<A<， 所以sin A＝＝. (2)由(1)知，cos A＝＝， 由sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝＝， 由正弦定理＝，得AC＝＝2，所以AB·h＝AB·AC·sin A， 所以h＝AC·sin A＝2×＝6. 探究四　正、余弦定理的综合应用 用公式S△＝absin C来求△ABC的面积是在已知两边及夹角的前提下来进行的，事实上，两边及夹角中的某个(或两个)量需要通过解三角形求出，这就需要先利用正、余弦定理解三角形．求解此类三角形的基本量的技巧：先将几何问题转化为代数问题，正确分析已知等式中的边角关系，利用正弦定理、余弦定理、任意三角形面积公式等工具进行三角形中边角的互化，然后利用三角形的内角和定理、大边对大角等知识求出所需要的量． 【真题6】 (2024·新课标Ⅰ)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin C＝cos B，a2＋b2－c2＝ab. (1)求B； (2)若△ABC的面积为3＋，求c． 解析　(1)由余弦定理有a2＋b2－c2＝2abcos C，对比已知a2＋b2－c2＝ab，可得cos C＝＝＝，因为C∈(0，π)，所以sin C>0，从而sin C＝＝＝，又因为sin C＝cos B，即cos B＝，且B∈(0，π)，所以B＝. (2)由(1)可得B＝，cos C＝，C∈(0，π)，从而C＝，A＝π－－＝，而sin A＝sin＝sin＝×＋×＝，由正弦定理有＝＝，从而a＝·c＝c，b＝·c＝c，由三角形面积公式可知，△ABC的面积可表示为S△ABC＝absin C＝·c·c·＝c2，由已知△ABC的面积为3＋，可得c2＝3＋，所以c＝2. 【真题7】 (2023·全国甲)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝2. (1)求bc； (2)若－＝1，求△ABC的面积． 解析　(1)因为a2＝b2＋c2－2bccos A，所以＝＝2bc＝2，解得bc＝1. (2)由正弦定理得－ ＝－ ＝－ ＝＝1， 变形可得sin(A－B)－sin(A＋B)＝sin B， 即－2cos Asin B＝sin B， 而0<sin B≤1，所以cos A＝－，又0<A<π，所以sin A＝， 故△ABC的面积为S△ABC＝bcsin A＝×1×＝. 探究五　余弦定理、正弦定理的实际应用 解决解三角形的实际应用问题的关键是建立三角形或三角函数模型，转化为数学问题；求解三角形的实际应用题的实质还是解三角形．实际问题中用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型有：测量高度问题、距离问题、角度问题．应熟练掌握实际问题中的常用角(即仰角、俯角、方向角、方位角和坡角)的有关概念． 【真题8】 信阳南湾湖以源远流长的历史遗产，浓郁丰厚的民俗风情而著称；以幽、朴、秀、奇的独特风格，山、水、林、岛的完美和谐而闻名，是融自然景观、人文景观、森林生态环境、森林保健功能于一体，是河南省著名的省级风景区．如图，为迎接第九届开渔节，某渔船在湖面上A处捕鱼时，天气预报几小时后会有恶劣天气，该渔船的东偏北θ方向上有一个小岛C可躲避恶劣天气，在小岛C的正北方向有一航标灯D距离小岛25 n mile，渔船向小岛行驶50 n mile后到达B处，测得∠DBC＝45°，BD＝25(－) n mile. (1)求A处距离航标灯D的距离AD； (2)求cos θ的值． 解析　(1)因为AB＝50，BD＝25(－)，∠DBC＝45°， 所以在△ABD中，由余弦定理得AD2＝AB2＋BD2－2AB·BDcos 135°＝502＋2－2×50×25(－)×＝5 000，所以AD＝50 n mile. (2)因为∠BCD＝90°＋θ，在△BCD中，由正弦定理得＝，所以cos θ＝sin(90°＋θ)＝＝－1. 学科网（北京）股份有限公司 $$