专题01 二次根式相关【重难点培优：知识梳理+七大题型+压轴真题】-2024-2025学年八年级数学下册人教版

专题01 二次根式相关重难点题型分类 【题型1：二次根式中参数问题】 【题型2：二次根式中分母有理化问题】 【题型3：复合型二次根式的化简问题】 【题型4：二次根式的大小比较】 【题型5：二次根式与数轴】 【题型6：二次根式的应用】 【题型7：压轴真题】 二次根式中参数问题题型1 1．已知n是一个正整数，是整数，则n的最小值为（    ） A．4 B．6 C．7 D．14 【详解】解：， ∵是整数，n是一个正整数， ∴n的最小值是7． 故选：C． 2．已知是整数，则自然数x的所有取值为 ． 【详解】解：由已知得， 又∵为整数 为完全平方数， 或或或 自然数x的所有取值为：． 3．已知n是正整数，是整数，则n的最小值为 　 　． 【详解】解：∵， 又∵n是正整数，是整数， ∴n的最小值是6． 故答案为：6． 4．已知n是正整数，是整数，则n的最小值为 　 　． 【详解】解：∵n是正整数，是整数，且n取最小值， ∴13+n＝16． ∴n＝3． 故答案为：3． 5．当x＝　 　时，二次根式取最小值，其最小值为 　 　． 【详解】解：根据题意得x+1≥0， 解得x≥﹣1， 当x＝﹣1时，二次根式取最小值，其最小值为0． 故答案为：﹣1，0． 6．（1）已知是整数，求自然数所有可能的值； （2）已知是整数，求正整数的最小值． 【详解】（1）∵是整数， ∴，，，，， 解得：，，，，， 则自然数的值为2，9，14，17，18； （2）∵是整数，为正整数， ∴正整数的最小值为． 7. 类比和转化是数学中解决新的问题时最常用的数学思想方法． (1)【回顾旧知，类比求解】 解方程：． 解：去根号，两边同时平方得一元一次方程 ，解这个方程，得 ．经检验， 是原方程的解． (2)【学会转化，解决问题】 ①运用上面的方法解方程：； ②代数式的值能否等于7？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 【详解】（1）解： 去根号，两边同时平方得一元一次方程， 解这个方程，得． 经检验，是原方程的解． （2）解：① 移项，得 去根号，两边同时平方得， 即 解得：， 检验：时，方程左边右边， ∴不是原方程的解，原方程无解； ②若代数式的值等于7，即， 移项，得， 两边同时平方，得， 化简，得， 两边同时平方，得， ∴该方程无解，∴代数式的值不能等于7． 二次根式中分母有理化问题题型2 1. 解决如下问题： (1)分母有理化：． (2)计算：． (3)若a＝，求2a2﹣8a+1的值． 【详解】（1）解：； （2）解：∵， ， ， … ， ， =， =， =45-1， =44； （3）解：a＝， ∴， ∴， ∴． 2．爱思考的嘉淇在做题时遇到这样一个问题：已知，求的值． 他是这样分析与解答的： ∵，， ∴，即 ∴ ∴ 请你根据嘉淇的分析过程，解决如下问题 (1)计算 (2)已知，求的值． 【详解】（1）解：； （2）解： ∴， ∴， 即， ∴， ∴． 3．观察下列运算：； ； ； …… (1)通过观察上面的解答过程得 ， （用含n的式子表示，n为正整数）． (2)化简：． 【详解】（1）解： ； ； （2）解： ． 4．在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰到，，之类的式子，其实我们还可以将其进一步化简，如：；； ． 以上这种化简的过程叫做分母有理化． (1)化简：； (2)化简；； (3)化简：． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解：原式 ． 复合型二次根式的化简问题题型3 1. 下面我们观察：，反之，， ∵ ∴． 仿上例，求： （1）化简：； （2）计算：． 【详解】解：（1）∵ ∴； （2） ． 2. 我们已经学过完全平方公式a2±2ab+b2＝（a±b）2，知道所有的非负数都可以看作是一个数的平方，如，那么，我们可以利用这种思想方法和完全平方公式来计算下面的题： 例：求的算术平方根． 解：， 所以的算术平方根是． 你看明白了吗？请根据上面的方法化简： （1）； （2）． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 3. “分母有理化”是我们常用的一种化简方法，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于，设，易知，故． 由， 解得，即． 根据以上方法，求的值． 【详解】解：设， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴． 4．有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数、，使且，则将将变成，即变成开方，从而使得化简． 例如，， 请仿照上例解下列问题： (1)； (2)． 【详解】（1）解：， ； （2）解：， ． 二次根式的大小比较题型4 1．若，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ， ∵，即， ∵a、b、c都是大于0的实数， ∴， 故选：A． 2．已知，，，那么a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【详解】解：∵， ， ， 而 ∴ 故选A． 3．在二次根式的计算和比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果．例如，比较和的大小，我们可以把a和b分别平方，，则．请利用“平方法”解决下面问题： (1)比较的大小，c__________d（选填“>”、“<”或“=”）； (2)判断之间的大小，并证明． 【详解】（1）解：， 则， 故答案为：>； （2）， 证明：， ， ， ， ． 4. 阅读与思考：请仔细阅读下面的内容，并完成相应任务． 比较与的大小 “善思小组”的思路：将，两个式子分别平方后，再进行比较． “智慧小组”的思路：以，，为三边构造一个△ABC，再利用三角形的三边关系进行比较． 任务： （1）填空： 　 　； （2）①判断△ABC的形状，并说明理由； ②直接判断与的大小； （3）延伸拓展：直接判断与的大小． 【详解】解：（1）（）2＝11+2． 故答案为：； （2）①△ABC是直角三角形，理由如下： ∵，，， ∴， ∴△ABC是直角三角形； ②∵三角形任意两边之和大于第三边， ∴． 5．老师在延时课时总结定理“对于任意两个正数a，b，如果a＞b，那么”，然后讲解了一道例题：比较和的大小． 解：，． ∵12＜18， ∴． 参考上面例题的解法，解答下列问题： （1）填空： 　 　（填“＞”“＜”或“＝”）； （2）比较与的大小； （3）若，，试比较M，N的大小． 【详解】解：（1）∵，， ∵45＜75， ∴， ∴， 故答案为：＞； （2）∵，， 又∵，即48＜60， ∴， ∴， ∴； （3）∵2＜6，3＜5， ∴， ∴，， ∵，， 又∵，即48＜60， ∴，即， ∴， ∴， ∴，即． 二次根式与数轴题型5 1. 实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（　　） A．﹣2b B．﹣2a C．2b﹣2a D．0 【详解】解：由数轴得，a＜0，b＞0， ∴b﹣a＞0， ∴ ＝|a|+b﹣（b﹣a） ＝﹣a+b﹣b+a ＝0， 故选：D． 2．若，则表示的值的点落在（   ）    A．区域① B．区域② C．区域③ D．区域④ 【详解】解：， ∵， ∴； ∴表示的值的点落在区域③； 故选：C． 3．在数轴上画出表示的点．（要画出作图痕迹） 【详解】试题分析：因为10=9+1，则首先作出以1和3为直角边的直角三角形，则其斜边的长即是．再以原点为圆心，以为半径画弧，和数轴的正半轴交于一点即可． 解：因为10=9+1，则首先作出以1和3为直角边的直角三角形，则其斜边的长即是． 考点：勾股定理；实数与数轴． 4．已知实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简代数式 【详解】解：由数轴可知， ， ∴原式 5. 已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，试化简：． 【详解】解：由实数a，b在数轴上对应点的位置可知b＜﹣1＜0＜a＜1， ∴a﹣b＞0，b﹣1＜0，a﹣1＜0， ∴原式＝|a|+|b|+|a﹣b|+|b﹣1|﹣|a﹣1| ＝a﹣b+a﹣b+1﹣b﹣1+a ＝3a﹣3b． 二次根式的应用题型6 1．2016年6月4日葫芦岛日报报道，南票区住建局已全面加大城镇园林绿化力度，组织环卫工作人员加紧开展9000m2的草坪种植，切实掀起了绿化城区的热潮．若环卫工人在一块长方形的土地上种植草坪，已知该长方形土地的长为m、宽为m． （1）求该长方形土地的周长； （2）若在该长方形土地上种植造价为每平方米2元的草坪，求在该长方形土地上全部种植草坪的总费用（提示：2.45） 【详解】解：（1）由题意可得， 该长方形土地的周长是：（）×2m， 即该长方形土地的周长是m； （2）由题意可得， 在该长方形土地上全部种植草坪的总费用是：9144352.8（元）， 即在该长方形土地上全部种植草坪的总费用352.8元． 2．如果记，并且表示当时的值，即；表示当时的值，即；表示当时的值，即；… （1）计算下列各式的值： __________ . __________ . （2）当为正整数时，猜想的结果并说明理由； （3）求的值. 【详解】解：（1）； . （2）猜想的结果为1. 证明： （3） 3．高空抛物现象被称为“悬在城市上空的痛”，我们应坚决抵制这一行为．据研究，从高处坠落的物品，其下落的时间t（s）和下落高度h（m）近似满足公式（不考虑空气阻力的影响）． （1）小东家住某小区26层，每层楼的高度近似为3m，若从小东家坠落一个物品，则该物品落地的时间为 　 　s（结果保留根号）； （2）某物体从高空落到地面的时间为4s，则该物体的起始高度h＝ 　 　m； （3）资料显示：伤害无防护人体只需要65J的动能，从高空下落的物体产生的动能E（单位：J）可用公式E＝mgh计算，其中，m为物体质量（单位kg），g≈10N/kg，h为高度（单位：m）．根据以上信息判断，一个质量为150g的玻璃碎片从16层楼下落到地面上，该玻璃碎片在坠落地面时所带能量能伤害到楼下无防护的行人吗？请说明理由． 【详解】解：（1）（26﹣1）×3＝75（m）， 当h＝75时，t， 即该物品落地的时间为； 故答案为：； （2）当t＝4时，4， 解得h＝80（m）； 故答案为：80； （3）能． 理由如下： （16﹣1）×3＝45， 当h＝45，m＝150g＝0.15kg，g≈10N/kg，E＝0.15×10×45＝67.5（J）， ∵67.5J＞65J， ∴该玻璃碎片在坠落地面时所带能量能伤害到楼下无防护的行人． 4. 阅读理解：由 得，；如果两个正数 ，，即，，则有下面的不等式：，当且仅当 时，取到等号． 例如：已知，求式子 的最小值． 解：令 ，，则由 ，得 ， 当且仅当 时，即正数 时，式子有最小值，最小值为4． 请根据上面材料回答下列问题： (1)当，式子 的最小值为 ； (2)如图1，用篱笆围一个面积为50平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米，篱笆周长指不靠墙的三边），这个长方形的长、宽各为多少米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少米？    (3)如图2，四边形 的对角线 相交于点 ，的面积分别是6和12，求四边形 面积的最小值．    【详解】（1）解：令 ，，则由 ，得 ， 当且仅当 时，即正数 时，式子有最小值，最小值为6． （2）解：设这个长方形垂直于墙的一边的长为x米，则平行于墙的一边为米， 则， ∴， ∴所用篱笆的长为米， ∵当且仅当时，的值最小，最小值为20， ∴或（舍去）． ∴这个长方形的长、宽分别为10米，5米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是20米． （3）解：设点B到的距离为，点D到的距离为， 又∵、的面积分别是6和12， ∴，， ∴， ∴ ∵． ∴当且仅当时，取等号，即的最小值为， ∴四边形面积的最小值为． 压轴真题题型7 1．（2024春•南岸区期中）若代数式有意义，则实数x的取值范围是（　　） A．x≠3 B．x＞0 C．x＞0且x≠3 D．x≥0且x≠3 【详解】解：由题意得，， 解得x≥0且x≠3， 故选：D． 2．（2024秋•新华区校级期中）若，则实数a的取值范围是（　　） A．a＜6 B．a≤6 C．a＞6 D．a≥6 【详解】解：∵|a﹣6|，， ∴6﹣a≥0． ∴a≤6． 故选：B． 3．（2024秋•秦安县校级月考）若在实数范围内成立，则x的取值范围是（　　） A．x≥0 B．x≥4 C．0≤x＜4 D．x＞4 【详解】解：∵， ∴x≥0，x﹣4＞0， 解得x＞4， 故选：D． 4．（2024秋•海口期末）若•成立，则x的取值范围是　 　． 【详解】解：要使原式成立，必须x﹣2≥0，3﹣x≥0， 解得：2≤x≤3，故答案为：2≤x≤3． 5．（2024秋•七星关区校级期中）若与最简二次根式能合并同类项，则m的值为 　 　． 【详解】解：3， ∵与最简二次根式能合并同类项， ∴m﹣1＝2， 解得m＝3， 故答案为：3． 6．（2024秋•雁塔区校级期中）是二次根式的一条重要性质，请利用该性质解答下列问题． （1）化简： 　 　， 　 　． （2）已知实数a，b在数轴上的对应点如图所示，化简． 【详解】解：（1）根据题意可知；． 故答案为：4；π﹣3． （2）由数轴可知a＜0＜1＜b，则1﹣a＞0，1﹣b＜0， ∴|a|＝﹣a，|1﹣a|＝1﹣a，|1﹣b|＝﹣（1﹣b）． 原式＝|a|﹣|1﹣a|+|1﹣b| ＝﹣a﹣（1﹣a）﹣（1﹣b） ＝﹣a﹣1+a﹣1+b ＝b﹣2． 7．（24-25九年级上·河南南阳·阶段练习）已知，且为偶数，求的值． 【详解】解：∵， ∴ 解得，， ∵为偶数，， ∴， ∴ ． 8．（23-24八年级上·上海·阶段练习）先化简，再求值：，其中. 【详解】解：原式 当时， 原式 9．（23-24八年级上·上海嘉定·期中）已知，求的值 【详解】解:∵， ∴， ∴， 故答案为5. 10．（2021九年级·北京·专题练习）已知，，求的值． 【详解】解：∵，， ∴原式 ． 11．（24-25八年级上·山东青岛·期中）已知． (1)计算：当时，___________，___________； 当时，___________，___________； 当时，___________，___________； (2)猜想：无论为任何非负数时，___________始终成立（填“”，“”，“”，“”或“”）； (3)请说明（）中猜想的合理性． 【详解】（1）解：当时，，， 故答案为：，； 当时，，， 故答案为：，； 当时，，； 故答案为：，； （2）解：猜想：无论为任何非负数时，， 故答案为：； （3）证明：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴． 12．（23-24八年级上·江西抚州·阶段练习）运用分类讨论的方法，请你解答下列问题： (1)当时，化简：______； (2)若等式成立，则a的取值范围是______； (3)若，求a的值． 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2）， 当时，上式； 当时，上式， ∵， ∴，不符合题意； 当时，上式，不符合题意； ∴a的取值范围是； （3） 当时，，解得：； 当时，， 当时，，解得：； 综上：或． 13．（23-24八年级上·四川成都·阶段练习）已知，． （1）求的值． （2）求值． 【详解】（1）， ， ，， ． （2），， ，， ． 14．（2024秋•薛城区期中）下面我们观察：，反之，， ∵ ∴． 仿上例，求：（1）化简：； （2）计算：． 【详解】解：（1）∵ ∴； （2） ． 15．（23-24八年级下·河北沧州·期中）在数学课外学习活动中，嘉琪遇到一道题：已知，求2a2﹣8a+1的值．他是这样解答的： ∵， ∴． ∴（a﹣2）2＝3，即a2﹣4a+4＝3． ∴a2﹣4a＝﹣1． ∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1． 请你根据嘉琪的解题过程，解决如下问题： （1）试化简和； （2）化简； （3）若，求4a2﹣8a+1的值． 【详解】解：（1） 故答案为：，； （2）原式 ； （3）， ， ， 即． ． ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 二次根式相关知识梳理 二次根式的常用公式： 二次根式的性质 二次根式的乘法 二次根式的乘法扩展 二次根式的除法 二次根式的除法扩展 重难点题型分类 【题型1：二次根式中参数问题】 【题型2：二次根式中分母有理化问题】 【题型3：复合型二次根式的化简问题】 【题型4：二次根式的大小比较】 【题型5：二次根式与数轴】 【题型6：二次根式的应用】 【题型7：压轴真题】 二次根式中参数问题题型1 1．已知n是一个正整数，是整数，则n的最小值为（    ） A．4 B．6 C．7 D．14 2．已知是整数，则自然数x的所有取值为 ． 3．已知n是正整数，是整数，则n的最小值为 　 　． 4．已知n是正整数，是整数，则n的最小值为 　 　． 5．当x＝　 　时，二次根式取最小值，其最小值为 　 　． 6．（1）已知是整数，求自然数所有可能的值； （2）已知是整数，求正整数的最小值． 7. 类比和转化是数学中解决新的问题时最常用的数学思想方法． (1)【回顾旧知，类比求解】 解方程：． 解：去根号，两边同时平方得一元一次方程 ，解这个方程，得 ．经检验， 是原方程的解． (2)【学会转化，解决问题】 ①运用上面的方法解方程：； ②代数式的值能否等于7？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 二次根式中分母有理化问题题型2 1. 解决如下问题： (1)分母有理化：． (2)计算：． (3)若a＝，求2a2﹣8a+1的值． 2．爱思考的嘉淇在做题时遇到这样一个问题：已知，求的值． 他是这样分析与解答的： ∵，， ∴，即 ∴ ∴ 请你根据嘉淇的分析过程，解决如下问题 (1)计算 (2)已知，求的值． 3．观察下列运算：； ； ； …… (1)通过观察上面的解答过程得 ， （用含n的式子表示，n为正整数）． (2)化简：． 4．在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰到，，之类的式子，其实我们还可以将其进一步化简，如：；； ． 以上这种化简的过程叫做分母有理化． (1)化简：； (2)化简；； (3)化简：． 复合型二次根式的化简问题题型3 1. 下面我们观察：，反之，， ∵ ∴． 仿上例，求： （1）化简：； （2）计算：． 2. 我们已经学过完全平方公式a2±2ab+b2＝（a±b）2，知道所有的非负数都可以看作是一个数的平方，如，那么，我们可以利用这种思想方法和完全平方公式来计算下面的题： 例：求的算术平方根． 解：， 所以的算术平方根是． 你看明白了吗？请根据上面的方法化简： （1）； （2）． 3. “分母有理化”是我们常用的一种化简方法，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于，设，易知，故． 由， 解得，即． 根据以上方法，求的值． 4．有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数、，使且，则将将变成，即变成开方，从而使得化简． 例如，， 请仿照上例解下列问题： (1)； (2)． 二次根式的大小比较题型4 1．若，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 2．已知，，，那么a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 3．在二次根式的计算和比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果．例如，比较和的大小，我们可以把a和b分别平方，，则．请利用“平方法”解决下面问题： (1)比较的大小，c__________d（选填“>”、“<”或“=”）； (2)判断之间的大小，并证明． 4. 阅读与思考：请仔细阅读下面的内容，并完成相应任务． 比较与的大小 “善思小组”的思路：将，两个式子分别平方后，再进行比较． “智慧小组”的思路：以，，为三边构造一个△ABC，再利用三角形的三边关系进行比较． 任务： （1）填空： 　 　； （2）①判断△ABC的形状，并说明理由； ②直接判断与的大小； （3）延伸拓展：直接判断与的大小． 5．老师在延时课时总结定理“对于任意两个正数a，b，如果a＞b，那么”，然后讲解了一道例题：比较和的大小． 解：，． ∵12＜18， ∴． 参考上面例题的解法，解答下列问题： （1）填空： 　 　（填“＞”“＜”或“＝”）； （2）比较与的大小； （3）若，，试比较M，N的大小． 二次根式与数轴题型5 1. 实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（　　） A．﹣2b B．﹣2a C．2b﹣2a D．0 2．若，则表示的值的点落在（   ）    A．区域① B．区域② C．区域③ D．区域④ 3．在数轴上画出表示的点．（要画出作图痕迹） 4．已知实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简代数式 5. 已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，试化简：． 二次根式的应用题型6 1．2016年6月4日葫芦岛日报报道，南票区住建局已全面加大城镇园林绿化力度，组织环卫工作人员加紧开展9000m2的草坪种植，切实掀起了绿化城区的热潮．若环卫工人在一块长方形的土地上种植草坪，已知该长方形土地的长为m、宽为m． （1）求该长方形土地的周长； （2）若在该长方形土地上种植造价为每平方米2元的草坪，求在该长方形土地上全部种植草坪的总费用（提示：2.45） 2．如果记，并且表示当时的值，即；表示当时的值，即；表示当时的值，即；… （1）计算下列各式的值： __________ . __________ . （2）当为正整数时，猜想的结果并说明理由； （3）求的值. 3．高空抛物现象被称为“悬在城市上空的痛”，我们应坚决抵制这一行为．据研究，从高处坠落的物品，其下落的时间t（s）和下落高度h（m）近似满足公式（不考虑空气阻力的影响）． （1）小东家住某小区26层，每层楼的高度近似为3m，若从小东家坠落一个物品，则该物品落地的时间为 　 　s（结果保留根号）； （2）某物体从高空落到地面的时间为4s，则该物体的起始高度h＝ 　 　m； （3）资料显示：伤害无防护人体只需要65J的动能，从高空下落的物体产生的动能E（单位：J）可用公式E＝mgh计算，其中，m为物体质量（单位kg），g≈10N/kg，h为高度（单位：m）．根据以上信息判断，一个质量为150g的玻璃碎片从16层楼下落到地面上，该玻璃碎片在坠落地面时所带能量能伤害到楼下无防护的行人吗？请说明理由． 4. 阅读理解：由 得，；如果两个正数 ，，即，，则有下面的不等式：，当且仅当 时，取到等号． 例如：已知，求式子 的最小值． 解：令 ，，则由 ，得 ， 当且仅当 时，即正数 时，式子有最小值，最小值为4． 请根据上面材料回答下列问题： (1)当，式子 的最小值为 ； (2)如图1，用篱笆围一个面积为50平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米，篱笆周长指不靠墙的三边），这个长方形的长、宽各为多少米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少米？    (3)如图2，四边形 的对角线 相交于点 ，的面积分别是6和12，求四边形 面积的最小值．    压轴真题题型7 1．（2024春•南岸区期中）若代数式有意义，则实数x的取值范围是（　　） A．x≠3 B．x＞0 C．x＞0且x≠3 D．x≥0且x≠3 2．（2024秋•新华区校级期中）若，则实数a的取值范围是（　　） A．a＜6 B．a≤6 C．a＞6 D．a≥6 3．（2024秋•秦安县校级月考）若在实数范围内成立，则x的取值范围是（　　） A．x≥0 B．x≥4 C．0≤x＜4 D．x＞4 4．（2024秋•海口期末）若•成立，则x的取值范围是　 　． 5．（2024秋•七星关区校级期中）若与最简二次根式能合并同类项，则m的值为 　 　． 6．（2024秋•雁塔区校级期中）是二次根式的一条重要性质，请利用该性质解答下列问题． （1）化简： 　 　， 　 　． （2）已知实数a，b在数轴上的对应点如图所示，化简． 7．（24-25九年级上·河南南阳·阶段练习）已知，且为偶数，求的值． 8．（23-24八年级上·上海·阶段练习）先化简，再求值：，其中. 9．（23-24八年级上·上海嘉定·期中）已知，求的值 10．（2021九年级·北京·专题练习）已知，，求的值． 11．（24-25八年级上·山东青岛·期中）已知． (1)计算：当时，___________，___________； 当时，___________，___________； 当时，___________，___________； (2)猜想：无论为任何非负数时，___________始终成立（填“”，“”，“”，“”或“”）； (3)请说明（）中猜想的合理性． 12．（23-24八年级上·江西抚州·阶段练习）运用分类讨论的方法，请你解答下列问题： (1)当时，化简：______； (2)若等式成立，则a的取值范围是______； (3)若，求a的值． 13．（23-24八年级上·四川成都·阶段练习）已知，． （1）求的值． （2）求值． 14．（2024秋•薛城区期中）下面我们观察：，反之，， ∵ ∴． 仿上例，求：（1）化简：； （2）计算：． 15．（23-24八年级下·河北沧州·期中）在数学课外学习活动中，嘉琪遇到一道题：已知，求2a2﹣8a+1的值．他是这样解答的： ∵， ∴． ∴（a﹣2）2＝3，即a2﹣4a+4＝3． ∴a2﹣4a＝﹣1． ∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1． 请你根据嘉琪的解题过程，解决如下问题： （1）试化简和； （2）化简； （3）若，求4a2﹣8a+1的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$