精品解析： 浙江省杭州市滨江区2024-2025学年九年级上学期期末数学试卷

2024-2025学年浙江省杭州市滨江区九年级（上）期末数学试卷 一．选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若，则（　　） A. B. C. D. 2. 二次函数的图象与轴的交点坐标是（　　） A. B. C. D. 3. 某农科所在相同条件下做某作物种子发芽率的试验，结果如下表所示： 种子个数 100 300 400 600 1000 2000 3000 发芽种子个数 96 282 382 567 945 1912 2850 发芽种子频率 0.960 0.940 0.955 0.945 0.945 0.956 0.950 则种子发芽的概率估计值是（ ） A. 0.960 B. 0.950 C. 0.945 D. 0.940 4. 如图，点在以为直径的上，连结．若，则（　　） A. B. C. D. 5. 半径等于6的圆中，垂直平分半径的弦长为（　　） A. B. C. D. 6. 设二次函数（是常数，），部分对应值如表： x … 0 1 2 … y … 5 0 … 当时，（ ） A. 5 B. C. D. 0 7. 数轴上有点A、点B，点A表示实数6，点B表示实数b，半径为4．若点A在内，则实数b的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 8. 如图，点，在矩形的边，上，矩形矩形．①若四边形是正方形，则点是线段的黄金分割点．②若，则矩形矩形．上述命题，（　　） A. ①②都正确 B. ①②都错误 C. ①正确②错误 D. ①错误②正确 9. 如图，线段是的直径，点是上一点，设．若，则（　　） A. B. C. D. 10. 已知点均在二次函数图象上，若，则（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 二．填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分． 11. 在比例尺为的地图上，A，B两地间的图上距离为2厘米，则A，B两地间的实际距离是___________千米． 12. 若扇形的圆心角为，半径长为，则该扇形的面积为___________． 13. 某单位组织抽奖活动，共准备100张奖券，其中一等奖10张，二等奖30张，其余的奖券都是三等奖，则从中随机抽出一张奖券中三等奖的概率是___________． 14. 在平面直角坐标系中，顶点的坐标为．若以坐标原点为位似中心，作的位似图形，并把的边长放大2倍，则放大后点的对应点的坐标为___________ 15. 设函数与轴的交点坐标为．若函数，则时自变量的取值范围是___________． 16. 如图，点在的边上，作交于点．交于点．点在线段上，连结并延长，交线段于点，交线段于点．若，则的值是___________． 三．解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 小滨和小江一起进行摸球游戏：在一个不透明的箱子中放有2个白球和2个黑球，小球除颜色不同外其余都相同． 小滨：从该箱子中随机摸出一个球，摸出白球的概率和摸出黑球的概率相同． 小江：从该箱子中随机摸出一个球后不放回，摇匀后再从中摸出一个球．摸出一白一黑的小球的概率和摸出颜色相同的小球的概率相同． 请判断小滨和小江的说法是否正确，并说明理由． 18. 在平面直角坐标系中，已知二次函数图象的顶点坐标是， （1）求该二次函数的表达式． （2）该二次函数图象可由的图象经过怎样平移得到？ 19. 如图，点是的边延长线上一点，与交于点． （1）求证：． （2）若的面积为4，求的面积． 20. 如图，某房间的窗户上部分由2个全等的正方形组成，下部分是一个矩形．已知制作一个这样的窗户边框，所需要的材料的总长度为10米，设小正方形的边长为米，该窗口的透光面积为平方米（计算透光面积时材料忽略不计）． （1）求关于的函数表达式． （2）当取何值时，透光面积最大？最大透光面积是多少？ 21. 小滨和小江在研究与圆有关的问题时发现：“在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对量都相等．”进一步思考后，两位同学提出了这样的想法：这四对量中，如果有一对量存在倍数关系，其余三对量是否也会相应的存在倍数关系？因此，在如图所示的中，他们提出了如下猜想：小滨：若，则．小江：若，则．请判断小滨、小江所提的猜想是否正确，并说明理由． 22. 课堂上，老师组织同学们一起研究二次函数的最值问题． （1）当时，求该二次函数的最值． （2）当取不同值时，函数的最小值会随之发生变化．小滨认为，这些最小值里面存在一个最大值，这个最大值为0．你认为小滨的想法是否正确？请说明理由． 23. 【综合与实践】 小滨学习“图形的旋转”时，剪了一张矩形纸片进行操作．将矩形纸片ABCD绕点A顺时针旋转一定角度，得到矩形，边与直线交于点M，边，分别与直线交于点P，Q．已知． 【特例研究】 如图1，当点M与点重合时，①求证：．②求． 【结论拓展】 如图2，当点M与点不重合时，的值是否会发生变化？请给出判断并说明理由． 24. 如图，在中，直径与弦交于点E，且． （1）求证：； （2）若是以为腰的等腰三角形，求； （3）若，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年浙江省杭州市滨江区九年级（上）期末数学试卷 一．选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若，则（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查比例的性质，由已知条件可得，然后求得的值后即可求得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 2. 二次函数的图象与轴的交点坐标是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，代入求值是关键． 根据二次函数图象上点的坐标特征解答即可． 【详解】解：当时，． ∴二次函数的图象与y轴的交点坐标是． 故选：B． 3. 某农科所在相同条件下做某作物种子发芽率的试验，结果如下表所示： 种子个数 100 300 400 600 1000 2000 3000 发芽种子个数 96 282 382 567 945 1912 2850 发芽种子频率 0.960 0.940 0.955 0.945 0.945 0.956 0.950 则种子发芽的概率估计值是（ ） A. 0.960 B. 0.950 C. 0.945 D. 0.940 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了模拟实验，利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率，根据某农科所在相同条件下做某作物种子发芽率的试验表，可得大量重复试验发芽率逐渐稳定在0.950左右，所以估计该作物种子发芽的概率为0.950． 【详解】解：根据频率估计概率可知该作物种子发芽的概率为0.950， 故选：B． 4. 如图，点在以为直径的上，连结．若，则（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是圆周角定理．先根据为的直径得出，再由得出，进而可得出结论． 【详解】解：∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 5. 半径等于6的圆中，垂直平分半径的弦长为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理．由题意和垂径定理得，，再根据勾股定理可得，即可得出答案． 【详解】解：如图，垂直平分，连接， 由题意得：， ∵垂直平分， ∴，，， 根据勾股定理可得，， ∴． 故选：C． 6. 设二次函数（是常数，），部分对应值如表： x … 0 1 2 … y … 5 0 … 当时，（ ） A. 5 B. C. D. 0 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．根据二次函数的性质和表格中的数据，可以求出该函数图象的对称轴，然后根据二次函数图象具有对称性，即可求得当对应的函数值． 【详解】解：由表格可得， 该函数的对称轴为直线， ∴和对应的函数值相等， ∵当时，， ∴当时，， 故选：D． 7. 数轴上有点A、点B，点A表示实数6，点B表示实数b，半径为4．若点A在内，则实数b的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系及数轴上两点的距离，根据点与圆的位置关系得出点A到圆心B的距离范围，再结合数轴上两点间的距离公式列出关于b的不等式，进而求解b的取值范围． 【详解】解：∵点A在内， ∴， ∵点A表示实数6，点B表示实数b， ∴， ∴， ∴， 由得， 由得， ∴， 故选：D． 8. 如图，点，在矩形的边，上，矩形矩形．①若四边形是正方形，则点是线段的黄金分割点．②若，则矩形矩形．上述命题，（　　） A. ①②都正确 B. ①②都错误 C. ①正确②错误 D. ①错误②正确 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查命题与定理，矩形的性质，相似多边形的判定和性质．①正确，证明即可；②正确，设，则，利用相似多边形的性质求出，可得结论． 【详解】解：①∵四边形是正方形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵矩形矩形， ∴， ∴， ∴， ∴点F是线段的黄金分割点，故①正确； ②∵， ∴可以假设，则， ∵矩形矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴矩形与矩形全等， ∴矩形与矩形相似，故②说法正确， 故选：A． 9. 如图，线段是的直径，点是上一点，设．若，则（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，垂径定理，圆内接四边形的性质，三角形的外角性质，等腰三角形的性质，关键是由圆周角定理和圆内接四边形的性质推出．由垂径定理推出，得到，由圆内接四边形的性质推出，得到，由等腰三角形的性质推出，由三角形的外角性质推出，求出，得到，由三角形的外角性质推出． 【详解】解：∵直径， ∴， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 10. 已知点均在二次函数图象上，若，则（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．先得出抛物线的对称轴为直线，从而可得点为这个二次函数的顶点，且，再利用二次函数的性质逐项判断即可得． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线， ∵点在二次函数图象上，且， ∴点为这个二次函数的顶点． A、当时，点到顶点的距离小于或等于点到顶点的距离， 则若，则；若，则，此项错误，不符合题意； B、若，则为最大值， 所以抛物线的开口向下， 所以点到顶点的距离小于或等于点到顶点的距离， 所以，此项正确，符合题意； C、当时，点到顶点的距离大于或等于点到顶点的距离， 则若，则；若，则，此项错误，不符合题意； D、若，则为最大值， 所以抛物线的开口向下， 所以点到顶点的距离小于或等于点到顶点的距离， 所以，此项错误，不符合题意； 故选：B． 二．填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分． 11. 在比例尺为的地图上，A，B两地间的图上距离为2厘米，则A，B两地间的实际距离是___________千米． 【答案】180 【解析】 【分析】本题考查的是比例尺，熟练掌握比例尺和比例的性质是解题的关键； 设A，B两地间的实际距离是x厘米，根据比例尺的定义得到，再利用比例的性质求出x，然后把单位化为千米即可． 【详解】解：设A，B两地间的实际距离是x厘米， 根据题意得， 解得， 18000000厘米千米． 故答案为：180． 12. 若扇形的圆心角为，半径长为，则该扇形的面积为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查扇形的面积．直接根据扇形的面积公式计算即可． 【详解】解：该扇形的面积为． 故答案为：． 13. 某单位组织抽奖活动，共准备100张奖券，其中一等奖10张，二等奖30张，其余的奖券都是三等奖，则从中随机抽出一张奖券中三等奖的概率是___________． 【答案】##0.6 【解析】 【分析】本题考查了概率公式，用三等奖的数量除以奖券的总个数即可． 【详解】解：100张奖券，其中一等奖10张，二等奖30张，则三等奖张， ∴一张奖券中三等奖的概率为． 故答案为：． 14. 在平面直角坐标系中，顶点的坐标为．若以坐标原点为位似中心，作的位似图形，并把的边长放大2倍，则放大后点的对应点的坐标为___________ 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了坐标与位似变换，熟练掌握位似变换的性质是解题关键．在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．据此求解即可得． 【详解】解：∵在平面直角坐标系中，顶点的坐标为，以坐标原点为位似中心，作的位似图形，并把的边长放大2倍， ∴放大后点的对应点的坐标为或，即或， 故答案为：或． 15. 设函数与轴的交点坐标为．若函数，则时自变量的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．先根据二次函数的对称轴求出，从而可得两个函数的解析式，再根据二次函数图象的平移可得函数与轴的交点坐标，然后根据二次函数的性质求解即可得． 【详解】解：∵函数与轴的交点坐标为， ∴这个函数的对称轴为直线， ∴， ∴，， 观察两个函数的解析式可知，函数是由函数的图象向右平移2个单位长度所得到的， ∴函数与轴的交点坐标为，，即为，， 又∵， ∴抛物线的开口向上， ∴时自变量的取值范围是， 故答案为：． 16. 如图，点在的边上，作交于点．交于点．点在线段上，连结并延长，交线段于点，交线段于点．若，则的值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例和相似三角形的判定与性质，灵活运用相似三角形的性质计算相应线段的长或表示线段之间的关系是解决问题的关键． 设，则，先证明四边形为平行四边形得到，根据等线段成比例可得，则利用等线段成比例和相似三角形的性质得到，接着证明，利用相似比得到，所以，然后证明，从而利用相似三角形的性质得到的值． 【详解】解：设， ∵， ∴，， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，，, ∴ ∴ ∴， ∴． 故答案为：． 三．解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 小滨和小江一起进行摸球游戏：在一个不透明的箱子中放有2个白球和2个黑球，小球除颜色不同外其余都相同． 小滨：从该箱子中随机摸出一个球，摸出白球的概率和摸出黑球的概率相同． 小江：从该箱子中随机摸出一个球后不放回，摇匀后再从中摸出一个球．摸出一白一黑的小球的概率和摸出颜色相同的小球的概率相同． 请判断小滨和小江的说法是否正确，并说明理由． 【答案】 小滨的说法正确，小江的说法不正确． 理由：从该箱子中随机摸出一个球，共有4种等可能的结果，其中摸出白球的结果有2种，摸出黑球的结果有2种， ∴摸出白球的概率为，摸出黑球的概率为， ∴摸出白球的概率和摸出黑球的概率相同， 故小滨的说法正确． 列表如下： 白 白 黑 黑 白 （白，白） （白，黑） （白，黑） 白 （白，白） （白，黑） （白，黑） 黑 （黑，白） （黑，白） （黑，黑） 黑 （黑，白） （黑，白） （黑，黑） 共有12种等可能的结果，其中摸出一白一黑的小球的结果有8种，摸出颜色相同的小球的结果有4种， ∴摸出一白一黑的小球的概率为，摸出颜色相同的小球的概率为， ∴摸出一白一黑的小球的概率和摸出颜色相同的小球的概率不相同， 故小江的说法不正确． 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式．从该箱子中随机摸出一个球，共有4种等可能的结果，其中摸出白球的结果有2种，摸出黑球的结果有2种，再利用概率公式可得摸出白球的概率和摸出黑球的概率，进而可得结论；列表可得出所有等可能的结果数以及摸出一白一黑的小球的结果数和摸出颜色相同的小球的结果数，再利用概率公式可得摸出一白一黑的小球的概率和摸出颜色相同的小球的概率，进而可得结论． 【详解】略 18. 在平面直角坐标系中，已知二次函数图象的顶点坐标是， （1）求该二次函数的表达式． （2）该二次函数图象可由的图象经过怎样平移得到？ 【答案】（1）； （2） ∵的顶点坐标为，的顶点坐标为， ∴从到， ∴横坐标的变化是，即向右平移2个单位， 纵坐标的变化是，即向下平移4个单位． ∴的图象先向右平移2个单位，再向下平移4个单位可得到的图象． 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数图象与几何变换，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． （1）设二次函数的解析式为，得到，据此即可求解； （2）确定函数图象的平移方式，需先将两个函数化为顶点式，根据顶点的变化“上加下减，左加右减”来确定平移方向和单位． 【小问1详解】 解：由题意设二次函数的解析式为， ∵二次函数， ∴， ∴， ∴二次函数的表达式为：； 【小问2详解】 略 19. 如图，点是的边延长线上一点，与交于点． （1）求证：． （2）若的面积为4，求的面积． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∴； （2）的面积为48． 【解析】 【分析】此题重点考查平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质等知识． （1）由平行四边形的性质得，，则，即可根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明； （2）由，证明，则，求得，由，证明，得，则，据此求解即可． 【小问1详解】 证明：略； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵，，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为48． 20. 如图，某房间的窗户上部分由2个全等的正方形组成，下部分是一个矩形．已知制作一个这样的窗户边框，所需要的材料的总长度为10米，设小正方形的边长为米，该窗口的透光面积为平方米（计算透光面积时材料忽略不计）． （1）求关于的函数表达式． （2）当取何值时，透光面积最大？最大透光面积是多少？ 【答案】（1） （2）当时，透光面积最大，最大透光面积是平方米 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是根据题意表示出下部分矩形的长，并熟练掌握二次函数的性质． （1）先结合图形得出下部分矩形的长为，再根据矩形的面积公式求解即可； （2）将所得函数解析式配方成顶点式，再利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：由题意知，下部分矩形的长米， ∴， ∴y关于x的函数表达式为； 【小问2详解】 解：， ∵， ∴， ∵， ∴当时，y最大，最大值为， ∴当时，透光面积最大，最大透光面积是平方米． 21. 小滨和小江在研究与圆有关的问题时发现：“在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对量都相等．”进一步思考后，两位同学提出了这样的想法：这四对量中，如果有一对量存在倍数关系，其余三对量是否也会相应的存在倍数关系？因此，在如图所示的中，他们提出了如下猜想：小滨：若，则．小江：若，则．请判断小滨、小江所提的猜想是否正确，并说明理由． 【答案】 小滨的猜想是正确的，小江的猜想是错误的；理由： 小滨：如图1，作的平分线， ∵是的平分线， ∴， 又∵， ∴， ∴，即； 小江：如图2，取的中点E，连接并延长交于点D， 由垂径定理可知，， ∴， ∵，即，而， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查垂径定理，圆心角、弦、弧之间的关系．根据垂径定理，圆心角、弦、弧之间的关系以及三角形三边关系进行解答即可． 【详解】解：略． 22. 课堂上，老师组织同学们一起研究二次函数的最值问题． （1）当时，求该二次函数的最值． （2）当取不同值时，函数的最小值会随之发生变化．小滨认为，这些最小值里面存在一个最大值，这个最大值为0．你认为小滨的想法是否正确？请说明理由． 【答案】（1） 解：由题意，当时， ， ∴当时，y取最小值为； （2） 解：小滨的想法正确．理由如下： 由题意，， ∴当时，y取最小值为． ∵， ∴当时，有最大值0， ∴这些最小值里面存在一个最大值，这个最大值为0． 故小滨的想法正确． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的最值，熟练掌握并灵活运用二次函数的性质是关键． （1）依据题意，当时，，从而根据二次函数的性质求解即可； （2）依据题意，由，从而当时，y取最小值为，进而根据二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 【综合与实践】 小滨学习“图形的旋转”时，剪了一张矩形纸片进行操作．将矩形纸片ABCD绕点A顺时针旋转一定角度，得到矩形，边与直线交于点M，边，分别与直线交于点P，Q．已知． 【特例研究】 如图1，当点M与点重合时，①求证：．②求． 【结论拓展】 如图2，当点M与点不重合时，的值是否会发生变化？请给出判断并说明理由． 【答案】【特例研究】 ①证明：∵将矩形纸片绕点A顺时针旋转一定角度，得到矩形， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴． ②； 【结论拓展】解：不变， 理由：过Q作于H， 则四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】①根据旋转的性质得到得到，根据勾股定理得到，根据相似三角形的判定定理得到． ②根据相似三角形的性质得到，求得，根据相似三角形的判定定理得到，求得，得到，于是得到； 过Q作于H，则四边形是矩形，得到，根据全等三角形的性质得到，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】①略 ②解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【结论拓展】略 【点睛】本题是相似形的综合题，考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，熟练掌握各知识点是解题的关键． 24. 如图，在中，直径与弦交于点E，且． （1）求证：； （2）若是以为腰的等腰三角形，求； （3）若，求． 【答案】（1） 证明：如图：连接并延长交于H点， ∵， ∴， ∴垂直平分， ∴平分，即， ∵， ∴， ∴； （2）或； （3）． 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，理解圆周角定理是解题的关键． （1）如图：连接并延长交于H点，利用垂径定理的推论得到垂直平分，则根据等腰三角形的性质得到平分，即，然后利用即可证明结论； （2）设，则，，根据圆周角定理得到，当时，，所以；当时，，则，然后分别据解方程求出α即可； （3）利用垂径定理得到，则利用勾股定理可计算出，设的半径为r，则，，在中利用勾股定理得到，解得r，所以，接着在中计算出，在中计算出，然后证明，利用相似三角形的性质得到，然后利用比例的性质可计算出的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设，则， ∴， ∵为直径， ∴， 当时，， ∴，解得； 当时，， ∴，解得． 综上所述，的度数为或． 【小问3详解】 解：∵， ∴， 在中， ， 设的半径为r，则， 在中，，解得， ∴， 在中，， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $