第十七章勾股定理 同步练习 -2024—2025学年人教版数学八年级下册

人教版8年级下数学第十七章勾股定理 一．选择题（共10小题） 1．长度分别为9cm、12cm、15cm、36cm、39cm五根木棍首尾连接，最多可搭成直角三角形的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．下列条件中不能判断△ABC是直角三角形的是（　　） A．a：b：c： B．∠B﹣∠C＝∠A C．∠A：∠B：∠C＝6：8：10 D．a2＝（b+c）（b﹣c） 3．如图，以Rt△ABC的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形． （第3题） 若AB，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B．10 C． D．5 4．如图，已知∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝90°，且AB＝CD＝3，BC＝4，DE＝EF＝2，则A，F两点间的距离是（　　） A．14 B．6 C．8 D．10 5．如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为7和9，则b的面积为（　　） A．16 B．2 C．32 D．130 6．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝9，AC＝6．将△ABC沿DE折叠，使点B刚好落在AC边的中点F处，则BD的长为（　　） A．5.5 B．5 C．4.5 D．4 7．赵爽弦图是由4个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．若小正方形和大正方形的面积分别是1和5，则直角三角形两条直角边长分别为（　　） A．2，1 B．1， C．2， D．2， 8．如图，点E在正方形ABCD的边CD上，将△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置，连接EF，过点A作EF的垂线，垂足为点H，与BC交于点G．若BG＝4，CG＝3，则CE的长为（　　） A． B． C．4 D． （第4题） （第5题） （第6题） （第7题） 9．如图，动点P从点A出发，沿着圆柱的侧面移动到BC的中点S，若BC＝8，底面半径为2，π取3，求点P移动的最短距离为（　　） A．8 B．10 C． D． 10．直角三角形两直角边长为a，b，斜边上高为h，则下列各式总能成立的是（　　） A．ab＝h2 B．a2+b2＝2h2 C． D． （第8题） （第9题） （第12题） （第13题） 二．填空题（共6小题） 11．一个三角形三边长分别为3，4，x，若此三角形是直角三角形，那么x的值为　 　． 12．如图，在一个长2米，宽1米的长方形草地上，放着一根长方体的木块，它的棱和草地宽AD平行且棱长大于AD，木块从正面看是边长为0.2米的正方形，一只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程是 　 　米． 13．为筹备元旦晚会，同学们设计了一个圆筒形灯罩，底色漆成白色，然后缠绕红色油纸，如图，已知圆筒高108cm，其平行底面的截面周长为36cm，如果在表面缠绕4圈，需要油纸的长度为　 　cm． 14．如图台阶阶梯每一层高20cm，宽30cm，长50cm，一只蚂蚁从A爬到B， 最短路程是 　 　 cm． 15．如图，已知雷达探测器在一次探测中发现了两个目标A，B，其中A的位置可以表示成（60°，6），B的位置可以表示成（150°，4），则A与B的距离为 　 　． 16．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝10，BC边上的中线AD＝4，则△ABC的面积为　 　． （第14题） （第15题） （第16题） 三．解答题（共9小题） 17．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，AC＝8，BC＝6，则线段AD的长度是多少？ 18．一架梯子长25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，（1）这个梯子的顶端距地面有多高？ （2）如果梯子的顶端下滑了4米到A′，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？ 19．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝3，CD，DA＝5，∠B＝90°，求∠BCD的度数． 20．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E．若AC＝8，BC＝4，求AE的长． 21．如图，正方形纸片ABCD的边长为3，点E、F分别在边BC、CD上，将AB、AD分别沿AE、AF折叠，点B、D恰好都落在点G处，已知BE＝1，求EF的长． 22．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，在射线BC上有一动点P． （1）求BC长；（2）当△ABP为直角三角形时，求BP值；（3）当△ABP为等腰三角形时，求BP值． 23．小博老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表： n 2 3 4 5 … a 22﹣1 32﹣1 42﹣1 52﹣1 … b 4 6 8 10 … c 22+1 32+1 42+1 52+1 … （1）请你分别观察a，b，c与n之间的关系，并用含自然数n（n≥2）的代数式表示：a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　． （2）猜想以a，b，c为边的三角形是否为直角三角形？说明你的理由． 24．阅读下列题目的解题过程： 已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，试判断△ABC的形状． 解：∵a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4（A） ∴c2（a2﹣b2）＝（a2+b2）（a2﹣b2）（B） ∴c2＝a2+b2（C） ∴△ABC是直角三角形 问： （1）上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号：　 　； （2）错误的原因为：　 　； （3）本题正确的结论为：　 　． 25．如图，南北向MN为我国领海线，即MN以西为我国领海，以东为公海，上午9时30分，我国反走私A艇发现正东方有一走私艇C以8海里/时的速度偷偷向我领海驶来，便立即通知正在MN线上巡逻的我国反走私艇B密切注意．反走私艇A和走私艇C的距离是20海里，A、B两艇的距离是12海里；反走私艇B测得距离C艇16海里，若走私艇C的速度不变，最早会在什么时候进入我国领海？ 人教版8年级下数学第十七章勾股定理 参考答案与试题解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C D D A B A A C D 一．选择题（共10小题） 1．长度分别为9cm、12cm、15cm、36cm、39cm五根木棍首尾连接，最多可搭成直角三角形的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】分别求出5个数字的平方，看哪两个的平方和等于第三个数的平方，从而可判断能构成直角三角形． 【解答】解：∵92＝81，122＝144，152＝225，362＝1296，392＝1521， ∴81+144＝225，225+1296＝1521， 即92+122＝152，152+362＝392， 故选：B． 【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，解题的关键熟知勾股定理逆定理的内容． 2．下列条件中不能判断△ABC是直角三角形的是（　　） A．a：b：c： B．∠B﹣∠C＝∠A C．∠A：∠B：∠C＝6：8：10 D．a2＝（b+c）（b﹣c） 【分析】利用勾股定理逆定理和三角形内角和判断即可． 【解答】解：A、12+（）2＝（）2，能判断△ABC是直角三角形，不符合题意； B、∠B﹣∠C＝∠A，又∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠B＝90°，能判断△ABC是直角三角形，不符合题意； C、∠A：∠B：∠C＝6：8：10，∠C，不能判断△ABC是直角三角形，符合题意； D、a2＝（b+c）（b﹣c），∴a2+c2＝b2，能判断△ABC是直角三角形，不符合题意； 故选：C． 【点评】此题主要考查了勾股定理逆定理，掌握勾股定理逆定理是解本题的关键． 3．如图，以Rt△ABC的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形．若AB，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B．10 C． D．5 【分析】根据勾股定理可得AC2+BC2＝AB2，根据等腰直角三角形可得S△ABDAB•ADAB2，S△ACEAC•CEAC2，S△BCFBC•BFBC2，再根据阴影部分的面积为S阴影＝S△ABD+S△ACE+S△BCF即可求解． 【解答】解：如图所示， ∵△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°， ∴AC2+BC2＝AB2， ∵△ABD，△ACE，△BCF，都是等腰直角三角形， ∴AD＝AB，CA＝CE，BC＝BF，∠BAD＝90°，∠ACE＝90°，∠CBF＝90°， ∴S△ABDAB•ADAB2，S△ACEAC•CEAC2，S△BCFBC•BFBC2， ∴阴影部分的面积为S阴影＝S△ABD+S△ACE+S△BCF， ∴S阴影AB2AC2BC2 （AB2+AC2+BC2） ＝AB2， ∵， ∴． 故选：D． 【点评】本题主要考查勾股定理，等腰直角三角形的性质与面积计算方法，掌握以上知识是解题的关键． 4．如图，已知∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝90°，且AB＝CD＝3，BC＝4，DE＝EF＝2，则A，F两点间的距离是（　　） A．14 B．6 C．8 D．10 【分析】过点F作FG⊥AB交AB的延长线于点G，根据题意求出AG、FG，根据勾股定理计算，得到答案． 【解答】解：过点F作FG⊥AB交AB的延长线于点G， 则AG＝AB+CD+EF＝8，FG＝BC+DE＝6， 由勾股定理得，AF10， 故选：D． 【点评】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2． 5．如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为7和9，则b的面积为（　　） A．16 B．2 C．32 D．130 【分析】运用正方形边长相等，再根据同角的余角相等可得∠BAC＝∠DCE，然后证明△ACB≌△DCE，再结合全等三角形的性质和勾股定理来求解即可． 【解答】解：由于a、b、c都是正方形，所以AC＝CD，∠ACD＝90°； ∵∠ACB+∠DCE＝∠ACB+∠BAC＝90°，即∠BAC＝∠DCE， 在△ABC和△CED中， ， ∴△ACB≌△DCE（AAS）， ∴AB＝CE，BC＝DE； 在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2＝AB2+BC2＝AB2+DE2＝7+9＝16， 即Sb＝16， 则b的面积为16， 故选：A． 【点评】此题主要考查对全等三角形和勾股定理的综合运用，关键是证明△ACB≌△DCE． 6．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝9，AC＝6．将△ABC沿DE折叠，使点B刚好落在AC边的中点F处，则BD的长为（　　） A．5.5 B．5 C．4.5 D．4 【分析】设BD＝x，则DF＝x，在Rt△ADF中利用勾股定理列方程求解即可． 【解答】解：设BD＝x，由折叠的性质可知DF＝BD＝x． ∵AB＝9， ∴AD＝9﹣x． ∵F是AC边的中点，AC＝6， ∴AF＝3． 在Rt△ADF中，AD2+AF2＝DF2， ∴（9﹣x）2+32＝x2， 解得x＝5， ∴BD的长为5． 故选：B． 【点评】此题考查了勾股定理与折叠问题，设所求线段为未知数，利用折叠性质，把能用未知数表示的线段表示出，勾股定理所需的直角三角形一般就会呈现在图上，符合这样的直角三角形一般有如下特征：一直角边为具体数字，另一直角边和斜边分别是含有未知数的代数式． 7．赵爽弦图是由4个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．若小正方形和大正方形的面积分别是1和5，则直角三角形两条直角边长分别为（　　） A．2，1 B．1， C．2， D．2， 【分析】根据小正方形和大正方形的面积分别是1和5的S△ADE，EF＝1，设直角三角形两条直角边为a，b（a＜b），则b﹣a＝1，利用完全平方公式可a+b＝3，即可求出a，b的值． 【解答】解：∵小正方形和大正方形的面积分别是1和5， ∴S△ADE，EF＝1， 设直角三角形两条直角边为a，b（a＜b）， ∴ab＝2，a2+b2＝5，b﹣a＝1， ∵（a+b）2＝a2+2ab+b2， ∴（a+b）2＝5+4＝9， ∵a+b＞0， ∴a+b＝3， ∵b﹣a＝1， ∴a＝1，b＝2， 故选：A． 【点评】本题主要考查了勾股定理，已经完全平方公式，注意观察图形，发现各个图形的面积和a，b的关系 8．如图，点E在正方形ABCD的边CD上，将△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置，连接EF，过点A作EF的垂线，垂足为点H，与BC交于点G．若BG＝4，CG＝3，则CE的长为（　　） A． B． C．4 D． 【分析】连接EG，根据AG垂直平分EF，即可得出EG＝FG，设CE＝x，则DE＝7﹣x＝BF，FG＝EG＝11﹣x，再根据Rt△CEG中，CE2+CG2＝EG2，即可得到CE的长． 【解答】解：如图所示，连接EG， 由旋转可得，△ADE≌△ABF， ∴AE＝AF，DE＝BF， 又∵AG⊥EF， ∴H为EF的中点， ∴AG垂直平分EF， ∴EG＝FG， 设CE＝x，则DE＝7﹣x＝BF，FG＝CF﹣CG＝11﹣x， ∴EG＝11﹣x， ∵∠C＝90°， ∴Rt△CEG中，CE2+CG2＝EG2，即x2+32＝（11﹣x）2， 解得x， ∴CE的长为， 故选：A． 【点评】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理以及旋转的性质，解题时注意：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等． 9．如图，动点P从点A出发，沿着圆柱的侧面移动到BC的中点S，若BC＝8，底面半径为2，π取3，求点P移动的最短距离为（　　） A．8 B．10 C． D． 【分析】先把圆柱的侧面展开，连接AS，利用勾股定理即可得出AS的长． 【解答】解：如图所示， ∵圆柱的底面半径为2，BC＝8， ∴AB2×2×π＝6，BSBC＝4， ∴AS2． 故选：C． 【点评】本题考查的是平面展开﹣最短路径问题，根据题意画出圆柱的侧面展开图，利用勾股定理求解是解答此题的关键． 10．直角三角形两直角边长为a，b，斜边上高为h，则下列各式总能成立的是（　　） A．ab＝h2 B．a2+b2＝2h2 C． D． 【分析】根据直角三角形的面积的计算方法，以及勾股定理就可解得． 【解答】解：根据直角三角形的面积可以导出：斜边c． 再结合勾股定理：a2+b2＝c2． 进行等量代换，得a2+b2． 两边同除以a2b2，得． 故选：D． 【点评】本题主要考查了勾股定理，熟练运用勾股定理、直角三角形的面积公式以及等式的性质进行变形． 二．填空题（共6小题） 11．一个三角形三边长分别为3，4，x，若此三角形是直角三角形，那么x的值为　5或　． 【分析】本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，因此两条边中的较长边4既可以是直角边，也可以是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即4是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解． 【解答】解：（1）若4是直角边，则第三边x是斜边，由勾股定理，得 32+42＝x2，所以x＝5； （2）若4是斜边，则第三边x为直角边，由勾股定理，得 32+x2＝42，所以x； 所以第三边的长为5或． 故答案为：5或． 【点评】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，当已知条件中没有明确哪是斜边时，要注意讨论是解题的关键． 12．如图，在一个长2米，宽1米的长方形草地上，放着一根长方体的木块，它的棱和草地宽AD平行且棱长大于AD，木块从正面看是边长为0.2米的正方形，一只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程是 　2.6　米． 【分析】将木块展开如图所示，根据勾股定理求出AC的长即可． 【解答】解：将木块展开如图所示， 则AB＝2+2×0.2＝2.4（米），BC＝1米， ∴蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程AC2.6（米）， 故答案为：2.6． 【点评】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，将立体图形展开在平面中求解是解题的关键． 13．为筹备元旦晚会，同学们设计了一个圆筒形灯罩，底色漆成白色，然后缠绕红色油纸，如图，已知圆筒高108cm，其平行底面的截面周长为36cm，如果在表面缠绕4圈，需要油纸的长度为　180　cm． 【分析】将圆柱体沿一条母线展开，可得图形，如图，只需求出每一圈所需的油纸的长度即可，展开后即转化为求解直角三角形的问题，在Rt△ABC中，AB已知，BCcm，根据勾股定理即可得出AC的长度，由于油纸缠绕4圈，故油纸的总长度为4AC的长度． 【解答】解：将圆筒展开后成为一个矩形，如图，整个油纸也随之分成相等4段只需求出AC长即可， 在Rt△ABC中， ∵AB＝36，BCcm， ∴AC2＝AB2+BC2＝362+272， ∴AC＝45cm， ∴整个油纸的长为45×4＝180（cm）． 故答案为：180． 【点评】本题考查的是平面展开﹣最短路径问题，此类问题应先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题． 14．如图，台阶阶梯每一层高20cm，宽30cm，长50cm，一只蚂蚁从A点爬到B点，最短路程是 　　cm． 【分析】将阶梯的表面展开，形成一个矩形；根据勾股定理求解即可； 【解答】解：如图，阶梯的表面展开，形成一个矩形， ∵台阶阶梯每一层高20cm，宽30cm，长50cm， ∴（cm）， 故答案为：． 【点评】本题考查了勾股定理的实际应用；将蚂蚁行进过程中的多个平面展开形成一个矩形是解题的关键． 15．如图，已知雷达探测器在一次探测中发现了两个目标A，B，其中A的位置可以表示成（60°，6），B的位置可以表示成（150°，4），则A与B的距离为 　　． 【分析】先根据题意得到点B的位置可以表示成（150°，4），进而得到A、B和中心点连线的夹角为90度，再利用勾股定理求出即可． 【解答】解：A的位置可以表示成（60°，6），点B的位置可以表示成（150°，4）， ∴A、B和中心点连线的夹角为150﹣60＝90（度）， ∴， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了坐标确定位置、勾股定理，用有序数对表示位置是关键． 16．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝10，BC边上的中线AD＝4，则△ABC的面积为　24　． 【分析】延长AD到E，使DE＝AD，连接CE，利用SAS得出△ADB与△EDC全等，得到AB＝CE，利用勾股定理的逆定理得到△ACE为直角三角形，△ABC的面积等于△ACE的面积，利用三角形的面积公式即可得出结果． 【解答】解：延长AD到E，使DE＝AD，连接CE，如图所示： ∵D为BC的中点， ∴DC＝BD， 在△ADB与△EDC中，， ∴△ADB≌△EDC（SAS）， ∴CE＝AB＝6． 又∵AE＝2AD＝8，AB＝CE＝6，AC＝10， ∴AC2＝AE2+CE2， ∴∠E＝90°， 则S△ABC＝S△ACECE•AE6×8＝24； 故答案为：24． 【点评】本题考查的是勾股定理及逆定理，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 三．解答题（共9小题） 17．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，AC＝8，BC＝6，则线段AD的长度是多少？ 【分析】先在Rt△ABC中，由勾股定理求得AB的长，再由面积法求得CD的长，然后在Rt△ADC中，由勾股定理求得AD的长． 【解答】解：∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6， ∴由勾股定理得：AB10 又∵CD⊥AB ∴S△ABCAC×BCAB×CD ∴8×610×CD ∴CD＝4.8 ∴在Rt△ADC中，由勾股定理得： AD6.4 答：线段AD的长度是6.4． 【点评】本题考查了勾股定理在计算中的应用，熟练掌握勾股定理及面积法是解题的关键． 18．一架梯子长25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米， （1）这个梯子的顶端距地面有多高？ （2）如果梯子的顶端下滑了4米到A′，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？ 【分析】（1）利用勾股定理直接得出AB的长即可； （2）利用勾股定理直接得出BC′的长，进而得出答案． 【解答】解：（1）由题意得：AC＝25米，BC＝7米， AB24（米）， 答：这个梯子的顶端距地面有24米； （2）由题意得：BA′＝20米， BC′15（米）， 则：CC′＝15﹣7＝8（米）， 答：梯子的底端在水平方向滑动了8米． 【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，熟练利用勾股定理是解题关键． 19．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝3，CD，DA＝5，∠B＝90°，求∠BCD的度数． 【分析】根据勾股定理求出AC，根据勾股定理的逆定理求出∠ACD＝90°，即可求出答案． 【解答】解：∵在Rt△ABC中，AB＝BC＝3，∠B＝90°， ∴由勾股定理得：AC2＝AB2+BC2＝32+32＝18， ∵CD，DA＝5， ∴CD2+AC2＝DA2， ∴∠ACD＝90°， ∵在Rt△ABC中，AB＝BC， ∴∠BAC＝∠ACB＝45°， ∴∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝45°+90°＝135°． 【点评】本题考查了等腰直角三角形，勾股定理和勾股定理的逆定理等知识点，能求出∠ACD的度数是解此题的关键． 20．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E．若AC＝8，BC＝4，求AE的长． 【分析】连接BE，根据中垂线的性质设AE＝BE＝x，知CE＝8﹣x，在Rt△BCE中由BC2+CE2＝BE2列出关于x的方程，解之可得答案． 【解答】解：连接BE， ∵DE垂直平分AB， ∴AE＝BE， 设AE＝BE＝x，则CE＝8﹣x， 在Rt△BCE中，BC2+CE2＝BE2， ∴42+（8﹣x）2＝x2， 解得x＝5， ∴AE＝5． 【点评】本题主要考查勾股定理，解题的关键是掌握勾股定理及线段中垂线的性质． 21．如图，正方形纸片ABCD的边长为3，点E、F分别在边BC、CD上，将AB、AD分别沿AE、AF折叠，点B、D恰好都落在点G处，已知BE＝1，求EF的长． 【分析】由图形折叠可得BE＝EG，DF＝FG，因为正方形ABCD的边长为3，BE＝1，求出EG，EC，在直角△ECF中，运用勾股定理求出GF，再求出EF． 【解答】解：由图形折叠可得BE＝EG，DF＝FG， ∵正方形ABCD的边长为3，BE＝1， ∴EG＝1，EC＝3﹣1＝2，CF＝3﹣FG， 在直角△ECF中， ∴EF2＝EC2+CF2， ∴（1+GF）2＝22+（3﹣GF）2， 解得GF， ∴EF＝1． 【点评】本题主要考查了折叠问题，解题的关键是找准不变的线段，利用勾股定理求解线段． 22．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，在射线BC上有一动点P． （1）求BC长； （2）当△ABP为直角三角形时，求BP值； （3）当△ABP为等腰三角形时，求BP值． 【分析】（1）直接根据勾股定理求出BC的长度； （2）当△ABP为直角三角形时，分两种情况：①当∠APB为直角时，②当∠BAP为直角时，分别求出即可； （3）当△ABP为等腰三角形时，分三种情况：①当AB＝BP时；②当AB＝AP时；③当BP＝AP时，分别求出BP的长度． 【解答】解：（1）在Rt△ABC中，BC2＝AB2﹣AC2＝52﹣32＝16， ∴BC＝4cm； （2）①当∠APB为直角时，点P与点C重合，如图1，BP＝BC＝4cm； ②当∠BAP为直角时，如图2，AC＝3cm， 在Rt△ACP中，AP2＝32+（BP﹣4）2， 在Rt△BAP中，AB2+AP2＝BP2， 即：52+[32+（BP﹣4）2]＝BP2， 解得：cm， 故当△ABP为直角三角形时，BP＝4cm或； （3）①当AB＝BP时，如图3，AB＝BP＝5cm； ②当AB＝AP时，如图4，BP＝2BC＝8cm； ③当BP＝AP时，如图5，CP＝（4﹣BP）cm，AC＝3cm， 在Rt△ACP中，AP2＝AC2+CP2， 所以BP2＝32+（4﹣BP）2， 解得：cm， 综上所述：当△ABP为等腰三角形时，BP＝5cm或BP＝8cm或． 【点评】本题考查了勾股定理以及等腰三角形的知识，解答本题的关键是掌握勾股定理的应用，以及分情况讨论，注意不要漏解． 23．小博老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表： n 2 3 4 5 … a 22﹣1 32﹣1 42﹣1 52﹣1 … b 4 6 8 10 … c 22+1 32+1 42+1 52+1 … （1）请你分别观察a，b，c与n之间的关系，并用含自然数n（n≥2）的代数式表示：a＝　n2﹣1　，b＝　2n　，c＝　n2+1　． （2）猜想以a，b，c为边的三角形是否为直角三角形？说明你的理由． 【分析】（1）结合表中的数据，观察a，b，c与n之间的关系，可直接写出答案； （2）分别求出a2+b2，c2，比较即可． 【解答】解：（1）观察表格数据可得，a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1． 故答案为：n2﹣1，2n，n2+1． （2）猜想为：以a，b，c为边的三角形是直角三角形． 理由如下：∵a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1， ∴a2+b2＝（n2﹣1）2+（2n）2＝n4﹣2n2+1+4n2＝n4+2n2+1＝（n2+1）2， 而c2＝（n2+1）2， ∴根据勾股定理的逆定理可知以a，b，c为边的三角形是直角三角形． 【点评】本题主要考查规律型﹣数字的变化类、勾股定理的逆定理，解题关键是仔细观察表中的数据，找出规律，利用勾股定理的逆定理解决问题． 24．阅读下列题目的解题过程： 已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，试判断△ABC的形状． 解：∵a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4（A） ∴c2（a2﹣b2）＝（a2+b2）（a2﹣b2）（B） ∴c2＝a2+b2（C） ∴△ABC是直角三角形 问： （1）上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号：　C　； （2）错误的原因为：　没有考虑a＝b的情况，　； （3）本题正确的结论为：　△ABC是等腰三角形或直角三角形．　． 【分析】（1）根据题目中的书写步骤可以解答本题； （2）根据题目中B到C可知没有考虑a＝b的情况； （3）根据题意可以写出正确的结论． 【解答】解：（1）由题目中的解答步骤可得，错误步骤的代号为：C， 故答案为：C； （2）错误的原因为：没有考虑a＝b的情况， 故答案为：没有考虑a＝b的情况； （3）本题正确的结论为：△ABC是等腰三角形或直角三角形， 故答案为：△ABC是等腰三角形或直角三角形． 【点评】本题考查因式分解的应用、勾股定理的逆定理，解答本题的关键是明确题意，写出相应的结论，注意考虑问题要全面． 25．如图，南北向MN为我国领海线，即MN以西为我国领海，以东为公海，上午9时30分，我国反走私A艇发现正东方有一走私艇C以8海里/时的速度偷偷向我领海驶来，便立即通知正在MN线上巡逻的我国反走私艇B密切注意．反走私艇A和走私艇C的距离是20海里，A、B两艇的距离是12海里；反走私艇B测得距离C艇16海里，若走私艇C的速度不变，最早会在什么时候进入我国领海？ 【分析】由勾股定理的逆定理得△ABC为直角三角形，且∠ABC＝90°，再由三角形面积求出BE海里，然后由勾股定理得CE海里，即可解决问题． 【解答】解：由题意可知，∠BEC＝90°， ∵AB2+BC2＝122+162＝202＝AC2， ∴△ABC为直角三角形，且∠ABC＝90°， ∵MN⊥AC， ∴走私艇C进入我国领海的最短距离是CE， ∵S△ABCAB•BCAC•BE， ∴BE（海里）， ∴CE（海里）， ∴8（小时）＝96分， ∴9时30分+96分＝11时6分． 答：走私艇C最早在11时6分进入我国领海． 【点评】本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理以及三角形面积等知识，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/3/10 22:25:20；用户：姚怀洪；邮箱：13927028828；学号：38450005 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$