专题02 三角形的内角和重难点题型专训（8大题型+15道提优训练）-2024-2025学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（沪教版2024）

专题02 三角形的内角和重难点题型专训（8大题型+15道提优训练） 题型一 三角形内角和定理的证明 题型二 与平行线有关的三角形内角和问题 题型三 与角平分线有关的三角形内角和问题 题型四 三角形折叠问题综合 题型五 根据三角形内角和定理求角度 题型六 三角形的外角的定义及性质 题型七 三角形内角和定理的应用 题型八 三角形中旋转问题综合 知识点01 三角形的内角 ①三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于 180 度。 ②证明方法：剪拼成平角、通过做平行线构造平角、构造两平行线下的同旁内角。 测量法： 剪角拼角法 ： 知识点02 直角三角形 ①直角三角形的两个角互余。直角三角形用符号“Rt△”表示，如 Rt△ABC。 ②有两个角互余的三角形是直角三角形 知识点03 三角形的外角 ①定义：三角形的一边与另一条边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。 如图，∠ACD 是 △ABC 的一个外角 ②结论：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和；三角形的一个外角大于与它不相 邻的任何一个角。 【经典例题一 三角形内角和定理的证明】 【例1】（23-24七年级下·上海奉贤·阶段练习）如图，，则下列关系式不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24七年级下·上海松江·期中）如图，若，，则： ①； ②； ③平分； ④； ⑤； ⑥，其中正确的结论是（    ） A．①②③ B．①②⑤⑥ C．①③④⑥ D．③④⑥ 2． （23-24七年级下·上海松江·期末）如图，在中，，，则 ． 3．（23-24七年级下·上海金山·阶段练习）如图，把三角形的三边延长． (1)（    ），这是一个（    ）角． (2)在○里填上“”“”或“”． ○ (3)在图中，你还能找出像第（2）题这样关系的角吗？试着写出一组． 【经典例题二 与平行线有关的三角形内角和问题】 【例2】（23-24七年级下·上海闵行·期末）如图摆放的是一副直角三角板，，，与相交于点，当的度数是（    ）时，两三角板的边    A． B． C． D． 1．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，在中，，，，，连接，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·上海长宁·期末）如图，，，，则 ． 3．（23-24七年级下·上海青浦·期末）如图，两面镜子相交于点，当从固定点发出的水平光线经过镜子反射时，． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，当两面镜子的夹角为锐角时，反射光线垂直镜面，光线与镜面平行（原题条件可以看成），求的度数； (3)改变两面镜子的夹角，保持反射光线垂直镜面，记与所夹锐角为与所夹锐角为，直线与直线所夹锐角等于； ①如图3，当为锐角时，求的度数； ②当为钝角时，请直接写出的度数． 【经典例题三 与角平分线有关的三角形内角和问题】 【例3】（2025七年级下·全国·阶段练习）如图，在中，平分，平分，平分的外角，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 1．（23-24七年级下·上海嘉定·期末）如图，在中，是的平分线，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，、的平分线交于点，若，，则的度数为 ． 3．（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，是的角平分线，E为上一点，于点F，已知，． (1)如图①，若点E与点A重合，求的度数； (2)如图②，若点E在线段上（不与点A重合），求的度数； (3)如图③，若点E在的延长线上，此时的度数是否为定值？请说明理由． 【经典例题四 三角形折叠问题综合】 【例4】（23-24七年级下·上海宝山·期末）如图，已知长方形纸片，点，在边上，点，在边上，分别沿，折叠，使点和点都落在点处，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 1．（23-24七年级下·上海奉贤·期末）如图，将一张三角形纸片折叠，使点A落在的处，折痕为，若，，，那么下列式子中正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·上海闵行·阶段练习）如图，在直角三角形中，，点在边上，将沿折叠，点恰好落在边上的处．若，则 度． 3．（2024七年级下·上海青浦·阶段练习）新考向【动手操作】一个三角形的纸片，沿折叠，使点落在点处． 【观察猜想】 （1）如图①，若，则___________°； 若，则___________°； 若，则___________°； 【探索证明】 （2）利用图①，探索与的关系，并说明理由； 【拓展应用】 （3）如图②，把折叠后，平分，平分，若，利用（2）中的结论求的度数． 【经典例题五 根据三角形内角和定理求角度】 【例5】（2025七年级下·全国·阶段练习）如图，将绕点C顺时针旋转得到．若点A，D，E在同一条直线上，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 1．（23-24七年级下·上海杨浦·阶段练习）如图，中，是的平分线，是边上的高线，且，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在中，点D在上，．若，则的度数为 ． 3．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，在中，比大，点D，E分别在上，连接，． (1)求的度数； (2)判断与之间的位置关系，并说明理由． 【经典例题六 根据三角形内角和定理求角度】 【例6】（23-24七年级下·上海松江·阶段练习）如果将一副三角板按如图所示的方式叠放，那么的度数为（   ） A． B． C． D． 1．（2025七年级下·上海松江·阶段练习）如图，和分别是的内角平分线和外角平分线，是的平分线，是的平分线，是的平分线，是的平分线，……，如此进行下去，若，则为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·上海静安·期末）数学兴趣小组同学利用几何图形画出螳螂的简笔画，如图，已知，且．则 ． 3．（24-25七年级下·全国·单元测试）由组成的线段图如图所示，求的度数． 【经典例题七 根据三角形内角和定理求角度】 【例7】（24-25七年级下·全国·课后作业）在下列条件中，能确定是直角三角形的条件是（   ） A． B． C． D． 1．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，从A点发出的光线、经平面镜反射后得到反射光线、，、为法线，设，，，那么、、之间的数量关系是（提示：入射光线和反射光线与平面镜所夹的角相等）（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·上海闵行·单元测试）如图，，，、的五等分线分别交于点、、、，则 ． 3．（2025七年级下·全国·阶段练习）如下图，在中，，是边上的高，平分，且．求和的度数． 【经典例题八 根据三角形内角和定理求角度】 【例8】（23-24七年级下·上海徐汇·阶段练习）如图，将绕点逆时针旋转，旋转角为，得到，这时点旋转后的对应点恰好在直线上，则下列结论错误的是（   ） A．∠ABC=∠ADB B． C． D． 1．（23-24七年级下·上海长宁·期末）如图，将绕着点顺时针旋转得到，若，，，则旋转角度是（    ）    A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·上海静安·期中）如图，，点在直线左侧，，，射线从射线出发，绕点B以每秒的速度按顺时针方向旋转，同时射线从射线出发，绕点C以每秒的速度按顺时针方向旋转，当射线旋转时两条射线都停止旋转．射线与射线交于点，若，则射线旋转了 秒．    3．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，在中，，．将绕点按逆时针方向旋转一定角度后得到，与相交于点，．当时，求的度数． 1．（23-24七年级下·上海宝山·期中）如果三角形三个外角度数之比是，则此三角形一定是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 2．（23-24七年级下·上海长宁·阶段练习）已知一等腰三角形，若其中一个底角的度数为，则其顶角的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·上海杨浦·期末）将一块含角的直角三角板与一把直尺按如图所示方式摆放，，．若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 4．（23-24七年级下·上海静安·期中）如图，已知，则等于（　　） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·全国·期中）如图，将长方形纸片沿直线折叠，使得点落在边上的点处，点落在点处，交于点，且直线与交于点，与交于点，是直线上一点，连接，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．（23-24七年级下·上海崇明·期中）多边形的每一个内角都等于它相邻外角的5倍，则该多边形的边数是 ． 7．（24-25七年级下·全国·期末）如图，直线，，则的度数是 ． 8．（24-25七年级下·上海松江·单元测试）如图，，是上一点，是，外一点，连接，．若，，则的度数为 ． 9．（23-24七年级下·上海虹口·单元测试）如图，将长方形纸片沿折痕EF折叠，点，的对应点分别为点，，交于点，再把三角形沿折叠，点的对应点为点，若，则的大小是 ． 10．（23-24七年级下·上海奉贤·期中）如图，直线，点E在上，点F在上，点P在，之间，和的角平分线相交于点M，的角平分线交的反向延长线于点N，下列四个结论：①；②；③若，则；④．其中正确的结论是 （填写序号）． 11．（23-24七年级下·上海长宁·期末）如图，在中，是的角平分线，，．求的度数． 12．（24-25七年级下·上海青浦·单元测试）已知，如图，，，在一条直线上，且，，是的平分线，试说明：． 13．（24-25七年级下·上海松江·单元测试）【探究】如图①，试说明； 【应用】 （1）一张帆布折椅的侧面示意图如图②所示，，，，，求椅面和椅背的夹角的度数； （2）如图③，，，求的度数． 14．（24-25七年级下·上海宝山·课后作业）实验证明：平面镜反射光线的规律是射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．如图①，入射光线m、反射光线n与平面镜a所夹的锐角相等，即． (1)图②是潜望镜工作原理示意图，是平行放置的两面平面镜，请解释进入潜望镜的光线m为什么和离开潜望镜的光线n是平行的； (2)如图③，若入射光线m与反射光线n平行但方向相反，则两面平面镜的夹角的度数为多少？ 15．（24-25七年级下·上海杨浦·期末）【提出问题】我们知道，将一个三角形的三个角撕下来拼在一起，可以得到三角形内角和． 【分析问题】小明觉得撕下三角形的一个角也可得出三角形的内角和，他是这样做的： 步骤一：剪一个三角形纸片，它的三个顶点分别为，三个内角分别为，（如图①） 步骤二：将撕下，按图②所示进行摆放，其中的顶点和的顶点重合，的一条边与的一条边重合． 步骤三：如图③所示，将与的公共边延长，它与所夹的角为． 【解决问题】 （1）根据上述的步骤可以得到结论：三角形的内角和等于___________； （2）证明你的结论． 【结果运用】 （3）已知在中，， ，请你判断的形状． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 三角形的内角和重难点题型专训（8大题型+15道提优训练） 题型一 三角形内角和定理的证明 题型二 与平行线有关的三角形内角和问题 题型三 与角平分线有关的三角形内角和问题 题型四 三角形折叠问题综合 题型五 根据三角形内角和定理求角度 题型六 三角形的外角的定义及性质 题型七 三角形内角和定理的应用 题型八 三角形中旋转问题综合 知识点01 三角形的内角 ①三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于 180 度。 ②证明方法：剪拼成平角、通过做平行线构造平角、构造两平行线下的同旁内角。 测量法： 剪角拼角法 ： 知识点02 直角三角形 ①直角三角形的两个角互余。直角三角形用符号“Rt△”表示，如 Rt△ABC。 ②有两个角互余的三角形是直角三角形 知识点03 三角形的外角 ①定义：三角形的一边与另一条边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。 如图，∠ACD 是 △ABC 的一个外角 ②结论：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和；三角形的一个外角大于与它不相 邻的任何一个角。 【经典例题一 三角形内角和定理的证明】 【例1】（23-24七年级下·上海奉贤·阶段练习）如图，，则下列关系式不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查多边形的内角与外角，解题的关键是掌握平行线的性质及三角形的外角性质、四边形的内角和等知识点．延长交于点P、延长交于点Q，由知，根据得可判断A；由知，再根据得可判断B；由AB∥DE知根据可得，据此可判断C，从而得出答案． 【详解】解：如图，延长交于点P、延长交于点Q， ∵ ∴ ∵ ∴，故A选项正确； ∵ ∴ ∵ ∴故B选项正确； ∵， ∴ ∵ ∴， ∴故C选项错误，故D选项正确，； 故选：C． 1．（23-24七年级下·上海松江·期中）如图，若，，则： ①； ②； ③平分； ④； ⑤； ⑥，其中正确的结论是（    ） A．①②③ B．①②⑤⑥ C．①③④⑥ D．③④⑥ 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，三角形内角和定理，根据平行线的性质和判定定理逐项分析判断①②⑤，结合三角形内角和定理可以判定⑥，结合题意和图形判断③④，即可进行解答． 【详解】①∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故①正确； ②∵， ∴， 故②正确； ∵， ∴， 故⑤正确， ∵在中，， 又∵，， ∴， 故⑥正确， ∵在中，无法确定， 又∵， ∴无法确定， ∴无法确定平分，故③错误， ∵在中，无法确定，且， ∴无法确定，故④错误； 故选：B． 2． （23-24七年级下·上海松江·期末）如图，在中，，，则 ． 【答案】30 【分析】由，可知，由此可知，由可知，由可知，由此可得即可得出结论． 【详解】∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解决本题的关键． 3．（23-24七年级下·上海金山·阶段练习）如图，把三角形的三边延长． (1)（    ），这是一个（    ）角． (2)在○里填上“”“”或“”． ○ (3)在图中，你还能找出像第（2）题这样关系的角吗？试着写出一组． 【答案】(1)180，平角 (2) (3) 【分析】本题考查了邻补角的定义，平角的定义，角的大小比较． （1）根据邻补角的定义及平角的定义即可解答； （2）由（1）知，再根据，求出，即可解答； （3）结合（1）（2）即可解答． 【详解】（1）解：是邻补角， ，这个角是一个平角； （2）解：， ， 三角形三个角之和是， ，即， ； （3）解：结合（1）（2）得：． 【经典例题二 与平行线有关的三角形内角和问题】 【例2】（23-24七年级下·上海闵行·期末）如图摆放的是一副直角三角板，，，与相交于点，当的度数是（    ）时，两三角板的边    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的性质和三角形的内角和定理，熟练掌握知识点，准确作出辅助线是解题的关键．过点作，再根据在和中，，，可得，，进而求解的度数，再根据平角的定义即可得出答案． 【详解】解：过点作， ， ， ，， 在和中，，， ，， ，， ， ， 故选：B． 1．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，在中，，，，，连接，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】延长交于点，根据，利用三角形和为，求得，再根据，可得出，再根据求得． 【详解】解：如图，延长交于点，   ，， ， ， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，平行线的性质，作出辅助线是解决本题的关键． 2．（23-24七年级下·上海长宁·期末）如图，，，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查平行线的以及角的和差计算，连接，设，，，，由平行线的性质得，进一步得出，从而可得结论 【详解】解：连接，如图， ， 设，，，， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ； ， ∴ 故答案为： 3．（23-24七年级下·上海青浦·期末）如图，两面镜子相交于点，当从固定点发出的水平光线经过镜子反射时，． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，当两面镜子的夹角为锐角时，反射光线垂直镜面，光线与镜面平行（原题条件可以看成），求的度数； (3)改变两面镜子的夹角，保持反射光线垂直镜面，记与所夹锐角为与所夹锐角为，直线与直线所夹锐角等于； ①如图3，当为锐角时，求的度数； ②当为钝角时，请直接写出的度数． 【答案】(1) (2) (3)①，；② 【分析】此题考查了平行线的性质，三角形内角和定理， （1）首先得到，然后根据平行线的性质得到，然后利用三角形内角和定理求解即可； （2）设，表示出，然后在中，根据两锐角互余得到，进而求解即可； （3）①设，根据题意得到①，②，联立求解即可； ②与①同理的方法求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， ， 在中，； （2）解：设， ， ， ， ； ， ， 在中，， ， ． （3）解：①如图3，设，则， ， ， ， ， 即①， ， ， ， 又， 即②， 由①，②解得：， ，． ②与①同理可得，． 【经典例题三 与角平分线有关的三角形内角和问题】 【例3】（2025七年级下·全国·阶段练习）如图，在中，平分，平分，平分的外角，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查角平分线的定义、三角形的外角性质以及角的和差，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键．根据角平分线的定义求出，即可得到，即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ， 平分， ． 故选C． 1．（23-24七年级下·上海嘉定·期末）如图，在中，是的平分线，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形外角的性质及角平分线的定义，三角形内角和定理，先根据，，求出，再根据角平分线的定义求出的度数，再由三角形外角的性质即可求出的度数． 【详解】解：∵，， ∴， 是的平分线， ， ，是的外角， ． 故选：C． 2．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，、的平分线交于点，若，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理、三角形的外角的性质，熟记性质并作辅助线然后整理出、、三者之间的关系式是解题的关键． 延长交于，根据角平分线的定义可得，，再根据三角形的内角和定理可得，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出，整理可得，即可得解． 【详解】如图，延长交于点，设与交于点． 、的平分线交于点， ，． ，， ① ，， ② ①－②，得， ． ，， ． 3．（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，是的角平分线，E为上一点，于点F，已知，． (1)如图①，若点E与点A重合，求的度数； (2)如图②，若点E在线段上（不与点A重合），求的度数； (3)如图③，若点E在的延长线上，此时的度数是否为定值？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义，垂直的定义等，解题的关键是掌握三角形内角和定理，即任意一个三角形的三个内角和为180度． （1）根据三角形内角和定理求出和，再利用角平分线的定义和角的和差关系求解； （2）根据三角形内角和定理先求，再求，然后利用三角形外角的性质求解即可； （3）先根据对顶角相等得出，再利用直角三角形两锐角互余求解． 【详解】（1）解：∵，，， ，， 平分， ， ； （2）解：因为，， 所以． 因为AD平分， 所以， 所以， 所以， 所以． （3）解：的度数为定值．理由如下： 由（2）可知， 所以， 所以． 【经典例题四 三角形折叠问题综合】 【例4】（23-24七年级下·上海宝山·期末）如图，已知长方形纸片，点，在边上，点，在边上，分别沿，折叠，使点和点都落在点处，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据平行线的性质得到，，然后由折叠的性质得到，，然后根据得到，最后利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵ ∴， ∵沿，折叠，使点和点都落在点处， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴． 故选：C． 1．（23-24七年级下·上海奉贤·期末）如图，将一张三角形纸片折叠，使点A落在的处，折痕为，若，，，那么下列式子中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是关键．根据三角形的外角得：，，代入已知可得结论． 【详解】解：如图，设交于． 由折叠得：， ，， ，，， ， 故选：D 2．（24-25七年级下·上海闵行·阶段练习）如图，在直角三角形中，，点在边上，将沿折叠，点恰好落在边上的处．若，则 度． 【答案】60 【分析】本题考查三角形内角和定理，折叠的性质，解题的关键是利用折叠的性质得到对应角相等，并结合三角形内角和求出相关角度． 先根据三角形内角和定理求出的度数，再由折叠的性质得出与的关系，进而求出，最后在中求出，根据折的性质可知与相等． 【详解】解：在中，， ， 沿折叠，点恰好落在AB边上的处， ， ， ， 由折叠的性质可知， 故答案为：60． 3．（2024七年级下·上海青浦·阶段练习）新考向【动手操作】一个三角形的纸片，沿折叠，使点落在点处． 【观察猜想】 （1）如图①，若，则___________°； 若，则___________°； 若，则___________°； 【探索证明】 （2）利用图①，探索与的关系，并说明理由； 【拓展应用】 （3）如图②，把折叠后，平分，平分，若，利用（2）中的结论求的度数． 【答案】（1）80，110，；（2），见解析；（3）117 【分析】本题考查了折叠的性质、三角形内角和定理、角平分线的定义、三角形外角的定义及性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由折叠的性质可得，，从而得出，，再由三角形内角和定理计算即可得解，同理求解即可； （2）由三角形外角的定义及性质得出，，整理即可得解； （3）由（2）可得，再由角平分线的定义并结合三角形内角和定理计算即可得解． 【详解】解：（1）点沿折叠落在点的位置， ∴，， ∴，． 在中，， ， 整理，得． 同理可得：若，则． 若，则． （2）．理由： ∵，是的两个外角， ∴，， ， ，即． （3）， 由（2），得， ． 平分，平分， ， ． 【经典例题五 根据三角形内角和定理求角度】 【例5】（2025七年级下·全国·阶段练习）如图，将绕点C顺时针旋转得到．若点A，D，E在同一条直线上，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】该题考查了旋转的性质，三角形内角和定理，根据旋转得到，，结合得到，，再根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：将绕点顺时针旋转得到， ，， ， ，， ． 故选：C． 1．（23-24七年级下·上海杨浦·阶段练习）如图，中，是的平分线，是边上的高线，且，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查三角形内角和、三角形的角平分线等知识点，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键． 利用三角形的内角和是可得的度数；是的角平分线，可得的度数；利用是高可得，可求得度数，然后由即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴ ， ∵是边上的高线， ∴， ∴， ∴． 故选： C． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在中，点D在上，．若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查三角形内角和定理以及三角形外角和定理，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．根据三角形外角和定理求出，根据三角形内角和定理求出答案即可． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 3．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，在中，比大，点D，E分别在上，连接，． (1)求的度数； (2)判断与之间的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，平行线的判定，解答的关键是结合图形分析清楚各角的关系． （1）由三角形的内角和可求得解； （2）利用同位角相等，两直线平行即可判定． 【详解】（1）解：设，则． 在中，因为， 所以，解得， 所以， 所以． （2）解：． 理由：因为， 所以， 所以． 【经典例题六 根据三角形内角和定理求角度】 【例6】（23-24七年级下·上海松江·阶段练习）如果将一副三角板按如图所示的方式叠放，那么的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了角的和差、三角形外角的性质等知识点，掌握三角形外角的性质是解题的关键． 由角的和差可得，再根据三角形外角的性质即可解答． 【详解】解：如图，，，， ， ． 故选C． 1．（2025七年级下·上海松江·阶段练习）如图，和分别是的内角平分线和外角平分线，是的平分线，是的平分线，是的平分线，是的平分线，……，如此进行下去，若，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形外角的性质、角平分线的定义、三角形外角的性质等，找出其中规律是解题的关键；根据角平分线的定义可得，，再根据三角形外角性质可得，，联立化简可得：，进一步找出其中规律，即可求出； 【详解】解：和分别是的内角平分线和外角平分线， ∴，， ∵， ∴①，②， ②得：， ∴③， 由①和③得：， ∵， ∴， 同理：，，……， ∴， ∴， 故选：C； 2．（24-25七年级下·上海静安·期末）数学兴趣小组同学利用几何图形画出螳螂的简笔画，如图，已知，且．则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，延长交于点F，根据平行线的性质得出的度数，根据邻补角互补求出的度数，再根据三角形外角的性质即可求出的度数． 【详解】解：如图，延长交于点F， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（24-25七年级下·全国·单元测试）由组成的线段图如图所示，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查三角形外角的性质及多边形的内角与外角，解答的关键是沟通外角和内角的关系．由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得，，而，从而求出所求的角的和． 【详解】 解：如图： 由三角形外角可得：，， ， ， 【经典例题七 根据三角形内角和定理求角度】 【例7】（24-25七年级下·全国·课后作业）在下列条件中，能确定是直角三角形的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形内角和，直角三角形的定义，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．根据三角形定理以及直角三角形的概念判断即可． 【详解】解：， ，得到，即，不能确定是直角三角形，故选项A不符合题意； ，，不能确定是直角三角形，故选项B不符合题意； ，能确定是直角三角形，故选项C符合题意； 不能确定是直角三角形，故选项D不符合题意； 故选C． 1．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，从A点发出的光线、经平面镜反射后得到反射光线、，、为法线，设，，，那么、、之间的数量关系是（提示：入射光线和反射光线与平面镜所夹的角相等）（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形内角和定理，光的反射定律，熟练掌握查三角形内角和定理和光的反射定律是解题的关键，注意跨学科之间的联系． 根据光的反射定律，求出，，再根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】由题意可得， ． ， 即， ， ． 故选：B． 2．（24-25七年级下·上海闵行·单元测试）如图，，，、的五等分线分别交于点、、、，则 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形的内角和定理，根据题意，得到，，进而求出，再利用三角形的内角和定理，进行求解即可． 【详解】解：、的五等分线分别交于点、、、， ，． ， ， ． 故答案为：． 3．（2025七年级下·全国·阶段练习）如下图，在中，，是边上的高，平分，且．求和的度数． 【答案】， 【分析】本题考查了三角形内角和，角平分线的计算，利用角平分线得到，利用角度的转换求得即可解答，熟练进行角度的转换进行计算即可解答． 【详解】解：， ， ． 平分， ， ． 【经典例题八 根据三角形内角和定理求角度】 【例8】（23-24七年级下·上海徐汇·阶段练习）如图，将绕点逆时针旋转，旋转角为，得到，这时点旋转后的对应点恰好在直线上，则下列结论错误的是（   ） A．∠ABC=∠ADB B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形外角性质，由旋转得，即可判断；根据是的外角，可得，可判断；根据为旋转角，得出，可判断；根据，，可得，可判断，据此即可求解，掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：将绕点逆时针旋转，旋转角为，得到， ∴，，， ∵点旋转后的对应点恰好在直线上， ∴，故选项正确； ∵是的外角， ∴， ∴，故选项不正确； ∵为旋转角， ∴，故选项正确； ∵，， ∴，故选项正确； 故选：． 1．（23-24七年级下·上海长宁·期末）如图，将绕着点顺时针旋转得到，若，，，则旋转角度是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据旋转的性质可得，结合三角形的内角和定理可得，即可求解． 【详解】解：∵绕着点顺时针旋转得到， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴旋转角为， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，解题的关键掌握旋转前后对应角相等，对应边连线的夹角等于旋转角． 2．（23-24七年级下·上海静安·期中）如图，，点在直线左侧，，，射线从射线出发，绕点B以每秒的速度按顺时针方向旋转，同时射线从射线出发，绕点C以每秒的速度按顺时针方向旋转，当射线旋转时两条射线都停止旋转．射线与射线交于点，若，则射线旋转了 秒．    【答案】25或65 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形外角的性质，一元一次方程的应用，过点E作，延长，先求出，设运动时间为t，则，，分两种情况：当点P在点B的左侧时，当点P在点B的右侧时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】解：过点E作，延长，如图所示：    ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设运动时间为t，则，， 当点P在点B的左侧时，如图所示：   ， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：； 当点P在点B的右侧时，如图所示：    此时，， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：； 综上分析可知：射线旋转了25秒或65秒． 故答案为：25或65． 3．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，在中，，．将绕点按逆时针方向旋转一定角度后得到，与相交于点，．当时，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，旋转的性质，平行线的性质，由三角形内角和定理得，由旋转的性质得，，进而根据平行线的性质可得，即得，再根据三角形内角和定理即可求解，掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】．解：在中，，， ， 由旋转得，，， ， ， ， ， ， ， ． 1．（23-24七年级下·上海宝山·期中）如果三角形三个外角度数之比是，则此三角形一定是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题主要考查的是三角形形状的判断，设三个外角分别是，根据判定即可． 【详解】解：∵三角形三个外角度数之比是， 设三个外角分别是，则 ∴此三角形一定是直角三角形． 故选：B． 2．（23-24七年级下·上海长宁·阶段练习）已知一等腰三角形，若其中一个底角的度数为，则其顶角的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质和三角形内角和定理，根据等腰三角形得两底角相等，结合三角形内角和定理即可求得顶角． 【详解】解：∵三角形为等腰三角形， ∴两底角相等， ∵一个底角的度数为， 则顶角度数为， 故选：A． 3．（24-25七年级下·上海杨浦·期末）将一块含角的直角三角板与一把直尺按如图所示方式摆放，，．若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，三角形的内角和定理，先求出，过B作，根据平行线的传递性得出，根据平行线的性质得出，，根据角的和差以及对顶角的性质求出，结合三角形内角和定理求出，然后整体代入计算即可． 【详解】解∶根据题意，得，，， ∴， 过B作， ∴， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 故选∶D． 4．（23-24七年级下·上海静安·期中）如图，已知，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了三角形内角和定理．连接．设与交于点，由三角形内角定理求出．再由三角形内角和定理和对顶角相等即可求出． 【详解】如图，连接．设与交于点， ，． ，， ， 故选：C． 5．（24-25七年级下·全国·期中）如图，将长方形纸片沿直线折叠，使得点落在边上的点处，点落在点处，交于点，且直线与交于点，与交于点，是直线上一点，连接，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的判定与性质，三角形的内角和定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据折叠得到，证明，则，由三角形的内角和得到，继而，再根据平行线的性质求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵长方形纸片沿直线折叠， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 6．（23-24七年级下·上海崇明·期中）多边形的每一个内角都等于它相邻外角的5倍，则该多边形的边数是 ． 【答案】12/十二 【分析】设外角为x，则相邻的内角为，由题意得，，根据多边形的外角和定理解答即可． 本题考查了多边形的外角和定理，外角和相邻内角的互补关系，解方程，熟练掌握定理和解方程是解题的关键． 【详解】解：设外角为x，则相邻的内角为， 由题意得，， 解得，， 多边形的外角和为， ， 所以这个多边形的边数为12． 答案：12． 7．（24-25七年级下·全国·期末）如图，直线，，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质和三角形内角和定理．解题的技巧性在于把求的值转化为求同一三角形内的的值．根据平行线的性质和等量代换可以求得，所以根据三角形内角和是进行解答即可． 【详解】解：如图， ∵， ∴， 又，， ∴， ∴， 故答案为：． 8．（24-25七年级下·上海松江·单元测试）如图，，是上一点，是，外一点，连接，．若，，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】此题考查了平行线的性质和三角形外角的性质．延长交于点G，根据两直线平行同位角相等得到，再利用三角形外角的性质即可得到． 【详解】解：延长交于点G， ∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为： 9．（23-24七年级下·上海虹口·单元测试）如图，将长方形纸片沿折痕EF折叠，点，的对应点分别为点，，交于点，再把三角形沿折叠，点的对应点为点，若，则的大小是 ． 【答案】/128度 【分析】本题主要考查了折叠的性质，平行线的性质，三角形内角和定理的应用，解题的关键是熟练掌握折叠的性质． 根据，得出，根据折叠得出，，，，求出，，根据平行线的性质得出，求出． 【详解】解：∵， ∴， 根据折叠可知：，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵长方形纸片中， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 10．（23-24七年级下·上海奉贤·期中）如图，直线，点E在上，点F在上，点P在，之间，和的角平分线相交于点M，的角平分线交的反向延长线于点N，下列四个结论：①；②；③若，则；④．其中正确的结论是 （填写序号）． 【答案】①②④ 【分析】本题考查平行线的性质、角平分线的定义、三角形的内角和定理，作，证得，由平行线的性质即可判断①；同理可证，再根据角平分线的定义即可判断②；若，则，再由平行线的性质和角平分线的定义可得，由与不一定相等，即可判断③；由角平分线的定义得，即，即可判断④． 【详解】解：①：作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故①正确； 同理可得：， ∵平分，平分， ∴，， ∴， 即，故②正确； 设交于点H， 若，则， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 若，则， ∵与不一定相等， ∴与不一定相等，故③不正确； ∵平分，平分， ∴， ∴， ∵，且，， ∴， ∴， ∴，故④正确． 故答案为：①②④． 11．（23-24七年级下·上海长宁·期末）如图，在中，是的角平分线，，．求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理等知识点，关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．根据三角形外角的性质，角平分线的定义以及三角形的内角和定理即可得到结论． 【详解】解：，，，， ， 是角平分线， ， 在中，． 12．（24-25七年级下·上海青浦·单元测试）已知，如图，，，在一条直线上，且，，是的平分线，试说明：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的判定，角平分线的定义，三角形外角的性质，熟悉掌握平行线的判定方法是解题的关键． 利用角的等量代换证出，即可判定出． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴． 13．（24-25七年级下·上海松江·单元测试）【探究】如图①，试说明； 【应用】 （1）一张帆布折椅的侧面示意图如图②所示，，，，，求椅面和椅背的夹角的度数； （2）如图③，，，求的度数． 【答案】探究：见解析；应用：（1）；（2） 【分析】本题侧重考查三角形的外角性质及三角形内角和定理． 探究：连结，并延长，如图所示，先由外角的性质得①，②，再由①②即可得出结论； 应用：（1）先由三角形的内角和求出，得到，再由探究的结论得到，代入求值即可； （2）连结，由探究可知，，即可得到， 【详解】探究： 证明：连结，并延长，如图所示， 是的外角， ①， 是的外角， ②， ①②，得 ， 即； 应用： 解：（1），， ， ， 由探究可知； （2）连结，如图所示． 由探究可知③， ④， ③④，得 ， ． 14．（24-25七年级下·上海宝山·课后作业）实验证明：平面镜反射光线的规律是射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．如图①，入射光线m、反射光线n与平面镜a所夹的锐角相等，即． (1)图②是潜望镜工作原理示意图，是平行放置的两面平面镜，请解释进入潜望镜的光线m为什么和离开潜望镜的光线n是平行的； (2)如图③，若入射光线m与反射光线n平行但方向相反，则两面平面镜的夹角的度数为多少？ 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握平行线的性质； （1）根据两直线平行，内错角相等的性质得，再结合平角的性质计算，即可得到结论； （2）根据两直线平行，同旁内角互补的性质得，再结合平角、三角形内角和的性质计算，即可得到答案． 【详解】（1）∵， ∴． 根据题意可知，， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）如图， ∵， ∴． ∵，， ∴． 由题意，得， ∴， ∴． 15．（24-25七年级下·上海杨浦·期末）【提出问题】我们知道，将一个三角形的三个角撕下来拼在一起，可以得到三角形内角和． 【分析问题】小明觉得撕下三角形的一个角也可得出三角形的内角和，他是这样做的： 步骤一：剪一个三角形纸片，它的三个顶点分别为，三个内角分别为，（如图①） 步骤二：将撕下，按图②所示进行摆放，其中的顶点和的顶点重合，的一条边与的一条边重合． 步骤三：如图③所示，将与的公共边延长，它与所夹的角为． 【解决问题】 （1）根据上述的步骤可以得到结论：三角形的内角和等于___________； （2）证明你的结论． 【结果运用】 （3）已知在中，， ，请你判断的形状． 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）为直角三角形，理由见解析 【分析】此题考查的知识点是平行线的判定与性质及三级骄傲性内角和定理，关键是运用平行线的判定与性质得出结论． （1）根据三角形内角和等于即可解答； （2）由可得：，由此得出结论； （3）根据三角形内角和等于列方程，即可解答． 【详解】解：（1）根据上述的步骤可以得到结论：三角形的内角和等于， 故答案为：； （2）， ， ， ， ， 所以得出三角形三个内角的和是； （3）， ， ， 解得， ， 为直角三角形． 学科网（北京）股份有限公司 $$