2025年九年级中考数学专题复习-面积问题（二次函数综合）

2025年九年级中考数学专题复习-面积问题（二次函数综合） 1．如图所示，抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点M为抛物线的顶点． （1）求点C及顶点M的坐标； （2）在抛物线的对称轴上找一点P，使得PA+PC的值最小，请求出点P的坐标并求出最小值； （3）若点N是第四象限内抛物线上的一个动点，连接BN、CN，求面积的最大值及此时点N的坐标． 2．如图，直线l过A(3，0)和 B(0，3)两点，它与二次函数的图象在第一象限内交于点P，若△AOP的面积为3，求该二次函数的解析式． 3．在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成的矩形的周长与面积相等，则称这个点为“美好点”，如图，过点P分别作x轴，y轴的垂线，与坐标轴围成的矩形OAPB的周长与面积相等，则P为“美好点”． （1）在点M（2，2），N（4，4），Q（﹣6，3）中，是“美好点”的有　 　； （2）若“美好点”P（a，﹣3）在直线y＝x+b（b为常数）上，求a和b的值； （3）若“美好点”P恰好在抛物线第一象限的图象上，在x轴上是否存在一点Q使得△POQ为直角三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 4．如图，抛物线交x轴的正半轴于点A，点B（，a）在抛物线上，点C是抛物线对称轴上的一点，连接AB、BC，以AB、BC为邻边作ABCD，记点C纵坐标为n， (1)求a的值及点A的坐标； (2)当点D恰好落在抛物线上时，求n的值； (3)记CD与抛物线的交点为E，连接AE，BE，当△AEB的面积为7时，n= ．（直接写出答案） 5．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于点A(﹣2，0)和点B(8，0)，与y轴交于点C(0，﹣8)，连接AC，D是抛物线对称轴上一动点，连接AD，CD，得到△ACD． （1）求该抛物线的函数解析式． （2）△ACD周长能否取得最小值，如果能，请求出D点的坐标；如果不能，请说明理由． （3）在（2）的条件下，在抛物线上是否存在点E，使得△ACE与△ACD面积相等，如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 6．如图，已知抛物线的顶点坐标为A（1，4），抛物线与y轴交于点B（0，3），与x轴交于C，D两点．点P是抛物线上的一个动点． (1)求此抛物线的表达式． (2)求C，D两点坐标及△BCD的面积． (3)若点P在x轴下方的抛物线上．满足，求点P的坐标． 7．在平面直角坐标系中，二次函数 y＝ax2＋bx＋2 的图象与 x 轴交于 A（﹣3，0），B（1，0）两点，与 y 轴交于点C． （1）求这个二次函数的关系解析式 ，x 满足什么值时 y﹤0 ? （2）点 p 是直线 AC 上方的抛物线上一动点，是否存在点 P，使△ACP 面积最大？若存在，求出点 P的坐标；若不存在，说明理由 （3）点 M 为抛物线上一动点，在 x 轴上是否存在点 Q，使以 A、C、M、Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点 Q 的坐标；若不存在，说明理由． 8．如图1，抛物线，交轴于A、B两点，交轴于点，为抛物线顶点，直线垂直于轴于点，当时，． (1)求抛物线的表达式； (2)点是线段上的动点（除、外），过点作轴的垂线交抛物线于点． ①当点的横坐标为2时，求四边形的面积； ②如图2，直线，分别与抛物线对称轴交于、两点．试问，是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由． 9．如图1，抛物线经过，两点，与轴交于点，为第四象限内抛物线上一点，过点作轴于点，连接，，与轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式． (2)设四边形的面积为，求的最大值． (3)当时，求直线的函数表达式及点的坐标 10．如图，抛物线与轴交于点和B，与y轴交于点C，顶点为点D． （1）求抛物线的表达式、点B和点D的坐标； （2）将抛物线向右平移后所得新抛物线经过原点O，点B、D的对应点分别是点，联结，求的面积． 11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）点P从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点Q从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，当PBQ存在时，求运动多少秒时，PBQ的面积最大？最大面积是多少？ （3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使以P，B，Q为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由． 12．如图，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，已知． （1）求m的值和直线对应的函数表达式； （2）P为抛物线上一点，若，请直接写出点P的坐标； （3）Q为抛物线上一点，若，求点Q的坐标． 13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过、两点，与x轴交于另一点C，顶点为D． 求该抛物线的解析式及点C、D的坐标； 经过点B、D两点的直线与x轴交于点E，若点F是抛物线上一点，以A、B、E、F为顶点的四边形是平行四边形，求点F的坐标； 如图是抛物线上的点，Q是直线AP上方的抛物线上一动点，求的最大面积和此时Q点的坐标． 14．如图，直线y＝x+2与抛物线y＝ax2+bx+6（a≠0）相交于和B(4，6)，点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）当C为抛物线顶点的时候，求BCE的面积； （3）是否存在这样的点P，使BCE的面积有最大值，若存在，求出这个最大值，若不存在，请说明理由． 15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于A、C两点，直线l与y轴交于点B，抛物线上的动点D在直线l的上方． (1)请直接写出点A、点C的坐标； (2)连接、，当三角形的面积最大时，求点D的坐标？ (3)连接、，当三角形以边为直角边时，求点D的坐标？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2025年九年级中考数学专题复习-面积问题（二次函数综合）》参考答案 1．（1）点的坐标为，点的坐标为；（2）点P的坐标为（1，－4），的最小值为；（3）面积的最大值为，此时点的坐标为． 【分析】（1）令抛物线解析式中即可求出点坐标，将抛物线的一般式化为顶点式，即可求出顶点坐标； （2）根据轴对称的性质可得线段BC与对称轴的交点即为点P，先利用待定系数法求出解析式，由此再求出点P坐标即可； （3）过点作轴的垂线交直线于Q点，设，进而得到点坐标，最后根据求解即可． 【详解】解：（1）将代入，得：， ∴点的坐标为， ， 抛物线的顶点的坐标为； （2）如图，设线段BC与对称轴的交点为点P，连接AC，AP， 根据轴对称的性质可得：， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴此时最小， 将代入， 得： ， 解得：， ∴点的坐标为， 设直线BC的解析式为， 将，代入， 得：， 解得：， ∴直线BC的解析式为， ∵顶点的坐标为， ∴抛物线的对称轴为直线， 将代入，得， ∴点P的坐标为（1，－4）； 故此时的最小值为． （3）过点作轴的垂线交直线于点，连接，，如图1所示： 设点坐标为，则点坐标为，其中， ∴， ∴ ， ∵，， ∴当时，有最大值为， 将代入，得：， ∴BCN面积的最大值为，此时点的坐标为． 【点睛】本题是二次函数综合题目，考查了二次函数的图像和性质、待定系数法求直线的解析式等知识，本题综合性较强，具有一定的难度，熟练掌握二次函数的图形和性质，学会用代数的方法求解几何问题是解决本题的关键． 2． 【分析】先利用待定系数法求出直线AB的解析式为，则可设P(t，—t+3)( )，再根据三角形面积公式得到 ，解出t的值，确定点Р的坐标，最后把点Р的坐标代入 中求出a的值即可． 【详解】解：设直线AB对应的函数解析式为 ， 把A(3，0)，B(0，3)代入，得 解得 所以直线AB对应的函数解析式为 ． 设点P(t，—t＋3)(0<t<3)．因为△AOP的面积为3，所以 解得t=1，所以点Р的坐标为(1，2)． 把P(1，2)代入 ，得a=2， 所以二次函数的解析式为 ． 【点睛】本题考查二次函数与一次函数的综合性问题，一要注意确定各自解析式需要的条件，二要注意充分利用函数图象的交点坐标． 3．（1）N、Q；（2）a＝6，b＝﹣9或a＝﹣6，b＝3；（3）存在，点Q的坐标为（6，0）或（，0）． 【分析】（1）根据“美好点”的定义逐个验证即可； （2）对于P点，对应图形的周长为：2×（|a|+3）=2|a|+6，面积为3|a|，因为点P是“美好点”，故2|a|+6=3|a|，即可求解； （3）根据点P是“美好点”确定点P的坐标，设点Q的坐标为（x，0），再分以下三种情况：当∠POQ=90°时，此种情况不存在；当∠PQO=90°时，则PO2=PQ2+OQ2；当∠OPQ=90°时，则OQ2=PQ2+OP2，分别列出关于x的方程，解得x即可． 【详解】解：（1）对于M点，对应图形的周长为：2×（2+2）＝8，面积为2×2＝4≠8，故点M不是“美好点”； 对于点N，对应图形的周长为：2×（4+4）＝16，面积为4×4＝16，故点N是“美好点”； 对于点Q，对应图形的周长为：2×（6+3）＝18，面积为6×3＝18，故点Q是“美好点”； 故答案为：N、Q； （2）对于P点，对应图形的周长为2×（|a|+3）＝2|a|+6，面积为3|a|， ∵点P是“美好点”， ∴2|a|+6＝3|a|，解得：a＝±6， 将P（a，﹣3）代入y＝x+b得：﹣3＝a+b，则b＝﹣3﹣a， ∴当a=6时，b=-9；当a=-6时，b=3， 故a＝6，b＝﹣9或a＝﹣6，b＝3； （3）存在，理由如下： 设点P的坐标为（m，n），则n＝m2（m＞0，n＞0）， 由题意得：2m+2n＝mn，∴2m+m2＝m3， 解得：m＝6或﹣4（舍去）或0（舍去）， 故点P的坐标为（6，3）； 设点Q的坐标为（x，0）， 则PQ2＝（x﹣6）2+32＝（x﹣6）2+9， PO2＝36+9＝45， OQ2＝x2， 当∠POQ=90°时，∵点Q在x轴上，则∠POQ≠90°，此种情况不存在； 当∠PQO=90°时，则PO2=PQ2+OQ2，∴45=（x﹣6）2+9+ x2，解得x＝6或x=0（舍去）； 当∠OPQ=90°时，则OQ2=PQ2+OP2，∴x2=（x﹣6）2+9+45，解得x＝； 综上所述，符合条件的点Q的坐标为：（6，0）或（，0）． 【点睛】本题考查了新定义问题，二次函数图象上的点，勾股定理，一次函数的图象上的点以及解一元二次方程等知识点，理解新定义是解题的关键，第（3）小问注意分类讨论思想的运用，避免漏解． 4．(1)， A（3，0） (2) (3) 【分析】（1）将，y=a代入抛物线的解析式可求得a的值，求得方程x2-3x=0的解可得到点A的横坐标； （2）过D作DG⊥对称轴于G，BH⊥x轴于H．先证明△ABH≌△DCG，从而得到CG=BH=，DG=AH=，然后由xD=OF+DG可求得点D的横坐标，然后将x=5代入抛物线的解析式可求得点D的纵坐标，最后由点D的坐标可得到点C的纵坐标； （3）连接AC，过点B作BH⊥OA，垂足为H．先证明△AFG∽△ABH，依据相似三角形的性质可求得GF=，则CF=，然后依据S△ABC=可得到关于n的方程，从而可求得n的值． 【详解】（1）解：（1）当时，， ∴B（，）． 由x2-3x=0，得x1=0（舍去），x2=3． ∴A（3，0）． （2）如图1所示：过D作DG⊥对称轴于于G，BH⊥x轴于H． ∵ABCD为平行四边形， ∴CDAB，CD=AB． ∴∠DCG=∠AEF． ∵BHEF， ∴∠HBA=∠FEA． ∴∠HBA=∠DCG． 在△ABH和△DCG中 ， ∴△ABH≌△DCG． ∴CG=BH=，DG=AH=， ∴，将x=5代入抛物线的解析式得：y=10． ∴； （3）如图2所示：连接AC，过点B作BH⊥OA，垂足为H． ∵DCBA， ∴S△ABE=S△BAC． 由（2）可知：AG=，AH=，BH=， ∵GFBH， ∴△AFG∽△ABH． ∴，即， 解得：GF=， ∴CF=． ∵， ∴，解得n=． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了平行四边形的性质、全等三角形的性质和判定、相似三角形的性质和判定，三角形的面积公式，求得点D的坐标是解答问题（2）的关键，依据列出关于n的方程解答问题（3）的关键． 5．（1）抛物线的解析式为：y＝x2﹣3x﹣8；（2）△ACD周长能取得最小值，点D(3，﹣5)；（3）存在，点E(﹣1，﹣4+11)或(﹣﹣1，4+11) 【分析】（1）由抛物线过A(﹣2，0)，点B(8，0)和C(0，﹣8)，利用待定系数法可求解析式； （2）求△ACD周长＝AD+AC+CD，AC是定值，当AD+CD取最小值时，△ACD周长能取得最小值，点A，点B关于对称轴直线x＝3对称，连结BC交抛物线对称轴于D，利用待定系数法可求BC解析式，把x=3代入即可求解点D坐标； （3）△ACE与△ACD面积相等，两个三角形同底，只要点E与点D到AC的距离相等即可，先求出AC解析式，由面积相等可得DE∥AC，利用待定系数法可求DE的解析式，与抛物线联立方程组可求解． 【详解】解：（1）由题意可得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣3x﹣8； （2）△ACD周长能取得最小值， ∵点A（﹣2，0），点B（8，0）， ∴对称轴为直线x＝3， ∵△ACD周长＝AD+AC+CD，AC是定值， ∴当AD+CD取最小值时，△ACD周长能取得最小值， ∵点A，点B关于对称轴直线x＝3对称， ∴连接BC交对称轴直线x＝3于点D，此时AD+CD有最小值， 设直线BC解析式为：y＝kx﹣8， ∴0＝8k﹣8， ∴k＝1， ∴直线BC解析式为：y＝x﹣8， 当x＝3，y＝﹣5， ∴点D（3，﹣5）； （3）存在， ∵点A（﹣2，0），点C（0，﹣8）， ∴直线AC解析式为y＝﹣4x﹣8， 如图， ∵△ACE与△ACD面积相等， ∴DE∥AC， ∴设DE解析式为：y＝﹣4x+n， ∴﹣5＝﹣4×3+n， ∴n＝7， ∴DE解析式为：y＝﹣4x+7， 联立方程组可得：， 解得：，， ∴点E（﹣1，﹣4+11）或（﹣﹣1，4+11）． 【点睛】本题考查抛物线解析式，三角形最短周长，和面积相等时抛物线上点的坐标问题，会用待定系数法求解析式，周长最短问题转化线段的和最短问题，会用过找对称点实现转化，利用底相同，高相同，转化平行线问题是解题关键． 6．(1) (2)C(-1，0)；D(3，0)；6 (3)或 【分析】（1）设抛物线顶点式解析式y=a（x-1）2+4，然后把点B的坐标代入求出a的值，即可得解； （2）令y=0，解方程得出点C，D坐标，再用三角形面积公式即可得出结论； （3）先根据面积关系求出点P的坐标，求出点P的纵坐标，代入抛物线解析式即可求出点P的坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线的表达式为， 把点代入，得，解得， ∴抛物线的表达式为． （2）由（1）知抛物线的表达式为， 令，则，解得或， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）由（2）知，，， ∵， ∴， ∴， ∵点P在x轴下方的抛物线上， ∴点P的纵坐标为， ∵抛物线的表达式为， ∴，解得， ∴点P的坐标为或． 【点睛】本题考查的是二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 7．（1）， 或；（2）P；（3） 【分析】（1）将点A（﹣3，0），B（1，0）带入y＝ax2＋bx＋2得到二元一次方程组，解得即可得出函数解析式；又从图像可以看出x 满足什么值时 y﹤0； （2）设出P点坐标，利用割补法将△ACP 面积转化为，带入各个三角形面积算法可得出与m之间的函数关系，分析即可得出面积的最大值； （3）分两种情况讨论，一种是CM平行于x轴，另一种是CM不平行于x轴，画出点Q大概位置，利用平行四边形性质即可得出关于点Q坐标的方程，解出即可得到Q点坐标. 【详解】解：（1）将A（﹣3，0），B（1，0）两点带入y＝ax2＋bx＋2可得： 解得： ∴二次函数解析式为. 由图像可知，当或时y﹤0； 综上：二次函数解析式为，当或时y﹤0； （2）设点P坐标为，如图连接PO，作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N. PM=，PN=，AO=3. 当时，，所以OC=2 ， ∵ ∴函数有最大值， 当时，有最大值， 此时； 所以存在点，使△ACP 面积最大. （3）存在， 假设存在点Q使以 A、C、M、Q 为顶点的四边形是平行四边形 ①若CM平行于x轴，如下图，有符合要求的两个点此时= ∵CM∥x轴， ∴点M、点C（0,2）关于对称轴对称， ∴M（﹣2,2）， ∴CM=2. 由=； ②若CM不平行于x轴，如下图，过点M作MG⊥x轴于点G， 易证△MGQ≌△COA，得QG=OA=3，MG=OC=2，即. 设M（x，﹣2），则有，解得：. 又QG=3,∴， ∴ 综上所述，存在点P使以 A、C、M、Q 为顶点的四边形是平行四边形， Q点坐标为： . 【点睛】本题考查二次函数与几何综合题目，涉及到用待定系数法求二次函数解析式，通过函数图像得出关于二次函数不等式的解集，平面直角坐标系中三角形面积的计算通常利用割补法，并且将所要求得点的坐标设出来，得出相关方程；在解答（3）的时候注意先画出大概图像再利用平行四边形性质进行计算和分析. 8．(1) (2)①；②是，定值为，理由见解析 【分析】（1）由当时，，可知，是的两根，代入方程可得从而得解； （2）①把代入抛物线解析式可得D点坐标，再代入抛物线解析式可得C点坐标， 从而得知线段轴，利用配方法可知点F坐标，从而利用求面积； ②设，用待定系数法求出直线与直线的解析式，再令得，，从而得出，的长，从而得到是定值8． 【详解】（1）解：∵当时，， ∴，是的两根，， ∴， 解得：， 抛物线的表达式为：； （2）①把代入得：， ． 又当，， ， 线段轴． ， ， ； ②设， 直线，， 因此可得： 或， 解得：或， 直线， ． 令得，， ，， ． 【点睛】本题考查二次函数与一次函数综合，涉及四边形的面积求法，待定系数法等知识，掌握待定系数法和面积求法是解题的关键． 9．(1) (2) (3)直线的解析式为；点的坐标为 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，待定指数法求函数解析式，二次函数与几何图形，解题的关键是掌握相关的知识． （1）将，代入，即可求解； （2）连接，过点作于点，为第四象限内抛物线上一点，设点，则，，根据，点在轴上，可得，最后根据得，然后根据二次函数的最值求解即可； （3）根据题意可推出，则，设，由，求出，再由待定系数法求直线的解析式，联立方程组可求出点的坐标． 【详解】（1）解：将，代入，得： ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图，连接，过点作于点， ，抛物线的解析式为， 设点， 为第四象限内抛物线上一点， ， 轴，点在上， ， ， ，点在轴上， ， ， ， ，， 当时，有最大值，； （3）解：如图， 令，则， ， 轴，轴， ， ， ， ， 又， ， ， 设，则， 又， ， ， ， 设直线的解析式为，将，代入得： ， 解得：， 直线的解析式为； 联立，得， 解得：（不合题意，舍去），， 点的坐标为． 10．（1）y＝﹣x2+2x+3，B的坐标为（3，0）、点D的坐标为（1，4）； （2）5 【分析】（1）将点A的坐标代入抛物线表达式，求出a＝﹣1，进而求解； （2）根据新抛物线经过原点O，求出其表达式，利用△CB'D'的面积＝S△D′HC+S△D′HB′，进而求解． 【详解】解：（1）将代入抛物线表达式得： 0＝a+2a+3， 解得：a＝﹣1， 故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3； 抛物线的对称轴为：x＝1，点D的坐标为：（1，4）， 令y＝0，y＝﹣x2+2x+3＝0，解得：x＝3或﹣1，令x＝0，则y＝3， 故点B的坐标为：（3，0）、点C（0，3）； 故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3，B的坐标为（3，0）、点D的坐标为（1，4）； （2）设抛物线向右平移了m个单位， 则B'、D'的坐标分别为：（m+3，0）、（m+1，4）， 平移后抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣m﹣1）2+4， ∵新抛物线经过原点O， ∴当x＝0时，y＝﹣（0﹣m﹣1）2+4＝0， 解得：m＝1或﹣3（舍去﹣3）， 故点B'、D'的坐标分别为：（4，0）、（2，4）， 如下图，过点D′作D′H∥y轴交B′C于点H， 设直线B′C的表达式为：y＝kx+b，则，解得：， 故直线B′C的表达式为：， 当x＝2时，，故； △CB'D'的面积＝S△D′HC+S△D′HB′＝×D′H×OB′＝××4＝5． 【点睛】本题考查二次函数的相关性质，掌握二次函数图象的性质以及相关点的求算、割补法求面积等是解题关键． 11．（1）；（2）运动1秒使PBQ的面积最大，最大面积是；（3）存在，或 【分析】（1）把点A、B的坐标分别代入抛物线解析式，列出关于系数a、b的解析式，通过解方程组求得它们的值； （2）设运动时间为t秒．利用三角形的面积公式列出S△PBQ与t的函数关系式．利用二次函数的图象性质进行解答； （3）根据余弦函数，可得关于t的方程，根据解方程，可得答案． 【详解】解：（1）把点A（﹣2，0）、B（4，0）分别代入y＝ax2+bx﹣3（a≠0），得 ， 解得， 所以该抛物线的解析式为：； （2）设运动时间为t秒，则AP＝3t，BQ＝t． ∴PB＝6﹣3t． 由题意得，点C的坐标为（0，﹣3）． 在RtBOC中，． 如图1，过点Q作QH⊥AB于点H． ∴QH∥CO， ∴BHQ∽BOC， ∴，即， ∴． ∴． 当PBQ存在时，0＜t＜2 ∴当t＝1时，． 答：运动1秒使PBQ的面积最大，最大面积是； （3）如图2， 在RtOBC中，． 设运动时间为t秒，则AP＝3t，BQ＝t． ∴PB＝6﹣3t． 当∠PQB＝90°时，， 即， 化简，得17t＝24， 解得， 当∠BPQ＝90°时， ， 化简，得19t＝30， 解得， 综上所述：或时，以P，B，Q为顶点的三角形为直角三角形． 【点睛】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有待定系数法求二次函数解析式和三角形的面积求法．在求有关动点问题时要注意该点的运动范围，即自变量的取值范围． 12．（1），；（2），，；（3） 【分析】（1）求出A，B的坐标，用待定系数法计算即可； （2）做点A关于BC的平行线，联立直线与抛物线的表达式可求出的坐标，设出直线与y轴的交点为G，将直线BC向下平移，平移的距离为GC的长度，可得到直线，联立方程组即可求出P； （3）取点，连接，过点作于点，过点作轴于点，过点作于点，得直线对应的表达式为，即可求出结果； 【详解】（1）将代入， 化简得，则（舍）或， ∴， 得：，则． 设直线对应的函数表达式为， 将、代入可得，解得， 则直线对应的函数表达式为． （2）如图，过点A作∥BC，设直线与y轴的交点为G，将直线BC向下平移 GC个单位，得到直线， 由（1）得直线BC的解析式为，， ∴直线AG的表达式为， 联立， 解得：（舍），或， ∴， 由直线AG的表达式可得， ∴，， ∴直线的表达式为， 联立， 解得：，， ∴，， ∴，，． （3）如图，取点，连接，过点作于点， 过点作轴于点，过点作于点， ∵， ∴AD=CD， 又∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴，则，． 设， ∵，， ∴． 由，则，即，解之得，． 所以，又， 可得直线对应的表达式为， 设，代入， 得，，， 又，则．所以． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合题，结合一元二次方程求解是解题的关键． 13．（1）；（2）；（3）当时，的最大面积为， 此时． 【分析】（1）首先将点A、B的坐标代入抛物线的解析式中，即可求出待定系数的值．再通过配方、令函数值为0可求出顶点D以及点C的坐标． （2）由图可知：若以A、B、E、F为顶点的四边形是平行四边形，令EF∥AB显然不符合要求，那么只需考虑BF∥AE即可，那么还需满足BF=AE；首先求出直线BD的解析式，进而得出点E的坐标以及AE、BF的长，由此可确定点F的坐标，再代入抛物线的解析式中验证即可． （3）分别过点P、Q作x轴的垂线，那么△APQ的面积可由五边形和△APS（以解答图为准）的面积差求得，在得到关于△APQ的面积和Q点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可确定该题的答案． 【详解】解：抛物线经过、两点，有： ， 解得 抛物线的解析式为： 由， 解得：， 由 ． 四边形AEBF是平行四边形， 设直线BD的解析式为：，则 ， ， 解得 直线BD的解析式为：； 当时， ，， ，， ， 的横坐标为2， ， ． 如图，设，作轴，轴于点S、R，且， ，，，， 当时，的最大面积为， 此时． 【点睛】本题主要考查了二次函数、顶点坐标、平行四边形的性质、三角形的面积等基础知识，考查了计算能力．在解题时，要注意数形结合数学思想的合理应用． 14．（1）y＝2x2﹣8x+6；（2）18；（3）存在， 【分析】（1）将点、的代入抛物线表达式，即可求解； （2）的面积； （3），即可求解． 【详解】解：（1）将点、的代入抛物线表达式得：，解得：， 故抛物线的表达式为：； （2）函数的对称轴为：，则点， 当时，，点， 则， 的面积； （3）存在，理由： 设点，点 ， ，故有最大值，当时，最大值为：． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、图形的面积计算等，解题的关键是利用数形结合的思想来求解，是二次函数基本题，难度不大． 15．(1)， (2) (3)或 【分析】（1）根据题意列方程组即可求解； （2）过D作轴于点E，交于点F，设，，有表示出线段，代入公式整理，最后根据二次函数的性质回答即可； （3）①当时，即，则可求点，②当，即，则可求点； 【详解】（1）解：由题意可知：，解得：或，     ∴点，． （2）解：如图1，过D作轴于点E，交于点F，     设，则， ∴，     则， ， ， ， 当时，三角形的面积最大，此时， ∴点． （3）解：如图2，①当时，即， ∴设的解析式为，且过， ∴，解得：， ∴直线解析式为， ∴， 解得：或（舍去）， ∴点，     如图3，②当，即， 设解析式为，且过， ∴，解得：， 则解析式为， ∴， 解得：或（舍去）， ∴点，     综上可知：或． 【点睛】此题考查了二次函数与一次函数的综合题，二次函数的图象和性质及分类讨论思想，熟练掌握二次函数的图象及其性质的应用是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$