1.1　直角三角形的性质和判定(Ⅰ) 同步练习 2024—2025学年湘教版数学八年级下册

1.1　直角三角形的性质和判定(Ⅰ) 第2课时 知识点1　含30°角的直角三角形的性质 1.如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图.其中AB,CD分别表示一楼、二楼地面的水平线,∠ABC=150°,BC的长是8 m,则乘电梯从点B到点C上升的高度h是(B) A. m B.4 m C.4 m D.8 m 2.在△ABC中,∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3,最小边BC=4 cm,最长边AB的长是(D) A.5 cm B.6 cm C.7 cm D.8 cm 3.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,CD是斜边AB上的高,AD=3 cm,则AB的长度是(D) A.3 cm B.6 cm C.9 cm D.12 cm 4.(2024·永州冷水滩区期中)等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半,则顶角的度数是(C) A.30° B.60° C.30°或150° D.不能确定 知识点2　直角三角形性质的应用 5.(2024·湘西州花垣县期中)如图,一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下,倒下部分与地面成30°角,这棵树在折断前的高度为(B) A.6米 B.9米 C.12米 D.15米 6.如图,衣架框内部可以近似看成一个等腰三角形,记为等腰三角形ABC,若AB=AC=26 cm,D是BC的中点,∠ABC=30°,则AD的长为(C) A.11 cm B.12 cm C.13 cm D.14 cm 7.(2024·长沙模拟)如图是某学校人行入口的智能闸机及其示意图,当它关闭时,双侧挡板边缘的端点A与B之间的距离为10 cm,挡板边缘AC=BD=70 cm,且与闸机侧立面夹角∠PCA=∠BDQ=30°.当挡板收起后,可以通过闸机的物体的最大宽度为(B) A.(70+10) cm B.80 cm C.(70+10) cm D.90 cm 8.(教材再开发·P5例3变式)如图所示,为了躲避海盗,一轮船由西向东航行,早上8点,在A处测得小岛P在北偏东75°的方向上,以每小时20海里的速度继续向东航行,10点到达B处,并测得小岛P在北偏东60°的方向上,已知小岛周围22海里内有暗礁,若轮船仍向前航行,有无触礁的危险? 【解析】过点P作PC⊥AB于点C. ∵∠PAB=90°-75°=15°,∠PBC=90°-60°=30°, 又∵∠PBC=∠PAB+∠APB, ∴∠PAB=∠APB=15°, ∴BP=AB=20×2=40(海里), 在Rt△PBC中,PC=PB=40×=20<22. 若轮船仍向前航行有触礁的危险. 9.在△ABC中,AB=AC=10,∠A=30°,则△ABC的面积为　25　.  10.(2024·邵阳隆回县期末)如图,树AB垂直于地面,为测树高,小华在C处测得∠ACB=15°,然后他沿CB方向走了30米,到达D处,测得∠ADB=30°,则树的高度AB=　15米　. 11.如图,∠AOP=∠BOP=15°,PC∥OA,PD⊥OA,若PD=4,则PC的长为　8　.  12.(2024·邵阳期末)已知:如图,△ABC中,∠BAC与∠ACB的平分线交于点D,过点D的AC的平行线分别交AB于E,交BC于F. (1)求证:EF=AE+CF; (2)若∠ACB=90°,∠BAC=30°,BC=3,求△BEF的周长. 【解析】(1)∵AD平分∠BAC, ∴∠EAD=∠DAC, ∵ED∥AC,∴∠DAC=∠EDA, ∴∠EAD=∠EDA,∴EA=ED, 同理,FD=FC, ∴ED+DF=EA+FC, 即EF=AE+CF; (2)∵∠ACB=90°,∠BAC=30°, ∴BA=2BC=6, ∴△BEF的周长为BE+ED+DF+BF=BE+EA+BF+FC=BA+BC=9. 13.(2024·邵东质检)如图,已知:在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,P为BC边的中点,PD⊥AC.求证:CD=3AD. 【证明】如图,连接AP, ∵AB=AC,P为BC边的中点, ∴AP⊥BC, ∵∠BAC=120°, ∴∠C=(180°-∠BAC)=×(180°-120°)=30°, ∵PD⊥AC, ∴∠CPD+∠C=90°, 又∵∠APD+∠CPD=90°, ∴∠APD=∠C=30°, ∴AP=2AD,AC=2AP, ∴AC=4AD, ∴CD=AC-AD=4AD-AD=3AD, 即CD=3AD. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 直角三角形 1.1　直角三角形的性质和判定(Ⅰ) 第1课时 知识点1　直角三角形的性质 1.(2024·株洲茶陵县期末)在Rt△ABC中,若一个锐角等于40°,则另一个锐角的度数为( ) A.40° B.45° C.50° D.60° 2.(2024·怀化新晃县期中)在△ABC中,∠C=90°,∠B=2∠A,则∠A=( ) A.15° B.30° C.45° D.60° 3. (2023·岳阳中考)已知AB∥CD,点E在直线AB上,点F,G在直线CD上,EG⊥EF于点E,∠AEF=40°,则∠EGF的度数是( ) A.40° B.45° C.50° D.60° 知识点2　直角三角形的判定 4.(2024·十堰茅箭区质检)在下列条件中: ①∠A=90°-∠B;②∠A=∠B=2∠C;③∠A∶∠B∶∠C=5∶3∶2;④∠A+∠B=∠C能确定△ABC为直角三角形的条件有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 5.(2024·邵东质检)在△ABC中,∠A=55°,∠B=35°,那么这个三角形是 三角形.  知识点3　直角三角形的斜边中线的性质 6.(2023·株洲中考)一技术人员用刻度尺(单位:cm)测量某三角形部件的尺寸.如图所示,已知∠ACB=90°,点D为边AB的中点,点A,B对应的刻度为1,7,则CD=( ) A.3.5 cm B.3 cm C.4.5 cm D.6 cm 7.(2024·邵阳新邵县期中)在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的中线,若CD=1,则AB= .  8. (教材再开发·P4练习T2改编)如图,AB∥CD,∠CAB和∠ACD的平分线相交于H点,E为AC的中点,若EH+AC=18.则AC= .  9.(2024·娄底质检)如图,在Rt△ADB和Rt△ABC中,∠ADB=90°,∠ACB=90°,E是AB的中点. (1)求证:DE=CE; (2)若∠CAB=30°,∠DBA=40°,求∠DEC. 10.(2024·长沙岳麓区期中)在Rt△ABC中,∠C=90°,AB的垂直平分线交BC于D,连接AD,∠CAD∶∠DAB=2∶5,∠ADC的度数为( ) A.55° B.65° C.75° D.85° 11.(2023·岳阳岳阳楼区期中)如图,BE,CF分别是△ABC的高,M为BC的中点,EF=5,BC=8,则△EFM的周长是 .  12.在下列条件:①∠A+∠B+∠C=180°;②∠A∶∠B∶∠C=4∶5∶9;③∠A=∠B =∠C;④∠A=∠B=∠C中,能确定△ABC为直角三角形的条件有( ) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 13.(2023·长沙天心区质检)如图,△ABC中,AD是边BC上的高,CF是边AB上的中线,DC=BF,点E是CF的中点. (1)求证:DE⊥CF; (2)求证:∠B=2∠BCF. 14.(2023·长沙开福区质检)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AM,AN分别为BC边上的高和中线,且AB=5 cm,AC=12 cm,BC=13 cm. (1)求AM的长; (2)求△ACN和△ABN的周长之差; (3)若E为AB边的三等分点,连接CE,与AN交于F点,记△AEF的面积为S1,△CFN的面积为S2,求S1-S2的值. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.1　直角三角形的性质和判定(Ⅰ) 第2课时 知识点1　含30°角的直角三角形的性质 1.如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图.其中AB,CD分别表示一楼、二楼地面的水平线,∠ABC=150°,BC的长是8 m,则乘电梯从点B到点C上升的高度h是( ) A. m B.4 m C.4 m D.8 m 2.在△ABC中,∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3,最小边BC=4 cm,最长边AB的长是( ) A.5 cm B.6 cm C.7 cm D.8 cm 3.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,CD是斜边AB上的高,AD=3 cm,则AB的长度是( ) A.3 cm B.6 cm C.9 cm D.12 cm 4.(2024·永州冷水滩区期中)等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半,则顶角的度数是( ) A.30° B.60° C.30°或150° D.不能确定 知识点2　直角三角形性质的应用 5.(2024·湘西州花垣县期中)如图,一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下,倒下部分与地面成30°角,这棵树在折断前的高度为( ) A.6米 B.9米 C.12米 D.15米 6.如图,衣架框内部可以近似看成一个等腰三角形,记为等腰三角形ABC,若AB=AC=26 cm,D是BC的中点,∠ABC=30°,则AD的长为( ) A.11 cm B.12 cm C.13 cm D.14 cm 7.(2024·长沙模拟)如图是某学校人行入口的智能闸机及其示意图,当它关闭时,双侧挡板边缘的端点A与B之间的距离为10 cm,挡板边缘AC=BD=70 cm,且与闸机侧立面夹角∠PCA=∠BDQ=30°.当挡板收起后,可以通过闸机的物体的最大宽度为( ) A.(70+10) cm B.80 cm C.(70+10) cm D.90 cm 8.(教材再开发·P5例3变式)如图所示,为了躲避海盗,一轮船由西向东航行,早上8点,在A处测得小岛P在北偏东75°的方向上,以每小时20海里的速度继续向东航行,10点到达B处,并测得小岛P在北偏东60°的方向上,已知小岛周围22海里内有暗礁,若轮船仍向前航行,有无触礁的危险? 9.在△ABC中,AB=AC=10,∠A=30°,则△ABC的面积为 .  10.(2024·邵阳隆回县期末)如图,树AB垂直于地面,为测树高,小华在C处测得∠ACB=15°,然后他沿CB方向走了30米,到达D处,测得∠ADB=30°,则树的高度AB= . 11.如图,∠AOP=∠BOP=15°,PC∥OA,PD⊥OA,若PD=4,则PC的长为 .  12.(2024·邵阳期末)已知:如图,△ABC中,∠BAC与∠ACB的平分线交于点D,过点D的AC的平行线分别交AB于E,交BC于F. (1)求证:EF=AE+CF; (2)若∠ACB=90°,∠BAC=30°,BC=3,求△BEF的周长. 13.(2024·邵东质检)如图,已知:在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,P为BC边的中点,PD⊥AC.求证:CD=3AD. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 直角三角形 1.1　直角三角形的性质和判定(Ⅰ) 第1课时 知识点1　直角三角形的性质 1.(2024·株洲茶陵县期末)在Rt△ABC中,若一个锐角等于40°,则另一个锐角的度数为(C) A.40° B.45° C.50° D.60° 2.(2024·怀化新晃县期中)在△ABC中,∠C=90°,∠B=2∠A,则∠A=(B) A.15° B.30° C.45° D.60° 3. (2023·岳阳中考)已知AB∥CD,点E在直线AB上,点F,G在直线CD上,EG⊥EF于点E,∠AEF=40°,则∠EGF的度数是(C) A.40° B.45° C.50° D.60° 知识点2　直角三角形的判定 4.(2024·十堰茅箭区质检)在下列条件中: ①∠A=90°-∠B;②∠A=∠B=2∠C;③∠A∶∠B∶∠C=5∶3∶2;④∠A+∠B=∠C能确定△ABC为直角三角形的条件有(C) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 5.(2024·邵东质检)在△ABC中,∠A=55°,∠B=35°,那么这个三角形是　直角　三角形.  知识点3　直角三角形的斜边中线的性质 6.(2023·株洲中考)一技术人员用刻度尺(单位:cm)测量某三角形部件的尺寸.如图所示,已知∠ACB=90°,点D为边AB的中点,点A,B对应的刻度为1,7,则CD=(B) A.3.5 cm B.3 cm C.4.5 cm D.6 cm 7.(2024·邵阳新邵县期中)在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的中线,若CD=1,则AB=　2　.  8. (教材再开发·P4练习T2改编)如图,AB∥CD,∠CAB和∠ACD的平分线相交于H点,E为AC的中点,若EH+AC=18.则AC=　12　.  9.(2024·娄底质检)如图,在Rt△ADB和Rt△ABC中,∠ADB=90°,∠ACB=90°,E是AB的中点. (1)求证:DE=CE; (2)若∠CAB=30°,∠DBA=40°,求∠DEC. 【解析】(1)∵在Rt△ADB和Rt△ABC中,∠ADB=90°,∠ACB=90°,E是AB的中点, ∴DE=AB,CE=AB, ∴DE=CE; (2)在Rt△ADB和Rt△ABC中, ∵∠ADB=90°,∠ACB=90°,∠CAB=30°,∠DBA=40°, ∴∠DAB=90°-∠DBA=50°,∠ABC=90°-∠CAB=60°, ∵E是AB的中点, ∴DE=AB=AE,CE=AB=BE, ∴∠ADE=∠DAB=50°,∠ECB=∠ABC=60°, ∴∠DEA=180°-∠DAB-∠ADE=180°-50°-50°=80°,∠CEB=180°-∠ECB-∠CBA =180°-60°-60°=60°, ∴∠DEC=180°-∠DEA-∠CEB=180°-80°-60°=40°. 10.(2024·长沙岳麓区期中)在Rt△ABC中,∠C=90°,AB的垂直平分线交BC于D,连接AD,∠CAD∶∠DAB=2∶5,∠ADC的度数为(C) A.55° B.65° C.75° D.85° 11.(2023·岳阳岳阳楼区期中)如图,BE,CF分别是△ABC的高,M为BC的中点,EF=5,BC=8,则△EFM的周长是　13　.  12.在下列条件:①∠A+∠B+∠C=180°;②∠A∶∠B∶∠C=4∶5∶9;③∠A=∠B =∠C;④∠A=∠B=∠C中,能确定△ABC为直角三角形的条件有(B) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 13.(2023·长沙天心区质检)如图,△ABC中,AD是边BC上的高,CF是边AB上的中线,DC=BF,点E是CF的中点. (1)求证:DE⊥CF; (2)求证:∠B=2∠BCF. 【证明】(1)连接DF, ∵AD是边BC上的高,∴∠ADB=90°, ∵点F是AB的中点,∴DF=AB=BF, ∵DC=BF,∴DC=DF, ∵点E是CF的中点.∴DE⊥CF; (2)∵DC=DF,∴∠DFC=∠DCF, ∴∠FDB=∠DFC+∠DCF=2∠DFC, ∵DF=BF,∴∠FDB=∠B, ∴∠B=2∠BCF. 14.(2023·长沙开福区质检)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AM,AN分别为BC边上的高和中线,且AB=5 cm,AC=12 cm,BC=13 cm. (1)求AM的长; (2)求△ACN和△ABN的周长之差; (3)若E为AB边的三等分点,连接CE,与AN交于F点,记△AEF的面积为S1,△CFN的面积为S2,求S1-S2的值. 【解析】(1)在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=5 cm,AC=12 cm,BC=13 cm,AM为BC边上的高, ∴S△ABC=BC·AM=AB·AC, ∴AM===(cm), 即AM的长度为 cm. (2)∵AN为BC边上的中线, ∴BN=CN, ∴△ACN的周长-△ABN的周长=AC+CN+AN-(BN+AN+AB)=AC-AB=12-5=7(cm), 即△ACN和△ABN的周长之差为7 cm. (3)∵点E是AB边的三等分点, ∴有以下两种情况: ①当BE=AB时,如图1所示: ∵在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=5 cm,AC=12 cm, ∴S△ABC=AB·AC=×5×12=30(cm2), ∵AN为BC边上的中线, ∴S△ABN=S△ABC=15 cm2, ∴S△AEF+S四边形BEFN=15(cm2),即S1+S四边形BEFN=15(cm2), ∵BE=AB, ∴S△CBE=S△ABC=10(cm2), ∴S△CFN+S四边形BEFN=10(cm2),即S2+S四边形BEFN=10(cm2), ∴S1-S2=5; ②当AE=AB时,如图2所示: 同理得:S1+S四边形BEFN=15(cm2), ∵AE=AB,∴BE=AB, ∴S△CBE=S△ABC=20(cm2),即S2+S四边形BEFN=20(cm2), ∴S1-S2=-5. 综上所述:S1-S2的值为±5. 学科网（北京）股份有限公司 $$