第一章《三角形的证明》单元测试卷2024-2025学年北师大版数学八年级下册

北师大版八年级下册第一章《三角形的证明》单元测试卷 一、单选题（本大题共10小题） 1．如图是两个全等的三角形，则的度数是（   ） A． B． C． D．不能确定 2．如图，∆ABC中，点在边上，，.给出下列三组条件（每组条件中的线段的长度已知）：①，；②，；③，；能使唯一确定的条件的序号为（     ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 3．如图，两把相同的直尺的一边分别与射线，重合，另一边相交于点P，则平分的依据是（　　） A．在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上 B．角平分线上的点到这个角的两边距离相等 C．角平分线的性质 D．角平分线是轴对称图形 4．如图，已知OA=OB，点A到数轴的距离为1，则数轴上B点所表示的数为（   ） A．- B．- C． D． 5．在∆ABC中，，垂直平分交于点，交于点，若，，则的长是（　　　） A．8 B．10 C．12 D．1 6．如果一个三角形的三边长分别为1，1，，那么这个三角形是(   ) A．锐角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 7．如图，有一个水池，其底面是边长为16尺的正方形，一根芦苇AB生长在它的正中央，高出水面部分BC的长为2尺，如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B′，则这根芦苇AB的长是（　　） A．15尺 B．16尺 C．17尺 D．18尺 8．如图，在△ABE中，AE的垂直平分线MN交BE于点C，∠E=30°，且AB=CE，则∠BAE的度数是（       ）    A．80° B．85° C．90° D．105° 9．如图，在等边△ABC中，D、E分别是BC、AC上的动点且BD=CE，连接AD与BE相交于点F，连接CF，下列结论：①△ABD≌△BCE；②∠AFB=120°；③若BD=CD，则FA=FB=FC；④∠AFC=90°，则AF=3BF，其中正确的结论共有(       ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．如图，在∆ABC中，边BC的垂直平分线分别交AC，BC于点D，E，若∆ABC的周长为12，CE，则∆ABD的周长为（ ） A．10 B．9 C．8 D．7 二、填空题（本大题共6小题） 11．等腰三角形的一个外角的度数是，则它底角的度数为 °． 12．如图，，分别为的∆ABC内、外角平分线，，分别为∆BEC的内、外角平分线，若，则 度．    13．如图所示，，以点A为圆心，长为半径画弧交x轴负半轴于点C，则点C的横坐标是__________． 14．如图，平面上有∆ACD与∆BEC，其中与相交于点P，若，，，，，则的度数为 ． 15．如图，AD是△ABC中BC边上的中线，若AB＝6，AC＝8，则AD的取值范围是 ． 16．如图，在四边形中，，，，，，则对角线的长是 ．    三、解答题（本大题共7小题） 17．如图，，和相交于点，．求证：． 18．如图，，F为垂足．求证． 19．已知；如图，，，，，．求该图形的面积． 20．在∆ABC中，，是的中点．    (1)如图，以点为圆心，为半径作弧分别交边、于点、，再分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点． ①根据以上作图，你能得出什么结论？ ②若的面积是6，点、分别为、上的点，求长度的最小值； (2)点是上的点，将沿所在的直线对折，记点的对应点为， ①当时，求的长； ②若，当点落在直线上方，且对折后重叠部分为等腰三角形时，求的度数． 21．新版北师八年级（上）数学教材页第题指出：设一个三角形的三边长分别为，则有下列面积公式：（海伦公式）若有一个三角形边长依次为，求这个三角形的面积；八年级的学生小明发现利用海伦公式很快就可以求出这个三角形的面积． (1)以下是他的部分求解过程，请你把它补充完整． 解：∵一个三角形边长依次为， 即， ∴____________． 根据海伦公式可得： (2)小明是个爱动脑筋的学生，他想，能不能不用公式也可以求解此题呢，首先，他想到，要求面积，若令底为，必须要求高，因此他作了下图，并且作了高，但接下去该怎么做，他就没有思路了，聪明的你能帮助小明解决这个问题吗？    22．如图，在Rt∆ABC中，，CD平分交AB于点D，于点E，BF//DE交CD于点F． 求证：． 23．【问题背景】 如图，在中，，和的平分线和相交于点 G．    【问题探究】 (1)的度数为 ； (2)过G作交的延长线于点 F，交于点 H，判断与的数量关系，并说明理由； (3)在（2）的条件下，若，求的长． 参考答案 1．【答案】C 【分析】三角形内角和定理求出的度数，全等三角形的性质，得到，即可得解． 【详解】解：如图，    由三角形的内角和定理，得， ∵两个三角形全等，由图可知，为对应角， ∴， 故此题答案为C． 【解题技巧】全等三角形中对应边的对角是对应角，对应角的对边是对应边. 2．【答案】A 【分析】三角形唯一确定需要的条件：①三边；②两个内角和一边；③两边及两边的夹角，据此即可得答案. 【详解】∵∠CAD=30°，∠CDB=50°， ∴∠ACD=20°， ∵AD已知， ∴△ACD唯一确定， ∴AC唯一确定， ∵AD，BD唯一确定， ∴AB唯一确定， ∴△ABC唯一确定，故①能唯一确定△ABC. ∵AC已知，∠CAD=30，∠ACD=20°， ∴△ACD唯一确定， ∴AD唯一确定， ∵BD已知， ∴AB唯一确定， ∴△ABC唯一确定，故②能唯一确定△ABC. ∵CD，CB已知不能唯一确定△ABC.故③不符合题意， ∴①②唯一确定△ABC. 故此题答案为A. 3．【答案】A 【详解】解：∵两把相同的直尺宽度相同， ∴点P到射线，的距离相等， ∵在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上， ∴点P在的平分线上， ∴平分，故A正确． 故此题答案为A． 4．【答案】A 【分析】根据勾股定理求出OA的长，然后根据数轴与实数的关系解答． 【详解】解：∵OA=OB=， ∴B点所表示的数为-． 故此题答案为A． 【关键点拨】此题考查了勾股定理，实数与数轴的关系，求出OB的长是解答此题的关键． 5．【答案】C 【分析】由垂直平分线可以得到BE=AE，再由勾股定理可以得到答案． 【详解】解：由题意可得， ∵垂直平分交于点， ∴BE=AE=13， 又∵，且， ∴在Rt中， AC==12， 故此题答案为C． 6．【答案】D 【分析】根据勾股定理的逆定理，结合等腰直角三角形的判定即可选择． 【详解】∵有两边长都是1， ∴三角形一定是等腰三角形； ∵， ∴的对角一定是直角， 故三角形一定是等腰直角三角形. 故此题答案为D． 7．【答案】C 【分析】我们可以将其转化为数学几何图形，如图所示，根据题意，可知EB'的长为16尺，则B'C=8尺，设出AB=AB'=x尺，表示出水深AC，根据勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到芦苇的长． 【详解】解：依题意画出图形， 设芦苇长AB=AB′=x尺，则水深AC=（x-2）尺， 因为B'E=16尺，所以B'C=8尺， 在Rt△AB'C中，82+（x-2）2=x2， 解之得，x=17， 即芦苇长17尺． 故此题答案为C． 8．【答案】C 【分析】 根据条件求出AB=AC，转化角度即可解答. 【详解】 解：已知在△ABE中，AE的垂直平分线MN交BE于点C，∠E=30°，且AB=CE， 故CE=CA=AB， ∠ACB=∠ABC=∠CEA+∠CAE=60°， 故∠CAB=60°， 即∠BAE=∠CAB+∠CAE=60+30°=90°. 故选C. 【点睛】 本题考查角度转换，关键是了解角平分线的知识. 9．【答案】C 【分析】根据等边三角形的性质可得∠C=∠ABC=60°，AB=BC，利用SAS可证明△ABD≌△BCE，可判定①正确；根据全等三角形的性质可得∠BAD=∠EBC，利用三角形外角性质可得∠AFE=∠BAD+∠ABE=∠ABC=60°，根据平角的定义可得∠AFB=120°，可判定②正确；由BD=CD，BD=CE可得点D、E为BC、AC的中点，根据等边三角形的性质可得AD、BE是BC、AC的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可判定③正确；过点A作AG⊥BE于G，利用SAS可证明△ABE≌△ADC，根据全等三角形对应边上的高对应相等可得AG=CF，利用HL可证明△ABG≌△ACF，可得AF=BG，由∠AFE=60°可得∠FAG=30°，根据含30°角的直角三角形的性质可得AF=2FG，可得AF=BG=2FG=2BF，即可判定④错误.综上即可得答案. 【详解】∵△ABC是等边三角形， ∴AB=AC=BC，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°， 在△ABD和△ACE中，， ∴△ABD≌△BCE，故①正确， ∴∠BAD=∠CBE， ∴∠AFE=∠BAD+∠ABE=∠CBE+∠ABE=∠ABC=60°， ∴∠AFB=180°-∠AFE=120°，故②正确， ∵BD=CD，BD=CE， ∴点D、E为BC、AC的中点， ∵△ABC是等边三角形， ∴BE、AD是BC、AC的垂直平分线， ∴FA=FB=FC，故③正确， 过点A作AG⊥BE于G， ∵BD=CE，BC=AC， ∴CD=AE， 在△ABE和△ADC中，， ∴△ABE≌△ADC， ∵∠AFC=90°，AG⊥BE， ∴AG、CF是BE和AD边上的高， ∴AG=CF， 在△ABG和△ACF中，， ∴△ABG≌△ACF， ∴AF=BG， ∵AG⊥BE，∠AFE=60°， ∴∠FAG=30°， ∴AF=2FG， ∴BG=2FG， ∴BF=FG， ∴AF=2BF，故④错误， 综上所述：正确的结论有①②③，共3个， 故选C. 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理及对应边上的高对应相等的性质是解题关键. 10．【答案】D 【分析】 首先根据垂直平分线的性质得到，，然后根据ABC的周长为12，即可求出ABD的周长． 【详解】 解：∵边BC的垂直平分线分别交AC，BC于点D，E， ∴，，即， ∵ABC的周长为12， ∴， ∵， ∴， ∴ABD的周长． 故选：D． 【点睛】 此题考查了垂直平分线的性质，整体方法的运用，解题的关键是熟练掌握垂直平分线的性质． 11．【答案】40 【分析】根据三角形的内角和定理以及等腰三角形的性质求解． 【详解】解：∵等腰三角形的一个外角为， ∴相邻角为， ∵三角形的底角不能为钝角， ∴角为顶角， ∴底角为． 12．【答案】 【分析】根据角平分线的定义，由平分，平分得，，进而推断出．同理可得，从而解决此题． 【详解】解：平分，平分， ，， 又， ． 同理可证，． 13．【答案】 【分析】求出、，根据勾股定理求出，即可得出，求出长即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∴点C的横坐标是． 14．【答案】 【分析】先证明，得出，，证明，根据，，得出，再求出结果即可． 【详解】解：在与中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 15．【答案】1＜AD＜7 【分析】延长AD到E，使DE=AD，然后利用“边角边”证明△ABD和△ECD全等，根据全等三角形对应边相等可得CE=AB，然后根据三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出AE的取值范围，然后即可得解． 【详解】解：如图，延长AD到E，使DE=AD， ∵AD是BC边上的中线， ∴BD=CD， 在△ABD和△ECD中, ， ∴△ABD≌△ECD(SAS)， ∴CE=AB， ∵AB=6，AC=8， ∴8-6<AE<8+6，即2<2AD<14， ∴1<AD<7， 16．【答案】/ 【分析】延长到点E，使得，连接，证明，得到，过点作，垂足为，得，运用勾股定理可求出对角线的长． 【详解】解：延长到点E，使得，连接， ∵四边形的内角和为， ， ，， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 过点作，垂足为， 则， 设，则， 在中，， 故， 解得， 故，   ， 故此题答案为：#． 【关键点拨】此题主要考查了四边形的内角和，等腰三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，补角的性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理是解题的关键． 17．【答案】证明见解析. 【分析】由平行线的性质先得到， ，继而利用AAS证明，根据全等三角形的性质即可证得结论. 【详解】， ， ， 在和中, ， ， ． 18．【答案】见解析 【详解】如图，连接 在和中，∴，． ∵，∴， 在和中，∴， ∴． 19．【答案】 【分析】先根据勾股定理求出，再用勾股定理逆定理证明是直角三角形，，作差即可得到图形中的面积． 【详解】解：如图所示，连接， ∵，，， ∴, ∵，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴图形面积为． 20．【答案】(1)①平分；②3 (2)①2；②或或 【分析】（1）①由角平分线的作法，即可得到答案；②过点作，垂足为，由三角形的面积可计算出，由角平分线的性质可得，通过证明，可得，通过证明得到，从而得到，根据垂线段最短即可得到当三点共线，且与垂直，即与线段重合时，长度最小，为； （2）①由折叠的性质可得，得到，，通过证明得到，通过证明得到，从而得到四边形为菱形，即可得到答案；②分三种情况：或或，分别求解即可得到答案． 【详解】（1）解：①根据作法描述，所作的是的平分线， 故结论是平分； ②如图，过点作，垂足为，   ， 则， ， 由①知，平分， ， ， ， ， ， ， ， ， 当三点共线，且与垂直，即与线段重合时，长度最小，为， 长度的最小值为3； （2）解：①如图，连接，交于点，   ， 由题意可得，， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形为菱形， ； ②满足条件的情况有以下三种： ．  ， 若， 则； ， 若， 则， ∵， ∴； ， 若， 则， ∵， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或或． 【关键点拨】本题主要考查尺规作图—角平分线的作法，折叠的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握折叠的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，采用分类讨论的思想解题，是解决本题的关键． 21．【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据可得的值，最后利用海伦公式即可解答； （2）根据三角形的高线可知。设，利用勾股定理列方程即可解答． 【详解】（1）解：∵一个三角形边长依次为， 即， ∴， 根据海伦公式可得： （2）解：∵是的高线， ∴， ∵， ∴设，则, ∵，， ∴ ∴， ∴， 即， ∴在中，， ∴． 22．【答案】见解析. 【分析】根据角平分线的定义得到，根据角平分线的性质得到，由平行线的性质得到，于是得到结论． 【详解】证明：如图 ∵CD平分， ， 【知识归纳】对于已知“角平分线和平行”这两个条件，肯定存在等腰三角形，要作为一个模型去考虑． 23．【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)4 【分析】（1）利用三角形内角和定理得到，再由角平分线的定义得到，由此即可利用三角形内角和定理求出答案； （2）利用三角形内角和定理证明，进而证明，由此可证明得到； （3）由全等三角形的性质得到，则，再证明，即可得到． 【详解】（1）解：∵在中，， ∴， ∵和的平分线和相交于点 G， ∴， ∴， ∴ （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵和的平分线和相交于点 G， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴ 第 page number 页，共 number of pages 页 第 page number 页，共 number of pages 页 学科网（北京）股份有限公司 $$