第一章 三角形的证明 本章小结-【支点·同步系列】2024-2025学年八年级下册数学（北师大版）

本章小结 考点1等腰三角形的性质与判定 考点2直角三角形的性质与判定 1.(2024抚州临川区月考)如图，在△ABC中 4.满足下列条件时，△ABC不是直角三角形 AB=AC,EF∥BC,∠A=40°，则∠AEF的 的是 () 度数是 A.AB=15,BC=25,AC=20 A.140° B.70 C.50° D.40 B.∠A:∠B:∠C=3：4:5 C.AB:BC:AC=3:4￥5 D.(BC+AC)(BC-AC)=AB 5.如图，在△ABC中，∠C=90°， ∠A=15°，∠DBC=60°，BC=D 第1题图 第2题图 √5，则AD的长为 第5题图 2.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C 6.如下图，在△ABC中，∠ABC的平分线BD 30°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AC于点 交AC于点D,AE⊥BC于点E.已知∠ABC E,连接BE,交AD于点F,则图中的等腰三 =60°，∠C=45° 角形有 ( (1)求证：AB=BD: A.2个B.3个C.4个 D.5个 (2)若AE=3,求△ABC的面积. 3.如下图，在等边三角形ABC中，AB=9cm, 点P从点C出发沿CB边向点B以2cm/s 的速度移动，同时点Q从点B出发沿BA边 向点A以5cm/s的速度移动.设它们移动 的时间为ts, (1)用含t的式子表示BP和BQ的长； (2)当t为何值时，△PBQ为等边三角形？ 下册第一章 21 考点3线段垂直平分线的性质与判定 7.如图，DE,DF分别是线段AB,BC的垂直 平分线，连接AD,CD,则下列结论正确的是 ( A.AD=CD B.∠A=∠C C.∠B=∠ADC D.DE-DF 第7题图 第8题图 8.如图，△ABC是等边三角形.以点B为圆 考点4角平分线的性质与判定 心，适当长为半径画弧，交AC于点E,F,再 12.如图，三条角平分线将 分别以E,F为圆心，大于EF的长为半径 △ABC分为三个三角形， 且S△Am:S△Bco:S△eAoC 画弧，两弧交于点D,连接BD,交AC于点 =6:7:8,则AB:BC: 第12题图 G,则∠ABG度数为 ( CA等于 A.15°B.20° C.25° D.30° A.1:1:1 B.1:2:3 9.推理能力如图，在△ABC中，∠B=15°， C.6:7:8 D.3:7:4 ∠C=30°，MN,PQ分别是线段AB,AC的 13,如下图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D,E分 垂直平分线.已知BC的长为6+2√3，则阴 别是边BC,AC上一点，连接AD,DE,过 影部分的面积为 点D作DF⊥AB于点F.已知DE=DB, A.45B.23 C.3 D.6 CE=BF.求证： (1)点D在∠CAB的平分线上： (2)AE+AB=2AC. 第9题图 第10题图 10.如图，在△ABC中，AD垂直平分BC,交BC 于点E,CD⊥AC于点C.若AB=4,CD=3, AD=5,则BE的长为 11.如图①，AB=AD,AC=AE,∠BAD =∠CAE. (1)∠B与∠D相等吗？请说明理由： (2)如图②，延长BC交AD于点F,交DE 于点G.若∠B=36°，∠CAF=44°，点C在 线段AB的垂直平分线上，则∠DGF的度 数为 数学八年级BS版点P的速度为2cm/s,移动时间为ts, ..CP=2t cm,..BP=BC-CP=(9-2t)cm. :点Q的速度为5cm/s,移动时间为1s, ∴.BQ=5tcm (2)当△PBQ为等边三角形时，BQ-BP, (2)如图，过点G作GM⊥AB于点M.GN⊥BC于点N. 即51=9-20，解得1=号 由(1)，得BG为∠ABC的平分线，，GM=GN, ∴当1=号时，△PBQ为等边三角形. 18= AB GM 4.B5.23 BC GN BC123 6.解：(1)证明：：BD平分∠ABC,∠ABC=60°， .S4w=27. ÷∠DBC=号∠ABC=30 9.D10.6 11.解：如图，连接OC :∠C=45°，∴∠ADB=∠DBC+∠C=75°. ,OP⊥BC,OQ⊥AC,OR⊥AB, ∠BAC=180°-∠ABC-∠C=180°-60°-45°=75， ∠BAC,∠ABC的平分线交于点O, .∠BAC=∠ADB.,∴.AB=BD. ∴.OR=0Q=OP (2)在R1△ABE中，∠ABC=60°，AE=3. 由勾股定理，得AR=OA一OR,AQ ∴.∠BAE=30°，.AB=2BE =0A-0Q ∴.由勾股定理，得BE=√3】 .AR=AQ.同理，得BR=BP,CQ=CP. 在R1△AEC中，∠C=45°，AE=3, BP=BR=r,CP=CQ=y.AQ=AR= .∠EAC=45,.EC=AE=3, y十x=9, x=3, 则x十y=8,解得y=5, BC=3+ESm=2C·AE=9+E 2 x十=7， =4, 7.A8.D9.B10.2.4 ,.BP=3,CQ=5,AR=4, 11.解：(1)∠B=∠D.理由如下： ∴.BP+CQ-AR=3+5-4=4. '∠BAD=∠CAE.∴·∠BAD-∠CAD=∠CAE-∠CAD, 12.解：(1)FE=FD.理由如下： ∴.∠BAC=∠DAE. 如图①，过点F作FM⊥AB于点M,FN⊥BC于点N,则 又AB=AD,AC-AE, ∠FME=∠FND=90. ∴，△ACB≌△AED(SAS),∴.∠B=∠D. AD,CE分别是∠BAC,∠BCA的平分线，∠ACB=90, (2)80 ∠B=60°. 12.C ∴∠BAC=90-∠B=30',∠ACE=∠ACB=45, 13.证明：(1)DF⊥AB,.∠DFB=90°， ∠BAD=∠BAC=15,∠FEM=∠BAC+∠ACE= 在R△CDE和R△FDB中，CEFB: .Rt△CDE≌R△FDB(HL),.CD=FD. 30°十45°=75， 又，DC⊥AC,DF⊥AB, .∠FDN=∠B+∠BAD=60°+15'=75° ,点D在∠CAB的平分线上， ∴.∠FEM=∠FDN. (2)由(1)可知，CD=FD. :∠BAC,∠BCA的平分线AD,CE交于点F, AD=AD, FM⊥AB,FN⊥BC,.FM=FN, 在Rt△ADC和Rt△ADF中， CD-FD. .△FEM≌△FDN(AAS),.FE=FD, .Rt△ADC≌Rt△ADF(HL),.AC=AF 又BF=CE, ·AE十AB=AC-CE十AF+FB=AC十AF=2AC,即AE +AB=2AC. 第二章一元一次不等式 图① 图② (2)成立，理由如下： 与一元一次不等式组 如图②，过点F作FM⊥AB于点M,FN⊥BC于点N,则 1不等关系 ∠FME=∠FND=90°，且由(1)可知，FM=FN. 1.C2.D “∠FDN=∠B+∠BAD=60+∠BAC,∠FEM= 3.解：(1)r+(-3)<0. (2)”+3≤5. (3)(a+b)≥3. ∠BAC+∠ACE=∠BAC+号(180°-∠B-∠BAC)= 4.A5.A6.1≤3 ∠BAC+180-60-∠BAO=0+∠BAC 7.解：1.8km=1800m, 根据题意，得210x+90(15-x)≥1800 ∴.∠FEM=∠FDN, 2不等式的基本性质 ∴.△FEM≌△FDN(AAS).∴.FE=FD 1.C2.A3.(1)<(2)>(3)<(4)≥4.A 本章小结 5.解：(1)不等式两边都加1，得x>3 1.B2.C 5 3.解：(1)在等边三角形ABC中，BC=AB=9cm, (2)不等式两边都乘-1.得x>一6 下册参考答案 173