精品解析：山东省淄博市沂源县2024-2025学年八年级上学期1月期末数学试题

初三数学试题 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共8页．满分150分．考试时间120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将姓名、班级、考场/考试号填写在答题卡和试卷规定的位置上，并准确填写、涂黑考号． 2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能写在试卷上． 3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；需要在答题卡上作图时，可用2B铅笔，但必须把所画线条加黑． 4．评分以答题卡上的答案为依据，答案不能使用涂改液、胶带纸、修正带修改．不按以上要求作答的答案无效．不允许使用计算器． 5．保证答题卡清洁、完整，严禁折叠，严禁在答题卡上做任何标记． 一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列智能手机的功能图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【详解】A、图形既不是轴对称图形是中心对称图形， B、图形是轴对称图形， C、图形是轴对称图形，也是中心对称轴图形， D、图形是轴对称图形. 故选C． 【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 2. 如图所示，甲、乙是两张画有图形的透明胶片，把其中一张向右平移到另一张上，形成的图形是( )． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查生活中的平移现象，平移是指图形的平行移动，平移时图形中所有点移动的方向一致，并且移动的距离相等，由此可判断出答案． 【详解】解：根据平移的性质可得：把其中一张向右平移到另一张上，形成的图形是A． 故选：A． 3. 下列对分式的变形，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质逐一判断即可解答． 【详解】解：A，，符合题意； B，，不合题意； C，，不合题意； D，，不合题意； 故选A． 4. 使分式的值等于零的的值是 （ ） A. 6 B. 或6 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分式的值为零的条件可以求出x的值．分式的值是0的条件是，分子为0，分母不为0． 【详解】依题意得：且 解得x=6． 【点睛】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可． 5. 下列说法正确的是（ ） A. 平移和旋转都不改变图形大小和位置，只是形状发生了变化； B. 平移和旋转都不改变图形的位置和形状，只是大小发生了变化； C. 平移和旋转都不改变图形的大小和形状，只是位置发生了变化； D. 平移和旋转都不改变图形的大小、形状和位置． 【答案】C 【解析】 【详解】平移和旋转都不改变图形大大小和形状，只改变了其位置，对一些特殊图形位置也不变，所以选C． 6. 不能判定一个四边形是平行四边形的条件是（　　）． A. 两组对边分别平行 B. 一组对边平行，另一组对边相等 C. 一组对边平行且相等 D. 两组对边分别相等 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定定理，即可求解． 【详解】∵①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． ∴ A、D、C均符合是平行四边形的条件，B则不能判定是平行四边形． 故选B． 7. 已知关于x的分式方程无解，则k的值为（ ） A. 或 B. C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程无解的情况，理解分式方程无解的意义是解题的关键．先将分式方程去分母，化为整式方程，再分两种情况分别求解即可． 【详解】解：去分母得，， 整理得，， 当时，方程无解， 当时，令， 解得， 所以关于x的分式方程无解时，或． 故选：A． 8. 如图，在平行四边形中，点是边上一点，连接、，已知是的平分线，是的平分线，若，，则平行四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了平行四边形的性质以及直角三角形的性质．利用角平分线的定义结合平行四边形的性质得出，进而利用直角三角形的性质求出答案． 【详解】解：是平分线，是的平分线， ，， ∵， ， ， ，， ， 平行四边形的面积， 故选：B． 9. 若，则的值为（ ） A. 0 B. 4 C. 5 D. 3或 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，正确求出是解题的关键． 先根据完全平方公式得到，进而求出，据此即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，即，的值为或3． 故选D． 10. 如图，在中，，D、E是斜边BC上两点，且，将绕点A顺时针旋转后得到，连接，下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 由旋转的性质可得，，可判断②；结合可得，即，运用可证明，即可判断①；再根据等腰三角形的性质以及等量代换可得，由勾股定理可判断③错误、④正确． 【详解】解：∵绕点A顺时针旋转后得到， ∴，，，即②正确； ∵， ∴，即， ∴，即①正确； ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴，即：，即③错误，④正确． 综上，正确的为①②④． 故选B． 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分，只要求填写最后结果． 11. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解，灵活运用十字相乘法进行因式分解成为解题的关键． 直接运用十字相乘法进行因式分解即可解答． 【详解】解： ． 故答案为：． 12. 如果一个多边形的内角和是外角和的3倍还多180°，那么这个多边形是_______边形． 【答案】九 【解析】 【分析】多边形的内角和比外角和的3倍多180°，而多边形的外角和是360°，则内角和是1260度．n边形的内角和可以表示成（n-2）•180°，设这个多边形的边数是n，就得到方程，从而求出边数． 【详解】解：设这个多边形的边数为n，根据题意，得 （n-2）•180=360×3+180， 解得：n=9． 故答案为：九． 【点睛】考查了多边形内角与外角，此题要结合多边形的内角和公式寻求等量关系，构建方程即可求解． 13. 如图，的对角线交于点，且它们的和是，，则的周长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 根据平行四边形的性质得到，，，得出，求出的周长，即可得到答案． 【详解】解：在中，， ，， ， ， 的周长， 故答案为：． 14. 如图，正方形网格中，线段是线段绕某点逆时针旋转得到的，点与对应，则旋转角为_________． 【答案】##90度 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．根据旋转的性质，旋转前后对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，通过连接对应点与旋转中心，观察夹角大小来确定旋转角． 【详解】在正方形网格中，找到与的垂直平分线的交点，点即为旋转中心， 如图所示，连接、、、、 观察可得，旋转角， 故答案为：． 15. 如图，过平行四边形对角线的交点O，交于点M，交于点N，若平行四边形的周长为20，，则四边形的周长为______． 【答案】14 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键． 先利用平行四边形的性质求出，，可利用全等的性质得到，求出，即可求出四边形的周长． 【详解】∵四边形是平行四边形，周长为20， ， ， 在和中， ， ， ， 则四边形的周长， ， 故答案为：14． 三、解答题：本大题共8小题，共90分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 如图，在直角坐标系中，边长为2的等边三角形的顶点、都在轴上，顶点在第二象限内，经过平移或轴对称或旋转都可以得到． （1）沿轴向右平移得到，则平移的距离是 个长度单位；与关于直线对称，则对称轴是 ；绕原点顺时针方向旋转得到，则旋转角度可以是 度． （2）连接，交于点，求的度数． 【答案】（1）2；轴； （2） 【解析】 【分析】（1）点A平移之后的对应点为点O，A点与O点相距两个单位长度，所以点A向右平移两个单位长度可以到达点O，从而得到平移的距离；点A的对应点为点B，A、B连线的垂直平分线轴即为与的对称轴；由线段OA旋转之后的对应线段为OD可知，旋转角度为的度数，根据等边三角形的性质即可求处旋转角； （2）由题可得，所以，再根据可以得到（等腰三角形“三线合一”），从而得到的度数． 【小问1详解】 解：沿数轴向右平移得到，点A平移之后的对应点为点O，A点与O点相距两个单位长度，则平移的距离是2个单位长度； 与关于直线对称，点A的对应点为点B，A、B连线的垂直平分线为轴，则对称轴是轴； 绕原点顺时针旋转得到，线段OA旋转之后的对应线段为OD，则旋转角度为的度数，，即旋转角度为． 故答案为：2；轴； 【小问2详解】 解：和是能够重合的等边三角形 ， 【点睛】本题考查了图形对称、平移与旋转变换以及等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质并能正确找到图形变换前后的对应点、对应线段是解决本题的关键． 17. 观察“探究性学习”小组的甲、乙两名同学进行的因式分解： 甲： 分成两组 ． 各组提公因式因式分解 乙： 分成两组 ． 平方差公式因式分解 请你在他们解法的启发下，因式分解：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解，灵活运用公式法和提取公因式因式分解成为解题的关键． 按照乙的思路运用分组法和公式法因式分解即可． 【详解】解： ． 18. 先化简，再求值：，其中，且． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值、完全平方公式等知识点，利用完全平方公式以及已知条件求得成为解题的关键． 先根据分式的混合运算法则化简，然后再利用已知条件可得，再根据可得，最后整体代入计算即可． 【详解】解： ， ∵， ∴，即， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴原式． 19. 手机专卖店经营的某种手机去年销售总额为10万元，今年每部售价比去年降低500元，若今年卖出的数量与去年卖出的数量相同，且销售总额比去年减少，求今年每部手机的售价是多少元． 【答案】今年每部手机的售价是4500元 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，审清题意、正确列出分式方程是解题的关键． 设今年每部手机的售价是x元，则去年每部手机的售价是元，然后根据“今年卖出的数量与去年卖出的数量相同，且销售总额比去年减少”列分式方程求解即可． 【详解】解：设今年每部手机的售价是x元，则去年每部手机的售价是元， 由题意得，，解得：． 经检验，是原分式方程的解，且符合题意． 答：今年每部手机的售价是4500元． 20. 短跑运动，可以锻炼人的灵活性，增强人的爆发力，因此，小明和小亮在课外活动中，报名参加了短跑训练小组，在近五次百米训练中，所测成绩如图所示，请根据图中的信息，解答下列问题． （1）完成表格： 平均数（秒） 极差（秒） 方差（秒2） 小明 ______ ______ ______ 小亮 ______ ______ ______ （2）他们各自哪次的成绩最好？ （3）若你是他俩的教练，将小明与小亮的成绩比较后，你将分别给予他俩怎样的建议？ 【答案】（1），，；，， （2）小明第4次，小亮第3次 （3）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了折线统计图、平均数、极差、方差等知识点，掌握方差的计算方法和意义是解题的关键． （1）根据折线统计图所给出的数据，再根据平均数、极差和方差的计算公式分别进行求解即可； （2）根据折线统计图所给出的数据即可得出答案； （3）根据（1）所得出的平均分、极差以及方差，分别进行比较，即可提出合理的建议． 【小问1详解】 解：小明的平均成绩是：秒， 小明的极差是；； 小明的方差是：； 小亮的平均成绩是：秒， 小亮的极差是， 小亮的方差是：． 故答案为：，，；，，． 【小问2详解】 解∶根据折线统计图所给出的数据可得：小明第4次，小亮第3次． 【小问3详解】 解∶因为小明的最好成绩是秒，小亮是秒，又因为他两的平均数相同，而小明成绩的极差和方差比小亮的小，所以建议小亮需加强成绩的稳定性，而小明还需提高自己的最好成绩． 21. 如图，在中，，是中位线，连接和，交于点O． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）8 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，中位线的性质，解题的关键是熟练掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半． （1）根据中位线的性质得出，，证明四边形是平行四边形，得出； （2）根据中位线的性质和平行四边形的性质求出结果即可． 【小问1详解】 证明：∵，是的中位线， ∴，， ∴四边形是平行四边形 ∵对角线、相交于点O， ∴； 【小问2详解】 解：∵、是平行四边形的对角线，， ∴， ∵，是的中位线， ∴D，F分别是中点 ∴， 即． 22. 如图，在中，，，点D为的中点，E为线段上任意一点，将线段绕点D逆时针旋转得到线段，连接，过点F作，交直线与点H，请问与的数量关系是怎样的？请说明理由． 【答案】，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形中位线的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键．延长交于点G，易得，再说明为的中位线可得，进而得到与都是等腰直角三角形，然后再证明，最后根据全等三角形的性质即可证明结论． 【详解】解：与的数量关系是：．理由如下： 如图：延长交于点G， 由题意，知，， ∴， 又∵点D为的中点， ∴点G为的中点，且， ∴为的中位线， ∴． ∵， ∴， ∴，即． ∵，， ∴， ， ∴． ∵与都是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． 23. 【操作与思考】如图1，在中，，，，以为边在外作等边三角形，连接，请你以为边在外作等边三角形，再连接，请出的长； 【迁移与应用】如图2，在中，，，，以为斜边作直角三角形，其中，，若D为中点，连接．求的长． 【答案】（操作与思考）；（迁移与应用） 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、轴对称的性质等知识点，灵活利用相关知识成为解题的关键． （操作与思考）先根据题意完成作图，再根据等边三角形的性质证明可得，再结合，运用勾股定理求解即可； （迁移与应用）如图：作B关于的对称点，连接，再以为边，向左侧作等边三角形，再作延长线于F，先证明为等边三角形、为等边三角形，进而证明可得，然后证明，运用勾股定理可得、，最后根据三角形的中位线求解即可． 【详解】解：（操作与思考） 由题意知，， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴． （迁移与应用） 如图：作B关于的对称点，连接，再以为边，向左侧作等边三角形，再作延长线于F， ∵，， ∴， 根据轴对称可知：，， ∴， ∴点B、C、在同一直线上， ∴为等边三角形， ∴， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，， 又∵C，D分别为，的中点， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三数学试题 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共8页．满分150分．考试时间120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将姓名、班级、考场/考试号填写在答题卡和试卷规定的位置上，并准确填写、涂黑考号． 2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能写在试卷上． 3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；需要在答题卡上作图时，可用2B铅笔，但必须把所画线条加黑． 4．评分以答题卡上的答案为依据，答案不能使用涂改液、胶带纸、修正带修改．不按以上要求作答的答案无效．不允许使用计算器． 5．保证答题卡清洁、完整，严禁折叠，严禁在答题卡上做任何标记． 一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列智能手机的功能图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( ) A. B. C. D. 2. 如图所示，甲、乙是两张画有图形的透明胶片，把其中一张向右平移到另一张上，形成的图形是( )． A. B. C. D. 3. 下列对分式的变形，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 使分式的值等于零的的值是 （ ） A 6 B. 或6 C. D. 5. 下列说法正确的是（ ） A. 平移和旋转都不改变图形的大小和位置，只是形状发生了变化； B. 平移和旋转都不改变图形的位置和形状，只是大小发生了变化； C. 平移和旋转都不改变图形的大小和形状，只是位置发生了变化； D. 平移和旋转都不改变图形大小、形状和位置． 6. 不能判定一个四边形是平行四边形的条件是（　　）． A. 两组对边分别平行 B. 一组对边平行，另一组对边相等 C. 一组对边平行且相等 D. 两组对边分别相等 7. 已知关于x的分式方程无解，则k的值为（ ） A. 或 B. C. 或 D. 8. 如图，在平行四边形中，点是边上一点，连接、，已知是的平分线，是的平分线，若，，则平行四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 9. 若，则的值为（ ） A. 0 B. 4 C. 5 D. 3或 10. 如图，在中，，D、E是斜边BC上两点，且，将绕点A顺时针旋转后得到，连接，下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分，只要求填写最后结果． 11 因式分解：______． 12. 如果一个多边形的内角和是外角和的3倍还多180°，那么这个多边形是_______边形． 13. 如图，的对角线交于点，且它们的和是，，则的周长为______． 14. 如图，正方形网格中，线段是线段绕某点逆时针旋转得到的，点与对应，则旋转角为_________． 15. 如图，过平行四边形对角线的交点O，交于点M，交于点N，若平行四边形的周长为20，，则四边形的周长为______． 三、解答题：本大题共8小题，共90分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 如图，在直角坐标系中，边长为2的等边三角形的顶点、都在轴上，顶点在第二象限内，经过平移或轴对称或旋转都可以得到． （1）沿轴向右平移得到，则平移的距离是 个长度单位；与关于直线对称，则对称轴是 ；绕原点顺时针方向旋转得到，则旋转角度可以是 度． （2）连接，交于点，求的度数． 17. 观察“探究性学习”小组的甲、乙两名同学进行的因式分解： 甲： 分成两组 ． 各组提公因式因式分解 乙： 分成两组 ． 平方差公式因式分解 请你在他们解法启发下，因式分解：． 18. 先化简，再求值：，其中，且． 19. 手机专卖店经营的某种手机去年销售总额为10万元，今年每部售价比去年降低500元，若今年卖出的数量与去年卖出的数量相同，且销售总额比去年减少，求今年每部手机的售价是多少元． 20. 短跑运动，可以锻炼人的灵活性，增强人的爆发力，因此，小明和小亮在课外活动中，报名参加了短跑训练小组，在近五次百米训练中，所测成绩如图所示，请根据图中的信息，解答下列问题． （1）完成表格： 平均数（秒） 极差（秒） 方差（秒2） 小明 ______ ______ ______ 小亮 ______ ______ ______ （2）他们各自哪次的成绩最好？ （3）若你是他俩教练，将小明与小亮的成绩比较后，你将分别给予他俩怎样的建议？ 21. 如图，在中，，是中位线，连接和，交于点O． （1）求证：； （2）若，求的长． 22. 如图，在中，，，点D为的中点，E为线段上任意一点，将线段绕点D逆时针旋转得到线段，连接，过点F作，交直线与点H，请问与的数量关系是怎样的？请说明理由． 23. 【操作与思考】如图1，在中，，，，以为边在外作等边三角形，连接，请你以为边在外作等边三角形，再连接，请出的长； 【迁移与应用】如图2，在中，，，，以为斜边作直角三角形，其中，，若D为中点，连接．求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $