6.3　特殊的平行四边形 同步练习 2024-2025学年 青岛版数学八年级下册

菱形的性质 【A层 基础夯实】 知识点1　菱形的性质 1.如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,下列结论中错误的是 (C) A.AB=AD B.AC⊥BD C.AC=BD D.∠DAC=∠BAC 2.如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E为CD的中点.若OE=3,则菱形ABCD的周长为 (C) A.6 B.12 C.24 D.48 3.(2024·上海中考)在菱形ABCD中,∠ABC=66°,则∠BAC=　57　°.  4.用四根长度相等的木条首尾顺次相接制成一个如图1所示的菱形教具,此时测得∠B=60°,对角线AC长为8,改变教具的形状成为如图2所示的正方形,则正方形的边长为　8　.  5.如图,BD是菱形ABCD的对角线,F是AD上一点,且EF垂直平分AB,垂足为E,连接BF,∠ABF=40°,则∠ADB的度数为　70°　.  6.如图,在菱形ABCD中,点E,F分别在边AB,BC上,BE=BF,DE,DF分别与AC交于点M,N. 求证:(1)△ADE ≌△CDF. 【证明】(1)∵四边形ABCD是菱形, ∴DA=DC,∠DAE=∠DCF,AB=CB, ∵BE=BF,∴AE=CF, 在△ADE和△CDF中,, ∴△ADE ≌△CDF(SAS); (2)ME=NF. 【证明】(2)由(1)知△ADE ≌△CDF, ∴∠ADM=∠CDN,DE=DF, ∵DA=DC,∴∠DAM=∠DCN, ∴∠DMA=∠DNC,∴∠DMN=∠DNM, ∴DM=DN,∴DE-DM=DF-DN, ∴ME=NF. 知识点2　菱形性质的实际应用 7.图①是艺术家埃舍尔的作品,他将数学与绘画完美结合,在平面上创造出立体效果.图②是一个菱形,将图②截去一个边长为原来一半的菱形得到图③,用图③镶嵌得到图④,将图④着色后,再次镶嵌便得到图①,则图④中∠ABC的度数是　60　°.  8.如图,重叠在一起的菱形硬纸板ABCD和等边三角形硬纸板AEF的边长相等,且等边三角形硬纸板AEF的顶点E,F恰好落在菱形硬纸板的两边上.你能算出∠C的度数吗? 【解析】连接AC,设∠BAE=y°,∠B=x°, ∵△AEF是等边三角形, ∴∠EAF=60°,又根据对称性得到CA为∠EAF的平分线, 因而∠CAE=30°, ∴在△ABC和△ABE中,根据三角形内角和定理可得方程组 , 解得, ∴∠B=80°, ∵AB∥CD, ∴∠BCD=180°-∠B=100°. 【B层 能力进阶】 9.(2024·烟台期中)如图,在菱形纸片ABCD中,∠A=60°,折叠该纸片,使点C落在直线DP(P为AB中点)上的点C'处,得到经过点D的折痕DE,则∠DEC的度数为 (B) A.80° B.75° C.70° D.60° 10.如图,菱形ABCD的边长为2,点P是对角线AC上的一个动点,点E,F分别为边AD,DC的中点,则PE+PF的最小值是 (A) A.2 B.3 C.1.5 D.4 11.(2024·广东中考)如图,菱形ABCD的面积为24,点E是AB的中点,点F是BC上的动点.若△BEF的面积为4,则图中阴影部分的面积为　10　.  12.(易错警示题·分类讨论遗漏情况)(2023·绍兴中考)如图,在菱形ABCD中,∠DAB=40°,连接AC,以点A为圆心,AC长为半径作弧,交直线AD于点E,连接CE,则∠AEC的度数是　10°或80°　.  13.(2023·襄阳中考)如图,AC是菱形ABCD的对角线. (1)作边AB的垂直平分线,分别与AB,AC交于点E,F(尺规作图,不写作法,保留作图痕迹); 【解析】(1) (2)在(1)的条件下,连接FB,若∠D=140°,求∠CBF的度数. 【解析】(2)∵四边形ABCD是菱形, ∴∠ABC=∠D=140°,AB=CB, ∴∠BAC=∠BCA=×(180°-140°)=20°, ∵MN垂直平分AB, ∴AF=BF, ∴∠ABF=∠BAC=20°, ∴∠CBF=∠ABC-∠ABF=120°. 【C层 创新挑战(选做)】 14.(推理能力、模型观念)在菱形ABCD中,∠ABC=60°,P是直线BD上一动点,以AP为边向右侧作等边△APE(A,P,E按逆时针排列),点E的位置随点P的位置变化而变化. (1)如图1,当点P在线段BD上,且点E在菱形ABCD内部或边上时,连接CE,则BP与CE的数量关系是　BP=CE　,BC与CE的位置关系是　CE⊥BC　;  【解析】(1)连接AC,延长CE交AD于H,如图1所示, ∵四边形ABCD是菱形,∠ABC=60°, ∴△ABC,△ACD都是等边三角形,∠ABD=∠CBD=30°, ∴AB=AC,∠BAC=60°,∠CAH=60°, ∵△APE是等边三角形, ∴AP=AE,∠PAE=60°, ∵∠BAC=∠PAE, ∴∠BAP+∠PAC=∠CAE+∠PAC, ∴∠BAP=∠CAE, ∴△BAP≌△CAE(SAS), ∴BP=CE,∠ABP=∠ACE=30°, ∵△ACD是等边三角形, ∴∠ACD=2∠ACH=60°, ∴CH⊥AD,即CE⊥AD, 又∵AD∥BC, ∴CE⊥BC. (2)如图2,当点P在线段BD上,且点E在菱形ABCD外部时,(1)中的结论是否还成立?若成立,请予以证明;若不成立,请说明理由. 【解析】(2)(1)中结论仍然成立,证明如下: 如图2,连接AC, ∴△ABC,△ACD为等边三角形, 在△ABP和△ACE中,AB=AC,AP=AE, 又∵∠BAP=∠BAC+∠CAP=60°+∠CAP,∠CAE=∠EAP+∠CAP=60°+∠CAP, ∴∠BAP=∠CAE, ∴△ABP≌△ACE(SAS), ∴BP=CE,∠ACE=∠ABD=30°, 设CE与AD交于点H, 同理可得∠ACD=2∠ACH=60°, ∴CE⊥AD, 又∵AD∥BC, ∴CE⊥BC. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 　矩形的判定 【A层 基础夯实】 知识点1　矩形的判定 1.(2024·泸州中考)已知四边形ABCD是平行四边形,下列条件中,不能判定▱ABCD为矩形的是 (D) A.∠A=90° B.∠B=∠C C.AC=BD D.AC⊥BD 2. (2024·聊城模拟)如图,四边形ABCD为平行四边形,延长AD到E,使DE=AD,连接EB,EC,DB,添加一个条件,不能使四边形DBCE成为矩形的是 (D) A.AB=BE B.CE⊥DE C.∠ADB=90° D.BE⊥AB 3.(2023·岳阳中考)如图,点M在▱ABCD的边AD上,BM=CM,请从以下三个条件:①∠1=∠2;②AM=DM;③∠3=∠4中选择一个合适的序号作为已知条件,使▱ABCD为矩形. (1)你添加的条件是　①或②　(填序号);  (2)添加条件后,请证明▱ABCD为矩形. 【解析】(2)添加条件①,▱ABCD为矩形,理由如下: 在▱ABCD中,AB=CD,AB∥CD, 在△ABM和△DCM中,, ∴△ABM ≌△DCM, ∴∠A=∠D,又∵AB∥CD, ∴∠A+∠D=180°, ∴∠A=∠D=90°,∴▱ABCD为矩形; 添加条件②,▱ABCD为矩形,理由如下: 在▱ABCD中,AB=CD,AB∥CD, 在△ABM和△DCM中,, ∴△ABM ≌△DCM,∴∠A=∠D, 又∵AB∥CD, ∴∠A+∠D=180°, ∴∠A=∠D=90°,∴▱ABCD为矩形. 4.(2023·内江中考)如图,在△ABC中,D是BC的中点,E是AD的中点,过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F. (1)求证:FA=BD; 【证明】(1)∵AF∥BC, ∴∠AFE=∠DCE,∠FAE=∠CDE, 又∵E为AD的中点, ∴AE=DE, ∴△AEF≌△DEC(AAS), ∴AF=DC, 又∵D为BC的中点, ∴BD=CD, ∴AF=BD; (2)连接BF,若AB=AC,求证:四边形ADBF是矩形. 【证明】(2)∵AF=BD,AF∥BD, ∴四边形ADBF是平行四边形, ∵AB=AC,D为BC的中点, ∴AD⊥BC, ∴∠ADB=90°, ∴四边形ADBF是矩形. 知识点2　矩形判定和性质综合应用 5.如图,点A,B在直线l1上,点C,D在直线l2上,l1∥l2,CA⊥l1,BD⊥l2,AC=3 cm,则BD等于 (C) A.1 cm B.2 cm C.3 cm D.4 cm 6.如图,四边形ABCD是平行四边形,对角线AC,BD相交于点O,且∠1=∠2. (1)求证:四边形ABCD是矩形; 【解析】(1)∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AC=2OC,BD=2OB, ∵∠1=∠2, ∴OB=OC, ∴AC=BD, ∴平行四边形ABCD是矩形. (2)若∠AOB=60°,且AB=4,求四边形ABCD对角线长. 【解析】(2)由(1)得平行四边形ABCD是矩形, ∴OA=OB=AC=BD, ∵∠AOB=60°, ∴△AOB是等边三角形, ∴OA=OB=AB=4, ∴AC=BD=8. 【B层 能力进阶】 7.如图,在平行四边形ABCD中,M,N是BD上两点,BM=DN,连接AM,MC,CN,NA,添加一个条件,使四边形AMCN是矩形,这个条件是 (B) A.MB=MO B.OM=AC C.BD⊥AC D.∠AMB=∠CND 8.如图,在△ABC中,点P是边BC上一个动点,过点P作直线MN∥AB.MN交∠ABC的平分线于点E,交△ABC的外角∠CBD的平分线于点F.下面给出了四个结论:①PE=PF;②△EBF是直角三角形;③若BE=12,BF=5,则PB=6;④若PC=PB,则四边形CEBF是矩形.其中正确的是 (C) A.①② B.②③ C.①②④ D.①②③④ 9.如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,且OA=OD,∠OAD=50°,则∠OAB的度数为　40°　.  10.如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,动点E以每秒1个单位长度的速度从点A出发沿AC方向运动,点F同时以每秒1个单位长度的速度从点C出发沿CA方向运动,若AC=12,BD=8,则经过　2或10　秒后,四边形BEDF是矩形.  11.如图,已知平行四边形ABCD的对角线AC,BD交于点O,延长BA至点H,使AH=BA,连接DH,过点H作HG∥DB,过点B作BG∥AC. (1)求证:HD=AC; 【证明】(1)∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AB∥CD,AB=CD, ∵AH=AB, ∴AH∥CD,AH=CD, ∴四边形AHDC是平行四边形, ∴DH=AC; (2)当DA=AB时,求证:四边形HGBD是矩形. 【证明】(2)∵BG∥AC,AC∥DH,∴BG∥DH, ∵HG∥DB, ∴四边形BDHG是平行四边形, ∵AD=AB,AB=AH, ∴AD=BH,∴∠BDH=90°, ∴四边形HGBD是矩形. 【C层 创新挑战(选做)】 12.(2024·菏泽质检)已知:如图,在△ABC中,AB=AC,D为边BC上一点,以AB,BD为邻边作平行四边形ABDE,连接AD,EC. (1)求证:∠1=∠2; 【解析】(1)∵AB=AC, ∴∠B=∠2, 又∵四边形ABDE是平行四边形, ∴AB∥DE, ∴∠B=∠1, ∴∠1=∠2; (2)求证:△ADC≌△ECD; 【解析】(2)∵四边形ABDE是平行四边形, ∴AB=ED, ∵AB=AC, ∴AC=ED, 在△ADC和△ECD中, , ∴△ADC≌△ECD(SAS); (3)当点D在什么位置时,四边形ADCE是矩形?请说明理由. 【解析】(3)当点D在BC的中点上时,四边形ADCE是矩形,理由如下: ∵四边形ABDE是平行四边形, ∴AE=BD,AE∥BC, ∵D为BC的中点, ∴BD=CD, ∴AE=CD,AE∥CD, ∴四边形ADCE是平行四边形, ∵△ADC≌△ECD, ∴AC=DE, ∴平行四边形ADCE是矩形. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 　矩形的判定 【A层 基础夯实】 知识点1　矩形的判定 1.(2024·泸州中考)已知四边形ABCD是平行四边形,下列条件中,不能判定▱ABCD为矩形的是 ( ) A.∠A=90° B.∠B=∠C C.AC=BD D.AC⊥BD 2. (2024·聊城模拟)如图,四边形ABCD为平行四边形,延长AD到E,使DE=AD,连接EB,EC,DB,添加一个条件,不能使四边形DBCE成为矩形的是 ( ) A.AB=BE B.CE⊥DE C.∠ADB=90° D.BE⊥AB 3.(2023·岳阳中考)如图,点M在▱ABCD的边AD上,BM=CM,请从以下三个条件:①∠1=∠2;②AM=DM;③∠3=∠4中选择一个合适的序号作为已知条件,使▱ABCD为矩形. (1)你添加的条件是 (填序号);  (2)添加条件后,请证明▱ABCD为矩形. 4.(2023·内江中考)如图,在△ABC中,D是BC的中点,E是AD的中点,过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F. (1)求证:FA=BD; (2)连接BF,若AB=AC,求证:四边形ADBF是矩形. 知识点2　矩形判定和性质综合应用 5.如图,点A,B在直线l1上,点C,D在直线l2上,l1∥l2,CA⊥l1,BD⊥l2,AC=3 cm,则BD等于 ( ) A.1 cm B.2 cm C.3 cm D.4 cm 6.如图,四边形ABCD是平行四边形,对角线AC,BD相交于点O,且∠1=∠2. (1)求证:四边形ABCD是矩形; (2)若∠AOB=60°,且AB=4,求四边形ABCD对角线长. 【B层 能力进阶】 7.如图,在平行四边形ABCD中,M,N是BD上两点,BM=DN,连接AM,MC,CN,NA,添加一个条件,使四边形AMCN是矩形,这个条件是 ( ) A.MB=MO B.OM=AC C.BD⊥AC D.∠AMB=∠CND 8.如图,在△ABC中,点P是边BC上一个动点,过点P作直线MN∥AB.MN交∠ABC的平分线于点E,交△ABC的外角∠CBD的平分线于点F.下面给出了四个结论:①PE=PF;②△EBF是直角三角形;③若BE=12,BF=5,则PB=6;④若PC=PB,则四边形CEBF是矩形.其中正确的是 ( ) A.①② B.②③ C.①②④ D.①②③④ 9.如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,且OA=OD,∠OAD=50°,则∠OAB的度数为 .  10.如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,动点E以每秒1个单位长度的速度从点A出发沿AC方向运动,点F同时以每秒1个单位长度的速度从点C出发沿CA方向运动,若AC=12,BD=8,则经过 秒后,四边形BEDF是矩形.  11.如图,已知平行四边形ABCD的对角线AC,BD交于点O,延长BA至点H,使AH=BA,连接DH,过点H作HG∥DB,过点B作BG∥AC. (1)求证:HD=AC; (2)当DA=AB时,求证:四边形HGBD是矩形. 【C层 创新挑战(选做)】 12.(2024·菏泽质检)已知:如图,在△ABC中,AB=AC,D为边BC上一点,以AB,BD为邻边作平行四边形ABDE,连接AD,EC. (1)求证:∠1=∠2; (2)求证:△ADC≌△ECD; (3)当点D在什么位置时,四边形ADCE是矩形?请说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 菱形的性质 【A层 基础夯实】 知识点1　菱形的性质 1.如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,下列结论中错误的是 ( ) A.AB=AD B.AC⊥BD C.AC=BD D.∠DAC=∠BAC 2.如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E为CD的中点.若OE=3,则菱形ABCD的周长为 ( ) A.6 B.12 C.24 D.48 3.(2024·上海中考)在菱形ABCD中,∠ABC=66°,则∠BAC= °.  4.用四根长度相等的木条首尾顺次相接制成一个如图1所示的菱形教具,此时测得∠B=60°,对角线AC长为8,改变教具的形状成为如图2所示的正方形,则正方形的边长为 .  5.如图,BD是菱形ABCD的对角线,F是AD上一点,且EF垂直平分AB,垂足为E,连接BF,∠ABF=40°,则∠ADB的度数为 .  6.如图,在菱形ABCD中,点E,F分别在边AB,BC上,BE=BF,DE,DF分别与AC交于点M,N. 求证:(1)△ADE ≌△CDF. (2)ME=NF. 知识点2　菱形性质的实际应用 7.图①是艺术家埃舍尔的作品,他将数学与绘画完美结合,在平面上创造出立体效果.图②是一个菱形,将图②截去一个边长为原来一半的菱形得到图③,用图③镶嵌得到图④,将图④着色后,再次镶嵌便得到图①,则图④中∠ABC的度数是 °.  8.如图,重叠在一起的菱形硬纸板ABCD和等边三角形硬纸板AEF的边长相等,且等边三角形硬纸板AEF的顶点E,F恰好落在菱形硬纸板的两边上.你能算出∠C的度数吗? 【B层 能力进阶】 9.(2024·烟台期中)如图,在菱形纸片ABCD中,∠A=60°,折叠该纸片,使点C落在直线DP(P为AB中点)上的点C'处,得到经过点D的折痕DE,则∠DEC的度数为 ( ) A.80° B.75° C.70° D.60° 10.如图,菱形ABCD的边长为2,点P是对角线AC上的一个动点,点E,F分别为边AD,DC的中点,则PE+PF的最小值是 ( ) A.2 B.3 C.1.5 D.4 11.(2024·广东中考)如图,菱形ABCD的面积为24,点E是AB的中点,点F是BC上的动点.若△BEF的面积为4,则图中阴影部分的面积为 .  12.(易错警示题·分类讨论遗漏情况)(2023·绍兴中考)如图,在菱形ABCD中,∠DAB=40°,连接AC,以点A为圆心,AC长为半径作弧,交直线AD于点E,连接CE,则∠AEC的度数是 .  13.(2023·襄阳中考)如图,AC是菱形ABCD的对角线. (1)作边AB的垂直平分线,分别与AB,AC交于点E,F(尺规作图,不写作法,保留作图痕迹); (2)在(1)的条件下,连接FB,若∠D=140°,求∠CBF的度数. 【C层 创新挑战(选做)】 14.(推理能力、模型观念)在菱形ABCD中,∠ABC=60°,P是直线BD上一动点,以AP为边向右侧作等边△APE(A,P,E按逆时针排列),点E的位置随点P的位置变化而变化. (1)如图1,当点P在线段BD上,且点E在菱形ABCD内部或边上时,连接CE,则BP与CE的数量关系是 BP=CE ,BC与CE的位置关系是 CE⊥BC ;  (2)如图2,当点P在线段BD上,且点E在菱形ABCD外部时,(1)中的结论是否还成立?若成立,请予以证明;若不成立,请说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 正方形的性质与判定 【A层 基础夯实】 知识点1　正方形的性质 1.(2023·自贡中考)如图,边长为3的正方形OBCD两边与坐标轴正半轴重合,点C的坐标是( ) A.(3,-3) B.(-3,3) C.(3,3) D.(-3,-3) 2.(2023·怀化中考)如图,点P是正方形ABCD的对角线AC上的一点,PE⊥AD于点E,PE=3.则点P到直线AB的距离为 .  3. (2023·宁夏中考)如图,在边长为2的正方形ABCD中,点E在AD上,连接EB,EC.则图中阴影部分的面积是 .  4.如图所示,在正方形ABCD中,P是对角线AC上的一点,点E在BC的延长线上,且PE=PB. (1)求证:△BCP≌△DCP; (2)求证:DP⊥PE. 知识点2　正方形的判定 5.已知在四边形ABCD中,AC与BD相交于点O,那么下列条件中能判定这个四边形是正方形的是 ( ) A.AC=BD,AB∥CD,AB=CD B.AD∥BC,∠A=∠C C.AO=BO=CO=DO,AC⊥BD D.AO=CO,BO=DO,AB=BC 6.(2024·黑龙江中考)如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,请添加一个条件 ,使得菱形ABCD为正方形.  7.如图,△ABC中,∠ABC=90°,BD是∠ABC的平分线,DE⊥AB于点E,DF⊥BC于点F.求证:四边形DEBF是正方形. 【B层 能力进阶】 8.下列说法中不正确的是 ( ) A.菱形的四条边相等 B.平行四边形的对角线互相平分 C.正方形的对角线相等 D.矩形的对角线互相垂直 9.(2024·菏泽质检)如图,四边形EFGH是由矩形ABCD的外角平分线围成的,则四边形EFGH的形状是 ( ) A.矩形(正方形除外) B.菱形(正方形除外) C.平行四边形(矩形、菱形、正方形除外) D.正方形 10.(2024·福建中考)如图,正方形ABCD的面积为4,点E,F,G,H分别为边AB,BC,CD,AD的中点,则四边形EFGH的面积为 .  11.如图,点D,E,F分别是△ABC三边的中点,则下列结论: ①四边形AEDF一定是平行四边形; ②若AD平分∠BAC,则四边形AEDF是正方形; ③若AD⊥BC,则四边形AEDF是菱形; ④若∠BAC=90°,则四边形AEDF是矩形. 正确的是 .(填序号)  12.已知四边形ABCD是正方形,以AD为边在正方形ABCD所在平面内作等边三角形PAD,那么∠BPC的度数是 .  13.如图,在正方形ABCD和▱ECGF中,点B,C,G在同一条直线上,P是线段AF的中点,连接DP,连接EP并延长,交AD于点Q.请证明: (1)四边形ECGF是矩形. (2)当∠DPE=90°时,四边形ECGF是正方形. 【C层 创新挑战(选做)】 14.(几何直观、推理能力、模型观念)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,过点C的直线MN∥AB,D为AB边上一点,过点D作DE⊥BC,交直线MN于E,垂足为F,连接CD,BE. (1)求证:CE=AD; (2)当D在AB中点时,四边形BECD是什么特殊四边形?说明你的理由; (3)若D为AB中点,则当∠A的大小满足什么条件时,四边形BECD是正方形?请说明你的理由. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 菱形的判定 【A层 基础夯实】 知识点1　菱形的判定 1.在四边形ABCD中,AB=CD,AD=BC,加下列条件能使四边形ABCD为菱形的是 ( ) A.AC=BD B.AB=AC C.∠A=∠B D.AC⊥BD 2.如图,将△ABC沿BC方向平移得到△DCE,连接AD,下列条件能够判定四边形ABCD为菱形的是 ( ) A.AB=BC B.AC=BC C.∠B=60° D.∠ACB=60° 3.如图,在△ABC中,点D,E,F分别在边BC,AB,CA上,且DE∥CA,DF∥BA.下列四种说法: ①四边形AEDF是平行四边形;②如果∠BAC=90°,那么四边形AEDF是矩形;③如果AD平分∠BAC,那么四边形AEDF是菱形;④如果AD⊥BC且AB=AC,那么四边形AEDF是菱形.其中,正确的有 (只填写序号).  4. (2023·张家界中考)如图,已知点A,D,C,B在同一条直线上,且AD=BC,AE=BF,CE=DF. (1)求证:AE∥BF; (2)若DF=FC,求证:四边形DECF是菱形. 知识点2　菱形性质和判定的综合应用 5.(2024·潍坊模拟)如图,两张等宽的纸条交叉叠放在一起,重合部分构成一个四边形ABCD,在其中一张纸条转动的过程中,下列结论错误的是 ( ) A.AD=CD B.四边形ABCD面积=AC·BD C.AC⊥BD D.四边形ABCD的周长=4AB 6.如图,△ABC中,AD平分∠BAC,DE∥AC交AB于E,DF∥AB交AC于F,若AF=6,则四边形AEDF的周长是 .  7.如图,在△ABC中,AB=AC,AH⊥BC,点E是AH上一点,延长AH至点F,使FH=EH. (1)求证:四边形EBFC是菱形; (2)若∠BAC=∠ECF,求∠ACF的度数. 【B层 能力进阶】 8.如图,AD是△ABC的中线,增加下列条件,能判断▱ADCE是菱形的是 ( ) A.AB=AE B.∠DAE=90° C.AB=AC D.∠BAC=90° 9.(2024·聊城东阿质检)如图在平行四边形ABCD中,∠A=110°,AD=DC.E,F分别是边AB和BC的中点,EP⊥CD于点P,则∠PEF= ( ) A.35° B.45° C.50° D.55° 10.(2024·菏泽单县模拟)如图,▱ABCD中,E,F分别是AD,BC的中点,当AB与AC满足条件 时,四边形AFCE是菱形.  11.如图,在▱ABCD中,AB=AD,点E是AB上一点,连接CE,DE,且BC=CE,若∠BCE=40°,则∠ADE= .  12.(2024·雅安中考)如图,点O是▱ABCD对角线的交点,过点O的直线分别交AD,BC于点E,F. (1)求证:△ODE≌△OBF; (2)当EF⊥BD时,DE=15 cm,分别连接BE,DF.求此时四边形BEDF的周长. 【C层 创新挑战(选做)】 13.已知四边形ABCD中,BC=CD,连接BD,过点C作BD的垂线交AB于点E,连接DE. (1)如图1,若DE∥BC,求证:四边形BCDE是菱形; (2)如图2,连接AC,设BD,AC相交于点F,DE垂直平分线段AC. (ⅰ)求∠CED的大小; (ⅱ)若AF=AE,求证:BE=CF. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 　矩形的性质 【A层 基础夯实】 知识点1　矩形的性质 1.(2024·重庆期中)如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,以下说法中错误的是(D) A.∠ABC=90° B.AC=BD C.OB=OC D.OA=AB 2.如图,延长矩形ABCD的边BC至点E,使CE=BD,连接AE.若∠ADB=40°,则∠E的度数为(B) A.10° B.20° C.25° D.30° 3.如图,矩形ABCD中,若∠BED=125°,则∠1等于　35°　.  4.如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,且∠AOD=120°.过点A作AE⊥BD于点E,则= 　.  5.(2023·温州中考改编)如图,已知矩形ABCD,点E在CB延长线上,点F在BC延长线上,过点F作FH⊥EF交ED的延长线于点H,连接AF交EH于点G,GE=GH.求证:BE=CF. 【证明】∵FH⊥EF, ∴∠HFE=90°, ∵GE=GH, ∴FG=EH=GE=GH, ∴∠E=∠GFE, ∵四边形ABCD是矩形, ∴AB=DC,∠ABC=∠DCB=90°, ∴△ABF≌△DCE(AAS), ∴BF=CE, ∴BF-BC=CE-BC, 即BE=CF. 知识点2　直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 6.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是AB的中点,若∠A=28°.则∠BDC的度数为 (C) A.26° B.52° C.56° D.64° 7.如图,DE是△ABC的中位线,点F在DE上,且∠AFB=90°,若AB=7,BC=10,则EF= (D) A.4 B.3 C.2.5 D.1.5 8.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,点D,E,F分别是AB,BC,CA的中点.若CD=2,则线段EF的长是　2　.  9.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AD平分∠BAC,交BC于点D,CE是AB边上的中线,与AD交于点F.若∠B=40°,则∠AFC的度数为　105°　.  10.(2024·聊城茌平期末)如图,在△ABC和△ADC中,∠ABC=∠ADC=90°,连接BD与AC交于点O,M,N分别是AC,BD的中点,连接MN.求证:MN垂直平分BD. 【证明】如图, 连接BM,DM, ∵∠ABC=∠ADC=90°, ∴BM=AC,DM=AC, ∴BM=DM, ∵点N是BD的中点, ∴MN⊥BD, ∴MN垂直平分BD. 【B层 能力进阶】 11.(2023·宁波中考)如图,以钝角三角形ABC的最长边BC为边向外作矩形BCDE,连接AE,AD,设△AED,△ABE,△ACD的面积分别为S,S1,S2,若要求出S-S1-S2的值,只需知道 (C) A.△ABE的面积 B.△ACD的面积 C.△ABC的面积 D.矩形BCDE的面积 12.如图,矩形ABCD的对角线AC,BD交于点O,AB=6,BC=8,过点O作OE⊥AC,交AD于点E,过点E作EF⊥BD,垂足为F,则OE+EF的值为 (C) A. B. C. D. 13.(易错警示题·分类讨论遗漏情况)(2023·哈尔滨中考)矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点F在矩形ABCD边上,连接OF.若∠ADB=38°,∠BOF=30°,则∠AOF=　46°或106°　.  14.如图,在Rt△AEB和Rt△AFB中,∠AEB=∠AFB=90°,O为AB的中点,连接EF,OE,若∠EAF=50°,则∠OEF=　40°　.  15.如图,矩形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,点E是BC上一点,且AE平分∠BAD交BD于点F,∠1=15°, (1)∠BAO=　60°　,∠2=　30°　.  【解析】(1)∵四边形ABCD是矩形,∴∠ABC=∠BAD=90°,OB=OD, OA=OC,AC=BD, ∴OB=OC=OA,∴∠OCB=∠OBC, ∵AE平分∠BAD,∴∠BAE=∠DAE=45°, ∴∠AEB=180°-90°-45°=45°, ∵∠1=15°,∴∠BAO=45°+15°=60°, ∵OA=OB,∴△AOB是等边三角形, ∴AB=OB,∠ABO=60°, ∴∠CBO=90°-60°=30°, ∵∠BAE=∠AEB=45°, ∴AB=BE,∴OB=BE, ∴∠OEB=∠EOB=(180°-30°)=75°, ∵∠AEB=45°,∴∠2=∠OEB-∠AEB=30°. (2)求证:OE=EF. 【解析】(2)∵∠2=30°,∠BOE=75°, ∴∠EFO=180°-75°-30°=75°, ∴∠EOF=∠EFO,∴EO=EF; (3)求证:△BEF ≌△COE. 【解析】(3)∵OB=OC,∠OBC=30°, ∴∠OBC=∠OCB=30°, ∵∠BEO=75°=∠EFO, ∴∠BFE=∠OEC=180°-75°=105°, ∵BE=OB,OB=OC, ∴BE=OC, ∴△BEF ≌△COE. 【C层 创新挑战(选做)】 16.(几何直观、推理能力、模型观念)四边形ABCD是矩形,E是BC延长线上一点,连接AC,DE,BE=AC. (1)如图①,若∠ACB=40°,求∠E的度数; 【解析】(1)如图①,连接BD,与AC交于点O, ∵四边形ABCD是矩形, ∴AC=BD,OB=BD,OC=AC, ∴OB=OC, ∴∠DBC=∠ACB=40°, ∵BE=AC, ∴BD=BE, ∴∠BDE=∠E, ∴∠E==70°; (2)如图②,若F是DE的中点,连接AF,CF,求证:AF⊥FC. 【解析】(2)如图②,延长CF交AD延长线于点G, ∵AG∥BE, ∴∠GDF=∠E,∠G=∠ECF, ∵F是DE的中点, ∴DF=EF, ∴△DFG ≌△EFC(AAS), ∴DG=EC,GF=CF. ∴BC+CE=AD+DG,即AG=BE, ∵BE=AC, ∴AG=AC, 又∵GF=CF, ∴AF⊥FC. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 正方形的性质与判定 【A层 基础夯实】 知识点1　正方形的性质 1.(2023·自贡中考)如图,边长为3的正方形OBCD两边与坐标轴正半轴重合,点C的坐标是(C) A.(3,-3) B.(-3,3) C.(3,3) D.(-3,-3) 2.(2023·怀化中考)如图,点P是正方形ABCD的对角线AC上的一点,PE⊥AD于点E,PE=3.则点P到直线AB的距离为　3　.  3. (2023·宁夏中考)如图,在边长为2的正方形ABCD中,点E在AD上,连接EB,EC.则图中阴影部分的面积是　2　.  4.如图所示,在正方形ABCD中,P是对角线AC上的一点,点E在BC的延长线上,且PE=PB. (1)求证:△BCP≌△DCP; 【证明】(1)∵四边形ABCD是正方形, ∴BC=DC,∠BCP=∠DCP=45°, ∵在△BCP和△DCP中,, ∴△BCP≌△DCP(SAS); (2)求证:DP⊥PE. 【证明】(2)如图所示: 由(1)知,△BCP≌△DCP, ∴∠CBP=∠CDP, ∵PE=PB,∴∠CBP=∠E, ∵∠BCD=90°, ∴∠DCE=90°,∴∠E+∠2=90°, ∵∠1=∠2,∴∠1+∠CDP=90°, ∴∠DPE=90°,∴DP⊥PE. 知识点2　正方形的判定 5.已知在四边形ABCD中,AC与BD相交于点O,那么下列条件中能判定这个四边形是正方形的是 (C) A.AC=BD,AB∥CD,AB=CD B.AD∥BC,∠A=∠C C.AO=BO=CO=DO,AC⊥BD D.AO=CO,BO=DO,AB=BC 6.(2024·黑龙江中考)如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,请添加一个条件　AC=BD(答案不唯一)　,使得菱形ABCD为正方形.  7.如图,△ABC中,∠ABC=90°,BD是∠ABC的平分线,DE⊥AB于点E,DF⊥BC于点F.求证:四边形DEBF是正方形. 【证明】∵DE⊥AB,DF⊥BC, ∴∠DEB=∠DFB=90°, 又∵∠ABC=90°, ∴四边形BEDF为矩形, ∵BD是∠ABC的平分线,且DE⊥AB,DF⊥BC, ∴DE=DF, ∴矩形BEDF为正方形. 【B层 能力进阶】 8.下列说法中不正确的是 (D) A.菱形的四条边相等 B.平行四边形的对角线互相平分 C.正方形的对角线相等 D.矩形的对角线互相垂直 9.(2024·菏泽质检)如图,四边形EFGH是由矩形ABCD的外角平分线围成的,则四边形EFGH的形状是 (D) A.矩形(正方形除外) B.菱形(正方形除外) C.平行四边形(矩形、菱形、正方形除外) D.正方形 10.(2024·福建中考)如图,正方形ABCD的面积为4,点E,F,G,H分别为边AB,BC,CD,AD的中点,则四边形EFGH的面积为　2　.  11.如图,点D,E,F分别是△ABC三边的中点,则下列结论: ①四边形AEDF一定是平行四边形; ②若AD平分∠BAC,则四边形AEDF是正方形; ③若AD⊥BC,则四边形AEDF是菱形; ④若∠BAC=90°,则四边形AEDF是矩形. 正确的是　①③④　.(填序号)  12.已知四边形ABCD是正方形,以AD为边在正方形ABCD所在平面内作等边三角形PAD,那么∠BPC的度数是　30°或150°　.  13.如图,在正方形ABCD和▱ECGF中,点B,C,G在同一条直线上,P是线段AF的中点,连接DP,连接EP并延长,交AD于点Q.请证明: (1)四边形ECGF是矩形. 【证明】(1)∵四边形ABCD是正方形, ∴∠BCD=90°,∴∠GCE=90°, ∵四边形ECGF是平行四边形, ∴平行四边形ECGF是矩形; (2)当∠DPE=90°时,四边形ECGF是正方形. 【证明】(2)在正方形ABCD和矩形ECGF中,点B,C,G在同一条直线上, ∴AD∥BG,EF∥BG,∠ADC=90°, ∴AD∥EF,∴∠QAP=∠EFP, ∵P是线段AF的中点,∴AP=PF, 又∠APQ=∠FPE,∴△APQ≌△FPE(ASA), ∴AQ=EF,QP=PE, ∵∠DPE=90°,∴∠DPQ=90°, 在△PDQ和△PDE中,, ∴△PDQ≌△PDE(SAS),∴QD=DE, ∵AD=DC,∴AQ=EC,∵AQ=EF, ∴EC=EF,∴矩形ECGF是正方形. 【C层 创新挑战(选做)】 14.(几何直观、推理能力、模型观念)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,过点C的直线MN∥AB,D为AB边上一点,过点D作DE⊥BC,交直线MN于E,垂足为F,连接CD,BE. (1)求证:CE=AD; 【解析】(1)∵DE⊥BC, ∴∠DFB=90°, ∵∠ACB=90°, ∴∠ACB=∠DFB, ∴AC∥DE, ∵MN∥AB,即CE∥AD, ∴四边形ADEC是平行四边形, ∴CE=AD; (2)当D在AB中点时,四边形BECD是什么特殊四边形?说明你的理由; 【解析】(2)四边形BECD是菱形,理由: ∵D为AB中点, ∴AD=BD, ∵CE=AD, ∴BD=CE, ∵BD∥CE, ∴四边形BECD是平行四边形, ∵∠ACB=90°,D为AB中点, ∴CD=BD, ∴平行四边形BECD是菱形; (3)若D为AB中点,则当∠A的大小满足什么条件时,四边形BECD是正方形?请说明你的理由. 【解析】(3)当∠A=45°时,四边形BECD是正方形,理由: ∵∠ACB=90°,∠A=45°, ∴∠ABC=∠A=45°, ∴AC=BC, ∵D为AB中点, ∴CD⊥AB, ∴∠CDB=90°, ∵四边形BECD是菱形, ∴菱形BECD是正方形,即当∠A=45°时,四边形BECD是正方形. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 菱形的判定 【A层 基础夯实】 知识点1　菱形的判定 1.在四边形ABCD中,AB=CD,AD=BC,加下列条件能使四边形ABCD为菱形的是 (D) A.AC=BD B.AB=AC C.∠A=∠B D.AC⊥BD 2.如图,将△ABC沿BC方向平移得到△DCE,连接AD,下列条件能够判定四边形ABCD为菱形的是 (A) A.AB=BC B.AC=BC C.∠B=60° D.∠ACB=60° 3.如图,在△ABC中,点D,E,F分别在边BC,AB,CA上,且DE∥CA,DF∥BA.下列四种说法: ①四边形AEDF是平行四边形;②如果∠BAC=90°,那么四边形AEDF是矩形;③如果AD平分∠BAC,那么四边形AEDF是菱形;④如果AD⊥BC且AB=AC,那么四边形AEDF是菱形.其中,正确的有　①②③④　(只填写序号).  4. (2023·张家界中考)如图,已知点A,D,C,B在同一条直线上,且AD=BC,AE=BF,CE=DF. (1)求证:AE∥BF; 【证明】(1)∵AD=BC, ∴AD+DC=BC+DC,即AC=BD, 在△AEC和△BFD中,, ∴△AEC ≌△BFD(SSS), ∴∠A=∠B,∴AE∥BF; (2)若DF=FC,求证:四边形DECF是菱形. 【证明】(2)方法一:在△ADE和△BCF中, ,∴△ADE ≌△BCF(SAS), ∴DE=CF,又EC=DF, ∴四边形DECF是平行四边形, ∵DF=FC,∴▱DECF是菱形. 方法二:∵△AEC ≌△BFD, ∴∠ECA=∠FDB,∴EC∥DF, 又EC=DF,∴四边形DECF是平行四边形, ∵DF=FC,∴▱DECF是菱形. 知识点2　菱形性质和判定的综合应用 5.(2024·潍坊模拟)如图,两张等宽的纸条交叉叠放在一起,重合部分构成一个四边形ABCD,在其中一张纸条转动的过程中,下列结论错误的是 (B) A.AD=CD B.四边形ABCD面积=AC·BD C.AC⊥BD D.四边形ABCD的周长=4AB 6.如图,△ABC中,AD平分∠BAC,DE∥AC交AB于E,DF∥AB交AC于F,若AF=6,则四边形AEDF的周长是　24　.  7.如图,在△ABC中,AB=AC,AH⊥BC,点E是AH上一点,延长AH至点F,使FH=EH. (1)求证:四边形EBFC是菱形; 【解析】(1)∵AB=AC,AH⊥BC, ∴BH=HC. ∵FH=EH, ∴四边形EBFC是平行四边形, 又∵AH⊥BC, ∴四边形EBFC是菱形; (2)若∠BAC=∠ECF,求∠ACF的度数. 【解析】(2)∵四边形EBFC是菱形, ∴∠ECB=∠FCB=∠ECF. ∵AB=AC,AH⊥CB,∴∠CAH=∠BAC. ∵∠BAC=∠ECF,∴∠CAH=∠FCB, ∵AH⊥CB,∴∠CAH+∠ACH=90°. ∴∠FCB+∠ACH=90°. ∴∠ACF=90°. 【B层 能力进阶】 8.如图,AD是△ABC的中线,增加下列条件,能判断▱ADCE是菱形的是 (D) A.AB=AE B.∠DAE=90° C.AB=AC D.∠BAC=90° 9.(2024·聊城东阿质检)如图在平行四边形ABCD中,∠A=110°,AD=DC.E,F分别是边AB和BC的中点,EP⊥CD于点P,则∠PEF= (A) A.35° B.45° C.50° D.55° 10.(2024·菏泽单县模拟)如图,▱ABCD中,E,F分别是AD,BC的中点,当AB与AC满足条件　AB⊥AC　时,四边形AFCE是菱形.  11.如图,在▱ABCD中,AB=AD,点E是AB上一点,连接CE,DE,且BC=CE,若∠BCE=40°,则∠ADE=　15°　.  12.(2024·雅安中考)如图,点O是▱ABCD对角线的交点,过点O的直线分别交AD,BC于点E,F. (1)求证:△ODE≌△OBF; 【解析】(1)∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD∥CB,∴∠OED=∠OFB, ∵点O是▱ABCD对角线的交点, ∴OD=OB, 在△ODE和△OBF中, , ∴△ODE≌△OBF(AAS). (2)当EF⊥BD时,DE=15 cm,分别连接BE,DF.求此时四边形BEDF的周长. 【解析】(2)如图, 由(1)得△ODE≌△OBF,∴DE=BF, ∵DE∥BF, ∴四边形BEDF是平行四边形, ∵EF⊥BD, ∴四边形BEDF是菱形, ∴DF=BF=BE=DE=15 cm,∴DF+BF+BE+DE=4DE=4×15=60(cm), ∴四边形BEDF的周长为60 cm. 【C层 创新挑战(选做)】 13.已知四边形ABCD中,BC=CD,连接BD,过点C作BD的垂线交AB于点E,连接DE. (1)如图1,若DE∥BC,求证:四边形BCDE是菱形; 【解析】(1)设CE与BD交于点O, ∵CB=CD,CE⊥BD, ∴DO=BO, ∵DE∥BC,∴∠DEO=∠BCO, ∵∠DOE=∠BOC,∴△DOE≌△BOC(AAS), ∴DE=BC,∴四边形BCDE是平行四边形, ∵CD=CB,∴平行四边形BCDE是菱形; (2)如图2,连接AC,设BD,AC相交于点F,DE垂直平分线段AC. (ⅰ)求∠CED的大小; (ⅱ)若AF=AE,求证:BE=CF. 【解析】(2)(ⅰ)∵DE垂直平分AC, ∴AE=EC且DE⊥AC, ∴∠AED=∠CED, 又∵CD=CB且CE⊥BD, ∴CE垂直平分DB,∴DE=BE, ∴∠DEC=∠BEC,∴∠AED=∠CED=∠BEC, 又∵∠AED+∠CED+∠BEC=180°, ∴∠CED=×180°=60°; (ⅱ)由(ⅰ)得AE=EC, 又∵∠AEC=∠AED+∠DEC=120°, ∴∠ACE=30°, 同理可得,在等腰△DEB中,∠EBD=30°, ∴∠ACE=∠ABF=30°, 在△ACE与△ABF中,, ∴△ACE≌△ABF(AAS),∴AC=AB, 又∵AE=AF,∴AB-AE=AC-AF, 即BE=CF. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 　矩形的性质 【A层 基础夯实】 知识点1　矩形的性质 1.(2024·重庆期中)如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,以下说法中错误的是( ) A.∠ABC=90° B.AC=BD C.OB=OC D.OA=AB 2.如图,延长矩形ABCD的边BC至点E,使CE=BD,连接AE.若∠ADB=40°,则∠E的度数为( ) A.10° B.20° C.25° D.30° 3.如图,矩形ABCD中,若∠BED=125°,则∠1等于 .  4.如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,且∠AOD=120°.过点A作AE⊥BD于点E,则= .  5.(2023·温州中考改编)如图,已知矩形ABCD,点E在CB延长线上,点F在BC延长线上,过点F作FH⊥EF交ED的延长线于点H,连接AF交EH于点G,GE=GH.求证:BE=CF. 知识点2　直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 6.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是AB的中点,若∠A=28°.则∠BDC的度数为 ( ) A.26° B.52° C.56° D.64° 7.如图,DE是△ABC的中位线,点F在DE上,且∠AFB=90°,若AB=7,BC=10,则EF= ( ) A.4 B.3 C.2.5 D.1.5 8.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,点D,E,F分别是AB,BC,CA的中点.若CD=2,则线段EF的长是 .  9.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AD平分∠BAC,交BC于点D,CE是AB边上的中线,与AD交于点F.若∠B=40°,则∠AFC的度数为 .  10.(2024·聊城茌平期末)如图,在△ABC和△ADC中,∠ABC=∠ADC=90°,连接BD与AC交于点O,M,N分别是AC,BD的中点,连接MN.求证:MN垂直平分BD. 【B层 能力进阶】 11.(2023·宁波中考)如图,以钝角三角形ABC的最长边BC为边向外作矩形BCDE,连接AE,AD,设△AED,△ABE,△ACD的面积分别为S,S1,S2,若要求出S-S1-S2的值,只需知道 ( ) A.△ABE的面积 B.△ACD的面积 C.△ABC的面积 D.矩形BCDE的面积 12.如图,矩形ABCD的对角线AC,BD交于点O,AB=6,BC=8,过点O作OE⊥AC,交AD于点E,过点E作EF⊥BD,垂足为F,则OE+EF的值为 ( ) A. B. C. D. 13.(易错警示题·分类讨论遗漏情况)(2023·哈尔滨中考)矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点F在矩形ABCD边上,连接OF.若∠ADB=38°,∠BOF=30°,则∠AOF= .  14.如图,在Rt△AEB和Rt△AFB中,∠AEB=∠AFB=90°,O为AB的中点,连接EF,OE,若∠EAF=50°,则∠OEF= .  15.如图,矩形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,点E是BC上一点,且AE平分∠BAD交BD于点F,∠1=15°, (1)∠BAO= ,∠2= .  (2)求证:OE=EF. (3)求证:△BEF ≌△COE. 【C层 创新挑战(选做)】 16.(几何直观、推理能力、模型观念)四边形ABCD是矩形,E是BC延长线上一点,连接AC,DE,BE=AC. (1)如图①,若∠ACB=40°,求∠E的度数; (2)如图②,若F是DE的中点,连接AF,CF,求证:AF⊥FC. 学科网（北京）股份有限公司 $$