6.3特殊的平行四边形同步练习2024-2025学年 青岛版数学八年级下册

6.3特殊的平行四边形 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不一定成立的是（    ） A．AC=BD B．AB=CD C．当AC⊥BD时，它是菱形 D．当∠ABC＝90°时，它是矩形 2．如图所示，四边形ABCD是边长为1的正方形，E为BC边的中点，沿AP折叠使D点落在AE上的点H处，连接PH并延长交BC于点F，则EF的长为(　　) A． B． C． D． 3．在ABCD中，AC，BD是对角线，如果添加一个条件，即可推出ABCD是矩形，那么这个条件是（ ） A．AB=BC B．AC=BD C．AC⊥BD D．AB⊥BD 4．在下列命题中，正确的是（　　） A．一组对边平行的四边形是平行四边形 B．有一个角是直角的四边形是矩形 C．有一组邻边相等的四边形是菱形 D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形 5．如图，在矩形中，对角线，交于点O，要使该矩形成为正方形，则应添加的条件是（    ）    A． B． C． D． 6．如图，已知线段AB，分别以A，B为圆心，大于同样长为半径画弧，两弧交于点C，D，连接AC，AD，BC，BD，CD，则下列说法错误的是（    ） A．AB平分∠CAD B．CD平分∠ACB C．AB⊥CD D．AB=CD 7．如图，在菱形ABCD中，AB=5，∠BCD=120°，则△ABC的周长等于（　）． A．20 B．15 C．10 D．5 8．如图，在中，，于点，和的平分线相交于点，为边的中点，，则（　　） A． B． C． D． 9．给出五种图形：① 矩形；② 菱形；③ 等腰三角形（腰与底边不相等）；④ 等边三角形；⑤ 平行四边形（不含菱形、矩形），其中能用完全重合的含有30°角的两块三角板拼成的图形有（   ） A．②③ B．②③④ C．①③④⑤ D．①②③④⑤ 10．依据所标识的数据，下列平行四边形一定为菱形的是（    ） A．   B．   C．   D．   11．下列条件中，不能判定四边形ABCD为菱形的是（ ）． A．AC⊥BD，AC与BD互相平分 B．AB=BC=CD=DA C．AB=BC，AD=CD，且AC⊥BD D．AB=CD，AD=BC，AC⊥BD 12．如图，在正方形中，为对角线，为上一点，过点作，与、分别交于点、，为的中点，连接、、、．下列结论：①；②；③；④若，则，其中结论正确的有（ 　　）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 13．将矩形ABCD沿AE折叠，得到如图的图形．已知∠CEB′=50°，则∠AEB′= 14．如图，菱形ABCD，∠BAC=α，M是AC、BD的交点，P是线段BM上的动点（不与点B、M重合），将线段PA绕点P顺时针旋转2α得到线段PQ，点Q恰好在CD上，若要使得PQ=QD，则α的范围为 ． 15．如图，在菱形中，，分别以，为圆心，以大于长为半径，作弧交于两点，过此两点的直线交边于点，连接，，则的度数为 ． 16．矩形纸片ABCD中，已知AD=8，AB=6，E是边BC上的点，以AE为折痕折叠纸片，使点B落在点F处，连接FC，当△EFC为直角三角形时，BE的长为 ． 17．如图，矩形以点为圆心，以任意长为半径作弧分别交、于两点，再分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧交于点，作射线交于点，若，则矩形的面积等于 ． 三、解答题 18．已知：如图，在矩形中，E，F分别是的中点．求证：四边形是矩形． 19．如图，在平面直角坐标系中，已知，，点为轴负半轴上一点，，． (1)求的度数． (2)如图1，若点的坐标为，，求点的坐标（结果用含的式子表示）． (3)如图2，在（）的条件下，若，过点作轴于点，轴于点，点为线段上一点，若第一象限内存在点，使为等腰直角三角形，请直接写出符合条件的点坐标，并选取一种情况计算说明． 20．如图，M、N分别是正方形的边的中点，与交于点P，连结，求证：． 21．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是BD延长线上一点，且△ACE是等边三角形． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）若∠AED＝2∠EAD，AB＝a，求四边形ABCD的面积． 22．小明参加数学兴趣小组的探究活动，将边长为2的正方形与边长为的正方形按图1的位置放置，与在同一条直线上，与在同一条直线上． （1）小明发现，请你帮他说明理由； （2）如图2，小明将正方形绕点逆时针旋转，当点恰好落在线段上时，请你帮他求出此时的长． 23．如图，在正方形中，点是上一点，点是延长线上的一点，且，连接，，． (1)求证：； (2)已知，若点是的中点，连接，，求的度数． 24．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA=OD，∠OAD=50°．求∠OAB的度数．          第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 《6.3特殊的平行四边形》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A B D A D B C C C 题号 11 12 答案 C D 1．A 【分析】由四边形ABCD是平行四边形，根据菱形与矩形的判定定理，平行四边形的性质，即可求得答案． 【详解】A、∵四边形ABCD是平行四边形，∴AC=BD错误，因为矩形的对角线才相等，故A选项说法错误，符合题意． B、∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，故B选项说法正确，不符合题意． C、∵四边形ABCD是平行四边形，∴当AC⊥BD时，它是菱形，故C选项说法正确，不符合题意． D、∵四边形ABCD是平行四边形，∴当∠ABC＝90°时，它是矩形，故D选项说法正确，不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了菱形与矩形的判定，平行四边形的性质，熟记定理是解题的关键． 2．A 【分析】首先证明Rt△AFB≌Rt△AFH，推出BF=FH，设EF=x，则BF=FH=，在Rt△FEH中，根据构建方程即可解决问题； 【详解】解：连接AF． ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD=BC=1，∠B=90°， ∵BE=EC=， ∴AE= 由翻折不变性可知：AD=AH=AB=1， ∴EH=， ∵∠B=∠AHF=90°，AF=AF，AH=AB， ∴Rt△AFB≌Rt△AFH， ∴BF=FH，设EF=x，则BF=FH=， 在Rt△FEH中，∵ ∴ ∴   故选：A． 【点睛】本题考查翻折变换、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题， 3．B 【详解】解：根据对角线相等的平行四边形是矩形的判定可知： 添加条件AC=BD，即可推出ABCD是矩形. 故选：B. 4．D 【分析】分别利用矩形的判定方法、以及菱形的判定与性质和平行四边形的判定方法分析得出答案． 【详解】解：A、有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，错误； B、有一个角是直角的平行四边形是矩形，错误； C、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，错误； D、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，正确； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定、以及菱形的判定与性质和平行四边形的判定，正确把握相关判定定理是解题关键． 5．A 【分析】根据矩形的性质及正方形的判定来添加合适的条件． 【详解】解：添加，则根据有一组邻边相等的矩形是正方形， 能使矩形成为正方形． 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的判定的应用，能熟记正方形的判定定理是解此题的关键． 6．D 【分析】根据作图判断出四边形ACBD是菱形，再根据菱形的性质：菱形的对角线平分一组对角、菱形的对角线互相垂直平分可得出答案 【详解】解：由作图知AC=AD=BC=BD， ∴四边形ACBD是菱形， ∴AB平分∠CAD、CD平分∠ACB、AB⊥CD， 不能判断AB=CD， 故选：D． 【点睛】本题主要考查线段垂直平分线的尺规作图、菱形的判定方法等，解题的关键是掌握菱形的判定与性质． 7．B 【详解】∵ABCD是菱形，∠BCD=120°， ∴∠B=60°，BA=BC． ∴△ABC是等边三角形． ∴△ABC的周长=3AB=15． 故选B． 8．C 【分析】本题考查了直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，连接，由直角三角形的性质可得，进而可得是等边三角形，即得，再根据三角形内角和定理及角平分线的定义可得，即得，进而即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵，为边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵和的平分线相交于点， ∴， ∴， ∴， 故选：． 9．C 【分析】根据题意，画出对应的图形，即可判断． 【详解】解：如下图所示：用完全重合的含有30°角的两块三角板可以拼成矩形、等腰三角形（腰与底边不相等）、等边三角形和平行四边形（不含菱形、矩形）， 故选C． 【点睛】此题考查的是拼图问题，掌握矩形、菱形、等腰三角形、等边三角形和平行四边形的定义是解决此题的关键． 10．C 【分析】根据菱形的判定逐项排查即可解答． 【详解】解：四边形是平行四边形，对角线互相平分，故A不一定是菱形； 四边形是平行四边形，对边相等，故B不一定是菱形； 图C中，根据三角形的内角和定理可得：，邻边相等，四边形是平行四边形，邻边相等的平行四边形的菱形，故C是菱形； 四边形是平行四边形，对边平行，故D不一定是菱形． 故选：C． 【点睛】本题主要考查菱形的判定，灵活运用菱形的判定方法是解题的关键． 11．C 【详解】解：A、根据AC与BD互相平分得四边形ABCD是平行四边形，再有AC⊥BD ，可得此四边形是平行四边形； B、根据AB=BC=CD=DA ，可知四边形是平行四边形； C、由AB=BC，AD=CD，不能得到此四边形是平行四边形，所以不能判定四边形ABCD是菱形； D、由AB=CD，AD=BC得四边形是平行四边形，再有AC⊥BD，可得四边形是菱形． 故选C． 【点睛】本题考查菱形的判定． 12．D 【分析】根据正方形的性质得出和的关系，再根据和的关系即可判断①，先证明，再证明，从而得出，然后根据四边形的内角和可判断②，根据全等三角形的判定定理，即可判断③；若，则，过点作于点，设，则，，，求出，即可判断④． 【详解】解：是正方形的对角线， ，， ∵， ∴，四边形是矩形， ，， ， 故①正确， ，， ， 又是的中点， ，， ， ， 在和中， ， ， ， 又， ， ， ， 故②正确， ∵， ， 在和中， ， ∴， 故③正确； ∵，， 为等腰直角三角形， ， ，， 过点作于点，如图所示： 设，则，，，，， 则，， ，故④正确； 故选：D．    【点睛】本题考查了正方形的性质、矩形的判定和性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、三角形面积的计算等知识；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键． 13．65°. 【详解】试题分析：根据折叠前后对应部分相等得∠AEB′=∠AEB，再由已知求解． 试题解析：∵∠AEB′是△AEB沿AE折叠而得， ∴∠AEB′=∠AEB． 又∵∠BEC=180°，即∠AEB′+∠AEB+∠CEB′=180°， 又∵∠CEB′=50°，∴∠AEB′=. 考点：1.角的计算；2.翻折变换（折叠问题）． 14．45°<α<60° 【分析】根据菱形ABCD中AB∥CD，得到∠BAC=∠ACD=α，根据∠CDM=90°，得到∠CDP=90°-∠ACD=90°-α，根据PQ=QD，得到∠QPD=∠QDP=90°-α，∠APM=∠APQ-∠DPQ=2α-（90°-α）=3α-90°，根据∠APM>∠ABM，得到3α-90°>90°-α，α>45°，根据∠APM<90°，得到3α-90°<90°，α<60°，得到45°<α<60°． 【详解】∵菱形ABCD中，AB∥CD， ∴∠BAC=∠ACD=α， ∵∠CMD=90°， ∴∠CDP=90°-∠ACD=90°-α， ∵PQ=QD， ∴∠QPD=∠QDP=90°-α， ∴∠APM=∠APQ-∠DPQ=2α-（90°-α）=3α-90°， ∵∠APM>∠ABM，∠ABM=∠CDM， ∴3α-90°>90°-α， ∴α>45°， ∵∠APM<90°， ∴3α-90°<90°， ∴α<60°， ∴45°<α<60°． 故答案为45°<α<60°． 【点睛】本题考查了菱形的性质，三角形外角性质，直角三角形的角的性质，熟练掌握菱形的边、角、对角线的性质，三角形外角大于不相邻任一个内角，直角三角形中锐角小于直角的性质，是解决问题的关键． 15．36° 【分析】由题意可得EA=EB，从而∠ABE=∠A，再根据菱形的性质可以得到∠ABD的大小，从而根据∠EBD=∠ABD-∠ABE即可解答 ．　 【详解】解：由题意可知E在线段AB的垂直平分线上， ∴EA=EB， ∴∠ABE=∠A=36°， ∵ABCD为菱形， ∴AD=AB， ∴∠ABD=（180°-∠A）÷2=72°， ∴∠EBD=∠ABD-∠ABE=72°-36°=36°， 故答案为36°． 【点睛】本题考查菱形的应用，熟练掌握菱形的性质、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的画法和性质是解题关键．　 16．3或6 【分析】分两种情形分别求解即可解决问题． 【详解】试题分析： 由题意可知有两种情况，见图1与图2； 图1：当点F在对角线AC上时，∠EFC=90°， ∵∠AFE=∠B=90°，∠EFC=90°， ∴点A、F、C共线， ∵矩形ABCD的边AD=8， ∴BC=AD=8， 在Rt△ABC中，AC==10， 设BE=x，则CE=BC﹣BE=8﹣x， 由翻折的性质得，AF=AB=6，EF=BE=x， ∴CF=AC﹣AF=10﹣6=4， 在Rt△CEF中，EF2+CF2=CE2， 即x2+42=（8﹣x）2， 解得x=3， 即BE=3； 图2：当点F落在AD边上时，∠CEF=90°， 由翻折的性质得，∠AEB=∠AEF=×90°=45°， ∴四边形ABEF是正方形， ∴BE=AB=6， 综上所述，BE的长为3或6． 故答案为3或6． 点睛：本题考查矩形的性质，翻折变换等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 17． 【分析】根据矩形的性质得到∠B=∠BAD=90°，求得∠ACB=30°，由作图知，AP是∠BAC的平分线，得到∠BAE=∠CAE=30°，AB＝，根据等腰三角形的性质求得AE＝EC＝2，解直角三角形得到BC=3，于是得到结论． 【详解】由题可知AP是∠BAC的角平分线 ∵∠BAC＝600 ∴∠BAE＝∠EAC＝300 ∴AE＝2 BE＝2. ∴AB＝ ∴∠AEB＝600 又∵∠AEB＝∠EAC+∠ECA ∴∠EAC＝∠ECA＝300 ∴AE＝EC＝2 ∴BC＝3 ∴S矩形ABCD＝3． 【点睛】此题考查尺规作图，矩形的性质，解题关键在于求得AB＝ 18．见解析 【分析】根据矩形的性质可得，， 从而得到，可证得四边形是平行四边形，即可求证． 【详解】证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵E，F分别是的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定和性质，熟练掌握矩形的判定和性质是解题的关键． 19．(1)180° (2)点的坐标为 (3)满足条件的点N的坐标为或或，过程见解析 【分析】（1）如图1中，设与y轴交于点E．根据四边形内角和定理，只要证明即可解决问题； （2）作于H，证明，即可得到点D的坐标． （3）分四种情形，利用全等三角形的性质，列出方程分别求解即可． 【详解】（1）解：如图1中，设与y轴交于点E． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，作于H． ∵，， ∴，， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴点D的坐标为； （3）解：①如图2中，作于G，的延长线交于H． ∵是等腰直角三角形， ∴， 由，得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②如图3中，作于G，于H． 由，得， ∴， ∴， ∴，此时点M不在线段上，不符合题意舍去； ③如图4中，作于G，的延长线交于H． 由得， ∴， ∴， ∴； ④如图5中，作于G，于H． 由得， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上所述，满足条件的点N的坐标为或或． 【点睛】本题考查三角形综合题、四边形内角和定理、坐标与图形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会解题常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 20．见解析 【分析】延长交于Q，根据正方形性质可得AD=DC=CB，∠D=∠NCB=90°，由M、N分别是的中点，可得DM=AM=，CN=，可证DM=CN，可证△DMC≌△CNB（SAS），∠BPC=90°，再证△CDM≌△QAM（AAS），可得CD=QA，在Rt△QBP中，AP为斜边中线，AP==AB． 【详解】证明：延长交于Q， 在正方形中，AD=DC=CB，∠D=∠NCB=90°， ∵M、N分别是正方形的边的中点， ∴DM=AM=，CN= ∴DM=CN， 在△DMC和△CNB中， ， ∴△DMC≌△CNB（SAS）， ∴∠DCM=∠CBN， ∵∠DCM+∠PCB=90° ∴∠CBP+∠PCB=∠DCM+∠PCB=90°， ∴∠BPC=180°-∠PCB-∠CBP=180°-（∠PCB+∠CBP）=90° 在△CDM和△QAM中 ， ∴△CDM≌△QAM（AAS）， ∴CD=QA， 在Rt△QBP中，AP为斜边中线， ∴AP==AB． 【点睛】本题考查正方形性质，中点定义，三角形全等判定与性质，直角三角形斜边中线性质，掌握正方形性质，中点定义，三角形全等判定与性质，直角三角形斜边中线性质是解题关键． 21．（1）见解析；（2）正方形ABCD的面积为 【分析】（1）由等边三角形的性质得EO⊥AC，即BD⊥AC，再根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可得出结论； （2）证明菱形ABCD是正方形，即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO＝OC， ∵△ACE是等边三角形， ∴EO⊥AC （三线合一）， 即BD⊥AC， ∴▱ABCD是菱形； （2）解：∵△ACE是等边三角形， ∴∠EAC＝60° 由（1）知，EO⊥AC，AO＝OC ∴∠AEO＝∠OEC＝30°，△AOE是直角三角形， ∵∠AED＝2∠EAD， ∴∠EAD＝15°， ∴∠DAO＝∠EAO﹣∠EAD＝45°， ∵▱ABCD是菱形， ∴∠BAD＝2∠DAO＝90°， ∴菱形ABCD是正方形， ∴正方形ABCD的面积＝AB2＝a2． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、正方形的判定与性质、平行四边形的性质、等边三角形的性质等知识，证明四边形ABCD为菱形是解题的关键． 22．(1)见解析;(2) . 【分析】（1）延长EB交DG于点H，先证出Rt△ADG≌Rt△ABE，得出∠AGD=∠AEB，再根据∠HBG=∠EBA，得出∠HGB+∠HBG=90°即可； （2）过点A作AM⊥BD交BD于点M，根据△DAG≌△BAE得出DG=BE，∠AMD=90°，求出AM、DM，利用勾股定理求出MG，再根据DG=DM+MG求出DG，最后根据DG=BE即可得出答案． 【详解】（1）∵四边形与四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∴． 如图，延长交于点． 在中，， ∴， ∴， ∴． （2）∵四边形与四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴． 如图，过点作于点，则， ∵是正方形的对角线， ∴． 在中，，， 可得， 在中，， ∴， ∴． 【点睛】考查了旋转的性质和正方形的性质，用到的知识点是旋转的性质、全等三角形的判定，勾股定理和正方形的性质，关键是根据题意画出辅助线，构造直角三角形． 23．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据正方形的性质得到，，根据证明即可； （2）连接，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得，推出，证明得，即可得解． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：连接， ∵， ∴，， ∴， 在和中，是中点， ∴， 又∵，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为． 【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形的内角和定理．掌握全等三角形的判定和性质、正方形的性质是解题的关键． 24．40° 【分析】先证四边形ABCD是矩形，根据矩形的性质求出∠DAB，代入∠OAB=∠DAB-∠OAD求出即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=,OD= 又∵OA=OD ∴AC=BD ∴四边形ABCD是矩形， ∴∠DAB=90°， ∵∠OAD=50°， ∴∠OAB=∠DAB-∠OAD=40° 【点睛】本题考查了平行四边形的性质及矩形的判定与性质，能根据矩形的性质求出∠DAB的度数是解此题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$