《6.3 特殊的平行四边形》同步练习-2024-2025学年青岛版数学八年级下学期

《6.3 特殊的平行四边形》同步练习-2024-2025学年第二学期青岛版数学八年级下册 一 、单选题 1.如图，在正方形中，，点是边的中点，点是直线上的动点点不与点重合，将沿所在的直线翻折，得到，作点关于对角线的对称点，连接，，若为等腰三角形时，则线段的长为 A. B. 或 C. 或 D. 或或 2.如图，四边形为平行四边形，延长到，使，连接，，，添加一个条件，不能使四边形成为矩形的是 A. B. C. D. 3.下列说法中正确的是 A. 对角线互相垂直的四边形是菱形 B. 有一个角是直角的平行四边形是正方形 C. 有两个角相等的四边形是平行四边形 D. 平移和旋转都不改变图形的形状和大小 4.如图，在菱形中，是的中点，点是的中点，连接如果，那么菱形的周长为      A. B. C. D. 5.如图，在矩形中，，，点为的中点，将沿折叠，使点落在矩形内点处，连接，则的长为 A. B. C. D. 6.下列命题错误的是（ ） A. 平行四边形的对边相等 B. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 C. 对角线相等的四边形是矩形 D. 矩形的对角线相等 7.如图，平行四边形中，，是的中点，是边上的动点，的延长线与的延长线交于点，连接，，下列说法不正确的是 A. 四边形是平行四边形 B. 当时，四边形是矩形 C. 当时，四边形是菱形 D. 当时，四边形是正方形 8.如图，一架梯子斜靠在竖直墙上，点为梯子的中点，当梯子底端向左水平滑动到位置时，滑动过程中的变化规律是 A. 变小 B. 不变 C. 变大 D. 先变小再变大 9.如图，四边形是平行四边形，以点为圆心、的长为半径画弧交于点，再分别以点，为圆心、大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，连接下列结论中不一定成立的是 A. B. C. 平分 D. 10.下列是关于某个四边形的三个结论：它的对角线相等；它是一个正方形；它是一个矩形．下列推理过程正确的是 A. 由推出，由推出 B. 由推出，由推出 C. 由推出，由推出 D. 由推出，由推出 二 、填空题 11.平行四边形中，、是两条对角线，现从以下四个关系中中任取一个作为条件，即可推出平行四边形是菱形的概率为 ______ ． 12.菱形中，，其周长为，则菱形的面积为______． 13.图，菱形中对角，交于，点，别是边，的中若，则段的长为 ______ . 14.在▱中，对角线，相交于点请你添加一个条件，使得四边形成为菱形，这个条件可以是______写出一种情况即可 15.如图所示，已知▱，下列条件：，，，中，能说明▱是矩形的有填写序号______． 16.在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，要使四边形ABCD是正方形，还需添加一组条件．下面给出了四组条件：①AB⊥AD，且AB=AD；②AB=BD，且AB⊥BD；③OB=OC，且OB⊥OC；④AB=AD，且AC=BD．其中正确的序号是_____． 17.如图，在边长为的正方形中，点，分别在边，上，且，连接、交于点，连接，则线段的最小值为 ______. 18.以点为圆心，为半径画弧，再以点为圆心，相同长度为半径画弧，交前弧于、两点，已知，则以、、、四点为顶点的四边形的面积是 ______ . 三 、解答题 19.如图，正方形中，点是边上的一点不与点，重合，连接，平分，交边于点，试判断线段，和之间的数量关系，并说明理由. 20.如图，四边形是矩形，点和点在边上，且，求证： 21.如图，在菱形中，将对角线分别向两端延长到点和，使得连接，，，．  求证：四边形是菱形． 22.已知：如图，在菱形中，、分别是和边上的点，且求证：． 23.如图，在菱形中，点、分别在、上，且，求证： 24.如图，是的外角，平分，且过点作，垂足为，是边上的中线，连接．  求证：．  当时，应是怎样的三角形？为什么？ 答案和解析 1.【答案】D; 【解析】解：四边形是正方形，  ，，  取的中点，连接，如图，  ，  点是边的中点，  ，  ，  是正方形对角线，  ，，  点，关于直线对称．    又点，关于直线对称，  ，  ，  点在以点为圆心，为直径的圆上运动．  由题意可知需分三种情况讨论：  ①当时，点在线段的垂直平分线上，如图，    此时可知点与点重合，点与点重合，  故  ②当时，如图，连接，，    ，  ，  又，，  ，  ，  由折叠得，  ，  ，  点，，共线．  点，关于直线对称，    设，则，，  由勾股定理，得，即，  解得，即  ③当时，如图，连接，    同②可证，    连接，  故点，，点，，点，分别关于直线对称，  与关于直线对称，  ，    ，点在上，  点与点重合，    综上，的长为或或  故选：  根据折叠的性质，分或或三种情况讨论求解即可．  此题主要考查了正方形的折叠，正方形的性质，全等三角形的判定与性质找出点的运动轨迹，解答本题的羝是利用分类讨论的思想分别求出符合题意的的长． 2.【答案】D; 【解析】解：四边形是平行四边形  ，，，，  ，  ，  ，  ，  四边形是平行四边形  、时，，  ，  平行四边形是矩形，故选项不符合题意；  、，  时，  平行四边形是矩形，故选项不符合题意；  、，  ，  平行四边形是矩形，故选项不符合题意；  、，，  ，  平行四边形是菱形，故选项符合题意．  故选：  先证四边形为平行四边形，再由矩形的判定和菱形的判定分别对各个选项进行判断即可．  此题主要考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定、菱形的判定等知识，熟练掌握矩形的判定和平行四边形的判定与性质是解答该题的关键． 3.【答案】D; 【解析】解：、对角线互相垂直的四边形是菱形，错误．应该是对角线互相垂直平分的四边形是菱形，本选项不符合题意．   B、有一个角是直角的平行四边形是正方形，错误．应该是有一个角是直角且邻边相等的平行四边形是正方形，本选项不符合题意．   C、有两个角相等的四边形是平行四边形，错误，可能是等腰梯形．本选项不符合题意．   D、平移和旋转都不改变图形的形状和大小，正确，   故选：．  根据平行四边形，菱形，正方形的判定依据平移旋转的性质一一判断即可．  此题主要考查平行四边形的判定，菱形的判定，正方形的判定，平移变换，旋转变换的性质等知识，解答该题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 4.【答案】D; 【解析】解：点、分别是、的中点，，   ，   四边形是菱形，   菱形的周长是：．  故选：．  由点、分别是、的中点，，利用三角形中位线的性质，即可求得的长，然后由菱形的性质，求得菱形的周长．  该题考查了菱形的性质以及三角形中位线的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用． 5.【答案】D; 【解析】解：连接，  ，点为的中点，  ，  又，  ，  由折叠知，对应点的连线必垂直于对称轴，  ，  ，  则，  ，  ，  ．  故选：．  连接，根据三角形的面积公式求出，得到，根据直角三角形的判定得到，根据勾股定理求出答案．  该题考查的是翻折变换的性质和矩形的性质，掌握折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解答该题的关键． 6.【答案】C; 【解析】解：平行四边形的性质有平行四边形的对边相等，故A选项错误；  平行四边形的判定定理有两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故B选项错误；  C、对角线相等的平行四边形是矩形，故C选项正确；  D、矩形的性质有矩形的对角线相等，故D选项错误；  故选：C． 7.【答案】D; 【解析】解：四边形是平行四边形，  ，  ，  是的中点，  ，  在和中，  ，  ，  ，  ，  四边形是平行四边形，正确；  B.四边形是平行四边形，  ，  四边形是矩形，正确；  C.四边形是平行四边形，  ，  ，  是等边三角形，  ，  四边形是平行四边形，  四边形是菱形，正确；  D.当时，不能得出四边形是正方形，错误；  故选：  根据平行四边形的性质和菱形、矩形的判定逐一进行判断即可．  此题主要考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定，矩形的判定，等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定的应用，解决本题的关键是掌握有一组邻边相等的平行四边形是菱形，有一个角是直角的平行四边形是矩形． 8.【答案】B; 【解析】 根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可求解 【详解】，点为梯子的中点， ， 当梯子底端向左水平滑动到位置时， ，， ， 滑动过程中不变， 故选： 9.【答案】D; 【解析】解：由尺规作图可知：，平分，   ，   四边形是平行四边形，   ，   ．  ，   ，   ，   ，   ，   四边形是平行四边形，   ，   四边形是菱形，   平分，，，故选项A、C正确，   ，   ，故选项B正确；   故选：．  首先证明四边形是菱形，利用菱形的性质对各个选项进行判断即可．  该题考查尺规作图，菱形的判定与性质等知识，解答该题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 10.【答案】A; 【解析】解：对角线相等的四边形推不出是正方形或矩形，   故，错误，   故选项B，，D错误，   故选：．  根据对角线相等的四边形推不出是正方形或矩形即可判断．  该题考查正方形的判定和性质，矩形的判定等知识，解答该题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 11.【答案】; 【解析】解：四边形是平行四边形，  若，则，符合“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”的判定定理，故此小题正确；  若，则此平行四边形是矩形，故此小题错误；  若，符合“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”的判定定理，此小题正确；  若，则此平行四边形是矩形，故此小题错误．  故正确的有、两个，  所以可推出平行四边形是菱形的概率为：．  故答案为：．    根据题意画出图形，再由菱形的判定定理对四个选项进行逐一判断，找出正确的条件个数，再根据概率公式即可解答．  该题考查的是概率公式及菱形的判定定理，解答该题的关键是熟知概率的求法与运用，一般方法：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率． 12.【答案】18; 【解析】解：如图所示：过点作于点  菱形中，其周长为，  ，  ，  菱形的面积．  故答案为：．  根据菱形的性质以及锐角三角函数关系得出的长，即可得出菱形的面积．  此题主要考查了菱形的面积以及其性质，得出的长是解题关键． 13.【答案】3; 【解析】解：为菱形，      、是和的中，即是的中，  中，依勾股定理可：  故答案为：．  先依菱形的性质求得的长，后依据勾股定理得从而可到的长最后，依据三角形中位线定求的长即可．  本题查了三角形的位定和菱形的面积公式，利用股定求得的是解的关键． 14.【答案】AC⊥BD; 【解析】解：四边形为平行四边形，  当时，四边形为菱形．  故答案为：答案不唯一  依据菱形的判定定理进行判断即可．  此题主要考查的是菱形的判定，熟练掌握菱形的判定定理是解答该题的关键． 15.【答案】①④; 【解析】解：能说明▱是矩形的有：   对角线相等的平行四边形是矩形；   有一个角是直角的平行四边形是矩形．  矩形是特殊的平行四边形，矩形有而平行四边形没有的特征是：矩形的四个内角是直角；矩形的对角线相等且互相平分；可根据这些特点来选择条件．  此题主要考查的是矩形的判定方法． 16.【答案】①③④．; 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，AB=AD，∴四边形ABCD是菱形，又∵AB⊥AD，∴四边形ABCD是正方形，①正确； ∵四边形ABCD是平行四边形，AB=BD，AB⊥BD，∴平行四边形ABCD不可能是正方形，②错误； ∵四边形ABCD是平行四边形，OB=OC，∴AC=BD，∴四边形ABCD是矩形，又OB⊥OC，即对角线互相垂直，∴平行四边形ABCD是正方形，③正确； ∵四边形ABCD是平行四边形，AB=AD，∴四边形ABCD是菱形，又∵AC=BD，∴四边形ABCD是矩形，∴平行四边形ABCD是正方形，④正确； 故答案为：①③④． 17.【答案】; 【解析】解：如图，四边形是正方形，  ，  ，  ，  在和中，  ，  ，  ，  ，  ，  ，  点在运动中保持，  点的路径是一段以为直径的弧，  设的中点为，连接交弧于点，此时的长度最小，  在中，，  ，  ，  即线段的最小值为，  故答案为：  首先判断出，即可判断出，再根据，可得，所以；然后根据点在运动中保持，可得点的路径是一段以为直径的弧，设的中点为，连接交弧于点，此时的长度最小，最后在中，根据勾股定理，求出的长度，再求出的长度，即可求出线段的最小值为多少．  此题主要考查了全等三角形的判定和性质的应用，正方形的性质和应用，直角三角形的性质和应用，以及勾股定理的应用，解答该题的关键是判断出什么情况下，的长度最小． 18.【答案】; 【解析】解：根据作图过程可知：，    四边形是菱形，  于点，  ，，  ，  ，  菱形的面积  故答案为：  根据作图过程可得四边形是菱形，然后利用勾股定理求出的长，进而利用菱形的面积公式即可求解．  此题主要考查了菱形的判定与性质，解决本题的关键是掌握菱形的判定方法． 19.【答案】; 【解析】  过点作，与的延长线交于点证明，可得，根据，得，根据线段的和可得结论：  此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的意义，解本题的关键是构造全等三角形，是一道中考常考题． 20.【答案】; 【解析】  利用矩形的性质证得，从而证得结论．  此题主要考查了矩形的性质及全等三角形的判定与性质，解答该题的关键是了解矩形的对边相等，四个角都是直角，难度不大． 21.【答案】证明：∵四边形ABCD是菱形，  ∴BC=CD，∠DCA=∠BCA，  ∴∠DCF=∠BCF，  ∵CF=CF，  ∴△CDF≌△CBF（SAS），  ∴DF=BF，  ∵AD∥BC，  ∴∠DAE=∠BCF，  ∵AE=CF，DA=AB，  ∴△DAE≌△BFC（SAS），  ∴DE=BF，  同理可证：△DCF≌△BEA（SAS），  ∴DF=BE，  ∴四边形BEDF是平行四边形，  ∵DF=BF，  ∴平行四边形BEDF是菱形．; 【解析】  四边形是菱形，可得，，，可以证明≌，≌，≌，进而证明平行四边形是菱形．  该题考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握菱形的判定与性质． 22.【答案】证明：四边形是菱形，  ，，，  ，  ，  在和中  ，  ≌；  ，  ．; 【解析】  由四边形是菱形，即可求得，，又由知，根据，即可证≌得，从而得证．  该题考查了菱形的性质与全等三角形的判定与性质，解答该题的关键是熟练掌握菱形的性质，注意菱形的四条边都相等，对角相等． 23.【答案】证明：∵四边形ABCD为菱形，  ∴AD=CD=AB=BC，∠A=∠C．  在△AMD和△CND中，  ，  ∴△AMD≌△CND（ASA）．  ∴AM=CN，  ∴AB-AM=BC-CN，  即BM=CN．; 【解析】  由菱形的性质，可用证明，所以，所以，即，则结论得证．  此题主要考查了全等三角形的判定与性质和菱形的性质，掌握全等三角形的判定与性质以及菱形的性质是解答该题的关键． 24.【答案】（1）证明：∵AD平分∠EAC，且AD∥BC，  ∴∠ABC=∠EAD=∠CAD=∠ACB，  ∴AB=AC；  AF是BC边上的中线，  ∴AF⊥BC，  ∵CG⊥AD，AD∥BC，  ∴CG⊥BC，  ∴AF∥CG，  ∴四边形AFCG是平行四边形，  ∵∠AFC=90°，  ∴四边形AFCG是矩形；  ∴AC=FG．  （2）解：当AC⊥FG时，△ABC是等腰直角三角形．理由如下：  ∵四边形AFCG是矩形，  ∴四边形AFCG是正方形，∠ACB=45°，  ∵AB=AC，  ∴△ABC是等腰直角三角形．; 【解析】  先根据题意推理出四边形是矩形，然后根据矩形的性质得到对角线相等；由第一问的结论和得到四边形是正方形，然后即可得到是等腰直角三角形．  该题目考查了矩形的判定和性质、正方形的判定和性质、等腰三角形的性质，知识点比较多，注意解答的思路要清晰． 第  页，共  页 学科网（北京）股份有限公司 $$