精品解析：福建省莆田市城厢区砺成中学2024-2025学年九年级下学期开学数学试题

2024-2025学年下学期九年级返校考 数学试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 一、选择题（10小题，共40分） 1. 下列各数中，最小的是（ ） A. B. C. D. 2. 中国古代数学著作《九章算术》中，将两底面是直角三角形的直棱柱称为“堑堵”.将一个“堑堵”按如图方式摆放，则它的左视图为（ ） A. B. C. D. 3. 在研制新冠肺炎疫苗中，某细菌的直径大小为毫米，用科学记数法表示这一数字为（　　） A. B. C. D. 4. 的值等于（ ） A. B. 1 C. D. 5. 一个不透明的袋中装有若干个红球，为了估计袋中红球的个数，在袋中放入3个除了颜色外其余均相同的白球，记录下颜色后，放回袋中并摇匀，摸到白球的频率稳定在0.15附近，则红球的个数为（　　） A. 11 B. 14 C. 17 D. 20 6. 唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导．如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦长，轮子的吃水深度为，则该桨轮船的轮子直径为（ ） A. B. C. D. 7. 已知实数，满足和，则的值是（　　） A. B. C. D. 8. 已知圆锥的底面半径是3，母线长是5，则圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，将绕点C顺时针旋转，点B的对应点为点E，当点E恰好落在边上时，连接，若，则的度数是（　　） A. B. C. D. 10. 已知抛物线（，，为常数，）的对称轴为直线，且经过点，与轴的两个交点之间的距离大于4，有下列结论： ①； ②若抛物线经过点，则其解析式为； ③一元二次方程没有实数根； ④． 其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（6小题，共24分） 11. 计算：_____． 12. 小聪和小明两个同学玩“石头，剪刀、布“的游戏，随机出手一次是平局的概率是________． 13. 某城区采取多项综合措施降低降尘量提升空气质量，降尘量由2021年的吨/平方公里下降至2023年的吨/平方公里，则降尘量的年平均下降率为_____． 14. 如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度（单位：m）与飞行时间（单位：s）之间具有函数关系：，则当小球飞行高度达到最高时，飞行时间_________s． 15. 港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，被誉为“现代世界七大奇迹”的超级工程，它是我国从桥梁大国走向桥梁强国的里程碑之作．港珠澳大桥主桥为三座大跨度钢结构斜拉桥，其中九洲航道桥主塔造型取自“风帆”，寓意“扬帆起航”，某校九年级学生为了测量该主塔的高度，站在处看塔顶，仰角为，然后向后走米（米），到达处，此时看塔顶，仰角为，则该主塔的高度是______米． 16. 已知抛物线，对任意的自变量都有，若该抛物线过点，，且，则的取值范围是______． 三、简答题（9小题，共86分） 17. 解下列方程：． 18. 已知关于x的方程有两个实数根，． （1）求k的取值范围； （2）若，求k的值． 19. 已知抛物线（，，为常数，）与轴的一个交点坐标是，与轴的交点坐标是，且经过点． （1）求该抛物线解析式中，，的值； （2）直接写出时，自变量的取值范围． 20. 某校推荐了4名学生为区域中学生中华经典诵读比赛主持人，其中1名七年级女生、2名八年级学生（刚好1名男生和1名女生）、1名九年级男生． （1）若从4名学生中任选一名作为主持人，抽到九年级学生的概率是__________； （2）若先从八年级的2名学生中任抽1名，再从剩下的3名学生任抽1名，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率，请画表格或树状图等方法说明． 21. 某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一边靠墙（墙的长度为），其他边均用栅栏围成，中间用与墙垂直的栅栏把它分成两个面积为的矩形，如图所示．已知栅栏的总长度为，设较小矩形中与墙平行的一边长为． （1）填空： ①养殖场中每一条与墙垂直的边长均可用含的代数式表示为_____； ②x的取值范围是_____； （2）矩形养殖场的面积能否达到？如果能，请求出的值；如果不能，请说明理由． 22. 如图，为的直径，点为弦的中点，的延长线交于点，连接，，．与交于点，点在的延长线上，且． （1）求证：与相切； （2）若，，求的长． 23. 如图，已知抛物线（b为常数）的对称轴是直线，与x轴相交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴相交于点C． （1）求该抛物线的解析式． （2）抛物线上一点M在直线上方，其横坐标为m，过点M作轴，垂足为点D，交线段于点E． ①若，求点M的坐标； ②连接，，求四边形面积S的最大值及此时点M的坐标． 24. 【定义】在平面内，把一个图形上任意一点与另一个图形上任意一点之间的距离的最小值，称为这两个图形之间的距离，即、分别是图形和图形上任意一点，当的长最小时，称这个最小值为图形与图形之间的距离． 例如，如图1，，线段的长度称为点与直线之间的距离．当时，线段的长度也是与之间的距离． （1）如图2，在等腰直角三角形中，，，点为边上一点，过点作交于点．若，，则与之间的距离是__________； （2）如图3，已知直线：与双曲线：交于与两点，点与点之间的距离是__________，点与双曲线之间的距离是__________； 【拓展】 （3）按规定，住宅小区的外延到高架路的距离不超过时，需要在高架路旁修建与高架路相同走向的隔音屏障（如图4）．有一条“东南一西北”走向的笔直高架路，路旁某住宅小区建筑外延呈双曲线的形状，它们之间的距离小于．现以高架路上某一合适位置为坐标原点，建立如图5所示的平面直角坐标系，此时高架路所在直线的函数表达式为，小区外延所在双曲线的函数表达式为，那么需要在高架路旁修建隔音屏障的长度是多少？ 25. 如图1，中，，，，以为直径的交于点D，M是的中点，连结． （1）求证：是的切线； （2）如图2，过点B作的平行线交于点E． ①求的长； ②如图3，点在线段上，连结交并延长交于点Q，当时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年下学期九年级返校考 数学试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 一、选择题（10小题，共40分） 1. 下列各数中，最小的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，根据有理数大小比较的法则：正数都大于；负数都小于；正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可，熟练掌握相关方法是解题关键． 【详解】解：根据有理数的大小比较得，， ∴最小的是， 故选：． 2. 中国古代数学著作《九章算术》中，将两底面是直角三角形的直棱柱称为“堑堵”.将一个“堑堵”按如图方式摆放，则它的左视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了几何体的三视图，解题的关键是熟练运用数形结合思想．从左边观看立体图形即可得到． 【详解】解：从左边观看立体图形可得左视图为直角在左边的直角三角形， 故选：B． 3. 在研制新冠肺炎疫苗中，某细菌的直径大小为毫米，用科学记数法表示这一数字为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，解题的关键是掌握科学记数法的定义：将一个数表示成的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于时，是正整数；当原数的绝对值小于时，是负整数．据此解答即可． 【详解】解：将用科学记数法表示为． 故选：B． 4. 的值等于（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据特殊角的三角函数值即可求解. 【详解】. 故选B. 【点睛】容易题.失分的原因是没有掌握特殊角的三角函数值. 5. 一个不透明的袋中装有若干个红球，为了估计袋中红球的个数，在袋中放入3个除了颜色外其余均相同的白球，记录下颜色后，放回袋中并摇匀，摸到白球的频率稳定在0.15附近，则红球的个数为（　　） A. 11 B. 14 C. 17 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】根据口袋中有3个白球，利用小球在总数中所占比例得出与实验比例应该相等求出即可．此题主要考查了用样本估计总体，根据已知得出小球在总数中所占比例得出与实验比例应该相等是解决问题的关键． 【详解】解：设红球的个数为x个，根据题意得： ∴ 解得：， 经检验是原方程的解， 则红球的个数为17个． 故选：C． 6. 唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导．如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦长，轮子的吃水深度为，则该桨轮船的轮子直径为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设半径为 ，再根据圆的性质及勾股定理，可求出答案 【详解】解：设半径为 ，则 在 中，有 ，即 解得 则该桨轮船的轮子直径为 故选：A． 【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，关键在于知道 垂直平分 这个隐藏的条件． 7. 已知实数，满足和，则的值是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了配方法的应用，完全平方公式及非负数的性质，由得，则，，代入可求解，解题的关键是熟练掌握知识点的应用． 【详解】解：∵ ∴， ∴，， ∵， 即， 解得：， 故选：． 8. 已知圆锥的底面半径是3，母线长是5，则圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的计算，圆锥的侧面积底面周长母线长，把相应数值代入即可求解． 【详解】解：圆锥的侧面积． 故选：C． 9. 如图，将绕点C顺时针旋转，点B的对应点为点E，当点E恰好落在边上时，连接，若，则的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，掌握等腰三角形的判定与性质成为解题的关键． 由旋转性质知，据此得、，再根据等腰三角形性质即可解答． 【详解】解：由旋转的性质的可得：， ∴、， ∴． 故选：D． 10. 已知抛物线（，，为常数，）的对称轴为直线，且经过点，与轴的两个交点之间的距离大于4，有下列结论： ①； ②若抛物线经过点，则其解析式为； ③一元二次方程没有实数根； ④． 其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的符号判断，根据对称轴为直线得到，由经过点得到，由与轴的两个交点之间的距离大于4，得到，然后逐个选项判断即可． 【详解】解：∵抛物线（，，为常数，）的对称轴为直线，且经过点， ∴，，即， ∴抛物线解析式为， 设抛物线与轴的两个交点分别为，，且， ∴，是方程的两个根， ∴，， ∴， ∵抛物线与轴的两个交点之间的距离大于4， ∴， ∴，解得， ∵， ∴， 故④正确； ∴， 故①正确； 若抛物线经过点，则，解得，不满足，即抛物线不可能经过点，故②错误； ∵一元二次方程可变形为，， ∴， ∴一元二次方程有两不等实数根； 综上所述，正确的有①④， 故选：B． 二、填空题（6小题，共24分） 11. 计算：_____． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先去绝对值，再计算负整数指数幂，再计算加减即可． 【详解】解： 故答案为：． 12. 小聪和小明两个同学玩“石头，剪刀、布“的游戏，随机出手一次是平局的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】列表表示所有可能出现的结果，再确定符合条件的结果，根据概率公式计算即可． 【详解】解：列表如下： 石头 剪子 布 石头 （石头，石头） （石头，剪子） （石头，布） 剪子 （剪子，石头） （剪子，剪子） （剪子，布） 布 （布，石头） （布，剪子） （布，布） 一共有9种可能出现的结果，每种结果出现的可能性相同，出手相同的时候即为平局，有3种，所以随机出手一次平局的概率是， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了列表求概率，掌握概率计算公式是解题的关键． 13. 某城区采取多项综合措施降低降尘量提升空气质量，降尘量由2021年的吨/平方公里下降至2023年的吨/平方公里，则降尘量的年平均下降率为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用；根据“2021年的降尘量年平均下降率年的降尘量”求解即可． 【详解】解：设降尘量的年平均下降率为，根据题意得： ， 解得：，（舍去）， 答：降尘量的年平均下降率为． 故答案为：． 14. 如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度（单位：m）与飞行时间（单位：s）之间具有函数关系：，则当小球飞行高度达到最高时，飞行时间_________s． 【答案】2 【解析】 【分析】把一般式化为顶点式，即可得到答案． 【详解】解：∵h=-5t2+20t=-5（t-2）2+20， 且-5＜0， ∴当t=2时，h取最大值20， 故答案为：2． 【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是掌握将二次函数一般式化为顶点式． 15. 港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，被誉为“现代世界七大奇迹”的超级工程，它是我国从桥梁大国走向桥梁强国的里程碑之作．港珠澳大桥主桥为三座大跨度钢结构斜拉桥，其中九洲航道桥主塔造型取自“风帆”，寓意“扬帆起航”，某校九年级学生为了测量该主塔的高度，站在处看塔顶，仰角为，然后向后走米（米），到达处，此时看塔顶，仰角为，则该主塔的高度是______米． 【答案】 【解析】 【分析】过点A作于点D，先根据三角形的外角性质可得，从而可得米，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答．本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，过点A作于点D， 根据题意得：， ∵， ∴， ∴， ∴米， 在中，米， 即该主塔的高度是米， 故答案为：． 16. 已知抛物线，对任意的自变量都有，若该抛物线过点，，且，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可判断出抛物线的对称轴，开口方向，再由，可得，化简即可解答． 【详解】解：， 可知当时，， ， 当时，抛物线函数值最小， 是对称轴，，开口向上， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是判断出抛物线的对称轴及开口方向． 三、简答题（9小题，共86分） 17. 解下列方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据配方法解一元二次方程． 【详解】解：， ， ， ， 即，． 18. 已知关于x的方程有两个实数根，． （1）求k的取值范围； （2）若，求k的值． 【答案】（1）的取值范围为： （2） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程的根的判别式的意义得到，即，解不等式即可得到的范围； （2）根据一元二次方程根与系数的关系得到，，则，即，利用因式分解法解得，，然后由（1）中的的取值范围即可得到的值， 【小问1详解】 解：关于x的方程有两个实数根， ，即，解得， 的取值范围为：； 【小问2详解】 解：方程有两个实数根，， ，， ， ，即， ，， ， ． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系，解一元二次方程和解一元一次不等式等知识点，熟练掌握一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系的性质是解决此题的关键． 19. 已知抛物线（，，为常数，）与轴的一个交点坐标是，与轴的交点坐标是，且经过点． （1）求该抛物线解析式中，，的值； （2）直接写出时，自变量的取值范围． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的性质，根据交点求不等式的解集； （1）把点代入，运用待定系数法求解析式即可求解； （2）根据题意，令时，则，得到二次函数与轴的两个交点为，由抛物线开口向上，即可求解． 【小问1详解】 解：由题意可知抛物线经过点，，， 有 解得 【小问2详解】 解：由（1）可得，抛物线的解析式为， 令时，则， 解得，， ∴二次函数与轴的两个交点为， ∵， ∴图象开口向上， ∴当时，自变量的取值范围或． 20. 某校推荐了4名学生为区域中学生中华经典诵读比赛主持人，其中1名七年级女生、2名八年级学生（刚好1名男生和1名女生）、1名九年级男生． （1）若从4名学生中任选一名作为主持人，抽到九年级学生的概率是__________； （2）若先从八年级的2名学生中任抽1名，再从剩下的3名学生任抽1名，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率，请画表格或树状图等方法说明． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查根据概率公式求概率，列举法求概率． （1）所有等可能的结果共有种，抽到九年级学生的结果（记为事件）只有种，根据概率公式即可求解； （2）所有等可能的结果共有种，按要求恰好抽到一名男生和一名女生的概率（记为事件）只有种，根据概率公式即可求解． 【小问1详解】 解：所有等可能的结果共有种，抽到九年级学生（记为事件）的结果只有种，所以． 故答案为： 【小问2详解】 解：列表如下： 七年级女生 八年级男生 八年级女生 九年级男生 八年级男生 （男，女） —— （男，女） （男，男） 八年级女生 （女，女） （男，女） —— （男，女） 所有等可能的结果共有种，按要求恰好抽到一名男生和一名女生（记为事件）的情况只有种，所以． 21. 某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一边靠墙（墙的长度为），其他边均用栅栏围成，中间用与墙垂直的栅栏把它分成两个面积为的矩形，如图所示．已知栅栏的总长度为，设较小矩形中与墙平行的一边长为． （1）填空： ①养殖场中每一条与墙垂直的边长均可用含的代数式表示为_____； ②x的取值范围是_____； （2）矩形养殖场的面积能否达到？如果能，请求出的值；如果不能，请说明理由． 【答案】（1）①；② （2）能， 【解析】 【分析】本题考查了列代数式，一元二次方程的应用，理解题意是解答的关键． （1）①由“中间用与墙垂直的栅栏把它分成两个面积为的矩形”得，即可得，再由即可得出结论； ②由“墙的长度为”得，继而可得x的取值范围； （2）根据题意列一元二次方程，解方程，有附合题意的解，即可得出结论． 【小问1详解】 解：①由题意得，， ∵中间用与墙垂直的栅栏把它分成两个面积为的矩形，即， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； ②∵墙的长度为， ∴， 即， ∴x的取值范围是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：能． 根据题意，列方程得， 整理，得， 解方程，得，， 由（1）可知，， ， 即矩形养殖场的面积能达到，此时的值是． 22. 如图，为的直径，点为弦的中点，的延长线交于点，连接，，．与交于点，点在的延长线上，且． （1）求证：与相切； （2）若，，求的长． 【答案】 （1）证明：∵为中点， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴． ∴， ∴， ∴与相切． （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件证明，再根据，得到，即可得到结果； （2）根据圆周角定理得到，证明，得到，即可得解； 【详解】（1）略 （2）解：如图，∵为直径， ∴． ∵，， ∴，． ∵， ∴， ∴， 又∵公共， ∴， ∴，即， ∴． 【点睛】本题主要考查了圆的切线证明，结合圆周角定理、相似三角形的判定与性质计算即可． 23. 如图，已知抛物线（b为常数）的对称轴是直线，与x轴相交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴相交于点C． （1）求该抛物线的解析式． （2）抛物线上一点M在直线上方，其横坐标为m，过点M作轴，垂足为点D，交线段于点E． ①若，求点M的坐标； ②连接，，求四边形面积S的最大值及此时点M的坐标． 【答案】（1） （2）①点的坐标为②的最大值是，此时点的坐标为 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数性质的综合应用，求一次函数解析式等知识点，熟练掌握其性质并能正确利用点的坐标的意义表示线段的长度是解决此题的关键． （1）由待定系数法求出函数表达式，即可求解； （2）①由点的坐标为、点的坐标为表示出线段的长，进而即可求解；②用含的代数式表示出面积，然后用二次函数的性质解答即可． 【小问1详解】 解：抛物线（b为常数）的对称轴是直线， ，解得， 该抛物线的解析式为， 【小问2详解】 解：①当时，有， 解得，， 点在点左侧， 点的坐标是， 令得， 点坐标为， 设直线的解析式为， ，解得， 直线的解析式为， 抛物线上一点在直线上方，其横坐标为， ， 点的坐标为， 轴， 点的坐标为， ，， ， ， 解得，， ， 取，此时点的坐标为， ②由点，可知，， ， 由①知，，， 当时，四边形面积最大，的最大值是，此时点的坐标为． 24. 【定义】在平面内，把一个图形上任意一点与另一个图形上任意一点之间的距离的最小值，称为这两个图形之间的距离，即、分别是图形和图形上任意一点，当的长最小时，称这个最小值为图形与图形之间的距离． 例如，如图1，，线段的长度称为点与直线之间的距离．当时，线段的长度也是与之间的距离． （1）如图2，在等腰直角三角形中，，，点为边上一点，过点作交于点．若，，则与之间的距离是__________； （2）如图3，已知直线：与双曲线：交于与两点，点与点之间的距离是__________，点与双曲线之间的距离是__________； 【拓展】 （3）按规定，住宅小区的外延到高架路的距离不超过时，需要在高架路旁修建与高架路相同走向的隔音屏障（如图4）．有一条“东南一西北”走向的笔直高架路，路旁某住宅小区建筑外延呈双曲线的形状，它们之间的距离小于．现以高架路上某一合适位置为坐标原点，建立如图5所示的平面直角坐标系，此时高架路所在直线的函数表达式为，小区外延所在双曲线的函数表达式为，那么需要在高架路旁修建隔音屏障的长度是多少？ 【答案】（1） （2）， （3）40米 【解析】 【分析】（1）过点作于点，得出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出结果即可； （2）先根据一次函数解析式求出点，然后再求出反比例函数解析式，再求出点的坐标，根据两点点距离公式求出的值即可；作，且与双曲线只有一个交点，设直线的解析式为，求出一次函数解析式，再求出交点坐标，最后求出的值即可； （3）作直线，设的解析式为，与双曲线交于点、，过点作于点，过点作轴于点，过点、分别作直线的垂线、，垂足为、，先求出直线的解析式，然后求出点、的坐标，根据两点之间距离公式求出的长，进而即可得出答案． 【小问1详解】 解：如图，过点作于点， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ，， ， ； 故答案为：； 【小问2详解】 解：把代入中，得：， ， 把代入，得：， ， 双曲线的解析式为， 联立，得：， 即， 解得：，， ， ； 如图，作，且与双曲线只有一个交点，设直线的解析式为， 则， 整理得：， ， 或（不符合题意，舍去）， 直线的解析式为， 由， 解得：， ， ； 故答案为：，； 【小问3详解】 解：如图，作直线，设的解析式为，与双曲线交于点、，过点作于点，过点作轴于点，过点、分别作直线的垂线、，垂足为、， 则， 直线平分第二、四象限角， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 代入，得， 解得：， ， 联立得：， 解得：或， ，， ， ，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ， 答：需要在高速路旁修建隔音屏障的长度是40米． 【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合应用，两点之间距离公式，矩形的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握两点之间距离公式，准确计算． 25. 如图1，中，，，，以为直径的交于点D，M是的中点，连结． （1）求证：是的切线； （2）如图2，过点B作的平行线交于点E． ①求的长； ②如图3，点在线段上，连结交并延长交于点Q，当时，求的值． 【答案】（1） 证明：以为直径的交于点D，M是的中点，如图1，连接、、， ， ， ， ， ， ， ， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）①7；② 【解析】 【分析】（1）连接、、，利用圆周角定理，直角三角形性质，以及等腰三角形性质得到再利用等量代换得到，即可证明是的切线； （2）①连结，利用勾股定理求出，利用解直角三角形得到，由（1）可知，结合等腰三角形性质和等量代换得到，再结合等腰三角形性质得到，最后根据 求解，即可解题； ②过点D作于H，连结，结合题意得到，利用解直角三角形得到，，进而得到，， 连结，证明，利用相似三角形性质求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①在中，，，，如图2， 连结， 由勾股定理得：， ∵， ∴， 则， 解得， ， ， 由（1）可知， ∴， ∴， ∴， ， ， ； ②过点D作于H，连结，，， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， 连结， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题属于圆的综合题，主要考查了圆周角定理，直角三角形性质，全等三角形性质和判定，切线的判定，勾股定理，解直角三角形，等腰三角形性质，相似三角形性质和判定，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $