6.3.2 三元一次方程组的应用课件2024-2025学年华东师大版数学七年级下册

第2课时 三元一次方程组的应用 1.理解解三元一次方程组的消元思路； 2.能利用三元一次方程组解决简单的代数问题和实际问题． 学习目标 复习引入 解三元一次方程组的基本思路 三元一次方程组 二元一次方程组 一元一次方程 消元 消元 复习引入 2x+3y-z=10 ① x+y+z=14 ② 3x-2y-z= -1 ③ 解方程组： 解：将①+②得：3x+4y=24 ④ 由③+②得：6x-3y=15，即 4x-y=13 ⑤ 联立方程 组，得 3x+4y=24 4x-y=17 解这个方程组，得 x=4 y=3 把x=4,y=3代入②，得z=7 所以，原方程组的解为 x=4 y=3 z=7 例1 已知 y=ax2＋bx＋c中,当x=1时,y=0;当x=2时,y= -10;当x= -1时,y= -16. 求a,b,c的值. ②－①， 得 3a＋b= -10. ④ ③－①，得 -2b= -16. ⑤ 解:根据题意，得 a+b＋c= 0 ① 4a＋2b＋c= -10 ② a-b＋c= -16 ③ 新知学习 3a+b= -10 -2b= -16 联立方程 组，得 解这个方程组，得 a= -6 b=8 把a= -6,b=8代入①，得c= -2 即a,b,c的值分别为3，-2，-5. 新知学习 例2.已知方程组 的解可使代数式2x-y+3z的值等于110，求a的值. x+y=7a ① y+z=5a ② z+x=6a ③ 解: ①-②， 得 x-z= 2a ④ ③+④，得 2x= 8a ⑤ 解得 x= 4a 把x=4a分别代入①和③ ，得y=3a,z=2a 所以 2x-y+3z=8a-3a+6a=11a 11a=110 所以 a=10 方法一： 逐一消元，分别用a表示x,y,z 新知学习 解: ①+②+③， 得 2x+2y+2z=18a 即 x+y+z=9a ④ ④-①， 得 z=2a ④-②， 得 x=4a ④-③， 得 y=a 所以 2x-y+3z=8a-3a+6a=11a 11a=110 所以 a=10 例2.已知方程组 的解可使代数式2x-y+3z的值等于110，求a的值. x+y=7a ① y+z=5a ② z+x=6a ③ 方法二： 整体消元，分别用a表示x,y,z 例2.已知方程组 的解可使代数式2x-y+3z的值等于110，求a的值. x+y=7a ① y+z=5a ② z+x=6a ③ 新知学习 解: 因为 2x-y+3z=3x-x-y+3z =3(x+z)-(x+y) =18a-7a =11a 所以 11a=110 所以 a=10 方法三： 整体代入，必须先观察系数之间的联系 针对训练 x:y=2:3 y:z=4:5 x+y+z=35 解方程组 ①②③ 解：由①和②，得 x:y:z=8:12:15, 设x=8k,y=12k,z=15k(k≠0) 代入方程③，得 8k+12k+15k=27 解得 k=1 所以x=8,y=12,z=15 所以方程组的解为 x=8 y=12 z=15 x=8 y=12 z=15 解：由①得，x= y ④ 由②得，z= y ⑤ 把④，⑤代入③，得 y+y+ y=35,解得y=12. 把y=12代入④和⑤ 得 x=10,z=15 所以方程组的解为 新知学习 存钱罐内装有1分，2分，5分三种硬币，21枚硬币共3角5分，则硬币有多少种情况? 解：设1分的个数为x个，2分的个数为y个，5分的个数为z个. 根据题意得， x+y+z=21,① x+2y+5z=57,② ∵x,y,z都是正整数， ∴当y=4时，z=8，x=9； 当y=8时，z=7，x=6； 当y=12时，z=6，x=3； 当y=16时，z=5，x=0. ∴共有三种情况：①1分的7个，2分的4个，5分的4个；②1分的4个，2分的8个，5分的3个；③1分的1个，2分的12个，5分的2个。 由②-①，得y+4z=36, （不合题意，舍去） 4z是4得倍数， 36是4的倍数， 所以y是4的倍数 针对训练 “百鸡问题” 今有鸡翁一，直钱五；鸡母一，直钱三；鸡雏三，直钱一. 凡百钱买鸡百只，问鸡翁母雏各几何. 解：设鸡翁x只，鸡母y只，鸡雏z只. 根据题意得， x+y+z=100 ① 5x+3y+ z=100 ② 由②× 3-①，得 14x+8y=200 即 7x+4y=100 4y是4得倍数， 100是4的倍数， 所以x是4的倍数 ∵x,y,z都是正整数， ∴当x=4时，y=18，z=78； 当x=8时，y=11，x=81； 当x=12时，y=4，x=84. ∴共有三种情况：①鸡翁4只，鸡母18只，鸡雏78只；②鸡翁8只，鸡母11只，鸡雏81只；③鸡翁12只，鸡母4只，鸡雏84只。 例3 清明节前夕，准备将甲、乙、丙三堆花盆送给不同的墓园。共720盆，第一次从甲堆中拿出乙堆一样多的花盆数放入乙堆，第二次从乙堆中拿出丙堆一样多的花盆数放入丙堆，第三次从丙堆中拿出甲堆现有花盆数一样多放入甲堆，最后甲、乙、丙三堆花盆数相等，则甲堆原来有多少盆花？ 新知学习 解：设甲堆原有x盆花，乙堆原有y盆花,丙堆原有z盆花,依题意得 x+y+z=720 x-y+(x-y)=y+y-z=z+z-(x-y) x-y+(x-y)=y+y-z即4y-2x=z y+y-z=z+z-(x-y)即y=3z-x x+y+z=x+(3z-x)+z=4z 解得 x=330 y=210 z=180 答：甲堆原有花盆330盆. 1.某商场推出A，B，C三种特价学具.若购买A种学具3件、B种学具1件、C种学具2件，共需31元；若购买A种学具2件、B种学具4件、C种学具3件，共需54元，那么小明购买A种玩具1件、B种玩具1件、C种玩具1件，共需付款（　　） A.16元 B.17元 C.18元 D.不能确定 B 课堂检测 3a+b+2c=31 ① 2a+4b+3z=54 ② 可列方程组 析： ①+②， 得 5a+5b+5c=85 a+b+c=17 课堂检测 2.某市在元旦节前夕举办了足球联赛，这次联赛共赛了11场，胜一场记3分，平一场记1分，负一场记0分.某校队在联赛中负的场数是胜的场数的一半，最后得分17分.求该校队胜、平、负各几场？ 析：可列方程组 x+y+z=11 ① 3x+y=17 ② x=2z ③ 课堂检测 3.一个三位数的各数位上的数字的和是16，个位上的数字与十位上的数字的和比百位上的数字大2，若把百位上的数字与十位上的数字对调，所得的新数比原数小270，则这个三位数是　　　　. 745 解：设百位数字a，十位数字b，个位数字c. a+b+c=16 ① c+b=a+2 ② (100a+10b+c)-270= 100b+10a+c ③ 得方程组： 2a+2=16 ④ 90a-90b=270 ⑤ 整理得： 解得 a=7 b=4 c=5 课后思考 为确保信息安全，在传输时往往需加密，发送方发出一组密码a，b，c时，接收方对应收到的密码为A，B，C.双方约定：A＝3a-b，B＝2b，C＝2b+c. 例如发出1，2，3，则收到1，4，7. （1）当发送方发出一组密码2，3，5时，接收方收到的密码是多少？ （2）当接收方收到一组密码2，8，11时，发送方发出的密码是多少? （3）你会如何设计密码翻译机? $$