贵州省安顺市2025届高三第四次监测考试数学试卷

2025年贵州省安顺市高考数学第四次监测试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知复数，则为(    ) A. B. C. D. 2.已知a，l是直线，是平面，且，则“”是“”的(    ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3.设，，，则(    ) A. 1 B. C. D. 2 4.20世纪30年代，里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里氏震级M，其计算公式为其中A是被测地震的最大振幅，是“标准地震”的振幅使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差假设在一次地震中，一个距离震中100千米的测震仪记录的地震最大振幅是50，此时标准地震的振幅是，则这次地震的震级为精确到，参考数据：(    ) A. B. C. 5 D. 5.若，，则(    ) A. B. C. D. 6.已知双曲线的渐近线与抛物线的交点都在圆C上，则圆C与x轴正半轴的交点坐标为(    ) A. B. C. D. 7.如果等比数列的各项均为正数，其前n项和为，且，，设，那么(    ) A. B. C. D. 8.函数，若，不等式恒成立，则实数m的取值范围是(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9.有互不相同的7个样本数据，去掉一个第25百分位数和一个最大的数后组成一组新数据，则新数据与原数据相比，有可能变小的是(    ) A. 平均数 B. 中位数 C. 极差 D. 方差 10.对于函数，和，，下列结论正确的有(    ) A. 与在时有相同的函数值 B. 与有相同的最小值 C. 与的图象有相同的对称中心 D. 与在区间都为增函数 11.封闭曲线C是平面内与两个定点和的距离之积为2的点的轨迹，是曲线C上一点，O为坐标原点.则下列说法正确的有(    ) A. 曲线C关于坐标原点对称 B. 曲线C位于直线和直线所围成的矩形框内 C. 的周长的最小值为 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.等差数列8，5，2，…的第10项为______. 13.若圆锥的侧面积是底面积的2倍，则该圆锥的母线与底面所成角的大小等于______. 14.定义集合…，，，…，，比如：若，则，把集合中满足条件…的元素组成的集合记为，即…，…，，，…，已知集合，则 集合中的元素个数为______； 若中的元素个数为56，则p的值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题13分 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 求角B的大小； 若，点D是边AC上的一点，BD平分，且，求的面积. 16.本小题15分 在四棱台中，底面ABCD为平行四边形，侧面为等腰梯形，且侧面底面ABCD，，，，与BC的距离为，点E，F分别在棱AB，上，且， 求证：平面； 求四棱台的高； 求异面直线与EF所成的角的余弦值. 17.本小题15分 已知函数 当时，证明函数在单调递增； 若函数在有极值，求实数a的取值范围； 若函数的图象在点处的切线方程为，求函数的零点个数. 18.本小题17分 某学校有甲、乙两家餐厅，对于学生的午餐就餐情况根据以往的统计调研分析可以得出如下结论：前一天选择甲餐厅就餐的同学第二天选择甲餐厅就餐的概率是，选择乙餐厅就餐的概率为；前一天选择乙餐厅就餐的同学第二天选择甲餐厅就餐的概率是，选择乙餐厅就餐的概率为，如此往复.假设所有同学开学第一天中午等可能随机选择一家餐厅就餐. 第一天中午某班3位同学去餐厅就餐，求这3位同学中至少有1位同学去甲餐厅就餐的概率； 求w同学与S同学第二天中午在同一餐厅就餐的概率； 假设该学校有2000名学生，试估计一星期后中午在甲餐厅就餐的学生人数. 19.本小题17分 已知椭圆E的标准方程为：，在这个椭圆上取个点，这些点的坐标分别为，，连接，，1，…， 若直线的斜率为，求椭圆E的离心率； 证明的面积为定值，并求多边形…的面积用n表示； 若，，线段的中点为M，证明： 答案和解析 1.【答案】D  【解析】解：， 故选： 根据已知条件，结合复数的四则运算，即可求解． 本题主要考查复数的四则运算，属于基础题． 2.【答案】B  【解析】解：根据题意，分两步来判断： ①由线面垂直的判定，当，时， 不足以判断，故是是的不充分条件， ②，若，由线面垂直的定义可得， ，即是的必要条件， 则是的必要不充分条件， 故选： ①分析当，时，是否成立，由线面垂直的判定，可得其是假命题，②分析当，时，是否成立，由线面垂直的定义可得其是真命题，综合①②可得答案． 本题考查充分必要条件的判断，涉及线面垂直的性质的运用，解题的关键要掌握线面垂直的性质． 3.【答案】C  【解析】解：设， 则， 又，， 则 故选： 由平面向量模的运算，结合勾股定理求解． 本题考查了平面向量数量积的运算，属基础题． 4.【答案】A  【解析】解：由题意知， 故选： 直接利用题目中给出的公式和对数的运算性质求解即可． 本题考查了对数的运算性质应用问题，是基础题． 5.【答案】A  【解析】解：因为，， 所以， 因为， 即， 解得或舍， 又， 则舍负 故选： 由已知结合同角基本关系先求出，然后结合二倍角公式即可求解． 本题主要考查了二倍角公式，同角基本关系的应用，属于基础题． 6.【答案】D  【解析】解：已知双曲线， 则其渐近线的方程为：， 联立， 解得：， 则圆C过，，三点， 设圆C与x轴正半轴的交点的横坐标为， 由圆的性质可得：， 即 故选： 由圆的性质，结合抛物线的性质求解． 本题考查了圆的性质，重点考查了抛物线的性质，属中档题． 7.【答案】C  【解析】解：设等比数列的公比为q， 因为，， 所以，， 解得，，所以， 所以， 所以， 所以 故选： 由等比数列的通项公式、前n项和公式，求得首项和公比，进而求得，，再由裂项相消法求和，即可得到所求和． 本题考查等比数列的通项公式、前n项和公式以及裂项相消法求和，属于中档题． 8.【答案】B  【解析】解：因为， 易得为奇函数且在R上单调递减， 若，不等式恒成立， 则在上恒成立， 所以在上恒成立， 即在上恒成立， 因为，当且仅当，即时取等号， 所以， 解得 故选： 先判断函数的单调性及奇偶性，结合单调性及奇偶性进行转化不等式，然后再由恒成立与最值关系的转化即可求解． 本题主要考查了函数的单调性及奇偶性的综合应用，还考查了不等式恒成立与最值关系的转化，属于中档题． 9.【答案】ACD  【解析】解：对于A，平均数可能变小，比如原数据为1，2，3，4，5，6，7，平均数为4， 因为， 所以第25百分位数为2， 去掉2和7后，新数据的平均数为，比原平均数小，故A正确； 对于B，原数据的中位数为从小到大排列后的第4个数，不妨设为a， 去掉一个第25百分位数和一个最大的数后，新数据的中位数依然为a，故中位数不变，故B错误； 对于C，原数据的极差为最大数与最小数的差，不妨设最大数为x，最小数为y， 去掉一个第25百分位数肯定比y大和一个最大的数x后，新数据的极差比原数据的极差小，故C正确； 对于D，去掉一个第25百分位数和一个最大的数后，新数据的平均数肯定不大于原数据的平均数，故方差可能变小，故D正确． 故选： 根据平均数、中位数、百分位数、极差和方差的定义判断． 本题主要考查了平均数、中位数、百分位数、极差和方差的定义，属于基础题． 10.【答案】AC  【解析】解：函数的周期为2，对称中心为 由， 得，，满足， 故函数的图象的对称中心也为 对于A、，， 满足，故A正确； 对于B、在上的最小值为， ，， 由，得或， 在和上单调递增，在上单调递减， 可知在上的最小值为或，与的最小值不同，故B错误； 对于C、和的图象都关于点对称，故C正确； 对于D、若，则可知在区间上为减函数，故D错误． 故选： 利用正弦型函数的性质求函数的单调性与最值，利用导数研究函数的单调性与最值，然后结合选项得答案． 本题考查正弦型函数的性质，训练了利用导数研究函数的单调性与最值，考查学生的运算能力，属于中档题． 11.【答案】ABD  【解析】解：对于A，由已知得，曲线C的方程为， 将x换成，将y换成，得 ， 故曲线C关于原点对称，A选项正确； 对于B，由， 整理得：， 因为，所以， 得，解得， 由，， 得，解得，故B正确； 对于C，因为，所以， 当且仅当时取等号， 又，所以的周长的最小值为，故C错误； 对于D，由对B选项的分析，，且， 所以，即，故D正确． 故选： 根据与两个定点的距离之积为定值，列出曲线C的方程，对方程进行化简，再逐个分析各选项． 本题主要考查点的轨迹问题，属于中档题． 12.【答案】  【解析】解：由等差数列8，5，2，…可知，该数列为首项，公差的等差数列， 所以 故答案为 由题意得到等差数列的首项和公差，代入通项公式求解． 本题考查了等差数列的通项公式，是基础的计算题． 13.【答案】  【解析】解：设圆锥的底面半径为R，母线长为l， 因为圆锥的侧面积是底面积的2倍， 所以， 解得， 设该圆锥的母线与底面所成角， 则， 所以 故答案为： 设圆锥的底面半径为R，母线长为l，由题意求出，利用线面角的定义求解即可． 本题考查了线面角的求解，圆锥的侧面展开图的理解与应用，解题的关键是确定所求解的角，属于基础题． 14.【答案】5  9  【解析】解：设中的元素为，，，且， 当时，；当时，；当时，；当时，；当时，， 所以中的元素为，，，，，元素个数为 已知，设中的元素为， ，，2，…，6，且， 方程的正整数解的个数为，这里， 因为中的元素个数为56，所以， 由，，所以，解得 故答案为：； 根据已知定义列举出中的元素，即可得解； 由题意可得方程的正整数解的个数为，这里，结合已知利用组合数公式即可求解p的值． 本题主要考查集合的新定义问题，理解定义是解题的关键，属于中档题． 15.【答案】解：由，根据余弦定理得，即， 整理得，所以，结合，可知； 由正弦定理，可得 在中，，，所以 在中，，， 由正弦定理得，即，解得 所以的面积  【解析】根据余弦定理化简，可得，由此算出，进而可得角B的大小； 由BD平分，可得，根据正弦定理算出，结合可得是等腰三角形，，然后在中运用正弦定理求出AB的长，根据三角形的面积公式求出的面积． 本题主要考查正弦定理与余弦定理、两角和与差的三角函数公式、三角形的面积公式等知识，考查了计算能力、等价转化的数学思想，属于中档题． 16.【答案】解：取的中点G，连接AG，GF， 则GF是梯形的中位线，所以且， 又因为且， 所以且， 所以四边形AEFG是平行四边形， 所以， 因为平面，平面， 所以平面； 分别取AD，的中点O，， 如图所示：因为侧面为等腰梯形， 所以， 因为侧面底面 ABCD， 侧面底面， 所以底面ABCD， 因为， 所以，， OB，平面， 所以平面， 平面， 所以， 即， 且，所以为与BC的距离， 所以， 解得，所以四棱台的高为2； 以OA，OB，所在直线分别为x，y，z轴如图建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，， 所以，，， 所以异面直线与EF所成角的余弦值为  【解析】利用中位线性质以及线面平行判定定理证明即可得出结论； 作出四棱台的高代入棱台体积公式计算可得结果； 建立空间直角坐标系，利用异面直线夹角的向量求法计算即可得出结果． 本题考查了棱台的结构特征，异面直线所成角的求法，是中档题． 17.【答案】解：证明：当时，， 若，则，又因为，所以， 所以函数在单调递增； ， 因为函数在有极值，所以在有解， 又因为在单调递增，所以， 所以，所以，所以， 即a的取值范围是； 因为函数在点处的切线方程为， 所以且， 解得，， 所以，， 当时，，所以在单调递增， 且，所以在没有零点； 当时，， 当时，， 所以在没有零点． 综上所述，函数的零点个数为1个．  【解析】对求导，利用导数与单调性的关系证明即可； 由题意可得在有解，利用零点存在性定理即可求解a的取值范围； 利用导数的几何意义及切线方程求出a，b的值，从而可得的解析式，再由导数知识可得的零点个数． 本题主要考查利用导数研究函数的单调性与极值，导数的几何意义，考查运算求解能力，属于中档题． 18.【答案】解：记事件A为“这3位同学中至少有1位同学去甲餐厅就餐”， 则； 记事件为“某同学第i天在甲餐厅就餐”，，2，…， 则， 记事件C为“w同学与s同学第二天在同一餐厅就餐”， 则； 记事件为“某同学第i天在甲餐厅就餐”，，2，…， 则， 所以， 即， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 即， 记学校2000名学生第n天在甲餐厅就餐的学生人数为X，则， 所以， 当时，， 所以一星期后在甲餐厅就餐的学生人数大约为人．  【解析】利用独立事件和对立事件的概率公式求解； 利用全概率公式求解； 利用全概率公式，结合等比数列的性质求解． 本题主要考查了独立事件的概率公式，考查了全概率公式，属于中档题． 19.【答案】解：，，所以直线的斜率为，所以， 所以椭圆C的离心率 证明：直线的方程为， 化简得， 所以原点O到直线的距离， 而， 所以， 同理可得 ， 所以多边形的面积为 证明：设，所以，， 所以，即， 所以M的轨迹方程为一个椭圆，A，B是该椭圆的焦点， 设，，， 点，的坐标可化为，， 所以，， 又因为，， 所以， ， 因为，所以， 所以  【解析】根据直线的斜率为，得出，即可求解； 表示出直线的方程，求出原点O到直线的距离d，代入面积公式即可得证； 利用向量法求出，，即可得证． 本题考查椭圆方程与向量法的综合应用，属于难题． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$