2025年九年级中考数学复习导学案 专题五 数学思想方法专题

专题五 数学思想方法专题 【专题解读】 数学思想方法是指对数学知识和方法形成的规律性的理性认识，是解决数学问题的根本策略．数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，它蕴含于数学知识的发生、发展和应用的过程中．数学思想方法是数学的精髓，是读书由厚到薄的升华，在复习中一定要注重培养在解题中提炼数学思想的习惯．中考常用到数学思想方法有：特殊到一般、整体思想、分类讨论思想、化归思想、数形结合思想、函数与方程思想等． 【专题讲解】 考点一 整体思想 例1（2024•日照）先化简，再求值：（），其中x满足x2﹣2x﹣1＝0． 考点二 化归思想 例２ 如图，在边长为6的正方形ABCD中，以BC为直径画半圆，则阴影部分的面积是（　　） A．9 B．6 C．3 D．12 考点三 分类讨论思想 例３（2024•盐城）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，点D是AC的中点，连接BD，将△BCD绕点B旋转，得到△BEF．连接CF，当CF∥AB时，CF＝ 　 　． 考点四 数形结合思想 例４（2024•淄博）某日，甲、乙两人相约在一条笔直的健身道路上锻炼．两人都从A地匀速出发，甲健步走向B地．途中偶遇一位朋友，驻足交流10min后，继续以原速步行前进；乙因故比甲晚出发30min，跑步到达B地后立刻以原速返回，在返回途中与甲第二次相遇．如图表示甲、乙两人之间的距离y（m）与甲出发的时间x（min）之间的函数关系． 那么以下结论： ①甲、乙两人第一次相遇时，乙的锻炼用时为20min； ②甲出发86min时，甲、乙两人之间的距离达到最大值3600m； ③甲、乙两人第二次相遇的时间是在甲出发后100min； ④A，B两地之间的距离是11200m． 其中正确的结论有（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 考点五 函数与方程思想 例５（2024•广元）近年来，中国传统服饰备受大家的青睐，走上国际时装周舞台，大放异彩．某服装店直接从工厂购进长、短两款传统服饰进行销售，进货价和销售价如表： 价格/类别 短款 长款 进货价（元/件） 80 90 销售价（元/件） 100 120 （1）该服装店第一次用4300元购进长、短两款服装共50件，求两款服装分别购进的件数； （2）第一次购进的两款服装售完后，该服装店计划再次购进长、短两款服装共200件（进货价和销售价都不变），且第二次进货总价不高于16800元．服装店这次应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？ 考点六 特殊到一般 例6（2024•扬州）在综合实践活动中，“特殊到一般”是一种常用方法，我们可以先研究特殊情况，猜想结论，然后再研究一般情况，证明结论． 如图，已知△ABC，CA＝CB，⊙O是△ABC的外接圆，点D在⊙O上（AD＞BD），连接AD、BD、CD． 【特殊化感知】 （1）如图1，若∠ACB＝60°，点D在AO延长线上，则AD﹣BD与CD的数量关系为 　　； 【一般化探究】 （2）如图2，若∠ACB＝60°，点C、D在AB同侧，判断AD﹣BD与CD的数量关系并说明理由； 【拓展性延伸】 （3）若∠ACB＝α，直接写出AD、BD、CD满足的数量关系．（用含α的式子表示） 【专题训练】 1．（2023•雅安）若m2+2m﹣1＝0，则2m2+4m﹣3的值是（　　） A．﹣1 B．﹣5 C．5 D．﹣3 2. 如图，在数轴上，点A表示的数是﹣12，点B表示的数是2，AB表示点A与点B之间的距离．若P从点A出发，M从点B出发，P、M同时向数轴负方向运动，点P的速度是每秒3个单位长度，点M的速度是每秒5个单位长度，当P、M两个点的距离为3个单位长度时，运动时间为（　　） A．7.5秒 B．8.5秒 C．5.5秒或8.5秒 D．7.5秒或8.5秒 3. （2024•资阳）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2．以点A为圆心，AD长为半径作弧交AB于点E，再以AB为直径作半圆，与交于点F，则图中阴影部分的面积为 　　 ． 4．德力格尔草原位于彰武县境内，以草场资源丰富，景色优美著称．今年5月在此举办的“漠上草原欢乐跑”首届马拉松比赛，吸引了千余名国内外选手参加，甲、乙两名选手同时参加了往返10km（单程5km）的业余组比赛，如果全程保持匀速，甲，乙之间的距离s（km）与甲所用的时间t（h）之间的函数关系如图所示，那么当甲到达终点时，乙距离终点 　 　km． 5．（2024•眉山）眉山是“三苏”故里，文化底蕴深厚．近年来眉山市旅游产业蓬勃发展，促进了文创产品的销售，某商店用960元购进的A款文创产品和用780元购进的B款文创产品数量相同．每件A款文创产品进价比B款文创产品进价多15元． （1）求A，B两款文创产品每件的进价各是多少元？ （2）已知A款文创产品每件售价为100元，B款文创产品每件售价为80元，根据市场需求，商店计划再用不超过7400元的总费用购进这两款文创产品共100件进行销售，问：怎样进货才能使销售完后获得的利润最大，最大利润是多少元？ 6．（2023•武汉）问题提出 如图（1），E是菱形ABCD边BC上一点，△AEF是等腰三角形，AE＝EF，∠AEF＝∠ABC＝α （α≥90°），AF交CD于点G，探究∠GCF与α的数量关系． 问题探究 （1）先将问题特殊化，如图（2），当α＝90°时，直接写出∠GCF的大小； （2）再探究一般情形，如图（1），求∠GCF与α的数量关系． 问题拓展 将图（1）特殊化，如图（3），当α＝120°时，若，求的值． 7. （2024•西藏）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于C点，设抛物线的对称轴为直线l． （1）求抛物线的解析式； （2）如图（甲），设点C关于直线l的对称点为点D，在直线l上是否存在一点P，使PA﹣PD有最大值？若存在，求出PA﹣PD的最大值；若不存在，请说明理由； （3）如图（乙），设点M为抛物线上一点，连接MC，过点M作MN⊥CM交直线l于点N．若tan∠MCN，求点M的坐标． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $$