2025年九年级中考数学复习导学案 专题二 代数综合问题专题

专题二 代数综合问题专题 【专题解读】 　　代数综合题是指以代数知识为主或以代数变形技巧为主的一类综合问题，主要包括方程、不等式、函数等内容．解代数综合问题要注意归纳整理教材中的基础知识、基本技能、基本方法，要注意各知识点之间的联系和数学思想方法、解题技巧的灵活运用，要抓住题意，化整为零，层层深入各个击破，注意知识间的横向联系，从而达到解决问题的目的． 【专题讲解】 考点一： 方程（组）及不等式（组）的解（集） 例1（2024•重庆）若关于x的不等式组至少有2个整数解，且关于y的分式方程2的解为非负整数，则所有满足条件的整数a的值之和为 　　 ． 考点二 一元二次方程的根的判别式与根与系数关系 例2（2023•南充）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x﹣3m2+m＝0． （1）求证：无论m为何值，方程总有实数根； （2）若x1，x2是方程的两个实数根，且，求m的值． 考点三：用方程（组）及不等式（组）解决简单的实际问题 例3（2024•雅安）某市为治理污水，保护环境，需铺设一段全长为3000米的污水排放管道，为了减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加25%，结果提前15天完成铺设任务． （1）求原计划与实际每天铺设管道各多少米？ （2）负责该工程的施工单位，按原计划对工人的工资进行了初步的预算，工人每天人均工资为300元，所有工人的工资总金额不超过18万元．该公司原计划最多应安排多少名工人施工？ 考点四 函数的图像与性质综合问题 例4（2024•连云港）如图1，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+1（k≠0）的图象与反比例函数的图象交于点A、B，与y轴交于点C，点A的横坐标为2． （1）求k的值； （2）利用图象直接写出时x的取值范围； （3）如图2，将直线AB沿y轴向下平移4个单位，与函数的图象交于点D，与y轴交于点E，再将函数的图象沿AB平移，使点A、D分别平移到点C、F处，求图中阴影部分的面积. 例5（2024•宁夏）抛物线与x轴交于A（﹣1，0），B两点，与y轴交于点C，点P是第四象限内抛物线上的一点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，过P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E．设点D的横坐标为m，当时，求m的值； （3）如图2点F（1，0），连接CF并延长交直线PD于点M，点N是x轴上方抛物线上的一点，在（2）的条件下，x轴上是否存在一点H，使得以F，M，N，H为顶点的四边形是平行四边形．若存在，直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由． 考点五 函数综合应用问题 例6 （2024•滨州）春节期间，全国各影院上映多部影片，某影院每天运营成本为2000元，该影院每天售出的电影票数量y（单位：张）与售价x（单位：元/张）之间满足一次函数关系（30≤x≤80，且x是整数），部分数据如下表所示： 电影票售价x（元/张） 40 50 售出电影票数量y（张） 164 124 （1）请求出y与x之间的函数关系式； （2）设该影院每天的利润（利润＝票房收入﹣运营成本）为w（单位：元），求w与x之间的函数关系式； （3）该影院将电影票售价x定为多少时，每天获利最大？最大利润是多少？ 【专题训练】 1. （2024•内蒙古）实数a，b在数轴上的对应位置如图所示，则（b﹣a﹣2）的化简结果是（　　） A．2 B．2a﹣2 C．2﹣2b D．﹣2 2. （2023•绵阳）若x＝3是关于x的一元二次方程的一个根，下面对a的值估计正确的是（　　） A．a＜1 B．1＜a C．a＜2 D．2＜a 3. （2024•呼和浩特）在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax﹣b（a≠0）和y（c≠0）的图象大致如图所示，则函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象大致为（　　） A． B． C． D． 4. （2024•呼和浩特）关于x的不等式1的解集是 　 　，这个不等式的任意一个解都比关于x的不等式2x﹣1≤x+m的解大，则m的取值范围是 　 　． 5. （2024•扬州）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），点B在反比例函数y（x＞0）的图象上，BC⊥x轴于点C，∠BAC＝30°，将△ABC沿AB翻折，若点C的对应点D落在该反比例函数的图象上，则k的值为 　　 ． 6. 已知关于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+1＝0． （1）求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根： （2）若x1，x2是原方程的两根，且|x1﹣x2|＝2，求m的值，并求出此时方程的两根． 7．（2023•盘锦）如图，在平面直角坐标系中，A（1，0），B（0，3），反比例函数y＝（k≠0）在第一象限的图象经过点C，BC＝AC，∠ACB＝90°，过点C作直线CE∥x轴，交y轴于点E． （1）求反比例函数的解析式． （2）若点D是x轴上一点（不与点A重合），∠DAC的平分线交直线EC于点F，请直接写出点F的坐标． 8. （2024•达州）为拓宽销售渠道，助力乡村振兴，某乡镇帮助农户将A、B两个品种的柑橘加工包装成礼盒再出售．已知每件A品种柑橘礼盒比B品种柑橘礼盒的售价少20元，且出售25件A品种柑橘礼盒和15件B品种柑橘礼盒的总价共3500元． （1）求A、B两种柑橘礼盒每件的售价分别为多少元？ （2）已知加工A、B两种柑橘礼盒每件的成本分别为50元、60元，乡镇计划在某农产品展销活动中售出A、B两种柑橘礼盒共1000盒，且A品种柑橘礼盒售出的数量不超过B品种柑橘礼盒数量的1.5倍，总成本不超过54050元，要使农户收益最大，该乡镇应怎样安排A、B两种柑橘礼盒的销售方案，并求出农户在这次农产品展销活动中的最大收益为多少元？ 9．（2024•绵阳）如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（﹣3，0）和B（1，0），与y轴交于点C，连接AC和BC，点P在抛物线上运动，连接AP，BP和CP． （1）求抛物线的解析式，并写出其顶点坐标； （2）点P在抛物线上从点A运动到点C的过程中（点P与点A，C不重合），作点P关于x轴的对称点P1，连接AP1，CP1，记△ACP1的面积为S1，记△BCP的面积为S2，若满足S1＝3S2，求△ABP的面积； （3）在（2）的条件下，试探究在y轴上是否存在一点Q，使得∠CPQ＝45°？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$