2025年九年级中考数学第一轮专题复习-二次函数压轴题（线段周长问题）

2025年中考数学第一轮专题复习-二次函数压轴题（线段周长问题） 1．已知：二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于A，B两点，其中A点坐标为（﹣3，0），与y轴交于点C，点D（﹣2，﹣3）在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线的对称轴上有一动点P，求△PAD周长的最小值． 2．如图，抛物线与两轴分别交于A、B、C三点，已知点A（一3，O），B(1，0)．点P在第二象限内的抛物线上运动，作PD⊥轴于点D，交直线AC于点E． (1) (2)过点P作PF⊥AC于点F．求当△PEF的周长取最大值时点P的坐标． (3)连接AP，并以AP为边作等腰直角△APQ，当顶点Q恰好落在抛物线的对称轴上时，求对应的P点坐标. 3．如图，已知抛物线y＝x2﹣5x+4与x轴交于点A和点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C. (1)求A、B、C三点的坐标； (2)如图1，若点P是线段BC上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，连接OQ，当线段PQ长度最大时，判断四边形OCPQ的形状，并说明理由； (3)如图2，在（2）的条件下，D是OC的中点，过点Q的直线与抛物线交于点E，且∠DQE＝2∠ODQ.在y轴上是否存在点F，使得△BEF为等腰三角形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由. 4．如图是二次函数的图象，其顶点坐标为M(1,-4). （1）求出图象与轴的交点A、B的坐标； （2）在二次函数的图象上是否存在点P，使,若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）在y轴上存在一点Q,使得△QMB周长最小，求出Q点坐标． 5．如图，抛物线与x轴交于A（1，0）、B（﹣3，0）两点，于y轴交于点C（0，3），顶点为D． （1）求该抛物线的解析式及顶点D的坐标； （2）请计算以A、B、D、C为顶点的四边形的面积； （3）在x坐标轴上是否存在点Q，使得Q点到C、D两点的距离之和最短，若存在，请直接写出Q点坐标，若不存在，请说明理由． 6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点，与x轴交于、C两点（点B在点C的左侧），抛物线的顶点为D．    (1)求抛物线的表达式及顶点D的坐标； (2)点P是线段上的动点． ①过点P作x轴的垂线交抛物线于点E，若，求点E的坐标； ②若点Q是射线上的动点，且始终满足，连接，，请求出的最小值． 7．如图，在平面直角坐标系中，点A在第二象限，以A为顶点的抛物线经过原点，与x轴负半轴交于点B，对称轴为直线x=﹣1，点C在抛物线上，且位于点A、B之间（C不与A、B重合）．若△ABC的周长为m，四边形AOBC的周长为 （用含m的式子表示）． 8．如图，一次函数的图象与二次函数的图象交于坐标轴上的两点． （1）求二次函数的解析式； （2）点是直线上方抛物线上一点，过点分别作轴轴平行线分别交直线于点和点，设点的横坐标为，请用含的代数式表示的周长，并求出当的周长取得最大值(不需要求出此最大值)时点的坐标； （3）点是直线上一点，点是抛物线上一点，在第二问的周长取得最大值的条件下，请直接写出使以点为顶点的四边形是平行四边形的点的坐标．    9．已知直线l：y=﹣2，抛物线C：y=ax2﹣1经过点（2，0）    （1）求a的值； （2）如图①，点P是抛物线C上任意一点，过点P作直线l的垂线，垂足为Q．求证：PO=PQ； （3）请你参考（2）中的结论解决下列问题： ①如图②，过原点作直线交抛物线C于A，B两点，过此两点作直线l的垂线，垂足分别为M，N，连接ON，OM，求证：OM⊥ON； ②如图③，点D（1，1），探究在抛物线C上是否存在点F，使得FD+FO取得最小值？若存在，求出点F的坐标，若不存在，请说明理由． 10．如图，直线y=x+与x轴交于点A，与y轴交于点C，以AC为直径作⊙M，点D是劣弧AO上一动点（D点与A，C不重合）．抛物线y=－x²+bx+c经过点A、C，与x轴交于另一点B， （1）求抛物线的解析式及点B的坐标； （2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，是︱PA—PC︱的值最大；若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． （3）连CD交AO于点F，延长CD至G，使FG=2，试探究当点D运动到何处时，直线GA与⊙M相切，并请说明理由． 11．如图，抛物线的顶点为A(h，－1)，与y轴交于点B，点F(2，1)为其对称轴上的一个定点． （1）求这条抛物线的函数解析式； （2）已知直线l是过点C(0，－3)且垂直于y轴的定直线，若抛物线上的任意一点P(m，n)到直线l的距离为d，求证：PF＝d； （3）已知坐标平面内的点D(4，3)，请在抛物线上找一点Q，使△DFQ的周长最小，并求此时DFQ周长的最小值及点Q的坐标． 12．如图，已知二次函数y＝－x2＋4x－6． （1）直接写出抛物线与坐标轴的交点坐标； （2）设二次函数的对称轴与x轴交于点C，连接BA，BC，求△ABC的面积； （3）若抛物线的顶点为D，在y轴上是否存在一点P，使得△PAD的周长最小？若存在，求出△PAD的周长；若不存在，请说明理由． 13．如图，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)若点M为该抛物线对称轴上一点，当最小时，求点M的坐标； (3)若点P在抛物线第一象限的图象上，则面积的最大值为________． 14．如图，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，3）． （1）求抛物线的解析式； （2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点D，使△BCD的周长最小？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由； （3）若点E是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求△ACE的最大面积及E点的坐标． 15．已知：二次函数的图象与轴交于，两点，其中点坐标为，与轴交于点，点在抛物线上．    (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线的对称轴上有一动点，求出的最小值； (3)若抛物线上有一动点，使三角形的面积为，求点坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2025年中考数学第一轮专题复习-二次函数压轴题（线段周长问题）》参考答案 1．(1) (2) 【分析】（1）根据的坐标，待定系数法求解析式即可； （2）先求得点的坐标，根据抛物线的对称性可得，当△PAD周长确定最小值时，三点共线，进而根据勾股定理求两点坐标距离即可求得最小值． 【详解】（1）在二次函数y＝x2＋bx＋c的图象上， 解得 抛物线的解析式为 （2） 对称轴为 如图，连接， 关于轴对称 的周长等于， 当三点共线时，的周长取得最小值，最小值为 由抛物线解析式， 令，即 解得 ， 的周长的最小值为 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，根据抛物线的对称性求线段和的最小值，掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 2．(1) -2; 3 ;(2)( ,)(3) , 【详解】试题分析：（1）将A、B两点坐标代入解析式中即可求出b、c的值； （2）通过点P、E的坐标可求出PE＝，由题可知，△PEF为等腰直角三角形，当PE最大时，此三角形的周长最大，求出令PE最大的x值，即可求出P点的坐标； （3）对以P、Q、A三个顶点的角分别为直角时所形成的等腰直角三角形进行分类讨论即可. 解：（1）∵A（一3，O），B(1，0)在抛物线的图象上， ∴ 解得 故答案为-2，3 ; （2）∵C（0，3），A（－3，0） ∴AO=CO ∴∠CAO=45° ∵PD上轴于点D ∴∠ADE=90° ∴∠AED=45° ∵PF⊥AC于点F 且∠PEF=∠AED=45° ∴△PEF为等腰直角三角形 ∴当PE最大时，此三角形的周长最大， 由C（0，3），A（－3，0）可知直线AC的解析式为 设P（x，），则E点坐标为（x，x+3） ∴PE＝（-3<x<0） ∵当时，PE最大，即此时△PEF的周长取最大值 ∴P点坐标为( ,) （3）有三种情况： ①当∠APQ=90°且PA=PQ时，P点坐标为 ②当∠PAQ=90°且AP=AQ时，P点坐标为 ③当∠AQP=90°且PQ=AQ时，P点坐标为 故P点坐标为 , 点睛：本题是二次函数综合题，主要考查二次函数的性质及在二次函数图象的条件下探究几何图形的能力，解题的关键在于要灵活运用二次函数知识解次与其相关的代几综合问题. 3．(1)点A（1，0），点B（4，0），点C（0，4） (2)平行四边形，理由见解析 (3)存在；F（0，1）或（0，﹣1）或（0，） 【分析】（1）令x＝0和y＝0，解方程可求解； （2）设点P的坐标为（x，﹣x+4），则点Q的坐标为（x，x2﹣5x+4），则PQ＝（﹣x+4）﹣（x2﹣5x+4）＝﹣x2+4x，进而求解； （3）当∠DQE＝2∠ODQ，则∠HQA＝∠HQE，则直线AQ和直线QE关于直线QH对称，进而求出点E的坐标为（5，4），再分BE＝BF、BE＝EF、BF＝EF三种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：对于y＝x2﹣5x+4，令y＝0，则0＝x2﹣5x+4， ∴x1＝4，x2＝1， ∴点A（1，0），点B（4，0）， 令x＝0，则y＝4， ∴点C（0，4）； （2）解：四边形OCPQ为平行四边形，理由如下： ∵点B的坐标为（4，0），点C（0，4）， 设直线BC的表达式为y＝kx+b， 则， 解得， ∴直线BC的表达式为y＝﹣x+4， 设点P的坐标为（x，﹣x+4），则点Q的坐标为（x，x2﹣5x+4）， 则PQ＝（﹣x+4）﹣（x2﹣5x+4）＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4， ∵﹣1＜0， 故PQ有最大值， 当x＝2时，PQ的最大值为4＝CO， ∴PQ＝CO，PQOC， ∴四边形OCPQ为平行四边形； （3）解：∵D是OC的中点，点C（0，4）， ∴点D（0，2）， 由（2）知：当x＝2时，PQ的最大值为4， 当x＝2时，y＝x2﹣5x+4＝﹣2， ∴Q（2，﹣2）， 由点D、Q的坐标，同理可得，直线DQ的表达式为y＝﹣2x+2， 过点Q作QH⊥x轴于点H， 则QHCO，故∠AQH＝∠ODQ， 而∠DQE＝2∠ODQ. ∴∠HQA＝∠HQE， 则直线AQ和直线QE关于直线QH对称， ∴设直线QE的表达式为y＝2x+r， 将点Q的坐标代入上式并解得r＝﹣6， ∴直线QE的表达式为y＝2x﹣6， 联立y＝x2﹣5x+4得， 解得或（不合题意，舍去）， ∴点E的坐标为（5，4）， 设点F的坐标为（0，m）， ∴BE2＝（5﹣4）2+（4﹣0）2＝17， BF2＝m2+42＝m2+16， EF2＝（m﹣4）2+52， 当BE＝BF时，即16+m2＝17，解得m＝±1； 当BE＝EF时，即25+（m﹣4）2＝17，方程无解； 当BF＝EF时，即16+m2＝25+（m﹣4）2，解得m＝ ； 故点F的坐标为（0，1）或（0，﹣1）或（0，）. 【点睛】此题是二次函数的综合题，主要考查了二次函数图象的性质，抛物线上点的坐标的特征，一次函数图象的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，函数的最值，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． 4．（1）A(-1，0)B（3，0）（2）P（0，-3），Q（2，-3），Q（ ，3），Q（，3）（3）Q（0，-3）. 【分析】（1）把顶点坐标代入函数解析式，然后令y=0，解关于x的一元二次方程即可得到点A、B的坐标； （2）设点P到AB的距离为h，利用三角形的面积列式求出h，再分点P在x轴下方和上方两种情况把点P的纵坐标代入函数解析式求解即可； （3）根据轴对称确定最短路线问题，找出点M关于y轴的对称点M′，连接BM′与y轴的交点即为所求的点Q，利用待定系数法求出直线BM′的函数解析式，再令x=0求解即可． 【详解】(1)∵顶点坐标为M(1,−4)， ∴二次函数为y=(x−1)2−4， 令y=0,则(x−1)2−4=0， 解得x1=−1,x2=3， ∴A(−1,0),B(3,0)； (2)设点P到AB的距离为h， ∵S△PAB=34S△MAB， ∴AB⋅h=， 解得h=3， 当点P在x轴下方时，点P的纵坐标是−3， ∴(x−1)2−4=−3， 解得x1=0,x2=2， 此时点P的坐标为(0,−3)或(2,−3)， 点P在x轴上方时,点P的纵坐标为3, ∴(x−1)2−4=3， 解得x1=+1,x2=−+1， 此时点P的坐标为(+1,3)或(−+1,3)， 综上所述,点P的坐标为(0,−3),(2,−3),( +1,3),(− +1,3)； (3)如图,取点M(1,−4)关于y轴的对称点M′(−1,−4)， 连接BM′与y轴的交点即为使得△QMB周长最小的点Q， 设直线BM′的解析式为y=kx+b， 则 ， 解得， ∴BM′的解析式为y=x−3， 令x=0，则y=−3， 所以,点Q的坐标为P(0,−3). 5．（1）y＝﹣x2﹣2x+3，D（﹣1，4）；（2）9；（3）存在， Q（﹣，0）． 【分析】（1）由待定系数法求出抛物线的表达式，进而求出顶点D的坐标． （2）根据勾股定理证明是直角三角形，四边形ABCD的面积＝×BC×CD+×AB×OC，计算求解． （3）作点C关于x轴的对称点E（0，﹣3），连接DE，计算得出直线DE的解析式，DE交x轴于点Q，代入计算求出点Q的坐标． 【详解】解：（1）∵设抛物线的表达式为y＝ax2+bx+c， 将点A、B、C的坐标代入抛物线表达式得：， 解得 ∴抛物线的表达式为y＝﹣x2﹣2x+3， ∵抛物线的对称轴为x＝﹣1，当x＝﹣1时，y＝﹣x2﹣2x+3＝4， ∴点D的坐标为（﹣1，4）； （2）∵由点B、C、D的坐标可知，BC2＝18，CD2＝2，BD2＝20， ∴BC2+CD2＝BD2， ∴△BCD为直角三角形， ∴四边形ABCD的面积＝＝． （3）存在，Q（﹣，0），如图 作点C关于x轴的对称点E（0，﹣3），连接DE交x轴于点Q，则点Q为所求点， ∵设直线ED的表达式为y＝kx+b，将D、E两点坐标代入可得， ， 解得， ∴直线DE的表达式为y＝﹣7x﹣3， 令y＝﹣7x﹣3＝0，解得x＝﹣， ∴点Q的坐标为（﹣，0）． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查运用待定系数法求二次函数解析式，勾股定理的逆用，求多边形面积及两点间线段最短，运用数形结合的方法是解题关键． 6．(1)，点的坐标为 (2)①；② 【分析】（1）将点A和点B的坐标代入抛物线，即可得出其表达式，再将抛物线解析式改写成顶点式，即可得出顶点坐标； （2）①令，求出点C坐标，设点E坐标为，则点P坐标为，利用列出方程，求出x即可解决问题；②在x轴上取点H，使，连接，，，证明，可得，求出的最小值为的长，然后根据两点间距离公式计算即可． 【详解】（1）解：将点，代入得， 解得：， ∴抛物线的解析式为：， ∵， ∴顶点的坐标为； （2）①令， 解得：或， ∵抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧）， ∴点C的坐标为， ∵点E在抛物线上，设点E坐标为，则点P坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴或， ∵点是线段上的动点， ∴， ∴点E的坐标为； ②如图，在x轴上取点H，使，连接，，，    又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴当点Q在上时，取最小值，最小值为的长， ∵，， ∴的最小值为：． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象和性质，解一元二次方程，全等三角形的判定和性质，两点间距离公式等知识，作出合适的辅助线，找出取最小值时的情况是解题的关键． 7．m+2． 【详解】试题分析：根据抛物线的对称性得到：OB=2，AB=AO，则四边形AOBC的周长为AO+AC+BC+OB=△ABC的周长+OB，由此得出答案即可． 解：如图， ∵对称轴为直线x=﹣1，抛物线经过原点、x轴负半轴交于点B， ∴OB=2， ∵由抛物线的对称性知AB=AO， ∴四边形AOBC的周长为AO+AC+BC+OB=△ABC的周长+OB=m+2． 故答案为m+2． 考点：抛物线与x轴的交点． 8．（1）；（2）周长，；（3）点的坐标为或 【分析】（1）先利用一次函数解析式，求出A，B坐标，再代入，求出b，c即可得到二次函数解析式； （2）设点，可得出PQ的表达式，易证为等腰直角三角形，即可得出，再利用二次函数的性质可得出周长最大时M的坐标； （3）设，，根据平行四边形对角线互相平分的性质，分别讨论PC，PQ，PD为对角线，建立方程求解． 【详解】解：（1）令中为0得y=4，则， 令y=0，得，解得，则 分别将点的坐标代入到， 得，解得 ∴二次函数的解析式为． （2）由题意设点， 则． ∵， ∴， ∵轴， 轴， ∴，即为等腰直角三角形． 设的周长为，则， 即． 当时，的周长取得最大值， 将代入到中可得，， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴ （3）设，， 在（2）的条件下P点坐标为，Q点坐标为 ①当PC为对角线时， ，解得 此时C与Q点重合，不符合题意，舍去； ②当PQ为对角线时， ，解得 此时C与Q点重合，不符合题意，舍去； ③当PD为对角线时， ，解得或 当时，，即 当时，，即 综上，点的坐标为或． 【点睛】本题考查二次函数的综合问题，（2）题的关键是建立周长与P点横坐标m之间的函数关系式，（3）题的关键是利用平行四边形对角线互相平分建立方程． 9．（1）a=；（2）证明见解析；（3）①证明见解析；②3． 【分析】（1）把点（2，0）代入抛物线解析式求出a值即可； （2）由（1）可知抛物线解析式为y=x2﹣1，设点P（m，m2﹣1），利用两点间距离公式可用m表示出PO、PQ的长，即可得结论； （3）①由（2）可得OA=AM，OB=BN，根据等腰三角形的性质可得∠BON=∠BNO，∠AOM=∠AMO，根据AM⊥MN，BN⊥MN可得AM∥BN，根据平行线的性质可得∠ABN+∠BAM=180°，根据三角形内角和即可得出∠MON=90°，即可得结论； ②如图，过点F作EF⊥直线l，由（2）可知OF=EF，可得OF+DF=EF+DF，可得点D，点F，点E三点共线时，OF+DF的值最小，此时DE⊥直线l，根据直线解析式及点D坐标即可得答案． 【详解】（1）∵抛物线C：y=ax2﹣1经过点（2，0） ∴0=4a﹣1， ∴a=． （2）∵a=， ∴抛物线解析式：y=x2﹣1， 设点P（m，m2﹣1）， ∴PO==m2+1，PQ=m2﹣1﹣（﹣2）=m2+1， ∴PO=PQ （3）①由（2）可得OA=AM，OB=BN ∴∠BON=∠BNO，∠AOM=∠AMO ∵AM⊥MN，BN⊥MN ∴AM∥BN ∴∠ABN+∠BAM=180° ∵∠ABN+∠BON+∠BNO=180°，∠AOM+∠AMO+∠BAM=180° ∴∠ABN+∠BON+∠BNO+∠AOM+∠AMO+∠BAM=360° ∴∠BON+∠AOM=90° ∴∠MON=90° ∴OM⊥ON ②如图：过点F作EF⊥直线l， 由（2）可得OF=EF， ∵OF+DF=EF+DF ∴当点D，点F，点E三点共线时，OF+DF的值最小．即此时DE⊥直线l， ∵直线l：y=﹣2， ∴OF+DF的最小值为DE=1+2=3．    【点评】本题考查了二次函数综合题，待定系数法求解析式，两点距离公式，三角形内角和定理，最短路径问题，利用数形思想解决问题是本题的关键． 10．(1)y= ， B(1，0) ；(2) P(-1， 2)；理由见解析；(3)见解析． 【分析】（1）直接利用待定系数法求二次函数解析式，进而求出其对称轴和B点坐标； （2）首先利用待定系数法求一次函数解析式进而得出，此时PA=PB，|PA-PC|的值最大，求出即可； （3）当D运动到劣弧AO的中点时，直线AG与⊙M相切，利用已知得出△AFG为等边三角形，进而求出∠CAG=30°+60°=90°，即可得出答案． 【详解】解：（1）由y=x+， 得：A（-3，0），C（0，）， 将其代入抛物线解析式得：，解得：， ∴y=， ∵对称轴是x=-1， ∴由对称性得B(1，0)； （2）如图，延长BC与对称轴的交点就是点P， 设直线BC的解析式为y=mx+n， 把B(1，0)，C（0，）代入得：，解得：， 则直线BC解析式为：y=-x+， 当x=-1时，y=2， ∴P(-1， 2)； （3）结论：当D运动到劣弧AO的中点时，直线AG与⊙M相切，理由如下： ∵在RT△AOC中，tan∠CAO=， ∴∠CAO=30°，∠ACO=60°， ∵点D是的中点， ∴， ∴∠ACD=∠DCO=30°， ∴OF=OCtan30°=1，∠CF O=60°， ∴△AFG中，AF=3-1=2，∠AFG=∠CFO=60°， ∵FG=2， ∴△AFG为等边三角形， ∴∠GAF=60°， ∴∠CAG=30°+60°=90°， ∴AC⊥AG， ∴AG为⊙M的切线． 【点睛】本题考查了二次函数综合题，涉及到切线的判定以及等边三角形的判定与性质以及待定系数法求一次函数、二次函数解析式等知识，利用二次函数对称性得出|PA-PC|的最大值是解题关键． 11．（1）；（2）见解析；（3）， 【分析】（1）由题意抛物线的顶点A（2，-1），可以假设抛物线的解析式为y=a（x-2）2-1，把点B坐标代入求出a即可． （2）由题意P（m，），求出d2，PF2（用m表示）即可解决问题． （3）如图，过点Q作QH⊥直线l于H，过点D作DN⊥直线l于N．因为△DFQ的周长=DF+DQ+FQ，DF是定值=，推出DQ+QF的值最小时，△DFQ的周长最小，再根据垂线段最短解决问题即可． 【详解】解：（1）设抛物线的函数解析式为 由题意,抛物线的顶点为 又抛物线与轴交于点 抛物线的函数解析式为 （2）证明：∵P（m，n）， ∴， ∴P（m，）， ∴， ∵F（2，1）， ∴， ∵，， ∴d2=PF2， ∴PF=d． （3）如图，过点Q作QH⊥直线l于H，过点D作DN⊥直线l于N． ∵△DFQ的周长=DF+DQ+FQ，DF是定值=， ∴DQ+QF的值最小时，△DFQ的周长最小， ∵QF=QH， ∴DQ+DF=DQ+QH， 根据垂线段最短可知，当D，Q，H共线时，DQ+QH的值最小，此时点H与N重合，点Q在线段DN上， ∴DQ+QH的最小值为6， ∴△DFQ的周长的最小值为，此时Q（4，-）． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法，两点间距离公式，垂线段最短等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，学会用转化的思想思考问题． 12．（1）、、；（2）6；（3）存在， 【分析】（1）求与轴交点则令，求与轴的交点则令. （2）根据函数解析式求得对称轴和AC的长度，根据求解. （3）长度固定，只需找到点使最小即可，找到点关于轴的对称点，连接，则与轴的交点即是点的位置. 【详解】当时,与,与轴交于点B,,即 当时, 与轴交于点A、E,有 解得,即、 综上:、、 （2）对称轴：，则 ∴， ． （3）存在．（长度固定，只需找到点使最小即可，找到点关于轴的对称点，连接，则与轴的交点即是点的位置．） ∴，， ∴，， ∴周长最小值． 【点睛】本题考查二次函数的运用，掌握二次函数的性质，拿出交点坐标和对称轴，结合题意，通过分析可解. 13．(1)； (2)M（，）； (3)27 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）连接AC，与对称轴交点即为所求点M，先利用待定系数法求出AC所在直线解析式，再将二次函数解析式配方得到其对称轴方程，继而可得答案； （3）如图2，连接OP，设点P的坐标为(m，-m2+5m+6)  ，利用求出S关于m的二次函数关系式，由二次函数最值的求法解答． 【详解】（1）解：将点代入，得 ，解得， ∴； （2）如图1，连接AC，与对称轴交点即为所求点M， 由抛物线的解析式，对称轴为直线， ∵点M在抛物线的对称轴上， ∴MB=MA，CM+BM=CM+AM， 当点C、M、A在同一直线上时，CM+BM最小， 设直线AC的解析式为y=kx+n，则 ，解得， ∴y=-x+6， 当时，y=， ∴M（，）； （3）连接OP， ∵A(6，0)，C（0，6）， ∴OA=6，OC=6， 设点P的坐标为(m, -m2+5m+6) ， = =， 当m=3时，△ACP的面积有最大值为27， 故答案为：27． 【点睛】此题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的轴对称性质，二次函数的最值问题，正确掌握解题方法是解题的关键． 14．（1）y=x2﹣4x+3；（2）存在，抛物线对称轴上存在点D（2，1），使△BCD的周长最小；（3）△ACE的最大面积，此时E点坐标为（，）． 【分析】（1）利用待定系数法求二次函数解析式解答即可． （2）利用待定系数法求出直线AC的解析式，然后根据轴对称确定最短路线问题，直线AC与对称轴的交点即为所求点D． （3）方法1：过点E作轴，垂足为G，交直线AC于点F，过点C作，垂足为H．设点E的坐标为，则点F、G的坐标均可表示出来，且可得EF的长，由即可得关于x的二次函数，从而可求得结果； 方法2：过点E作∥x轴，并分别过点A，C作、于点P、Q，设点E的坐标为，则点P、Q的坐标均可表示出来，AP、CQ\、PQ、EP、EQ的长度均可表示出来，由即可得关于x的二次函数，从而可求得结果； 方法3：过点E作轴，垂足为G，交直线AC于点F，过点E作，垂足为M．由已知得AC这定值， 设点E的坐标为，则点F的坐标为，点G的坐标为．可得AG=FG，为等腰直角三角形，从而得为等腰直角三角形，，由三角形面积公式即可得关于x的二次函数，从而可求得结果； 方法4：根据直线AC的解析式，设出过点E与AC平行的直线，然后与抛物线解析式联立消掉y得到关于x的一元二次方程，利用根的判别式△=0时，△ACE的面积最大，然后求出此时与AC平行的直线，然后求出点E的坐标，并求出该直线与x轴的交点F的坐标，再求出AF，再根据直线l与x轴的夹角为45°求出两直线间的距离，再求出AC间的距离，然后利用三角形的面积公式列式计算即可得解． 【详解】解：（1）∵抛物线经过点、，代入得 ，解得． ∴抛物线的表达式为． （2）∵点A，B关于对称轴对称， ∴点D为直线与对称轴的交点时的周长最小． 设直线的解析式为，则，解得． ∴直线的解析式为． ∴， ∴抛物线的对称轴为直线，当时，， ∴抛物线对称轴上存在点，使的周长最小． （3）方法1： 如图所示，过点E作轴，垂足为G，交直线AC于点F，过点C作，垂足为H． 由（2）得，直线AC的表达式为． 设点E的坐标为，则点F的坐标为，点G的坐标为． ∴． ∴ ， 当，即点E的坐标为时，的最大面积为· 方法2： 如图所示，过点E作∥x轴，并分别过点A，C作、于点P、Q，设点E的坐标为，则点P的坐标为，点Q的坐标为． ∴，，，，． ∴ ． ∴当，即点E的坐标为时，的最大面积为· 方法3： 如图所示，过点E作轴，垂足为G，交直线AC于点F，过点E作，垂足为M． ∵点A的坐标为，点C的坐标为， ∴． 由（2）得，直线AC的表达式为． 设点E的坐标为，则点F的坐标为，点G的坐标为． ∴，． ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形． ∴． ∴ ． ∴当，即点E的坐标为时，的最大面积为· 方法4： 如图，设过点E与直线AC平行的直线为， ∴由，得， 当，即时，点E到AC的距离最大，的面积最大，此时，， ∴点E的坐标为． 设过点E的直线与x轴交点为F，则点F的坐标为． ∴． ∵直线AC的解析式为， ∴． ∴点F到AC的距离为． 又∵， ∴的最大面积为，此时点E的坐标为． 15．(1) (2) (3)符合题意的点坐标为：或或或． 【分析】（1）将A、D点代入抛物线方程，即可解出b、c的值，抛物线的解析式可得； （2）点C、D关于抛物线的对称轴对称，连接，点P即为AC与对称轴的交点，的最小值即为AC的长度，用勾股定理即可求得AC的长度； （3）求得B点坐标，设点坐标，利用三角形面积公式，即可求出m的值，点的坐标即可求得． 【详解】（1）解：因为二次函数的图象经过，， 所以，解得． 所以二次函数解析式为； （2）解：抛物线对称轴，，， 、关于轴对称，连接与对称轴的交点就是点，    此时最小， ； （3）解：设点坐标， 令，，解得或， 即B点坐标为， 则， 三角形的面积为， 点到的距离为， 故当点纵坐标为时，，解得：， 符合题意的点坐标为：或； 当点纵坐标为时，，解得：或， 符合题意的点坐标为：或， 综上所述：符合题意的点坐标为：或或或． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式、两点之间线段最短、勾股定理、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$