精品解析：2022年中考广东省梅州市兴宁市宋声学校九年级中考数学模拟试卷

2022年中考兴宁市宋声学校九年级数学模拟试卷 说明： 1．全卷共6页，满分120分，考试时间为90分钟． 2．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡填写自己的准考证号、姓名、考场号、座位号，用2B铅笔把对应该号码的标号涂黑． 3．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题上． 4．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效． 5．考生务必保持答题卡的整洁．考试结束时，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确答案对应的字母填入相应的括号里内． 1. 3的相反数为（　　） A. ﹣3 B. ﹣ C. D. 3 2. 下列垃圾分类的标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. 可回收物 B. 厨余垃圾 C. 有害垃圾 D. 其它垃圾物 3. 唐代刘禹锡有诗曰：“庭前芍药妖无格，池上芙蕖净少情．唯有牡丹真国色，花开时节动京城．”牡丹是河南洛阳的市花，有非常高的观赏价值．某品种的牡丹花粉直径约为0.0000354米，则数据0.0000354用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 一个多边形对角线的条数是边数的 3 倍，则这个多边形是（ ） A. 七边形 B. 八边形 C. 九边形 D. 十边形 6. 某商品原价200元，连续两次降价a%后售价为148元，下列所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 将一根橡皮筋两端固定在点，处，拉展成线段，拉动橡皮筋上的一点．当是顶角为 的等腰三角形时，已知，则橡皮筋被拉长了（ ） A. B. C. D. 8. 2022年北京冬奥会自由式滑雪女子U型场地技巧决赛中，中国金牌选手谷爱凌第二跳分数如下：95，95，95，95，96，96，关于这组数据，下列描述正确的是（ ） A. 中位数是95 B. 众数是95.5 C. 平均数是95.25 D. 方差是0.01 9. 已知二次函数，经过点．当时，的取值范围为或．则如下四个值中有可能为的是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 如图，半圆的弧上有定长弦，若，且交于点，交AB于点F，当CD在弧AB上由A点向B点移动时，（点C不与点A重合，点D不与点B重合），若设四边形CDEF面积为y，运动时间为x，则y关于x的图象大致是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）请将各题的正确答案填写在相应的横线上． 11. 分解因式：3a2﹣12=___． 12. 直线经过、两点，求这条直线与两坐标轴围成的三角形的面积是______． 13. 不等式组的解集为______． 14. 圆锥的母线长为2，底面圆的周长为5，则该圆锥的侧面积为______. 15. 已知P点坐标为（4-a，3a+9），且点P在轴上，则点P的坐标是______． 16. 在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx（k＞0）与双曲线y的交于M（x1，y1），N（x2，y2）两点，则x1•y2的值为 _____． 17. 如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，是边长为2的正三角形，点A、B分别在x轴的正半轴、y轴的正半轴上滑动，点C在第一象限，连接，则线段的长的最大值是________． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 18. 计算： 19. 如图，四边形ABCD是平行四边形，的平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于E，且． （1）求证：； （2）若，，求□ABCD的面积． 20. 随着“双减”政策的落实，中学生有了更多的课余时间进行户外运动，为此某校决定购买一批体育器材，已知足球的单价比排球的单价多30元，且用500元购得排球，排球的数量与用800元购得足球的数量相同． （1）排球，足球的单价各是多少元． （2）若该校准备购买排球和足球共11个，且足球不少于2个．设购买排球和足球所需费用为y元，排球有x个，求y与x之间的函数关系式，并设计一种费用最少的购买方案，写出最少费用． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 21. 为培养学生的阅读习惯，某中学利用学生课外时间开展了以“走近名著”为主题的读书活动．为了有效了解学生课外阅读情况，现随机调查了部分学生每周课外阅读的时间，设被调查的每名学生每周课外阅读的总时间为小时，将它分为4个等级：（），（），（），（），并根据调查结果绘制了如两幅不完整的统计图： 请你根据统计图的信息，解决下列问题： （1）本次共调查了_________名学生； （2）在扇形统计图中，等级所对应的扇形的圆心角为_________°； （3）请补全条形统计图； （4）在等级中有甲、乙、丙、丁4人表现最为优秀，现从4人中任选2人作为学校本次读书活动的宣传员，用列表或画树状图的方法求恰好选中甲和乙的概率． 22. 某小区门口安装了汽车出入道闸．道闸关闭时，如图①，四边形ABCD为矩形，AB长6米，AD长2米，点D距地面为0.4米．道闸打开的过程中，边AD固定，连杆AB，CD分别绕点A，D转动，且边BC始终与边AD平行． （1）如图②，当道闸打开至∠ADC＝60°时，边CD上一点P到地面的距离PE为2.4米，求点P到MN的距离PF的长； （2）一辆载满货物的货车过道闸，已知货车宽2.1米，高3.2米．当道闸打开至∠ADC＝53°时，货车能否驶入小区？请说明理由．（参考数据：，，） 23. 已知等边，M是边延长线上一点，连接交的外接圆于点D，延长至N，使得，连接，解答下列问题： （1）猜想的形状，并证明你的结论； （2）请你证明是的切线； （3）若，求等边的面积． 五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题10分，共20分） 24. 如图，直线yx+m（m＞0）与x轴交于A，与y轴交于B，AC平分∠BAO． （1）尺规作图：过点C作CD⊥AC交AB于D（保留作图痕迹，不写作法）； （2）求证：ADBD+AO； （3）若m＝4，点E、F分别为AC、AO上的动点，求OE+EF的最小值． 25. 已知抛物线与x轴正半轴交于点A，且关于直线对称． （1）求a，b满足的关系式； （2）直线交抛物线于点B，C，作轴，交直线于点P，且当时，． ①求抛物线的解析式； ②对于每个给定的实数k，请说明点P在一条确定的直线上，并求出这条直线的解析式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022年中考兴宁市宋声学校九年级数学模拟试卷 说明： 1．全卷共6页，满分120分，考试时间为90分钟． 2．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡填写自己的准考证号、姓名、考场号、座位号，用2B铅笔把对应该号码的标号涂黑． 3．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题上． 4．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效． 5．考生务必保持答题卡的整洁．考试结束时，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确答案对应的字母填入相应的括号里内． 1. 3的相反数为（　　） A. ﹣3 B. ﹣ C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数计算即可． 【详解】解：3的相反数是﹣3． 故选：A． 【点睛】此题考查求一个数的相反数，解题关键在于掌握相反数的概念． 2. 下列垃圾分类的标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. 可回收物 B. 厨余垃圾 C. 有害垃圾 D. 其它垃圾物 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A．既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项不合题意； B．不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不合题意； C．既是中心对称图形又是轴对称图形，故本选项符合题意； D．既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项不合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 3. 唐代刘禹锡有诗曰：“庭前芍药妖无格，池上芙蕖净少情．唯有牡丹真国色，花开时节动京城．”牡丹是河南洛阳的市花，有非常高的观赏价值．某品种的牡丹花粉直径约为0.0000354米，则数据0.0000354用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据科学记数法的定义即可得． 【详解】解：科学记数法：将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数的方法叫做科学记数法， 则， 故选：A． 【点睛】本题考查了科学记数法，熟记科学记数法的定义（将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数的方法叫做科学记数法）是解题关键．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同． 4. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据整式的相关运算法则进行计算判断即可． 【详解】解：A选项中，因为，所以A中计算错误，不符合题意； B选项中，因为，所以B中计算错误，不符合题意； C选项中，因为，所以C中计算正确，符合题意； D选项中，因为，所以D中计算错误，不符合题意； 故选C． 【点睛】熟记“整式的相关运算法则和乘法的完全平方公式”是解答本题的关键． 5. 一个多边形对角线的条数是边数的 3 倍，则这个多边形是（ ） A. 七边形 B. 八边形 C. 九边形 D. 十边形 【答案】C 【解析】 【分析】n边形的对角线有条，根据对角线条数是它边数的3倍列方程即可求得多边形的边数． 【详解】解：设这是个n边形，由题意可得： ，解得：（舍去）， ∴这是一个九边形 故选：C 【点睛】本题主要考查了多边形的对角线的条数与多边形的边数之间的关系． 6. 某商品原价200元，连续两次降价a%后售价为148元，下列所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可得出两次降价后的售价为200(1- a%)2，列方程即可． 【详解】解：根据题意可得出两次降价后的售价为200(1- a%)2， ∴200(1- a%)2=148． 故选：B． 【点睛】本题主要考查增长率问题，找准题目中的等量关系是解此题的关键． 7. 将一根橡皮筋两端固定在点，处，拉展成线段，拉动橡皮筋上的一点．当是顶角为 的等腰三角形时，已知，则橡皮筋被拉长了（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】作PH垂直AB于H，由已知求得AP与PH的关系式，进而由勾股定理求得AP的长，进而得到答案． 【详解】解：如图，作PH垂直AB于H ∵是顶角为 的等腰三角形， ∴cm， ∴ 设PH=acm，则AP=2acm ∴由有 解得 ∴cm ∴橡皮筋拉长了 故选：C． 【点睛】本题解直角三角形，懂得作高构造直角三角形是解题的关键． 8. 2022年北京冬奥会自由式滑雪女子U型场地技巧决赛中，中国金牌选手谷爱凌第二跳分数如下：95，95，95，95，96，96，关于这组数据，下列描述正确的是（ ） A. 中位数是95 B. 众数是95.5 C. 平均数是95.25 D. 方差是0.01 【答案】A 【解析】 【分析】根据方差、众数、中位数及平均数的定义，依次计算各选项即可作出判断． 【详解】解：把这组数据从小到大排列，排在中间的两个数分别为95、95，故中位数为，故选项A符合题意； 这组数据出现最多的数是95，故众数为95，故选项B不符合题意； 这组数据的平均数是，故选项C不符合题意； 这组数据的方差为，故选项D不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了方差、平均数、中位数及众数的知识，掌握各自的定义及计算方法是解题关键． 9. 已知二次函数，经过点．当时，的取值范围为或．则如下四个值中有可能为的是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系，掌握二次函数图象上点的坐标特征． 由当时，的取值范围为或可得抛物线对称轴为直线，从而可得与的关系，将代入解析式，用含代数式表示，进而求解． 【详解】解：当时，的取值范围为或， ∴为抛物线上的点，， ∴抛物线对称轴为直线， ， ， ， 根据题意可得， 解得：， 将代入解析式得， ， ， ， 四个值中有可能为的是1， 故选：A． 10. 如图，半圆的弧上有定长弦，若，且交于点，交AB于点F，当CD在弧AB上由A点向B点移动时，（点C不与点A重合，点D不与点B重合），若设四边形CDEF面积为y，运动时间为x，则y关于x的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出y关于x的表达式，或者找出y关于x的变化规律，再判断选项． 【详解】如图，设CE、DF交圆O于G、H两点．连接CH， ∵CD⊥DH， ∴CH为直径，经过圆心O． ∵CD为定长，圆是定圆，CD2+DH2=CH2， ∴DH为定长． ∴CDHG的面积为定值． 又∵EF为经过矩形CDHG的中心O， ∴四边形CDFE的面积等于四边形CDHG的面积的一半，也是定值． 故选：A． 【点睛】本题考查动点问题的函数图象．解题的关键是画出辅助线，发现四边形CDEF的面积不变． 二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）请将各题的正确答案填写在相应的横线上． 11. 分解因式：3a2﹣12=___． 【答案】3（a+2）（a﹣2） 【解析】 【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方式或平方差式，若是就考虑用公式法继续分解因式． 【详解】3a2﹣12 =3（a2﹣4） =3（a+2）（a﹣2）． 12. 直线经过、两点，求这条直线与两坐标轴围成的三角形的面积是______． 【答案】225 【解析】 【分析】先用待定系数法求出直线解析式，从而求出直线与坐标轴的两个交点坐标，由此即可求出面积． 【详解】解：∵直线经过、两点， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 当时，，当时，，即， ∴直线与x轴的交点坐标为（-30，0），与y轴的交点为（0，15）， ∴这条直线与两坐标轴围成的三角形的面积是， 故答案为：225． 【点睛】本题主要考查了直线与坐标轴围成的图形面积，待定系数法求一次函数解析式，正确求出直线与坐标轴的交点坐标是解题的关键． 13. 不等式组的解集为______． 【答案】x＞-2 【解析】 【分析】分别求出①②的解集，再找到其公共部分即可． 【详解】解： 由①得，x＞-2， 由②得，x≥-3， 不等式组的解集为x＞-2． 故答案为 x＞-2． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，熟悉“同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了”是解题的关键． 14. 圆锥的母线长为2，底面圆的周长为5，则该圆锥的侧面积为______. 【答案】5 【解析】 【分析】圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，所以根据扇形的面积公式可直接计算该圆锥的侧面积． 【详解】解：该圆锥的侧面积=×5×2=5． 故答案为5． 【点睛】本题考查了圆锥的计算，熟练掌握圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长是解题得关键． 15. 已知P点坐标为（4-a，3a+9），且点P在轴上，则点P的坐标是______． 【答案】（7，0） 【解析】 【分析】根据x轴上点的纵坐标为0列方程求出，再求解即可． 【详解】∵P点坐标为（4-a，3a+9），且点P在轴上， ∴， 解得， ， 所以，点P的坐标为（7，0）． 故答案为：（7，0）． 【点睛】本题考查了点的坐标，熟记轴上点的纵坐标为0是解题的关键． 16. 在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx（k＞0）与双曲线y的交于M（x1，y1），N（x2，y2）两点，则x1•y2的值为 _____． 【答案】−2 【解析】 【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点找出M、N两点坐标的关系，再根据反比例函数图象上点的坐标特点解答即可． 【详解】∵y=kx(k>0)图像关于(0，0)中心对称， ∵k>0， ∴图像经过一、三象限， y图像也关于(0，0)中心对称， ∵2>0， ∴图像经过一、三象限， 又∵M、N为y=kx与y交点， ∴M、N也关于原点中心对称，且一个在第三象限，一个在第一象限， ∴M(x1， )，N(−x1，)， ∴x1⋅y2==−2， 故答案为−2． 【点睛】本题考查了反比例函数图像的对称性，准确掌握利用过原点的直线与双曲线的两个交点关于原点对称是解答本题的关键． 17. 如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，是边长为2的正三角形，点A、B分别在x轴的正半轴、y轴的正半轴上滑动，点C在第一象限，连接，则线段的长的最大值是________． 【答案】## 【解析】 【分析】取AB的中点D，连接OD、CD，根据直角三角形的斜边中线等于斜边的一半以及等边三角形的性质及解直角三角形，即可求出OD、CD的长度，再根据三角形三边关系即可得出，由此得到当O、C、D三点共线时，此时最大，求解即可． 【详解】 取AB的中点D，连接OD、CD 是边长为2的正三角形 是直角三角形，D为AB中点 ， 在中， 当O、C、D三点共线时，此时最大为 故答案为： 【点睛】本题考查了直角三角形的斜边中线等于斜边的一半以及等边三角形的性质、解直角三角形、三角形三边关系，熟练掌握并能够灵活运用知识点是解题的关键． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 18. 计算： 【答案】． 【解析】 【分析】根据30°的余弦值、绝对值的非负性、二次根式的乘法公式、负指数幂的性质和零指数幂的性质计算即可． 【详解】原式． 【点睛】此题考查的是实数的混合运算，掌握30°的余弦值、绝对值的非负性、二次根式的乘法公式、负指数幂的性质和零指数幂的性质是解决此题的关键． 19. 如图，四边形ABCD是平行四边形，的平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于E，且． （1）求证：； （2）若，，求□ABCD的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先根据平行四边形的性质得到，，，则，再根据角平分线的定义推出，即可证明； （2）先根据三线合一定理证明，从而得到，设，，则．再由，求出，再求出，则平行四边形ABCD的面积为． 【小问1详解】 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴，，， ∴， ∵AE平分， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）知，， 又∵， ∴， ∴， 设，，则． ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴平行四边形ABCD的面积为． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质与判定，角平分线的定义，勾股定理，解直角三角形，熟知平行四边形的性质是解题的关键． 20. 随着“双减”政策的落实，中学生有了更多的课余时间进行户外运动，为此某校决定购买一批体育器材，已知足球的单价比排球的单价多30元，且用500元购得排球，排球的数量与用800元购得足球的数量相同． （1）排球，足球的单价各是多少元． （2）若该校准备购买排球和足球共11个，且足球不少于2个．设购买排球和足球所需费用为y元，排球有x个，求y与x之间的函数关系式，并设计一种费用最少的购买方案，写出最少费用． 【答案】（1）排球的单价为50元，足球的单价为80元 （2）费用最少的购买方案为：购买排球9个，足球2个，最少费用为610元 【解析】 【分析】（1）设排球的单价为a元，则足球的单价为（a+30）元，根据数量=总价÷单价结合花500元购买的排球的个数与花800元购买的足球的个数恰好相等，即可得出关于a的分式方程，解之经检验后即可得出答案； （2）设购买排球x个，足球（11-x）个，根据购买的总费用y等于购买排球的费用+购买足球的费用峛出函数关系式，再根据函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设排球的单价为a元，则足球的单价为元， 根据题意，得， 解得， 经检验是分式方程的解且符合题意， ∴， 答：排球的单价为50元，足球的单价为80元． 【小问2详解】 解：根据题意，得， ∵，解得， 在中，， ∴y随的增大而减小， ∴当时，取得最小值，， 此时， 即费用最少的购买方案为：购买排球9个，足球2个，最少费用为610元． 【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程和一次函数解析式． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 21. 为培养学生的阅读习惯，某中学利用学生课外时间开展了以“走近名著”为主题的读书活动．为了有效了解学生课外阅读情况，现随机调查了部分学生每周课外阅读的时间，设被调查的每名学生每周课外阅读的总时间为小时，将它分为4个等级：（），（），（），（），并根据调查结果绘制了如两幅不完整的统计图： 请你根据统计图的信息，解决下列问题： （1）本次共调查了_________名学生； （2）在扇形统计图中，等级所对应的扇形的圆心角为_________°； （3）请补全条形统计图； （4）在等级中有甲、乙、丙、丁4人表现最为优秀，现从4人中任选2人作为学校本次读书活动的宣传员，用列表或画树状图的方法求恰好选中甲和乙的概率． 【答案】（1）50；（2）108； （3）补图如下： （4） 【解析】 【分析】（1）用条形统计图中等级B的人数除以扇形统计图中等级B所占百分比即得本次调查的人数； （2）用扇形统计图中等级D的人数除以总人数再乘以360°即可求出等级所对应的扇形的圆心角； （3）用总人数减去其它三个等级的人数即得等级C的人数，进而可补全条形统计图； （4）先画出树状图求出所有等可能的结果数，再找出恰好选中甲和乙的结果数，然后根据概率公式求解即可． 【详解】解：（1）本次调查的学生人数=13÷26%=50名； 故答案为：50； （2）在扇形统计图中，等级所对应的扇形的圆心角=． 故答案为：108； （3）等级人数为：名， （4）画树状图得： 由图可知：总共有12种结果，且每种结果出现的可能性相同，其中恰好选中甲和乙的结果有2种， 所以（恰好选中甲和乙）． 【点睛】本题是统计与概率综合题，主要考查了条形统计图和扇形统计图的相关知识以及求两次事件的概率，属于常考题型，熟练掌握统计与概率的基本知识是解题的关键． 22. 某小区门口安装了汽车出入道闸．道闸关闭时，如图①，四边形ABCD为矩形，AB长6米，AD长2米，点D距地面为0.4米．道闸打开的过程中，边AD固定，连杆AB，CD分别绕点A，D转动，且边BC始终与边AD平行． （1）如图②，当道闸打开至∠ADC＝60°时，边CD上一点P到地面的距离PE为2.4米，求点P到MN的距离PF的长； （2）一辆载满货物的货车过道闸，已知货车宽2.1米，高3.2米．当道闸打开至∠ADC＝53°时，货车能否驶入小区？请说明理由．（参考数据：，，） 【答案】（1） （2）能驶入小区，理由见解析 【解析】 【分析】（1）过点D作DQ⊥PE，垂足为Q，在Rt△PDQ中，由∠PDQ=30°，PQ=2，进而求出DQ和FP长度即可； （2）当∠ADC=53°，PE=3.2米时，求出PF的长度，与2.1米比较即可得出答案． 【小问1详解】 如图，过点D作DQ⊥PE，垂足为Q， 由题意可知，∠ADC=60°，PE=2.4米，QE=0.4米， 在Rt△PDQ中，∠PDQ=30°，PQ=2.4-0.4=2米， ∴（米）， ∴PF=AB-DQ=（米）， 【小问2详解】 当∠ADC=53°，PE=3.2米时， 则∠DPQ=53°，PQ=3.2-0.4=2.8（米）， ∵ ∴DQ=PQ•tan53°≈1.33×2.8=3.724（米）， ∴PF=6-3.724≈2.276（米）， ∵2.276＞2.1， ∴能驶入小区． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提． 23. 已知等边，M是边延长线上一点，连接交的外接圆于点D，延长至N，使得，连接，解答下列问题： （1）猜想的形状，并证明你的结论； （2）请你证明是的切线； （3）若，求等边的面积． 【答案】（1）△CMN是等边三角形，证明见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据全等三角形的判定定理得到△BCN≌△ACM，由全等三角形的性质得到CN＝CM，∠BCN＝∠ACM，求得∠MCN＝∠ACB＝60°，即可得到结论； （2）根据全等三角形的性质得到∠ACO＝∠BCO＝∠ACB＝30°，根据角的和差得到∠OCN＝90°，根据切线的判定定理得到结论； （3）根据相似三角形的判定和性质即可得到结论． 【小问1详解】 （1）△CMN是等边三角形， 理由：在△BCN与△ACM中， ， ∴△BCN≌△ACM（SAS）， ∴CN＝CM，∠BCN＝∠ACM， ∴∠BCN−∠ACN＝∠ACM−∠ACN， 即∠MCN＝∠ACB＝60°， ∴△CMN是等边三角形； 【小问2详解】 连接OA．OB．OC， 在△BOC与△AOC中， ， ∴△BOC≌△AOC（SSS）， ∴∠ACO＝∠BCO＝∠ACB＝30°， ∵∠ACB＝∠MCN＝60°， ∴∠ACN＝60°， ∴∠OCN＝90°， ∴OC⊥CN， ∴CN是⊙O的切线； 【小问3详解】 ∵∠ADB＝∠ACB＝60°， ∴∠ADB＝∠ABC， ∵∠BAD＝∠MAB， ∴△ABD∽△AMB， ∴， ∵AM＝BN＝8， ∴AB＝6． ∴等边△ABC的面积是． 【点睛】本题考查了切线的判定，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练正确相似三角形的判定和性质是解题的关键． 五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题10分，共20分） 24. 如图，直线yx+m（m＞0）与x轴交于A，与y轴交于B，AC平分∠BAO． （1）尺规作图：过点C作CD⊥AC交AB于D（保留作图痕迹，不写作法）； （2）求证：ADBD+AO； （3）若m＝4，点E、F分别为AC、AO上的动点，求OE+EF的最小值． 【答案】（1） 如图所示：CD即为所求； （2） 证明：过点C作CG⊥AB于点G，如图所示： ∴， ∵平分∠BAO， ， ∵， ， ， ∵直线与x轴交于点A，与y轴交于点B， ∴，， ， ， ∴， ∴， ， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ； （3） 【解析】 【分析】（1）延长AC，以C为圆心，任意长为半径画弧，与直线AC交于两点，再分别以这两个点为圆心，以大于这两点间距离的一半为半径画弧，两弧交于一点，连接这个点与点C，与AB交于一点，即为D点，则CD即为所求； （2）根据角平分线的性质得出，证明，利用一次函数图象的性质，结合三角函数，得出∠BAO=60°，通过已知条件得出∠DCG=30°，利用含30°角的直角三角形的性质，得出，再证明CD=BD，即可得出结论； （3）作OH⊥AC于点M，并延长交AB于点H，过点H作HF⊥OA于点F，交AC于点E，证明AM垂直平分OH，从而说明HF的长为OE+EF的最小值，说明为等边三角形，利用等边三角形的性质即可求出HF的长，即可得出OE+EF的最小值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 作OH⊥AC于点M，并延长交AB于点H，如图所示： ∵平分∠BAO，OH⊥AC， ，， ， ， ，， ∴AM垂直平分OH， ， 过点H作HF⊥OA于点F，交AC于点E，此时OE+EF的值最小， ，，，， ，为等边三角形， ，， ∵HF⊥OA， ∴， ∴OE+EF的最小值为． 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形全等的判定和性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，角平分线的性质，一次函数图象的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 25. 已知抛物线与x轴正半轴交于点A，且关于直线对称． （1）求a，b满足的关系式； （2）直线交抛物线于点B，C，作轴，交直线于点P，且当时，． ①求抛物线的解析式； ②对于每个给定的实数k，请说明点P在一条确定的直线上，并求出这条直线的解析式． 【答案】（1）； （2）①；②点P在定直线上． 【解析】 【分析】（1）由对称轴为直线得，求得a与b的关系； （2）①将代入直线解析式，然后联立抛物线的解析式得到关于x的一元二次方程，再设点B和点C的坐标结合根与系数的关系表示出BC的长度，然后求出a的值，从而得到抛物线的解析式；②先设B点坐标为（x1，y1），C点坐标为（x2，y2），联立直线和抛物线的解析式，得到x1和x2的关系，然后求出直线AB的表达式，再求点P的坐标，最后得到点P所在的直线． 【小问1详解】 解：∵关于直线对称， ∴对称轴， ∴； 【小问2详解】 解：①∵， ∴直线方程为， ∵直线交抛物线于点B，C， ∴， ∵， ∴， 整理得：， 设B点坐标为，C点坐标为， ∴，， BC＝＝＝＝＝8， 解得：或（舍）， ∴抛物线的解析式为， ②由①可知抛物线的解析式为， ∴， 设B点坐标为，C点坐标为， 联立直线解析式和抛物线解析式可得：， 整理得：， ∴，， 设直线AB的解析式为：， 则，解得：， ∴直线AB的解析式为： 当时，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴点P在定直线上． 【点睛】本题考查了二次函数的解析式、一次函数解析式、二次函数与一次函数图象的交点、一元二次方程中根与系数的关系，解题的关键是联立直线和抛物线的解析式然后利用一元二次方程中根与系数的关系表达出点B和点C的横坐标之间的关系是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $