10.1.3 两角和与差的正切（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学必修第二册（苏教版2019）

10.1.3 两角和与差的正切 (教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学) 课时目标 1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式. 2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明. 3.熟悉两角和与差的正切公式的常见变形,并能灵活应用. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时跟踪检测 课前预知教材·自主落实基础 　　两角和与差的正切公式 名称 简记符号 公式 使用条件 两角和 的正切 公式 T(α+β) tan(α+β)=_______________ α,β,α+β≠kπ+(k∈Z) 且tan α·tan β≠1 两角差 的正切 公式 T(α-β) tan(α-β)= α,β,α-β≠kπ+(k∈Z)且tan α·tan β≠-1 |微|点|助|解| (1)结构特征:公式T(α±β)的右侧为分式形式,其中分子为tan α与tan β的和或差,分母为1与tan αtan β的差或和. (2)符号规律:分子同,分母反. (3)T(α±β)可变形为如下形式: ①tan α±tan β=tan(α±β)(1∓tan αtan β)或②1∓tan αtan β=.当α±β为特殊角时,常考虑使用变形①,遇到1与切的乘积的和(或差)时常用变形②. 基础落实训练 1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)两角和与差的正切公式对tan是适用的. (　　) (2)tan α+tan β=tan(α+β)(1+tan αtan β). (　　) (3)1+tan αtan β=. (　　) × × × 2.若tan α=3,tan β=,则tan(α-β)等于(　　) A. B.- C.3 D.-3 解析:原式===. √ 3.已知tan α=2,则tan=　　　　.  解析:tan===-3. 4.=　　　　.  解析:原式=tan(75°-15°)=tan 60°=. -3 课堂题点研究·迁移应用融通 题型(一)　两角和与差正切公式的简单应用 [例1]　(1)若tan=,则tan α=　　　.  解析:法一　∵tan===, ∴6tan α-6=1+tan α(tan α≠-1),∴tan α=. 法二　tan α=tan ===. (2)已知α,β均为锐角,tan α=,tan β=,则α+β=　　　　. 解析:∵tan α=,tan β=, ∴tan(α+β)===1. ∵α,β均为锐角,∴α+β∈(0,π).∴α+β=. |思|维|建|模| 利用正切的和差公式解题的两个题型及解题策略 (1)关于求值问题,利用角的代换,将所求角转化为已知角的和与差,再根据公式求解. (2)关于求角问题,先确定该角的某个三角函数值,再根据角的取值范围确定该角的大小. 针对训练 1.(2024·全国甲卷)已知=,则tan=(　 ) A.2+1 B.2-1 C. D.1- √ 解析:根据题意有=, 即1-tan α=,所以tan α=1-, 所以tan===2-1,故选B. 2.已知tan α=2,tan β=-,其中0<α<,<β<π.求α+β的值. 解:把tan α=2,tan β=-代入, 得tan(α+β)===1. 因为0<α<,<β<π. 所以<α+β<. 所以α+β=. 题型(二)　两角和与差正切公式的逆用 [例2]　计算:=(　　) A.- B. C.- D. √ 解析:原式= ===- =-=-.故选A. |思|维|建|模| 一方面要熟记公式的结构,另一方面要注意常值代换.如tan=1, tan=,tan=等.要特别注意tan=,tan=. 针对训练 3.化简求值:. 解:原式==tan(45°-15°) =tan 30°=. 题型(三)　两角和与差正切公式的变形用 [例3]　(1)tan 23°+tan 37°+tan 23°tan 37°的值是　　　　. 解析:∵tan 60°==, ∴tan 23°+tan 37°=-tan 23°tan 37°. ∴tan 23°+tan 37°+tan 23°tan 37°=. (2)=　　　　. 解析:∵tan 18°+tan 42°+tan 120°=tan 60°(1-tan 18°tan 42°)+ tan 120°=-tan 60°tan 18°tan 42°, ∴原式=-1. -1 |思|维|建|模| 　　当化简的式子中出现“tan α±tan β ”与“tan αtan β ”形式时,要把它们看成两个整体,这两个整体一是与两角和与差的正切公式有关,通过公式能相互转换,二是这两个整体还与根与系数的关系相似,在应用时要注意隐含的条件,能缩小角的范围. 针对训练 4.tan 87°tan 33°-tan 87°-tan 33°=(　　) A. B.- C. D.- 解析:tan 87°tan 33°-tan 87°-tan 33°=tan 87°tan 33°-tan(87°+33°)(1-tan 87°tan 33°)=tan 87°tan 33°+ (1-tan 87°tan 33°)=.故选A. √ 5.若1+tan α+tan β-tan αtan β=0,且α,β∈,则α+β=　　　　.  解析:因为1+tan α+tan β-tan αtan β=0,所以tan α+tan β=-(1-tan αtan β),所以tan(α+β)==-1.又α,β∈,所以π<α+β<2π,故α+β=. 课时跟踪检测 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 A级——达标评价 1.tan 255°等于(　　) A.-2- B.-2+ C.2- D.2+ 解析:tan 255°=tan(180°+75°)=tan 75°= tan(45°+30°)===2+. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 2.的值等于(　　) A.tan 42° B.tan 3° C.1 D.tan 24° 解析:∵tan 60°=,∴原式==tan(60°-18°)=tan 42°. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 3.已知2tan θ-tan=7,则tan θ=(　　) A.-2 B.-1 C.1 D.2 解析:由已知得2tan θ-=7,解得tan θ=2. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 4.(多选)已知tan α=4,tan β=-,则(　　) A.tan(-α)tan β=1 B.α为锐角 C.tan= D.tan 2α=tan 2β 解析:∵tan α=4,tan β=-,∴tan(-α)tan β=-tan αtan β=1,故A正确; ∵tan α=4>0,∴α为第一象限角或第三象限角,故B错误; ∵tan β=-,∴tan==,故C正确; ∵tan α=4,tan β=-,∴tan 2α===-,tan 2β==-,故D正确. √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 5.时钟的分针从刻度12顺时针转到刻度6,相应的时针转过角度为α,则tan α的值为 (　　) A.-2+ B.-+1 C.- D.- √ 解析:时钟的分针从刻度12顺时针转到刻度6,用时小时,而时钟的时针顺时针旋转1小时,转过的角度为-,因此α=-,tan α=tan= ==-2+. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 6.=　　　　. 解析:== =tan(15°-45°) =tan(-30°)=-. - 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 7.若tan 28°·tan 32°=m,则tan 28°+tan 32°=　　　　　.  解析:∵28°+32°=60°,∴tan 60°=tan(28°+32°)= =.∴tan 28°+tan 32°=(1-m). (1-m) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8.已知tan(α+β)=7,tan α=,且β∈(0,π),则β的值为　　　　.  解析:由已知得tan β=tan[(α+β)-α]===1, ∵β∈(0,π),∴β=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 9.(10分)已知tan=2,tan β=, (1)求tan α的值; 解:∵tan=2,∴=2. ∴=2.解得tan α=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)求的值. 解:原式= ===tan(β-α)===. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10.(10分)(1)已知α,β为锐角,cos α=,tan(α-β)=-,求cos β的值; 解:∵0<α<,cos α=,∴sin α==.∴tan α==. ∵tan(α-β)===-,解得tan β=.∴tan β==, sin β=cos β.又sin2β+cos2β=1,代入得cos2β=.∵β为锐角,∴cos β=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)已知tan α=1,3sin β=sin(2α+β),求tan(α+β)的值. 解:∵sin(2α+β)=3sin β,∴sin[(α+β)+α]=3sin[(α+β)-α],即sin(α+β)cos α+ cos(α+β)sin α=3sin(α+β)cos α-3cos(α+β)sin α,整理得2sin(α+β)cos α= 4cos(α+β)sin α,即=. ∵tan α=1,∴tan(α+β)=2tan α=2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 B级——重点培优 11.已知tan 110°=a,求tan 50°的值(用a表示),王老师得到的结果是,叶老师得到的结果是,对此你的判断是(　　) A.王老师对、叶老师错 　　B.两人都对 C.叶老师对、王老师错 　　D.两人都错 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:∵tan 50°=tan(110°-60°)=,所以王老师正确.∵tan 110°= tan(90°+20°)==-=a,∴tan 50°===,所以叶老师正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 12.《九章算术》是我国古代著名数学经典,其对勾股定理的论述比西方早一千多年.其中有这样一个问题:“今有勾三步,股四步,间勾中容方几何?”其意思为今有直角三角形ABC,勾AC(短直角边)长3步,股BC(长直角边)长为4步,问该直角三角形能 容纳的正方形CDEF(D,E,F分别在边CB,BA,AC上)边长为多少?在求得正方形CDEF的边长后,可进一步求得∠BAD的正切值为　　　　.  1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:设正方形的边长为x,则DE=EF=CD=x,BD=4-x. 由△BDE∽△BCA,可得=,即=,解得x=.因为tan∠BAC==, tan∠DAC==,所以tan∠BAD =tan(∠BAC-∠DAC)==. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13.(2024·新课标Ⅱ卷)已知α为第一象限角,β为第三象限角,tan α+tan β=4, tan αtan β=+1,则sin(α+β)=　　　　　　.  解析:由题意得tan(α+β)===-2,因为α∈, β∈,k,m∈Z, 则α+β∈((2m+2k)π+π,(2m+2k)π+2π),k,m∈Z,又因为tan(α+β)=-2<0, 则α+β∈,k,m∈Z,则sin(α+β)<0, 则=-2, 联立sin2(α+β)+cos2(α+β)=1, 解得sin(α+β)=-. - 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14.(10分)已知tan α=-2,tan(-β)=(tan αtan β-3),且α,β都是钝角, 求α+β的值. 解:因为tan(-β)=(tan αtan β-3), 所以-tan β=tan αtan β-3. 因为tan α=-2,所以-tan β=tan αtan β-+tan α, 即(1-tan αtan β)=tan α+tan β, 即=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 因为tan(α+β)=, 所以tan(α+β)=.因为α,β都是钝角, 即α∈,β∈,所以α+β∈(π,2π), 则α+β=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.(12分)是否存在锐角α,β,使得下列两个式子①tan(α+2β)=-, ②tantan β=2-同时成立?若存在,求出α,β的一个值;若不存在, 请说明理由. 解:存在,α=,β=.理由如下: 由①tan(α+2β)=-, ∵α,β为锐角,则0<α+2β<, ∴α+2β=.∴+β=. ∴tan==. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 将②代入上式得tan+tan β=3-. 因此tan,tan β是方程x2-(3-)x+2-=0的两根.由x2-(3-)x+2-=0, 即[x-(2-)](x-1)=0, 解得x1=1,x2=2-.当tan =1时, ∵0<α<,∴0<<, 此时α不存在.故tan=2-,tan β=1. ∴tan α==. ∵α,β均为锐角,∴α=,β=. $$