10.1.2 第1课时 两角和与差的正弦（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学必修第二册（苏教版2019）

10.1.2 两角和与差的正弦 两角和与差的正弦 (教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学) 第1课时 课时目标 1.能由两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦公式,了解它们的内在联系. 2.掌握两角和与差的正弦公式,并能灵活运用这些公式进行简单的恒等变换. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时跟踪检测 课前预知教材·自主落实基础 　　两角和与差的正弦公式 名称 简记符号 公式 使用条件 两角和 的正弦 公式 S(α+β) sin(α+β)=___________________ α,β∈R 两角差 的正弦 公式 S(α-β) sin(α-β)=___________________ α,β∈R sin αcos β+cos αsin β sin αcos β-cos αsin β |微|点|助|解| 1.两角和与差的正弦公式的结构特征 (1)公式中的角α,β都是任意角. (2)一般情况下,两角和与差的正弦不能按分配律展开,即sin (α±β)≠ sin α±sin β. (3)注意公式的逆向运用和变形运用. ①公式的逆用:如sin(α+β)cos β-cos(α+β)sin β=sin[(α+β)-β]=sin α. ②公式的变形运用:变形运用涉及两个方面, 一个是公式本身的变形运用,如sin(α-β)+cos αsin β=sin αcos β;一个是角的变形运用,也称为角的拆分变换,如α=(α+β)-β,2α=(α+β)+(α-β)等,这些在某种意义上来说是一种整体思想的体现. 2.利用公式统一角的方法 f(x)=asin x+bcos x=sin(x+φ)(a,b不同时为0),其中cos φ=, sin φ= . 基础落实训练 1.sin 105°的值为 (　　) A. B. C. D. 2.化简sin 21°cos 81°-cos 21°sin 81°等于 (　　) A.- B.- C. D. √ √ 3.若sin=,则sin α+cos α=　　　　.  解析:因为sin=sincos α+cossin α=, 即cos α+sin α=,所以sin α+cos α=. 课堂题点研究·迁移应用融通 题型(一)　给角求值 [例1]　(1)cos-sin=(　　) A. B. C. D. 解析:cos-sin =cos-sin=coscos+sinsin-sincos+cossin=×+×-×+×=. √ (2)sin 52°cos 22°-sin 38°sin 158°= (　　) A.- B. C. D.- 解析:sin 52°cos 22°-sin 38°sin 158° =sin 52°cos 22°-cos 52°sin 22° =sin(52°-22°)=sin 30°=. √ (3)cos(70°+α)sin(170°-α)-sin(70°+α)cos(10°+α)= (　　) A.- B.- C. D. 解析:原式=cos(70°+α)sin[180°-(10°+α)]-sin(70°+α)cos(10°+α)= cos(70°+α)sin(10°+α)-sin(70°+α)cos(10°+α)=sin[(10°+α)-(70°+α)]= sin(-60°)=-sin 60°=-. √ 　　|思|维|建|模| 掌握两个解题技巧 (1)利用诱导公式把不同的角转化为相同的角. (2)注意公式的逆用或变形用. 针对训练 1.sin 2 023°cos 17°+cos 2 023°cos 73°= (　　) A. B.- C.- D. 解析:sin 2 023°cos 17°+cos 2 023°cos 73°=sin 2 023°cos 17°+ cos 2 023°sin 17°=sin(2 023°+17°)=sin 2 040°=sin 240°=-sin 60° =-. √ 2.sin 50°cos 170°-sin 40°sin 170°= (　　) A.- B. C. D.- 解析:sin 50°cos 170°-sin 40°sin 170°=sin 50°cos 170°- cos 50°sin 170°=sin(50°-170°)=sin(-120°)=-sin 120°=-. √ 3.已知a=(2sin 35°,2cos 35°),b=(cos 5°,-sin 5°),则a·b= (　　) A. B.1 C.2 D.2sin 40° 解析:a·b=2sin 35°cos 5°-2cos 35°sin 5°=2sin(35°-5°)= 2sin 30°=1. √ 题型(二)　条件求值 [例2]　已知sin α=,cos β=-,且α为第一象限角,β为第二象限角,求sin(α+β)的值. 解:因为α为第一象限角,β为第二象限角,sin α=,cos β=-, 所以cos α=,sin β=. 所以sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β =×+×=. 变式拓展 1.若本例条件不变,求sin(α-β)的值. 解:sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β =×-×=-. 2.若本例条件“cos β=-”变为“cos(α+β)=-”,“α为第一象限角, β为第二象限角”变为“0<α<<β<π”,求sin β的值. 解:∵0<α<<β<π,∴<α+β<. ∵sin α=,cos(α+β)=-, ∴cos α=,sin(α+β)=±. ∴sin β=sin[(α+β)-α] =sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α, 当sin(α+β)=时,sin β=; 当sin(α+β)=-时,sin β=0. ∵<β<π,∴sin β=. |思|维|建|模| 1.求角的三角函数值的一般思路是把“所求角”用“已知角”表示: (1)当“已知角”有两个时,“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式. (2)当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系,再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”. 2.常见的配角技巧:2α=(α+β)+(α-β),α=(α+β)-β,β=-,α=+, =-等. 针对训练 4.已知α∈,cos α=,则sin=(　　) A. B. C. D. 解析:∵α∈,cos α=, ∴sin α==, ∴sin=sin α×-cos α×=×-×=,故选A. √ 5.若α,β为锐角,且满足cos α=,cos(α+β)=,则sin β的值为(　　) A.- B. C. D. 解析:因为α,β为锐角, 且cos α=,cos(α+β)=, 所以sin α=,sin(α+β)=, 所以sin β=sin[(α+β)-α] =×-×=,故选B. √ 题型(三)　三角公式的应用 [例3]　已知函数f(x)=sin 2x-cos 2x.则下列判断正确的是(　　) A.关于直线x=对称 B.关于直线x=对称 C.关于点对称 D.关于点对称 √ 解析:f(x)=sin 2x-cos 2x=sin.因为f=sin= sin=≠±1,所以A不正确; 因为f=sin=sin =≠±1,所以B不正确; 因为f=sin=sin 0=0,所以C正确; 因为f=sin=sin=1≠0,所以D不正确.故选C. |思|维|建|模| 　　对形如sin α±cos α,sin α±cos α的三角函数式均可利用特殊角的关系,运用和、差角的正弦、余弦公式化简为含一个三角函数式的形式,即y=Asin(ωx+φ)的形式. 针对训练 6.函数f=cos x-sin x的一个单调递增区间是(　　) A. B. C. D. √ 解析:由函数f=cos x-sin x =2cos,令-π+2kπ≤x+≤2kπ,k∈Z, 解得-+2kπ≤x≤2kπ-,k∈Z,令k=1, 可得≤x≤, 即区间是函数的一个单调递增区间. 7.(2024·全国甲卷)函数f(x)=sin x-cos x在[0,π]上的最大值是　　　　.  解析:由题意知f(x)=sin x-cos x=2sin,当x∈[0,π]时,x-∈,当x-=,即x=时,f(x)取得最大值2.故f(x)在[0,π]上的最大值为2. 2 课时跟踪检测 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 A级——达标评价 1.sin 70°cos 25°-sin 20°sin 25°的值为(　　) A.-1 B.- C. D.1 解析:sin 70°cos 25°-sin 20°sin 25°=sin 70°·cos 25°- cos 70°sin 25°=sin=sin 45°=. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 2.已知sin α=,α∈,则sin=(　　) A. B.- C. D.- 解析:因为sin α=,α∈,所以cos α==. 所以sin=sin αcos-cos αsin =×-×=. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 3.(多选)下列计算正确的是 (　　) A.sin 15°-cos 15°= B.sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°= C.sin-cos=- D.sin 105°= √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:sin 15°-cos 15°=sin 15°cos 60°-sin 60°cos 15°= sin(15°-60°)=sin(-45°)=-,A错误; sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°=sin 20°cos 10°+cos 20°sin 10°= sin(20°+10°)=sin 30°=,B正确; sin -cos=2=2sin=2sin=-, C正确; sin 105°=sin(60°+45°)=sin 60°cos 45°+cos 60°·sin 45°=×+ ×=,D正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 4.已知函数f=sin ax+cos ax的最小正周期是3,则实数a的值为(　　) A. B. C.- D.± 解析:因为f=sin ax+cos ax=2=2sin, 所以最小正周期T==3,解得a=±. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 5.(多选)已知角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,它的终边过点P,将角α的终边逆时针旋转90°得到角β,则下列结论正确的是(　　) A.tan α= B.cos β=- C.sin(α-β)=-1 D.sin=- √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:由题意知sin α=-,cos α=-,β=α+90°,则tan α==,故A正确; cos β=cos(α+90°)=-sin α=,故B错误; α-β=-90°,则sin(α-β)=sin(-90°)=-1,故C正确; sin β=cos α=-,则sin=(sin β+cos β)=×= ×=,故D错误.故选AC. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 6.计算cos 15°-cos 75°=　　　　.  解析:cos 15°-cos 75°=sin 60°cos 15°-cos 60°sin 15°= sin(60°-15°)=sin 45°=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 7.已知α为锐角,且sin=sin,则tan α=　　　　　.  解析:因为sin=sin, 所以sin α+cos α=sin α-cos α, 即(+1)cos α=(-1)sin α, 所以tan α==2+. 2+ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8.函数f(x)=sin 2x+cos+3的最小值是　　　　.  解析:f(x)=sin 2x+cos+3 =sin 2x+cos 2x-sin 2x+3 =sin 2x+cos 2x+3=sin+3, ∵sin∈[-1,1], ∴f(x)min=2. 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 9.(10分)已知α,β均为锐角,sin α=,cos(α+β)=. (1)求cos的值; 解:∵α为锐角,sin α=, ∴cos α==, ∴cos=cos αcos+sin αsin=×+×=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)求sin β的值. 解:∵α,β均为锐角,∴α+β∈(0,π), 由cos(α+β)=, 得sin(α+β)==, ∴sin β=sin[(α+β)-α] =sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α =×-×=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10.(10分)已知函数f(x)=asin x+bcos x的图象经过点和. (1)求实数a和b的值,并判断f(x)的周期性; 解:依题意,有⇒ 故f(x)=sin x-cos x=2sin. ∴f(x)的最小正周期为2π. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)当x为何值时,f(x)取得最大值? 解:由(1)知f(x)=2sin. 因此,当x-=2kπ+(k∈Z), 即x=2kπ+(k∈Z)时,f(x)取得最大值2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 B级——重点培优 11.函数f(x)=sin+cos的最小正周期和最大值分别是(　　) A.3π和 B.3π和2 C.6π和 D.6π和2 解析:因为f(x)=sin +cos =sin,所以最小正周期T==6π. 因为≤1,所以f(x)max=.故选C. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 12.设α∈,β∈,且tan α=,则(　　) A.3α-β= B.3α+β= C.2α-β= D.2α+β= √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:∵tan α==, ∴sin αcos β=cos α+cos αsin β, ∴sin(α-β)=cos α=sin, 又α-β∈,-α∈. ∴α-β=-α,即2α-β=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13.若点P(cos θ,sin θ)与点Q关于y轴对称,写出一个符合题意的θ=　　 　　　.  解析:因为点P(cos θ,sin θ)与点Q关于y轴对称, 所以 由cos=-cos θ,可得cos θcos-sin θsin=-cos θ,则cos θ=sin θ, 所以tan θ=.由sin=sin θ, (答案不唯一) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 可得sin θcos +cos θsin =sin θ, 则cos θ=sin θ,所以tan θ=. 因此θ=+kπ,k∈Z,取θ=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14.(10分)已知锐角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,终边过点P(3,4). (1)求sin的值; 解:因为角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,它的终边过点P(3,4), 所以sin α=,cos α=, 所以sin=sincos α+cossin α =×=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)若锐角β满足cos(α+β)=-,求sin β的值. 解:因为α,β均为锐角,所以α+β∈(0,π), 因为cos(α+β)=-<0, 所以α+β∈,所以sin(α+β)=. 所以sin β=sin[(α+β)-α]=sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α=×+×=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.(12分)已知<α<,0<β<,cos=-,sin=. (1)求sin(α+β)的值; 解:∵<α<,<+α<π, ∴sin==. ∵0<β<,<+β<π, ∴cos=-=-, 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 ∴sin(α+β)=-sin(π+α+β) =-sin =- =-=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)求cos(α-β)的值. 解:由(1)可知,sin=,cos=-, ∴sin =sincos-cossin =×-×=-. 又sin=sin =-cos(α-β),从而cos(α-β)=. $$