10.1.1 两角和与差的余弦（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学必修第二册（苏教版2019）

第10章 三角恒等变换 10.1.1 两角和与差的余弦 (教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学) 课时目标 1.经历推导两角差的余弦公式的过程,知道两角差的余弦公式的意义. 2.能从两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式,了解它们的内在联系. 3.掌握两角和与差的余弦公式的正用、逆用、变形用,并能进行求值、计算. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时跟踪检测 课前预知教材·自主落实基础 　　两角和与差的余弦公式 名称 简记符号 公式 使用条件 两角差 的余弦 公式 C(α-β) cos(α-β)=___________________ α,β∈R 两角和 的余弦 公式 C(α+β) cos(α+β)=___________________ α,β∈R cos αcos β+sin αsin β cos αcos β-sin αsin β |微|点|助|解| 　　两角和与差的余弦公式的结构特征 (1)公式中的α,β都是任意角,既可以是一个角,也可以是几个角的组合. 如cos中的,分别相当于公式中的角α,β. (2)cos(α-β)=cos α-cos β一般不成立,但在特殊情况下也可能成立. 例如:当α=0°,β=60°时,cos(0°-60°)=cos 0°-cos 60°. (3)要掌握公式的逆用,如cos(α+β)cos β+sin(α+β)sin β=cos[(α+β)-β]=cos α. 基础落实训练 1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)存在角α,β,使cos(α-β)=cos α+cos β. (　 ) (2)对于任意角α,β,总有cos(α-β)=cos α-cos β. (　 ) (3)对于任意角α,β,总有cos(α-β)=cos αcos β-sin αsin β. (　 ) (4)存在角α,β,使cos(α+β)=cos αcos β+sin αsin β. (　 ) √ × × √ 2.cos 72°cos 12°+sin 72°sin 12°= (　 ) A.- B. C.- D. 解析:cos 72°cos 12°+sin 72°sin 12°=cos(72°-12°)=cos 60°=. √ 3.不满足sin αsin β=-cos αcos β的一组α,β值的是(　　) A.α=,β= B.α=,β= C.α=,β= D.α=,β= 解析:因为sin αsin β=-cos αcos β,所以cos(α-β)=.对于A,cos(α-β)= cos =,符合题意; 对于B,cos(α-β)=cos =,符合题意; 对于C,cos(α-β)=cos =cos=×-×=,不符合题意; 对于D,cos(α-β)=cos(-)=,符合题意. √ 4.化简cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=　　　　.  解析:cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=cos [(α+β)-α]=cos β. cos β 课堂题点研究·迁移应用融通 题型(一)　给角求值 [例1]　求下列各式的值: (1)cos 63°sin 57°+sin 117°sin 33°; 解:原式=cos 63°cos 33°+sin 63°sin 33°=cos(63°-33°)= cos 30°=. (2)sin 245°sin 125°+sin 155°sin 35°; 解:原式=sin(270°-25°)sin(90°+35°)+sin(180°-25°)sin 35°= -cos 25°cos 35°+sin 25°sin 35° =-cos(25°+35°)=-cos 60°=-. (3)cos 15°+sin 15°. 解:原式=cos 60°cos 15°+sin 60°sin 15°=cos(60°-15°)=cos 45° =. |思|维|建|模| 解决给角求值问题的策略 (1)对于非特殊角的三角函数式求值问题,一定要本着先整体后局部的基本原则,如果整体符合三角公式的形式,则整体变形,否则进行各局部的变形. (2)一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式,化为正负相消的项并消项求值,化分子、分母形式进行约分. 针对训练 1.若a=(cos 100°,sin 100°),b=(cos 10°,sin 10°),则a·b= (　 ) A.cos 110°　　　　　　　 B.sin 110° C.1 D.0 解析:a·b=cos 100°cos 10°+sin 100°sin 10°=cos(100°-10°)= cos 90°=0. √ 2.(1)cos 105°=　 　　　;  解析:原式=cos(60°+45°)=cos 60°cos 45°-sin 60°sin 45°= ×-×=. (2)coscos+cossin=　　　　. 解析:原式=coscos+sin sin =cos=cos=. 题型(二)　给值(式)求值 [例2]　已知α,β为锐角,且cos α=,cos(α+β)=-,求cos β的值. 解:∵0<α<,0<β<,∴0<α+β<π. 由cos(α+β)=-, 得sin(α+β)= ==. 又∵cos α=,∴sin α=. ∴cos β=cos[(α+β)-α] =cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α =×+×=. |思|维|建|模| 给值求值的解题策略 (1)已知某些角的三角函数值,求另外一些角的三角函数值,要注意观察已知角与所求表达式中角的关系,即拆角与凑角. (2)由于和、差角与单角是相对的,因此在解题过程中要根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换.常见角的变换:①α=(α-β)+β;②α=+;③2α=(α+β)+(α-β);④2β=(α+β)-(α-β). 针对训练 3.(2024·新课标Ⅰ卷)已知cos(α+β)=m,tan αtan β=2,则cos(α-β)= (　 ) A.-3m B.- C. D.3m 解析:法一　因为cos(α+β)=m,所以cos αcos β-sin αsin β=m,而tan α tan β=2,所以sin αsin β=2cos αcos β,故cos αcos β-2cos αcos β=m,即cos αcos β=-m,从而sin αsin β=-2m, 故cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=-3m,故选A. √ 法二　设cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=t, 因为cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=m, 所以==-3=,故t=-3m. 4.已知cos(2α-β)=-,sin(α-2β)=,且<α<,0<β<,求cos(α+β)的值. 解:因为<α<,0<β<, 所以<2α-β<π,-<α-2β<. 因为cos(2α-β)=-, 所以sin(2α-β)=. 因为sin(α-2β)=,所以cos(α-2β)=. 所以cos(α+β)=cos[(2α-β)-(α-2β)] =cos(2α-β)cos(α-2β)+sin(2α-β)sin(α-2β)=-×+×=0. 题型(三)　给值求角 [例3]　已知cos α=,cos(α-β)=,且0<β<α<,求β的值. 解:由cos α=,0<α<, 得sin α===. 由0<β<α<,得0<α-β<. 又∵cos(α-β)=, ∴sin(α-β)===. 由β=α-(α-β), 得cos β=cos[α-(α-β)]=cos αcos(α-β)+ sin αsin(α-β)=×+×=. ∵0<β<,∴β=. 变式拓展 　将本例中条件“cos(α-β)=,且0<β<α<”换为“cos(α+β)=-, 且α,β∈”,求β的值. 解:∵α,β∈且cos α=,cos(α+β)=-,∴α+β∈,sin α= =. ∴sin(α+β)==. 又∵β=(α+β)-α, ∴cos β=cos[(α+β)-α] =cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α =×+×=. 又∵β∈,∴β=. |思|维|建|模| 已知三角函数值求角的解题步骤 (1)界定角的范围,根据条件确定所求角的范围. (2)求所求角的某种三角函数值.为防止增解最好选取在上述范围内单调的三角函数. (3)结合三角函数值及角的范围求角. 针对训练 5.已知0<α<β<,cos 2α+cos 2β+1=2cos(α-β)+cos(α+β),则(　　) A.α+β= B.α+β= C.β-α= D.β-α= 解析:由2α=(α+β)+(α-β),2β=(α+β)-(α-β),则cos[(α+β)+(α-β)]+cos[(α+β)- (α-β)]+1=2cos(α-β)+cos(α+β),2cos(α+β)cos(α-β)-2cos(α-β)-cos(α+β)+1=0, [cos(α+β)-1][2cos(α-β)-1]=0,即cos(α+β)=1或cos(α-β)=.又0<α<β<, 所以0<α+β<π,-<α-β<0,所以cos(α+β)≠1,cos(α-β)=,则α-β=-,所以β-α=. 显然α+β>,故选D. √ 课时跟踪检测 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 A级——达标评价 1.cos 20°=(　 ) A.cos 30°cos 10°-sin 30°sin 10° B.cos 30°cos 10°+sin 30°sin 10° C.sin 30°cos 10°-sin 10°cos 30° D.cos 30°cos 10°-sin 30°cos 10° 解析:cos 20°=cos(30°-10°)=cos 30°cos 10°+sin 30°sin 10°. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 2.cos 80°cos 35°+cos 10°cos 55°的值等于 (　 ) A. B.- C. D.- 解析:cos 80°cos 35°+cos 10°cos 55° =cos 80°cos 35°+cos(90°-80°)cos(90°-35°) =cos 80°cos 35°+sin 80°sin 35°=cos(80°-35°) =cos 45°=. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 3.已知cos α=-,α∈,sin β=-,β是第四象限角,则cos(β-α)的值是(　　) A.- B. C.- D.- 解析:由条件可得sin α=,cos β=,则cos(β-α)=cos βcos α+sin βsin α= ×+×=-. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 4.(多选)若α,β为两个锐角,则 (　 ) A.cos(α+β)>cos α+cos β B.cos(α+β)<cos α+cos β C.cos(α-β)>cos αcos β D.cos(α-β)<sin αsin β √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:cos(α+β)-(cos α+cos β) =cos αcos β-sin αsin β-cos α-cos β =cos α(cos β-1)-sin αsin β-cos β. 因为α,β是锐角,所以cos β-1<0,cos α(cos β-1)<0,-sin αsin β<0,-cos β<0. 所以cos(α+β)<cos α+cos β,故A错误,B正确. 因为cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β,α,β均为锐角,所以cos αcos β>0,sin α sin β>0.所以cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β>cos αcos β,同理cos(α-β)> sin αsin β,故C正确,D错误. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 5.若cos(α-β)=,cos 2α=,其中α,β均为锐角,且α<β,则α+β=(　 ) A. B. C. D. 解析:由题意知sin(α-β)=-,sin 2α=(0<2α<π), ∴cos(α+β)=cos[2α-(α-β)]=cos 2αcos(α-β)+sin 2αsin(α-β)=×+ ×=-.∵α+β∈(0,π),∴α+β=. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 6.若α∈[0,2π],sinsin+coscos=0,则α的值是　　　　.  解析:因为α∈[0,2π],sinsin+coscos=cos α=0,所以α=或α=. 或 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 7.=　　　　.  解析:===. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8.在△ABC中,已知cos A=,sin B=,则cos C等于　　　　.  解析:在△ABC中,因为cos A=,所以sin A=.因为sin B=,所以cos B=或 cos B=-.因为在△ABC中,sin A=>sin B=,所以A>B.所以角B为锐角. 所以cos B=.又A+B+C=π,所以cos C=cos[π-(A+B)]=-cos(A+B)= -(cos Acos B-sin Asin B)=-=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 9.(10分)已知cos α-cos β=,sin α-sin β=-,求cos(α-β). 解:由cos α-cos β=两边平方,得(cos α-cos β)2=cos2α+cos2β-2cos αcos β=.① 由sin α-sin β=-两边平方,得(sin α-sin β)2=sin2α+sin2β-2sin αsin β=.② 由①+②,得2-2(cos αcos β+sin αsin β)=. ∴cos αcos β+sin αsin β=,即cos(α-β)=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10.(10分)已知函数f(x)=2sin,x∈R. (1)求f的值; 解:f=2sin=2sin =2×=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)设α,β∈,f=,f(3β+2π)=,求cos(α+β)的值. 解:因为f=, 所以2sin=, 所以sin α=,又因为f(3β+2π)=, 所以2sin=,所以cos β=, 因为α,β∈,所以cos α=,sin β=, 所以cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=×-×=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 B级——重点培优 11.(多选)已知cos(α+β)=-,cos 2α=-,其中α,β为锐角,则以下命题正确的是(　 ) A.sin 2α= B.cos=- C.cos αcos β= D.tan αtan β= √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:因为 cos(α+β)=-,cos 2α=-(α,β为锐角),所以 sin(α+β)=,sin 2α= =,故A正确. cos(α-β)=cos[2α-(α+β)]=cos 2αcos(α+β)+sin 2αsin(α+β)=×+ ×=, 故B错误. 由 cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=,cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=-, 得cos αcos β=[cos(α+β)+cos(α-β)]==,sin αsin β=[cos(α-β)-cos(α+β)]==.所以tan αtan β=3.故C正确,D错误.故选AC. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 12.已知△ABC中,sin(A+B)=,cos B=-,则sin B=　　　,cos A=　 　　　.  解析:在△ABC中,因为cos B=-<0, 所以B为钝角,则sin B=.所以A+B∈. 由sin(A+B)=,得cos(A+B)=-. 所以cos A=cos[(A+B)-B]=cos(A+B)cos B+sin(A+B)sin B=-×+ ×=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13.在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为始边,它们的终边关于x轴对称,若sin α=-,则cos(α-β)=　　　　. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:因为sin α=-,所以α的终边在第三或第四象限. 当α的终边在第三象限时,β的终边在第二象限, 且cos α=-,sin β=,cos β=-, 所以cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=. 当α的终边在第四象限时,β的终边在第一象限, 且cos α=,sin β=,cos β=, 所以cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14.(10分)在一个圆形波浪实验水池中有三个振动器,在t时刻,它们引发水面波动,振幅分别用cos t,cos和cos表示.如果其中两个振动器同时启动,则水面波动由对应振幅之和表示.现在某一时刻这三个振动器同时开始工作, 则原来平静的水面会呈现怎样的状态,试说明理由. 解:由题意得cos t+cos+cos =cos t+coscos t+sinsin t+coscos t-sinsin t=cos t-cos t-cos t=0, 即三个振动源产生的振动被相互抵消,所以原本平静的水面仍保持平静. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.(12分)已知a=(cos α,sin α),b=(cos β,sin β)(0<α<β<π). (1)求证:a+b与a-b互相垂直; 解:证明:∵a=(cos α,sin α),b=(cos β,sin β), ∴|a|2=cos2α+sin2α=1,|b|2=cos2β+sin2β=1. ∴(a+b)·(a-b)=a2-b2=|a|2-|b|2=0. ∴(a+b)⊥(a-b). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)若ka+b与a-kb的模相等(其中k为非零实数),求β-α的值. 解:∵ka+b=(kcos α,ksin α)+(cos β,sin β)=(kcos α+cos β,ksin α+sin β), ∴|ka+b|2=(kcos α+cos β)2+(ksin α+sin β)2=k2cos2α+2kcos αcos β+cos2β+ k2sin2α+2ksin αsin β+sin2β=k2+2kcos(α-β)+1. 同理可求|a-kb|2=k2-2kcos(α-β)+1. 又∵|ka+b|=|a-kb|,∴|ka+b|2=|a-kb|2. ∴2kcos(α-β)=-2kcos(α-β). ∵k≠0,∴cos(α-β)=0. ∴cos(β-α)=0. 又∵0<α<β<π,∴0<β-α<π.∴β-α=. $$