第6章 §1 第1课时构成空间几何体的基本元素 简单多面体（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学必修第二册（北师大版2019）

第六章 立体几何初步 基本立体图形 §1 构成空间几何体的基本元素　简单多面体 (基本概念课——逐点理清式教学) 第1课时 课时目标 1.了解构成空间几何体的基本元素,理解多面体的特点. 2.通过对实物模型的观察,归纳认识棱柱、棱锥、棱台的结构特征. 3.能运用棱柱、棱锥、棱台的结构特征描述生活中简单物体的结构,并进行有关计算. CONTENTS 目录 1 2 3 逐点清(一)　空间几何体的基本元素 逐点清(二)　棱柱的结构特征 逐点清(三)　棱锥、棱台的结构特征 4 逐点清(四)　多面体中的有关计算 5 课时跟踪检测 逐点清(一)　 空间几何体的基本元素 01 1.空间几何体的基本元素 空间几何体的基本几何元素是点、线(直线和曲线)、面(平面和曲面)等. 2.平面的概念与表示 (1)概念与画法 平面是空间最基本的图形,是 的.一般地,用 表示平面.当平面水平放置时,通常把平行四边形的锐角画成 ,横边长画成邻边长的 倍. 多维理解 无限延展 平行四边形 45° 两 (2)表示 平面通常用希腊字母α,β,γ等来表示,如平面α、平面β、平面γ等;也可以用表示平行四边形顶点的字母表示,如平面ABCD,还可以用表示平行四边形顶点的两个相对顶点的字母表示,如平面AC. 1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)平面的形状是平行四边形. (　 ) (2)任何一个平面图形都可以表示平面. (　 ) (3)平面ABCD的面积为100 cm2. (　 ) (4)空间图形中,后作的辅助线都是虚线. (　 ) (5)8个平面重叠起来要比5个平面重叠起来厚. (　 ) (6)平面只能用希腊字母表示,如平面α,平面β,平面γ. (　 ) 微点练明 × √ × × × × 2.(多选)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,下列说法不正确的是 (　 ) A.长方体一共有8个顶点 B.线段AA1所在的直线是长方体的一条棱 C.矩形ABCD所在的平面是长方体的一个面 D.长方体由六个平面围成 √ √ √ 3.如图为平行四边形ABCD所在平面,有下列表示方法:①平面ABCD;②平面BD;③平面AD;④平面ABC;⑤AC;⑥平面α.其中正确的有　　个.  4 逐点清(二)　棱柱的结构特征 02 1.多面体 多维理解 多面体 由______________围成的几何体 面 围成多面体的________ 棱 两个_____的面的公共边 顶点 ____与____的公共点 平面多边形 多边形 相邻 棱 棱 2.棱柱的定义与表示 名称 棱柱 定义 有两个面是边数相同的多边形,且它们所在平面____,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都相互平行,由这些面围成的几何体称为棱柱 图形 表示 及相关 名称 棱柱ABCDE-A'B'C'D'E'(或棱柱AC') 平行 3.棱柱的性质 (1)侧棱都 ; (2)两个底面与平行于底面的截面都是 的多边形; (3)过不相邻两条侧棱的截面都是平行四边形. 相等 全等 4.棱柱的分类 (1)按底面多边形:三棱柱、四棱柱、五棱柱…… (2)按侧棱与底面是否垂直: 侧面平行四边形都是 的棱柱称为直棱柱,其他的棱柱称为斜棱柱,底面是 称为正棱柱. 底面是平行四边形的棱柱称为 . 矩形 正多边形的直棱柱 平行六面体 1.下列说法正确的是 (　 ) A.棱柱的侧面可以是三角形 B.四棱柱的底面一定是平行四边形 C.一个棱柱至少有六个顶点、九条棱、五个面 D.棱柱的各条棱都相等 √ 微点练明 解析:棱柱的侧面是平行四边形,不可能是三角形,所以A不正确;四棱柱的底面是四边形,不一定是平行四边形,所以B不正确;棱柱的侧棱与底面边长不一定相等,所以D不正确;易知C正确. 2.下列说法正确的是 (　 ) A.有两个面平行,其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 B.有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱 C.棱柱的侧棱总与底面垂直 D.九棱柱有9条侧棱,9个侧面,侧面均为平行四边形 解析:选项A、B都不正确,反例如图所示;C不正确, 棱柱的侧棱可能与底面垂直,也可能不垂直.根据棱 柱的定义知D正确. √ 3.如图所示的直八棱柱,它的底面边长都是5厘米, 侧棱长都是6厘米,回答下列问题: (1)这个八棱柱一共有多少面?它们的形状分别是 什么图形?哪些面的形状、面积完全相同? 解:这个八棱柱一共有10个面,其中上、下两个底面,8个侧面;上、下底面是正八边形,侧面都是长方形;上、下底面的形状、面积完全相同,8个侧面的形状、面积完全相同. (2)这个八棱柱一共有多少条棱?它们的长度分别是多少? 解:这个八棱柱一共有24条棱,其中侧棱的长度都是6厘米,其他棱长是5厘米. (3)沿一条侧棱将其侧面全部展开成一个平面图形,这个图形是什么形状?面积是多少? 解:将其侧面沿一条棱展开,展开图是一个长方形,长为5×8=40(厘米),宽为6厘米,所以面积是40×6=240(平方厘米). 逐点清(三)　 棱锥、棱台的结构特征 03 1.棱锥、棱台的定义与表示 多维理解 名称 棱锥 棱台 定义 有一个面是_______,其余各面都是有_____公共顶点的三角形,由这些面所围成的几何体称为棱锥 用一个_____于底面的平面去截棱锥,截面与底面之间的部分称为棱台 图形表示 及相关名称 棱锥S-ABCD (或棱锥S-AC) 棱台ABC-A'B'C' 多边形 一个 平行 2.棱锥、棱台的分类及特殊几何体 (1)分类(按底面多边形) 棱锥　棱台 (2)特殊几何体 ①正棱锥:底面是 ,顶点在过底面中心且与底面垂直的直线上. ②正棱台:由 截得的棱台. 正多边形 正棱锥 1.下列说法正确的有 (　 ) ①由五个面围成的多面体只能是四棱锥; ②仅有两个面互相平行的五面体是棱台; ③两个底面平行且相似,其余各面都是梯形的多面体是棱台. A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 √ 微点练明 解析:由五个面围成的多面体还可能是三棱台、三棱柱等,故①错误.三棱柱是只有两个面平行的五面体,故②错误.如图,可知③错误. 2.一个多边形沿垂直于多边形所在平面的方向平移一段距离,且各边长度缩短为原来的,则形成的几何体为(　 ) A.棱柱 B.棱锥 C.棱台 D.长方体 解析:由题意得,平移前多边形和平移后多边形所在的平面平行,平移后的多边形与原多边形相似,且相对应的顶点的连线能相交于一点,符合棱台的结构特征,故形成的几何体为棱台,故选C. √ 3.用一个平面去截一个四棱锥,截面形状不可能是 (　 ) A.四边形 B.三角形 C.五边形 D.六边形 解析:一般情况下,截面与几何体的几个面相交就得到几条交线,截面就是几边形,而四棱锥只有5个面,所以截面形状不可能是六边形,故选D. √ 4.如图所示,在三棱台A'B'C'-ABC中,截去三棱锥A'-ABC,则剩余部分是 (　 ) A.三棱锥 B.四棱锥 C.三棱柱 D.三棱台 解析:由题图知剩余的部分是四棱锥A'-BCC'B'. √ 逐点清(四)　多面体中的有关计算 04 [典例]　(1)一个正三棱锥的底面边长为3,高为,则它的侧棱长为(　 ) A.2 B.2 C.3 D.4 解析:如图所示,正三棱锥S-ABC中,点O为△ABC的中心, SO为正三棱锥的高,则SO=,AB=3,易知OA=, 故在Rt△SOA中,SA===3, 即侧棱长为3. √ (2)一个直平行六面体的侧棱长是9,底面相邻的两边的长都是6,夹角是60°,则此直平行六面体的体对角线长是　　 　　.  解析:直平行六面体的体对角线有4条,共2对,分别相等,底面菱形的对角线长分别是6和6,由勾股定理可得此直平行六面体的体对角线长是=3,=3. 3和3 |思|维|建|模| 1.正棱锥中直角三角形的应用 已知正棱锥如图(以正四棱锥为例),其高为PO,底面为正方形, 作PE⊥CD于点E,则PE为斜高. (1)斜高、侧棱为直角三角形两条边,如图中Rt△PEC; (2)斜高、高为直角三角形两条边,如图中Rt△POE; (3)侧棱、高为直角三角形两条边,如图中Rt△POC. 2.正棱台中直角梯形的应用 已知正棱台如图(以正四棱台为例),O1,O分别为上底面与下底面中心,作O1E1⊥B1C1于点E1,OE⊥BC于点E,则E1E为斜高. (1)斜高、侧棱为直角梯形两条边,如图中梯形E1ECC1; (2)斜高、高为直角梯形两条边,如图中梯形O1E1EO; (3)高、侧棱为直角梯形两条边,如图中梯形O1OCC1. 1.如图所示,长方体的长、宽、高分别为5 cm,4 cm,3 cm.一只蚂蚁从A点到C1点沿着表面爬行的最短路程是多少? 针对训练 针对训练 解:依题意,长方体ABCD-A1B1C1D1的表面可有如图所示的三种展开图. 展开后,A,C1两点间的距离分别=(cm), =4(cm),=3(cm), 三者比较得 cm为蚂蚁从A点沿表面爬行到C1点的最短路程. 2.如图,已知四棱台ABCD-A1B1C1D1的上底面、 下底面分别是边长为4,8的正方形,各侧棱长均 相等,且侧棱长为,求这个四棱台的高. 解:由题意可知该四棱台为正四棱台,连接AC,A1C1,过A1作A1E⊥AC于点E(图略),易知AC=8,A1C1=4.在△A1EA中,A1A=,AE==2,所以A1E===3,即这个四棱台的高为3. 课时跟踪检测 05 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 1.下面的几何体中是棱柱的有 (　 ) A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 √ 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 解析:棱柱有三个特征:(1)有两个面相互平行;(2)其余各面是四边形;(3)侧棱相互平行.本题所给几何体中⑥⑦不符合棱柱的三个特征,而①②③④⑤符合,故选C. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 2.某几何体有6个顶点,则该几何体不可能是 (　 ) A.五棱锥 B.三棱柱 C.三棱台 D.四棱台 解析:四棱台有8个顶点,不符合题意.其他都是6个顶点. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 3.用长度为1的木棒摆放4个边长为1的正三角形,至少需要木棒的根数为 (　 ) A.6 B.9 C.10 D.12 解析:当摆放为正四面体时,所需木棒的根数最少,且满足由4个正三角形构成,此时需要木棒的根数为6. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 4.(多选)下列结论正确的是 (　 ) A.正四面体一定是正三棱锥 B.正四棱柱一定是长方体 C.棱柱的侧面一定是平行四边形 D.棱柱的两个互相平行的平面一定是棱柱的底面 √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析:正三棱锥是底面为正三角形,各侧棱长均相等的几何体,正四面体四个面均为正三角形且所有棱长均相等,所以A正确;正四棱柱为底面为正方形的直棱柱,所以正四棱柱即为长方体,所以B正确;棱柱上、下底面互相平行且全等,且各侧棱互相平行,所以棱柱的侧面均为平行四边形,所以C正确;正四棱柱的侧面两两平行,所以D错误.故选A、B、C. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 5.如图所示,不是正四面体(各棱长都相等的三棱锥)的展开图的是 (　 ) A.①③ B.②④ C.③④ D.①② √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析:可选择阴影三角形作为底面进行折叠,发现①②可折成正四面体,③④不论选哪一个三角形作底面折叠都不能折成正四面体.故选C. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 6.《九章算术》中,称底面为矩形且有一侧棱垂直于 底面的四棱锥为阳马.设AA1是正六棱柱的一条侧棱, 如图.若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点,以AA1为底 面矩形的一边,则这样的阳马的个数是 (　 ) A.4 B.8 C.12 D.16 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析:设正六棱柱为ABCDEF-A1B1C1D1E1F1,以侧面AA1B1B,AA1F1F 为底面矩形的阳马有E-AA1B1B,E1-AA1B1B,D-AA1B1B,D1-AA1B1B, C-AA1F1F,C1-AA1F1F,D-AA1F1F,D1-AA1F1F,共8个,以对角面AA1C1C, AA1E1E为底面矩形的阳马有F-AA1C1C,F1-AA1C1C,D-AA1C1C,D1-AA1C1C, B-AA1E1E,B1-AA1E1E,D-AA1E1E,D1-AA1E1E,共8个,所以共有8+8=16(个). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 7.下列说法正确的是 (　 ) A.三棱锥的四个面不可能都是直角三角形 B.棱柱被平面分成的两部分可以都是棱锥 C.用一个平面去截棱锥,底面和截面之间的部分组成的几何体是棱台 D.棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析:对于A,如图1,三棱锥P-ABC的四个面都是直角三角形,故A错误;对于B,棱柱被平面分成的两部分可以都是棱锥.如:三棱柱ABC-A1B1C1被平面A1BC分为两个棱锥,如图2所示,故B正确; 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 对于C,用一个平行于底面的平面去截棱锥,底面和截面之间的部分组成的几何体才是棱台,故C错误;对于D,棱锥被平面分成的两部分可以都是棱锥.如:四棱锥S-ABCD被平面SAC分成两个三棱锥,如图3所示, 故D错误.故选B. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 8.如图,能推断这个几何体为三棱台的是 (　 ) A.A1B1=2,AB=3,B1C1=3,BC=4 B.A1B1=1,AB=2,B1C1=1.5,BC=3,A1C1=2,AC=3 C.A1B1=1,AB=2,B1C1=1.5,BC=3,A1C1=2,AC=4 D.AB=A1B1,BC=B1C1,CA=C1A1　 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析:根据棱台由棱锥截成,可知棱台上底面与下底面的对应边成比例,且比值不是1.对于A,≠,故A不正确;对于B,≠,故B不正确;对于C,===,故C正确;对于D,满足条件的是一个三棱柱,不是三棱台,故D不正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 9.(多选)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1被一个平面截成两个几何体,其中EF∥B1C1∥BC,则 (　 ) A.几何体ABCD-A1EFD1是一个六面体 B.几何体ABCD-A1EFD1是一个四棱台 C.几何体AA1EB-DD1FC是一个四棱柱 D.几何体BB1E-CC1F是一个三棱柱 √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析:在长方体ABCD-A1B1C1D1中,EF∥B1C1∥BC,EB1∥FC1,所以EF=B1C1.因为ABCD-A1EFD1有六个面,所以几何体ABCD-A1EFD1 是一个六面体,故A正确.因为AA1∥DD1,所以侧棱的延长线不能交于一点.故ABCD-A1EFD1不是四棱台,故B错误.因为几何体AA1EB-DD1FC的侧棱平行且相等,四边形AA1EB与四边形DD1FC是平行且全等的四边形,所以几何体AA1EB-DD1FC为四棱柱.同理几何体BB1E-CC1F是一个三棱柱,故C、D正确.故选A、C、D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 10.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别在B1B和C1C上(异于端点),则过三点A,F,E的平面被正方体截得的图形(截面)不可能是 (　 ) A.正方形 B.不是正方形的菱形 C.不是正方形的矩形 D.梯形 解析:当BE=CF时,四边形ADFE是矩形但不是正方形;当2BE=CF时, 截面是不是正方形的菱形;当BE>CF时,截面是梯形,故选A. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 11.如图所示,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=2, AA1=2,由顶点B沿棱柱侧面(经过棱AA1)到达顶 点C1,与AA1的交点记为M,则从点B经点M到C1的 最短路线长为 (　 ) A.2 B.2 C.4 D.4 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析:如图,沿侧棱BB1将正三棱柱的侧面展开,由侧面展开图可知, 当B,M,C1三点共线时,从点B经点M到C1的路线最短.所以最短路线 长为BC1==2.故选B. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 12.一个棱锥至少有　　　个面,顶点最少的一个棱台有　　　条侧棱.  解析:面最少的棱锥是三棱锥,它有4个面;顶点最少的棱台是三棱台,它有3条侧棱. 4 3 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 13.长、宽、高分别为3,4,5的两个相同的长方体,把它们某两个全等的面重合在一起,组成大长方体,则大长方体体对角线最长为　　　　.  解析:当大长方体的长、宽、高分别为3,4,10时,体对角线为 ==5.当大长方体的长、宽、高分别为3,5,8时,体对角线为==7.当大长方体的长、宽、高分别为6,4,5时,体对角线为=.因为>>,所以大长方体体对角线最长为5. 5 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 14.已知正四棱锥V-ABCD中,底面ABCD的面积为16,一条侧棱的长为2,则该棱锥的高为　　　　　.  解析:如图,取正方形ABCD的中心O,连接VO,AO. 则VO就是正四棱锥V-ABCD的高. ∵底面ABCD的面积为16,∴AO=2. 又一条侧棱长为2,∴VO== =6.∴正四棱锥V-ABCD的高为6. 6 $$