第4章 2.2 两角和与差的正弦、正切公式及其应用（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学必修第二册（北师大版2019）

2.2 两角和与差的正弦、正切 公式及其应用 (深化学习课——梯度进阶式教学) 课时目标 1.能从两角和与差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、正切公式. 2.能够运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式解决求值、化简等 问题. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时跟踪检测 课前预知教材·自主落实基础 1.两角和与差的正弦公式 名称 简记符号 公式 两角和的正弦 Sα+β sin(α+β)=____________________ 两角差的正弦 Sα-β sin(α-β)=____________________ sin αcos β+cos αsin β sin αcos β-cos αsin β |微|点|助|解| 1.两角和与差的正弦公式的结构特征 (1)公式中的角α,β都是任意角. (2)一般情况下,两角和与差的正弦不能按分配律展开,即sin(α±β)≠ sin α±sin β. 2.注意公式的逆向运用和变形运用 (1)公式的逆用:如sin(α+β)cos β-cos(α+β)sin β=sin[(α+β)-β]=sin α. (2)公式的变形运用:变形运用涉及两个方面,一个是公式本身的变形运用,如sin(α-β)+cos αsin β=sin αcos β;一个是角的变形运用,也称为角的拆分变换,如α=(α+β)-β,2α=(α+β)+(α-β)等,这些在某种意义上来说是一种整体思想的体现. 2.两角和与差的正切公式 名称 简记 符号 公式 使用条件 两角和 的正切 Tα+β tan(α+β)= ____________ α,β,α+β≠kπ+(k∈Z)且 tan αtan β≠1 两角差 的正切 Tα-β tan(α-β)= ____________ α,β,α-β≠kπ+(k∈Z)且 tan αtan β≠-1 |微|点|助|解| 公式Tα±β的结构特征和符号规律 (1)使用条件:在两角和与差的正切公式中,角α,β,α+β,α-β均不等于kπ+(k∈Z),这是由正切函数的定义域决定的. (2)结构特征:公式Tα±β的右侧为分式形式,其中分子为tan α与tan β的和或差,分母为1与tan αtan β的差或和. (3)符号规律:分子同,分母反. 3.常用结论 (1)变形公式 tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β); tan α-tan β=tan(α-β)(1+tan αtan β); tan αtan β=1-. (2)公式的特例 tan=;tan=. 1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)两角和与差的正弦公式中,角α,β是任意的. (　 ) (2)sin(α+β)=sin α+sin β一定不成立. (　 ) (3)sin 54°cos 24°-sin 36°cos 66°=. (　 ) 基础落实训练 √ × √ 2.若tan α=3,tan β=,则tan(α-β)=(　 ) A. B.- C.3 D.-3 解析:原式===. √ 3.sin(30°+45°)=　　 　　.  解析:sin(30°+45°)=sin 30°cos 45°+cos 30°sin 45° =×+×=. 课堂题点研究·迁移应用融通 题型(一)　给角求值 [例1]　求下列各式的值: (1)cos 105°+sin 195°; 解: cos 105°+sin 195°=cos(90°+15°)+sin(180°+15°) =-sin 15°-sin 15°=-2sin 15°=-2sin(45°-30°) =-2(sin 45°cos 30°-cos 45°sin 30°)=-2=. (2)sin 14°cos 16°+sin 76°cos 74°; 解:sin 14°cos 16°+sin 76°cos 74° =sin 14°cos 16°+sin(90°-14°)cos(90°-16°) =sin 14°cos 16°+cos 14°sin 16° =sin(14°+16°)=sin 30°=. (3)sin-cos; 解:法一:sin-cos=2 =2=-2cos=-2cos=-2×=-. 法二:sin-cos=2 =2=-2sin=-2sin=-2×=-. (4); 解:原式==tan(60°+15°)=tan 75°=tan(30°+45°) ===2+. (5)tan 15°+tan 30°+tan 15°tan 30°. 解:∵tan 45°==1,∴tan 15°+tan 30°=1-tan 15°tan 30°. ∴原式=(1-tan 15°tan 30°)+tan 15°tan 30°=1. |思|维|建|模| 1.解决给角求值问题的策略 (1)注意分析式子的结构特点,合理选择正、余弦的和差角公式. (2)注意公式逆用过程中诱导公式的应用. (3)注意非特殊角与特殊角间的联系及将特殊值转化为特殊角三角函数. (4)注意对角的变形,即合理拆角或凑角. 2.公式的逆用和特殊角三角函数的逆用 当式子中出现,1,,这些特殊角的三角函数值时,往往就是“由值变角”的一种提示,可以根据问题的需要,将常数用三角函数式表示出来,以构成适合公式的形式,从而达到化简的目的. 针对训练 1.求下列各式的值: (1)sin 795°; 解: sin 795°=sin(2×360°+75°)=sin 75°=sin(45°+30°)= sin 45°cos 30°+cos 45°sin 30°=×+×=. (2); 解:∵tan 15°=tan(45°-30°)===2-, ∴====-. (3)tan 10°+tan 50°+tan 10°tan 50°. 解:tan 10°+tan 50°+tan 10°tan 50° =tan(10°+50°)(1-tan 10°tan 50°)+tan 10°tan 50° =-tan 10°tan 50°+tan 10°tan 50°=. 题型(二)　条件求值 [例2]　(1)(2024·全国甲卷)已知=,则tan=(　 ) A.2+1 B.2-1 C. D.1- 解析:根据题意有=,即1-tan α=,所以tan α=1-, 所以tan===2-1,故选B. √ (2)已知α∈,β∈,且cos(α-β)=,sin β=-,求α. 解析:∵α∈,β∈,∴α-β∈(0,π).∵cos(α-β)=, ∴sin(α-β)=.∵β∈,sin β=-,∴cos β=. ∴sin α=sin[(α-β)+β]=sin(α-β)cos β+cos(α-β)sin β =×+×=.又∵α∈,∴α=. |思|维|建|模| 条件求值、角问题的求解思路 (1)根据已知角与未知角之间的联系,运用拆角和凑角技巧、诱导公式、同角三角函数的基本关系式、两角和与差的三角函数公式进行变形,化未知为已知,从而达到求解的目的. (2)当角之间符合规律+=+(α+β),+= +(α-β)时,要配合使用诱导公式. (3)在给值求值、角的问题中要注意隐含条件,尤其是角的取值范围. (4)可以通过对条件等式的运算,得到cos αcos β,sin αsin β,sin αcos β, cos αsin β,tan α±tan β,tan αtan β 这些结构的值,把它们看作整体,直接代入公式求解. 针对训练 2.已知<β<α<,cos(α-β)=,sin(α+β)=-,则sin 2α=　　　　.  解析:∵<β<α<,∴0<α-β<.又cos(α-β)=,∴sin(α-β)=. ∵sin(α+β)=-,π<α+β<,∴cos(α+β)=-. ∴sin 2α=sin[(α+β)+(α-β)]=sin(α+β)cos(α-β)+cos(α+β)sin(α-β)= -×-×=-. - 3.已知A,B都是锐角,且tan A=,sin B=,则A+B=　　　　.  解析:∵B为锐角,sin B=,∴cos B=.∴tan B=. ∴tan(A+B)===1.∵0<A+B<π,∴A+B=. 题型(三)　和(差)角公式的综合应用 [例3]　化简或求值: (1)sin(θ+75°)+cos(θ+45°)-cos(θ+15°); 解:设α=θ+15°, 则原式=sin(α+60°)+cos(α+30°)-cos α =+-cos α=0. (2). 解:原式== =-=-tan(α-β). |思|维|建|模| 化简三角函数式的要求、方法 (1)标准和要求: ①能求出值的应求出值; ②使三角函数式的种数、项数及角的种类尽可能少; ③使三角函数式的次数尽可能低; ④使分母中尽量不含三角函数式和根式. (2)常用方法: ①切化弦;②异名化同名;③异角化同角;④高次降低次. 针对训练 4.已知在锐角三角形ABC中,sin(A+B)=,sin(A-B)=. (1)求证:tan A=2tan B; 解:证明:sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B=,　① sin(A-B)=sin Acos B-cos Asin B=.　② ①+②得sin Acos B=,①-②得cos Asin B=. ∴=2.∴=2,即tan A=2tan B. (2)求tan A的值. 解:∵A+B+C=π,∴sin C=sin[π-(A+B)]=sin(A+B)=. ∵△ABC是锐角三角形,∴cos C=.∴tan C=. 又tan(A+B)=-tan C=-,∴==-, 解得tan B=或tan B=(舍去).∴tan A=2+. 课时跟踪检测 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 A级——达标评价 1.sin 50°sin 80°-cos 130°sin 10°=(　 ) A.- C.- 解析:原式=sin 50°cos 10°+cos 50°sin 10°=sin(50°+10°)= sin 60°=.故选B. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 2.已知tan α+tan β=2,tan(α+β)=4,则tan αtan β= (　 ) A.2 B.1 C. D.4 解析:因为tan(α+β)==4,所以1-tan αtan β=,即tan αtan β=. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 3.在△ABC中,A=,cos B=,则sin C=(　 ) A. B.- C. D.- 解析:sin C=sin[π-(A+B)]=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B= (cos B+)=×=. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 4.(多选)在△ABC中,C=120°,tan A+tan B=,下列各式正确的是(　 ) A.A+B=2C B.tan(A+B)=- C.tan A=tan B D.cos B=sin A 解析:∵C=120°,∴A+B=60°.∴2(A+B)=C,A错误.tan(A+B)=tan 60°=, B错误.∵tan A+tan B=(1-tan Atan B)=,∴tan Atan B=　①. 又tan A+tan B=　②,联立①②,解得tan A=tan B=.又A+B=60°, ∴cos B=sin A,C、D正确.故选C、D. √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 5.如图,正方形ABCD的边长为1,延长BA至E,使AE=1,连接EC,ED,则sin∠CED= (　 ) A. C. 解析:由题意知sin∠BEC=,cos∠BEC=,又∠CED=-∠BEC,所以sin∠CED=sincos∠BEC-cossin∠BEC=×-×=. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 6.已知sin α+cos β=1,cos α+sin β=0,则sin(α+β)=　　　　.  解析:∵sin α+cos β=1,　① cos α+sin β=0,　② ∴①2+②2,得1+2(sin αcos β+cos αsin β)+1=1. ∴sin αcos β+cos αsin β=-. ∴sin(α+β)=-. - 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 7.我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长l与太阳天顶距θ(0°≤θ≤80°)的对应数表,这是世界数学史上较早的一张正切函数表,根据三角学知识可知,晷影长度l等于表高h与太阳天顶距θ正切值的乘积,即l=h·tan θ.若对同一“表高”两次测量,“晷影长”分别是“表高”的2倍和3倍(所成角记θ1,θ2),则tan(θ1+θ2)=　　　　.  解析:由题意l=h·tan θ,“晷影长”分别是“表高”的2倍和3倍时,tan θ1=2, tan θ2=3,所以tan(θ1+θ2)===-1. -1 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8.已知sin(α-β)cos α-cos(β-α)sin α=,β是第三象限角, 则sin=　　　　.  解析:依题意可将已知条件变形为sin[(α-β)-α]=-sin β=,sin β=-. 所以sin=sin βcos+cos βsin =×+×=+=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 9.(8分)已知锐角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,终边过点P(3,4). (1)求sin的值; 解:因为角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,它的终边过点P(3,4),所以sin α=,cos α=.所以sin=sincos α+cossin α =×=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)若锐角β满足cos(α+β)=-,求sin β的值. 解:因为α,β均为锐角,所以α+β∈(0,π). 因为cos(α+β)=-<0,所以α+β∈.所以sin(α+β)=. 所以sin β=sin[(α+β)-α]=sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α=×+×=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10.(10分)已知tan=,tan=2,求: (1)tan的值; 解:tan=tan ===-. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)tan(α+β)的值. 解: tan(α+β)=tan===2-3. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 B级——重点培优 11.图1是第七届国际数学教育大会(ICME-7)的会徽图案,它是由一串直角三角形演化而成的(如图2),其中OA1=A1A2=A2A3=…=A7A8=1,则sin∠A6OA8=(　 ) A. C. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:∵OA1=A1A2=1,且△OA1A2是直角三角形, ∴OA2=,同理得OA6=,OA7=,OA8=. ∴sin∠A6OA7=,cos∠A6OA7=,sin∠A7OA8=,cos∠A7OA8=. ∴sin∠A6OA8=sin =×+×=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 12.已知向量a=,b=(4,4cos α-),若a⊥b,则sin=　　　　.  解析:因为a⊥b,所以a·b =4sin+4cos α-=0, 即2sin α+6cos α-=4sin-=0,则sin=. 所以sin=sin=-sin=-. - 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13.已知cos α=,sin(α+β)=,0<α<,0<β<,则角β的值为　　　　.  解析:因为0<α<,cos α=,所以sin α=.又因为0<β<, 所以0<α+β<π.因为sin(α+β)=<sin α,所以cos(α+β)=-. 所以sin β=sin[(α+β)-α]=sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α=× -×=.又因为0<β<,所以β=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14.(10分)已知tan=2. (1)求tan α的值; 解:∵tan=2,∴==2,解得tan α=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)求的值. 解: = == ==-. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.(14分)已知0<α<,sin=. (1)求cos α的值; 解:∵0<α<,∴<α+<,∴cos>0, ∴cos==, cos α=cos=coscos+sinsin=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)若-<β<0,cos(α-β)=,求cos β的值. 解:∵0<α<,-<β<0,∴0<α-β<,又cos(α-β)=,∴0<α-β<, ∴sin(α-β)>0,sin(α-β)==,结合(1)中数据知, sin α=sin=sincos-cossin ==,∴cos β=cos[α-(α-β)]=cos αcos(α-β)+ sin α·sin(α-β)=. $$