第2章 6.1 第3课时用余弦定理、正弦定理解三角形（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学必修第二册（北师大版2019）

用余弦定理、正弦定理解三角形 (拓展融通课——习题讲评式教学) 第3课时 CONTENTS 目录 1 2 3 题型(一)　测量距离问题 题型(二)　测量高度问题 题型(三)　测量角度问题 4 课时跟踪检测 题型(一)　测量距离问题 01 [例1]　如图是隋唐天坛,古叫圜丘,它位于唐长安城明 德门遗址东约950米,即今西安市雁塔区陕西师范大学 以南.天坛初建于隋而废弃于唐末,比北京明清天坛早 1 000多年,是隋唐王朝近三百年里的皇家祭天之处.某数学兴趣小组为了测得天坛的直径,在天坛外围测得AB=60米,BC=60米,CD=40米,∠ABC=60°, ∠BCD=120°,据此可以估计天坛的最下面一层的直径AD大约为(结果精确到1米)(参考数据:≈1.414,≈1.732,≈2.236,≈2.646)(　 ) A.39米 B.43米 C.49米 D.53米 √ 解析:在△ACB中,AB=60,BC=60,∠ABC=60°,所以AC=60.在△CDA中, AD2=AC2+CD2-2AC·CD·cos 60°=602+402-2×60×40×=2 800, 所以AD=20≈53(米). |思|维|建|模| 距离问题的类型及解法 (1)类型:两点间既不可达也不可视,两点间可视但不可达,两点都不可达. (2)解法:选择合适的辅助测量点,构造三角形,将问题转化为求某个三角形的边长问题,从而利用正、余弦定理求解. 1.A,B两地之间隔着一个山岗,如图,现选择另一点C,测得CA=7 km, CB=5 km,C=60°,则A,B两点之间的距离为　　　　km.   解析:由余弦定理,得AB2=CA2+CB2-2CA·CB·cos C=72+52-2× 7×5×=39.所以AB=. 针对训练 2.如图,从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为67°,30°,此时气球的高是46 m,则河流的宽度BC约等于　　　　m. (用四舍五入法将结果精确到个位.参考数据:sin 67° ≈ 0.92, cos 67°≈0.39,sin 37°≈0.60,cos 37°≈0.80, ≈ 1.73)  60 解析:过点A作AD垂直于CB的延长线,垂足为D(图略),则在Rt△ADB中,∠ABD=67°,AD=46,则AB=.在△ABC中,根据正弦定理得BC==46× ≈60(m). 题型(二)　测量高度问题 02 [例2]　某气象仪器研究所按以下方案测试一种 “弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度,如图, 在C处进行该仪器的弹射,观测点A,B两地相距 100 m,∠BAC=60°,在A地听到弹射声音的时间比 B地晚 s.A地测得该仪器在C处时的俯角为15°,A地测得该仪器在最高点H时的仰角为30°,求该仪器的垂直弹射高度CH.(声音在空气中的传播速度为340 m/s) 解:设AC=x m,则BC=x-×340=(x-40)m. 在△ABC中,根据余弦定理得(x-40)2=10 000+x2-100x,解得x=420. 在△ACH中,AC=420 m,∠CAH=30°+15°=45°, ∠AHC=90°-30°=60°. 由正弦定理得=, 得CH=AC·=140(m). 故该仪器的垂直弹射高度CH为140 m. |思|维|建|模| 解决测量高度问题的一般步骤 (1)画图:根据已知条件画出示意图; (2)分析三角形:分析与问题有关的三角形; (3)求解:运用正、余弦定理,有序地解相关的三角形,逐步求解. 在解题中,要综合运用几何知识与方程思想. 3.如图,在200 m高的山顶上,测得山下一塔顶与 塔底的俯角分别是30°,60°,则塔高为 (　 ) A. m B. m C. m D. m √ 针对训练 解析:设山顶为A,塔底为C,塔顶为D,过点A作CD的垂线,交CD的延长线于点B(图略),则易得AB=,BD=AB·tan 30°=·tan 30° =×=(m),所以CD=BC-BD=200-=(m). 题型(三)　测量角度问题 03 [例3]　已知岛A南偏西38°方向,距岛A 3海里的B处有 一艘缉私艇.岛A处的一艘走私船正以10海里/时的速度 向岛屿北偏西22°方向行驶,问缉私艇朝何方向以多大 速度行驶,恰好用0.5小时能截住该走私船? 解:如图,设缉私艇在C处截住走私船,D为岛A正南方向上一点,缉私艇的速度为每小时x海里,则BC=0.5x,AC=5,依题意,∠BAC=180°-38°-22° =120°,由余弦定理可得BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos 120°=49, 所以BC=0.5x=7,解得x=14.又由正弦定理得sin∠ABC===,所以∠ABC=38°. 又∠BAD=38°,所以BC∥AD.故缉私艇以每小时 14海里的速度向正北方向行驶,恰好用0.5小时截住 该走私船. |思|维|建|模| (1)测量角度与追及问题主要是指在海上、空中或陆地进行测量或计算角度,确定目标的方位,观察某一物体的视角等问题. (2)解决这类问题的关键是根据题意和图形以及相关概念,确定所求的角或距离在哪个三角形中,该三角形中已知哪些量,需要求哪些量.通常是根据题意,从实际问题中抽象出一个或几个三角形,然后通过解这些三角形,得到所求的量,从而得到实际问题的解. 4.如图,两座相距60 m的建筑物AB,CD的高度分别为20 m,50 m,BD为水平面,则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角∠CAD等于 (　 ) A.30° B.45° C.60° D.75° √ 针对训练 解析:依题意可得AD=20 m,AC=30 m,又CD=50 m, 所以在△ACD中,由余弦定理得cos∠CAD= ===, 又0°<∠CAD<180°,所以∠CAD=45°.所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°. 课时跟踪检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 A级——达标评价 1.在相距2 km的A,B两点处测量目标点C,若∠CAB=75°,∠CBA=60°,则A,C两点之间的距离为(　 ) A. km B. km C. km D.2 km 解析:如图,在△ABC中,由已知可得∠ACB=45°, ∴=.∴AC=2×=(km). √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 3 4 2.如图所示,D,C,B三点在地面同一直线上,DC=100 m, 从C,D两点测得A点仰角分别是60°,30°,则A点离地 面的高度AB等于 (　 ) A.50 m B.100 m C.50 m D.100 m 解析:因为∠DAC=∠ACB-∠D=60°-30°=30°,所以△ADC为等腰三角形.所以AC=DC=100 m.在Rt△ABC中,AB=ACsin 60°=50 m. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 3.为测量A,B两地之间的距离,甲同学选定了与A,B 不共线的C处,构成△ABC,以下是测量数据的不同 方案:①测量∠A,|AC|,|BC|;②测量∠A,∠B,|BC|; ③测量∠C,|AC|,|BC|;④测量∠A,∠B,∠C.要求甲同学选择的方案能唯一确定A,B两地之间的距离,这样的方案有 (　 ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 解析:选择方案①,由正弦定理得=,sin B=,B角可能有两解,从而|AB|不一定能唯一确定;选择方案②,∠A,∠B确定后∠C是确定的,由正弦定理可得|AB|是唯一的;选择方案③,直接由余弦定理求解,|AB|是唯一的;选择方案④,三角形只有三个角的大小,没法求得边长,不唯一.因此可选择方案有②和③两个.故选B. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 4.如图,某景区为方便游客,计划在两个山头M,N间架 设一条索道.为测量M,N间的距离,施工单位测得以下 数据:两个山头的海拔高度MC=100 m,NB=50 m, 在BC同一水平面上选一点A,测得M点的仰角为60°,N点的仰角为30°,以及∠MAN=45°,则M,N间的距离为(　 ) A.100 m B.120 m C.100 m D.200 m √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 解析:由题意,可得∠MAC=60°,∠NAB=30°,MC=100,NB=50, ∠MAN=45°,且∠MCA=∠NBA=90°,在Rt△ACM中,可得AM==200,在Rt△ABN中,可得AN==100,在△AMN中,由余弦定理得MN2=AM2+AN2-2AM·ANcos∠MAN=20 000,所以MN=100 m.故选A. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 5.甲船在岛A的正南方向B处,以每小时4 km的速度向正北方向航行,AB=10 km,同时乙船自岛A出发以每小时6 km的速度向北偏东60°的方向驶去,当甲、乙两船相距最近时,它们所航行的时间为 (　 ) A. min B. min C.21.5 min D.2.15 h √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 解析:如图,设t h后甲行驶到D处,则AD=10-4t,乙行驶到C处,则AC=6t. ∵∠BAC=120°,∴由余弦定理得DC2=AD2+AC2-2AD·AC·cos 120° =(10-4t)2+(6t)2-2×(10-4t)×6t×cos 120°=28t2-20t+100= +.当t=时,DC2最小,即DC最小, 此时它们所航行的时间为×60= min. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 6.如图,在高速公路建设中需要确定隧道的长度, 工程技术人员已测得隧道两端的两点A,B到点C 的距离AC=BC=1 km,且C=120°,则A,B两点间的 距离为　　　　 km.  解析:在△ABC中,易得A=30°,由正弦定理=, 得AB===(km). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 7.当太阳光线与水平面的倾斜角为60°时,要使一根长为2 m的竹竿的影子最长,则竹竿与地面所成的角α=　　　　.  解析:如图,设竹竿影子长为x.依据正弦定理可得=, 所以x=·sin(120°-α).因为0°<120°-α<120°, 所以要使x最大,只需120°-α=90°,即α=30°时, 影子最长. 30° 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 8.如图,小明同学在山顶A处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶,小明在A处测得公路上B,C两点的俯角分别为30°,45°,且∠BAC=135°.若山高AD=100 m,汽车从C点到B点历时14 s,则这辆汽车的速度为　　　　m/s.(精确到0.1,参考数据:≈1.414,≈2.236)  22.6 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 解析:由题意可知,AB=200 m,AC=100 m,由余弦定理可得 BC== 100≈316.2(m),这辆汽车的速度为316.2÷14≈22.6(m/s). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 9. (15分)如图,某货轮在A处看灯塔B在货轮的 北偏东75°,距离为12 n mile,货轮由A处向 正北航行到D处时,再看灯塔B在北偏东120°, 求A与D间的距离. 解:在△ABD中,∠ADB=60°,∠DAB=75°,∴B=45°. ∴AD===24(n mile).即A与D间的距离为24 n mile. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 10. (16分)如图所示,在社会实践中,小明观察一棵桃树. 他在点A处发现桃树顶端点C的仰角大小为45°,往正 前方走4 m后,在点B处发现桃树顶端点C的仰角大小为 75°. (1)求BC的长; 解:因为∠CAB=45°,∠DBC=75°,所以∠ACB=75°-45°=30°.又AB=4,由正弦定理得=,解得BC=4(m).即BC的长为4 m. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 (2)若小明身高为1.70 m,求这棵桃树顶端点C离地面的高度(精确到0.01 m,其中≈1.732). 解:在△CBD中,∠CDB=90°,BC=4, 所以DC=4sin 75°=4×=2+2. 所以CE=ED+DC=1.70+2+2≈3.70+3.464≈7.16(m). 即这棵桃树顶端点C离地面的高度约为7.16 m. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 B级——重点培优 11.山东省科技馆新馆目前成为济南科教新地标(如图1),其主体建筑采用与地形吻合的矩形设计,将数学符号“∞”完美嵌入其中,寓意无限未知、无限发展、无限可能和无限的科技创新.如图2,为了测量科技馆最高点A与其附近一建筑物楼顶B之间的距离,无人机在点C测得点A和点B的俯角分别为75°,30°,随后无人机沿水平方向飞行600米到点D,此时测得点A和点B的俯角分别为45°和60°(A,B,C,D在同一铅垂面内),则A,B两点之间的距离为　　　　米.  100 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 解析:由题意,∠DCB=30°,∠CDB=60°,所以∠CBD=90°.所以在Rt△CBD中,BD=CD=300,BC=CD=300.又∠DCA=75°,∠CDA=45°, 所以∠CAD=60°.在△ACD中,由正弦定理,得=,所以AC= ×=200.在△ABC中,∠ACB=∠ACD-∠BCD=75°-30°=45°,由余弦定理,得AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos∠ACB=(200)2+(300)2-2× 200×300×=150 000,所以AB=100. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 12.《蒙娜丽莎》是意大利文艺复兴时期画家列奥纳多·达·芬奇创作的油画,现收藏于法国卢浮宫博物馆.该油画规格为纵77 cm,横53 cm.油画挂在墙壁上时,其最低点处B离地面237 cm(如图所示).有一身高为175 cm的游客从正面观赏它(该游客头顶T到眼睛C的距离为15 cm),设该游客与墙的距离为x cm,视角为θ,为使观察视角θ最大,x应为　 　 cm.  77 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 解析:如图所示,作CD⊥AB,交AB的延长线于点D.∵TC=15 cm,∴C到地面的距离为175-15=160(cm).∴BD=237-160=77(cm),AD=AB+BD= 77+77=154(cm).由图易得,BC==(cm), AC==(cm), 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 由余弦定理得cos θ= == ×≥ ×=,当且仅当=, 即x=77时,等号成立,此时cos θ取得最小值,θ最大. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 13. (17分)如图,某广场有一块不规则的绿地,城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志,小李、小王设计的底座形状分别为△ABC,△ABD,经测量AD=BD=7 m,BC=5 m,AC=8 m,∠C=∠D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 (1)求AB的长度; 解:在△ABC中,由余弦定理, 得cos C==. 在△ABD中,由余弦定理,得cos D==. 由∠C=∠D,得cos C=cos D,所以=, 解得AB=7.所以AB长度为7 m. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 (2)若环境标志的底座每平方米造价为5 000元,不考虑其他因素,小李、小王谁的设计使建造费用较低(请说明理由)?较低造价为多少? 解:小李的设计符合要求.理由如下: 因为S△ABD=·AD·BD·sin D=sin D,S△ABC=·AC·BC· sin C=20sin C,又sin D=sin C,所以S△ABD>S△ABC, 故选择△ABC建造环境标志费用较低. 因为AD=BD=AB=7,所以△ABD是等边三角形,∠D=∠C=60°. 所以S△ABC=20sin C=10.所以总造价为5 000×10=50 000(元). $$