第2章 5.1 第1课时向量的数量积（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学必修第二册（北师大版2019）

向量的数量积 5.1 向量的数量积 (基本概念课——逐点理清式教学) 第1课时 课时目标 1.通过物理中功等实例,理解平面向量数量积的概念及其物理意义,会计算平面向量的数量积.了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义. 2.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.　 CONTENTS 目录 1 2 3 逐点清(一)　向量的数量积 逐点清(二)　投影向量与投影数量 逐点清(三)　数量积的运算性质 4 课时跟踪检测 逐点清(一)　向量的数量积 01 1.定义 已知两个非零向量a和b,作=a,=b,向量a与b的夹角∠AOB记为<a,b>或θ(0°≤θ≤180°). 称为a与b的数量积(或内积),记作a·b,即a·b=|a||b|cos<a,b>= .  2.规定 规定零向量与任一向量的数量积为 . |a||b|cos θ |a||b|cos θ 0 多维理解 3.数量积与夹角的关系 当0°≤<a,b><90°时,a·b>0;当<a,b>=90°时,a·b=0; 当90°<<a,b>≤180°时,a·b<0;当<a,b>=0°时,a·b=|a||b|; 当<a,b>=180°时,a·b=-|a||b|. |微|点|助|解| (1)向量的数量积a·b,不能表示为a×b或a b. (2)两个向量的数量积的结果是一个实数,而不是向量;向量的数乘的结果是一个向量,其长度是原向量长度的倍数. (3)两个向量的数量积所得的数值为两个向量的模与两个向量的夹角θ的余弦的乘积,由于|a|,|b|均为正数,故其符号由夹角来决定. 1.已知|a|=,|b|=2,a与b的夹角是120°,则a·b等于(　 ) A.3 B.-3 C.-3 D.3 解析:由平面向量数量积的定义可得 a·b=|a||b|cos 120°=×2×=-3. √ 微点练明 2.在等腰△ABC中,∠C=120°,AC=4,则·=(　 ) A.8 B.-12 C.16 D.-24 解析:由条件可知AC=CB=4,·=-·=-||||cos 120°= -4×4×=8. √ 3.若a与b满足|a|=|b|=1,<a,b>=60°,则a·a+a·b等于 (　 ) A. C.1+ D.2 解析:由题意得a·a+a·b=|a|2+|a||b|·cos 60°=1+=,故选B. √ 4.已知等边三角形ABC的边长为1,设=a,=b,=c,那么a·b+b·c+c·a=(　 ) A.3 B.-3 C. D.- 解析:在等边三角形ABC中,有a·b+b·c+c·a=1×1×cos 120°+ 1×1×cos 120°+1×1×cos 120°=-.故选D. √ 5.如图,已知A,B是圆C上两点,若||=4,则·=(　 ) A.2 B.4 C.6 D.8 解析:在圆C中,取AB的中点D,连接CD, 如图,则有CD⊥AB,而||=4,所以=||||cos∠CAD= ||||=||2=8.故选D. √ 逐点清(二)　 投影向量与投影数量 02 1.投影向量与投影数量 如图,已知两个非零向量a和b,作=a,=b,过点A向直线OB作垂线,垂足为A',得到向量γ=,γ称为a在b上的 . |a|cos<a,b>称为投影向量γ的数量,也称 为向量a在向量b方向上的 , 可以表示为 . 投影向量 投影数量 多维理解 2.数量积的几何意义 b的长度|b|与a在b方向上的投影数量 的乘积(如图);或a的长度|a|与b在a方向上的投影数量 的乘积.  |a|cos θ |b|cos θ |微|点|助|解| (1)a·b等于|a|与b在a方向上的投影数量的乘积,也等于|b|与a在b方向上的投影数量的乘积.其中a在b方向上的投影数量与b在a方向上的投影数量是不同的. (2)b在a方向上的投影数量为|b|·cos θ(θ是a与b的夹角),也可以成 . (3)投影数量是一个数量,其值可为正,可为负,也可为零,而投影向量是向量. (4)在确定两向量的夹角时,一定要注意“共始点”. 1.已知|a|=1,|b|=2,其中a,b的夹角为,则a在b上的投影数量为(　 ) A.1 B. C. 解析:由题意,a在b上的投影数量为|a|cos=1×=. √ 微点练明 2.已知向量e是与向量b方向相同的单位向量,且|b|=2,若a在b方向上的投影向量为2e,则a·b= (　 ) A.2 B.-2 C.4 D.-4 解析:a·b=|b|·|a|cos<a,b>=|b|·|2e|=2×2=4.故选C. √ 3.已知O为正三角形ABC的中心,则向量在向量上的投影向量为(　 ) A.- C.- 解析:取AB中点D,连接OD,因为O为正三角形ABC 的中心,所以OD⊥AB,则向量在向量上的 投影向量为=-,故选C. √ 4.已知△ABC的外接圆圆心为O,且+=2,||=||,则向量在向量上的投影向量为(　 ) A. C.- D.- √ 解析:已知+=2,故点O为BC中点.又因为点O为△ABC的外接圆圆心,所以△ABC为直角三角形,且∠BAC=90°.由于||=||,易知△ABO为等边三角形,如图,过点A作BC的垂线,垂足为D,设AB=BO=BC=m,则BD=.因此向量在向量上的投影向量为=.故选A. 5.已知|a|=2,a与b的夹角为,e是与b同向的单位向量,则a在b方向上的投影向量为　　　　.  解析:a在b方向上的投影向量为|a|cos <a,b>·e=2cos·e=-e. -e 逐点清(三)　数量积的运算性质 03 1.平面向量数量积的运算律 对任意的向量a,b,c和实数λ. (1)交换律:a·b= ; (2)与数乘的结合律:λ(a·b)= ; (3)关于加法的分配律:(a+b) ·c= . b·a (λa) ·b = a· (λb) a·c + b·c 多维理解 2.平面向量的数量积的性质 (1)若e是单位向量,则a·e=e·a= ; (2)若a,b是非零向量,则a·b=0⇔ ; (3)a·a=|a|2,即|a|= ; (4)cos<a,b>= ; (5)|a·b|≤ ,当且仅当a∥b时等号成立. |a|cos< a,e> a⊥b (|a||b|≠0) |a||b| |微|点|助|解| (1)已知实数a,b,c(b≠0),则ab=bc⇒a=c.但对于向量的数量积,该推理不正确,即a·b=b·c不能推出a=c. (2)对于实数a,b,c有(ab)c=a(bc),但对于向量a,b,c,(a·b)·c=a·(b·c)一般不成立.这是因为(a·b)·c表示一个与c共线的向量,而a·(b·c) 表示一个与a共线的向量,而c与a不一定共线,所以(a·b)·c=a·(b·c)一般不成立. 1.(多选)设a,b,c是任意的非零向量,则下列结论不正确的是 (　 ) A.0·a=0 B.(a·b) ·c=a·(b·c) C.a·b=0⇒a⊥b D.(a+b) ·(a-b)=|a|2-|b|2 解析:0·a=0,A错误; (a·b) ·c表示与c共线的向量,a·(b·c)表示与a共线的向量,但a与c不一定共线,B错误;a·b=0⇒a⊥b,C正确; (a+b) ·(a-b)=a2-b2=|a|2-|b|2,D正确.故选A、B. √ √ 微点练明 2.已知向量a,b夹角的余弦值为-,且|a|=4,|b|=1,则(a-b) ·(b-2a)=(　 ) A.-36 B.-12 C.6 D.36 解析: (a-b)·(b-2a)=a·b-2a2-b2+2a·b=3a·b-b2-2a2= 3×4×1×-1-2×16=-36.故选A. √ 3.已知向量a与b的夹角为60°,|a|=2,|b|=5,则2a-b在a方向上的投影数量为 (　 ) A. B.2 C. D.3 解析:投影数量为===. √ 4.若单位向量a,b满足(a-2b)·(a+b)=-,则|a-b|等于(　 ) A.1 B. C. 解析:因为a,b为单位向量,所以(a-2b)·(a+b)=|a|2-a·b-2|b|2= -a·b-1=-.所以a·b=-.所以|a-b|===,故选C. √ 5.已知向量a,b满足|a|=,|b|=2,且a⊥(a-b),则a与b的夹角为(　 ) A.30° B.60° C.120° D.150° 解析:因为a⊥(a-b),所以a·(a-b)=0,即|a|2-|a||b|cos<a,b>=0, 解得cos<a,b>=.又因为0°≤<a,b>≤180°,所以a与b的夹角为30°, 故选A. √ 课时跟踪检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 1.已知a,b是互相垂直的单位向量,若c=a-2b,则b·c= (　 ) A.-2 B.-1 C.0 D.2 解析:b·c=b·(a-2b)=b·a-2b2=0-2=-2.故选A. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 2.已知|a|=3,|b|=4,a·b=-6,则向量a与b的夹角为 (　 ) A. C. 解析:设向量a与b的夹角为θ,θ∈[0,π],因为cos θ= ==-, 所以θ=. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 3.若|a|=4,|b|=2,a和b的夹角为30°,则a在b的方向上的投影数量为 (　 ) A.2 B. C.2 D.4 解析:因为a在b的方向上的投影向量为|a|cos30°×=4××=b,所以a在b的方向上的投影数量为|b|=2,故选C. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 4.对于非零向量a与b,下列不等式恒成立的是 (　 ) A.a·b≥|a|·|b| B.a·b≤|a|·|b| C.a·b>|a|·|b| D.a·b<|a|·|b| 解析:设非零向量a与b的夹角为θ,则θ∈[0,π],cos θ∈[-1,1], 则a·b=|a|·|b|·cos θ≤|a|·|b|,故选B. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 5.已知平面向量a,b,c满足a+b+c=0,|a|=2,|b|=3,|c|=4,则cos<a,b>= (　 ) A. C.- 解析:因为a+b+c=0,所以c=-a-b,则c2=(-a-b)2=a2+2a·b+b2, 即4+2|a||b|·cos<a,b>+9=16,从而12cos<a,b>=3,解得cos<a,b>=. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 6.在四边形ABCD中,=,且(+)·(-)=0,那么四边形ABCD为(　 ) A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形 解析:由=,可得四边形ABCD是平行四边形.由(+)·(-)=0,得-=0,即=,所以||=||.所以四边形ABCD为菱形.故选C. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 7.已知|a|=|b|=1,向量a与b的夹角为60°,则|3a-4b|= (　 ) A.5 B.13 C.3 解析:选D　|3a-4b|= = ==,故选D. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 8.若向量a,b,c满足a∥b且a⊥c,则c·(a+2b)= (　 ) A.4 B.3 C.2 D.0 解析:∵a∥b,a⊥c,∴b⊥c, ∴a·c=0,b·c=0, ∴c·(a+2b)=a·c+2b·c=0+0=0. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 9.已知非零向量m,n满足4|m|=3|n|,设m与n的夹角为θ,若cos θ=, n⊥(t m+n),则实数t的值为(　 ) A.4 B.-4 C. D.- 解析:由题意知,cos θ===,所以m·n=|n|2=n2,因为 n·(t m+n)=0,所以t m·n+n2=0,即t n2+n2=0,所以t=-4. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 10.“平面向量a,b平行”是“平面向量a,b满足a·b=|a||b|”的 (　 ) A.充分不必要条件 　　　　B.必要不充分条件 C.充要条件 　　　　D.既不充分也不必要条件 解析:若平面向量a,b平行,则向量a,b方向相同或相反,所以a·b=|a||b|或a·b=-|a||b|;若a·b=|a||b|,则cos<a,b>=1,即向量a,b方向相同,以及向量a,b平行.综上,“平面向量a,b平行”是“平面向量a,b满足a·b=|a||b|”的必要不充分条件.故选B. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 12.已知向量a与b的夹角为60°,|a|=2,|b|=6,则2a-b在a方向上的投影向量为　　　　.  解析:因为a与b的夹角为60°,|a|=2,|b|=6, 所以(2a-b)·a=2|a|2-a·b=2×22-2×6×=2.所以2a-b在a方向上的投影向量为=a. a 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 13.在△ABC中,M是BC的中点,AM=1,点P在AM上,且满足=2, 则· (+)=　　　　.  解析:因为M是BC的中点,=2,AM=1,所以·(+)=·2=·===. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 14.(15分)已知向量e1与e2是夹角为的单位向量,且向量a=3e1+4e2,b=2e1+λe2. (1)求|a|; 解:由题意知,e1·e2=1×1×cos=.因为a=3e1+4e2, 所以|a|=== =. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)若a⊥(a+b),求实数λ的值. 解:因为向量a=3e1+4e2,b=2e1+λe2, 所以a·b=(3e1+4e2)·(2e1+λe2)=6+(3λ+8)e1·e2+4λ=10+λ. 因为a⊥(a+b),所以a·(a+b)=a2+a·b=37+10+λ=0, 解得λ=-. $$