第2章 5.1 向量的数量积-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第二册作业与测评课件PPT（北师大版2019）

第二章　平面向量及其应用 §5　从力的做功到向量的 数量积 5.1　向量的数量积 知识对点练 目录 40分钟综合练 知识对点练 知识对点练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 4 2．已知|a|＝3，|b|＝4，则 (1)若a∥b，a·b＝________； (2)若a⊥b，a·b＝________； (3)若〈a，b〉＝120°，a·b＝________． ±12 0 －6 知识对点练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 5 －6 知识对点练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 6 知识对点练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7 知识对点练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 8 知识点二　投影 5．若|a|＝8，|b|＝4，〈a，b〉＝120°，则b在a方向上的投影数量为________，a在b方向上的投影数量为________． －2 －4 知识对点练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9 6．已知|a|＝2，b在a方向上的投影数量为1，求a＋b在a方向上的投影数量． 知识对点练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 知识对点练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 知识对点练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 12 [名师点拨]　求投影数量时要搞清楚是哪一个向量在哪一个向量方向上的投影，在正确理解其定义的同时，找准两向量之间的夹角是关键．在确定两向量的夹角时，一定要注意“共始点”． 知识对点练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 13 知识点三　数量积的运算性质 8．下面给出的关系式中正确的个数是(　　) ①a·b＝b·a；②a2＝|a|2；③|a·b|≤a·b；④(a·b)2＝a2·b2. A．1 B．2 C．3 D．4 解析　①②正确；③错误；④错误，(a·b)2＝(|a||b|cosθ)2＝a2·b2cos2θ，只有当cos2θ＝1时，(a·b)2＝a2·b2成立． 知识对点练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 14 9．给出下列结论： ①若a≠0，a·b＝0，则b＝0；②若a·b＝b·c，则a＝c；③(a·b)c＝a(b·c)；④a·[b(a·c)－c(a·b)]＝0. 其中正确结论的序号是________． 解析　因为两个非零向量a，b垂直时，a·b＝0，故①不正确；当a＝0，b⊥c时，a·b＝b·c＝0，但不能得出a＝c，故②不正确；向量(a·b)c与c共线，a(b·c)与a共线，故③不正确；a·[b(a·c)－c(a·b)]＝(a·b)(a·c)－(a·c)(a·b)＝0，故④正确． ④ 知识对点练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15 40分钟综合练 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 17 2．已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝(　　) A．4 B．3 C．2 D．0 解析　　因为|a|＝1，a·b＝－1，所以a·(2a－b)＝2|a|2－a·b＝2×12－(－1)＝3. 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 18 3．下列说法中正确的个数为(　　) ①若a，b的夹角为θ，则|b|cosθ表示向量b在向量a方向上的投影数量； ②a，b共线⇔a·b＝|a||b|； ③a2＋b2≥2a·b； ④非零向量a，b满足a·b>0，则a与b的夹角为锐角． A．1 B．2 C．3 D．4 解析　根据投影数量的定义知，①正确；a，b共线⇔a·b＝±|a||b|，所以②错误；a2＋b2≥2|a||b|≥2a·b，故③正确；当a与b的夹角为0°时，也有a·b>0，因此④错误． 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 19 4．[多选]若e1，e2是两个互相平行的单位向量，则下列四个结论可能正确的是(　　) A．e1·e2＝1 B．e1·e2＝－1 C．|e1·e2|＞1 D．|e1·e2|＜1 解析　 因为e1，e2是两个互相平行的单位向量，则当e1，e2方向相同时，e1·e2＝|e1||e2|cos0°＝1；当e1，e2方向相反时，e1·e2＝|e1||e2|·cos180°＝－1.故选AB. 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 21 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 22 7．设向量a·b＝40，|b|＝10，则a在b方向上的投影数量为________． 解析　a在b方向上的投影数量为|a|cos〈a，b〉．由a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝40且|b|＝10，得|a|cos〈a，b〉＝4，所以a在b方向上的投影数量为4. 4 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 23 －25 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 24 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 25 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 26 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 27 10．如图，网格纸中小正方形的边长均为1，向量a如图所示，若从A，B，C，D中任选两个点作为向量b的起点与终点，求a·b的最大值． 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 28 　　　　　　　　　　　　　 R 知识点一　向量的数量积的定义 1．已知等边三角形ABC的边长为1，设eq \o(BC,\s\up16(→))＝a，eq \o(CA,\s\up16(→))＝b，eq \o(AB,\s\up16(→))＝c，那么a·b＋b·c＋c·a＝(　　) A．3 B．－3 C．eq \f(3,2) D．－eq \f(3,2) 解析　a·b＋b·c＋c·a＝1×1×cos120°＋1×1×cos120°＋1×1×cos120°＝－eq \f(3,2). 解析　(1)∵a∥b，∴向量a与向量b的夹角θ为0°或180°.当θ＝0°时，a·b＝3×4×cos0°＝12；当θ＝180°时，a·b＝3×4×cos180°＝－12. (2)a·b＝|a||b|cos90°＝0. (3)a·b＝|a||b|cos120°＝3×4×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－6. 3．在△ABC中，|eq \o(AB,\s\up16(→))|＝3，|eq \o(AC,\s\up16(→))|＝4，∠BAC＝60°，则eq \o(BA,\s\up16(→))·eq \o(AC,\s\up16(→))＝________． 解析　eq \o(BA,\s\up16(→))·eq \o(AC,\s\up16(→))＝|eq \o(BA,\s\up16(→))||eq \o(AC,\s\up16(→))|cos(180°－∠BAC)＝3×4×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－6. 4．根据下列条件，能否判断△ABC的形状，若能，写出△ABC的形状；若不能，写出理由． (1)在△ABC中，若eq \o(AB,\s\up16(→))·eq \o(BC,\s\up16(→))<0； (2)在△ABC中，若eq \o(AB,\s\up16(→))·eq \o(BC,\s\up16(→))>0； (3)在△ABC中，若eq \o(AB,\s\up16(→))·eq \o(BC,\s\up16(→))＝0. 解　(1)∵eq \o(AB,\s\up16(→))·eq \o(BC,\s\up16(→))<0， ∴eq \o(BA,\s\up16(→))·eq \o(BC,\s\up16(→))＝－eq \o(AB,\s\up16(→))·eq \o(BC,\s\up16(→))>0， ∴∠B是锐角，但并不能断定其余的两个角也是锐角． ∴无法判断△ABC的形状． (2)∵eq \o(AB,\s\up16(→))·eq \o(BC,\s\up16(→))>0，∴eq \o(BA,\s\up16(→))·eq \o(BC,\s\up16(→))＝－eq \o(AB,\s\up16(→))·eq \o(BC,\s\up16(→))<0，∴∠B是钝角，因而△ABC是钝角三角形． (3)∵eq \o(AB,\s\up16(→))·eq \o(BC,\s\up16(→))＝0，∴∠B＝90°， ∴△ABC是直角三角形． 解析　|b|cos〈a，b〉＝4×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－2， |a|cos〈a，b〉＝8×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－4. 解　因为|a|＝2，b在a方向上的投影数量为|b|cos〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a|)＝1，a·b＝|a|＝2，则a＋b在a方向上的投影数量为|a＋b|cos〈a＋b，a〉＝eq \f(（a＋b）·a,|a|)＝eq \f(a2＋b·a,|a|)＝eq \f(22＋2,2)＝3. 7．如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝90°，D是边BC的中点，求： (1)eq \o(AB,\s\up16(→))在eq \o(BD,\s\up16(→))方向上的投影数量； (2)eq \o(BD,\s\up16(→))在 eq \o(AB,\s\up16(→))方向上的投影数量． 解　如图，连接AD，因为AB＝AC＝4，∠BAC＝90°，所以△ABC是等腰直角三角形． 又D是BC边的中点， 所以AD⊥BC，∠ABD＝45°， 所以BD＝2eq \r(2). 延长AB到E， 则eq \o(AB,\s\up16(→))与eq \o(BD,\s\up16(→))的夹角为∠DBE＝180°－45°＝135°. (1)eq \o(AB,\s\up16(→))在eq \o(BD,\s\up16(→))方向上的投影数量是|eq \o(AB,\s\up16(→))|cos135°＝4×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)))＝－2eq \r(2). (2)eq \o(BD,\s\up16(→))在eq \o(AB,\s\up16(→))方向上的投影数量是|eq \o(BD,\s\up16(→))|cos135°＝2eq \r(2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)))＝－2. 一、选择题 1．在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝1，则eq \o(AB,\s\up16(→))·eq \o(AC,\s\up16(→))＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析　由向量的投影的几何意义及图象，可知eq \o(AC,\s\up16(→))在eq \o(AB,\s\up16(→))方向上的投影数量为|eq \o(AB,\s\up16(→))|＝2，故eq \o(AB,\s\up16(→))·eq \o(AC,\s\up16(→))＝|eq \o(AB,\s\up16(→))|2＝4. 5．若平面四边形ABCD满足eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(CD,\s\up16(→))＝0，(eq \o(AB,\s\up16(→))－eq \o(AD,\s\up16(→)))·eq \o(AC,\s\up16(→))＝0，则该四边形一定是(　　) A．直角梯形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 解析　由eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(CD,\s\up16(→))＝0，得平面四边形ABCD是平行四边形，由(eq \o(AB,\s\up16(→))－eq \o(AD,\s\up16(→)))·eq \o(AC,\s\up16(→))＝0，得eq \o(DB,\s\up16(→))·eq \o(AC,\s\up16(→))＝0，即平行四边形ABCD的对角线互相垂直，则该四边形一定是菱形． 二、填空题 6．已知|a|＝eq \r(3)，|b|＝2eq \r(3)，a与b的夹角为150°，则a·b＝________． 解析　a·b＝|a||b|cos150°＝eq \r(3)×2eq \r(3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)))＝－3eq \r(3). －3eq \r(3) 8．已知点A，B，C满足|eq \o(AB,\s\up16(→))|＝3，|eq \o(BC,\s\up16(→))|＝4，|eq \o(CA,\s\up16(→))|＝5，则eq \o(AB,\s\up16(→))·eq \o(BC,\s\up16(→))＋eq \o(BC,\s\up16(→))·eq \o(CA,\s\up16(→))＋eq \o(CA,\s\up16(→))·eq \o(AB,\s\up16(→))的值是________． 解析　∵|eq \o(CA,\s\up16(→))|2＝|eq \o(AB,\s\up16(→))|2＋|eq \o(BC,\s\up16(→))|2，∴∠B＝90°，∴eq \o(AB,\s\up16(→))·eq \o(BC,\s\up16(→))＝0.∴cosC＝eq \f(4,5)，cosA＝eq \f(3,5)，∴eq \o(BC,\s\up16(→))·eq \o(CA,\s\up16(→))＝|eq \o(BC,\s\up16(→))||eq \o(CA,\s\up16(→))|cos(180°－C)＝4×5×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)))＝－16，eq \o(CA,\s\up16(→))·eq \o(AB,\s\up16(→))＝|eq \o(CA,\s\up16(→))||eq \o(AB,\s\up16(→))|·cos(180°－A)＝5×3×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))＝－9.∴eq \o(AB,\s\up16(→))·eq \o(BC,\s\up16(→))＋eq \o(BC,\s\up16(→))·eq \o(CA,\s\up16(→))＋eq \o(CA,\s\up16(→))·eq \o(AB,\s\up16(→))＝－25. 三、解答题 9．如图所示，在▱ABCD中，|eq \o(AB,\s\up16(→))|＝4，|eq \o(AD,\s\up16(→))|＝3，∠DAB＝60°，求： (1)eq \o(AD,\s\up16(→))·eq \o(BC,\s\up16(→))； (2)eq \o(AB,\s\up16(→))·eq \o(CD,\s\up16(→))； (3)eq \o(AB,\s\up16(→))·eq \o(DA,\s\up16(→))； (4)eq \o(AB,\s\up16(→))在eq \o(CB,\s\up16(→))方向上的投影数量． 解　(1)因为eq \o(AD,\s\up16(→))∥eq \o(BC,\s\up16(→))，且方向相同， 所以eq \o(AD,\s\up16(→))与eq \o(BC,\s\up16(→))的夹角是0°， 所以eq \o(AD,\s\up16(→))·eq \o(BC,\s\up16(→))＝|eq \o(AD,\s\up16(→))||eq \o(BC,\s\up16(→))|cos0°＝3×3×1＝9. (2)因为eq \o(AB,\s\up16(→))∥eq \o(CD,\s\up16(→))，且方向相反， 所以eq \o(AB,\s\up16(→))与eq \o(CD,\s\up16(→))的夹角是180°， 所以eq \o(AB,\s\up16(→))·eq \o(CD,\s\up16(→))＝|eq \o(AB,\s\up16(→))||eq \o(CD,\s\up16(→))|cos180°＝4×4×(－1)＝－16. (3)因为eq \o(AB,\s\up16(→))与eq \o(AD,\s\up16(→))的夹角为60°，所以eq \o(AB,\s\up16(→))与eq \o(DA,\s\up16(→))的夹角为120°， 所以eq \o(AB,\s\up16(→))·eq \o(DA,\s\up16(→))＝|eq \o(AB,\s\up16(→))||eq \o(DA,\s\up16(→))|cos120°＝4×3×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－6. (4)因为eq \o(AB,\s\up16(→))与eq \o(AD,\s\up16(→))的夹角为60°，而eq \o(CB,\s\up16(→))与eq \o(AD,\s\up16(→))方向相反， 所以eq \o(AB,\s\up16(→))与eq \o(CB,\s\up16(→))的夹角为120°， 所以eq \o(AB,\s\up16(→))在eq \o(CB,\s\up16(→))方向上的投影数量为|eq \o(AB,\s\up16(→))|·cos120°＝4×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－2. 解　由题图可知a＝(2，0)，因为a·b＝|a||b|·cos〈a，b〉，而|b|cos〈a，b〉为b在a方向上的投影数量，所以要使a·b取得最大值，即使b在a方向(即x轴正方向)上的投影数量取得最大值，由题图可知eq \o(DB,\s\up16(→))在a方向上的投影数量最大，为3，所以(a·b)max＝2×3＝6. $$