第2章 §1 从位移、速度、力到向量（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学必修第二册（北师大版2019）

第二章 平面向量及其应用 从位移、速度、力到向量 (基本概念课——逐点理清式教学) §1 课时目标 1.通过对力、速度、位移等的分析,了解平面向量的实际背景. 2.理解向量、相等向量、共线向量、零向量、夹角的概念及向量的表示. CONTENTS 目录 1 2 3 逐点清(一)　向量的概念与表示 逐点清(二)　相等向量与共线向量 逐点清(三)　向量的夹角 4 课时跟踪检测 逐点清(一)　向量的概念与表示 01 1.向量的概念 既有 又有 的量统称为向量. 2.向量的表示 (1)有向线段:具有 和 的线段称为有 向线段(如图).以A为起点,B为终点的有向线段, 记作 .线段AB的长度称为有向线段的 长度,记作 . 大小 方向 方向 长度 多维理解 (2)向量的几何表示:向量可以用有向线段表示,其中有向线段的长度表示向量的大小,箭头所指的方向表示向量的方向. (3)向量的符号表示:向量可以用黑斜体小写字母如 ,…或 , …(书写)来表示. (4)向量的模:向量a的大小,记作 ,又称作向量的模. a,b,c |a| 3.两个特殊向量 名称 定义 表示方法 零向量 的向量称为零向量 0或 单位向量 模等于 的向量称为单位向量   长度为0 1个单位长度 |微|点|助|解| (1)书写向量时带箭头. (2)有向线段与向量不是同一个概念,有向线段有起点、长度、方向三个要素.每一个有向线段对应一个向量,每一个向量对应无数个有向线段. (3)注意 0 与 0 的区别及联系, 0 是一个实数, 0是一个向量,且|0|=0.零向量的方向是任意的,在分析向量的位置关系时要特别注意零向量. (4)单位向量有无数多个,它们的大小相等,但方向不一定相同. (5)向量不能比较大小,它的模可以比较大小. 1.给出下列物理量:①密度;②温度;③速度;④质量;⑤功;⑥位移.下列说法正确的是 (　 ) A.①②③是数量,④⑤⑥是向量 B.②④⑥是数量,①③⑤是向量 C.①④是数量,②③⑤⑥是向量 D.①②④⑤是数量,③⑥是向量 解析:密度、温度、质量、功只有大小,没有方向,是数量;速度、位移既有大小又有方向,是向量. √ 微点练明 2.已知向量a如图所示,下列说法不正确的是 (　 ) A.也可以用表示 B.方向是由M指向N C.起点是M D.终点是M 解析:终点是N而不是M. √ 3.下列命题正确的是 (　 ) A.温度有零上和零下之分,所以温度是向量 B.向量的模是一个非负实数 C.|a|>|b|,则a>b D.向量a是单位向量,向量b也是单位向量,则向量a与向量b是同一向量 √ 解析:温度虽有大小却无方向,故不是向量,A错误;易知B正确;向量的长度可以比较大小,但向量不能比较大小,C错误;单位向量只要求长度等于1个单位长度,但方向未确定,D错误. 4.在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1),用直尺和圆规画出下列向量: (1),使||=4,点A在点O北偏东45°; 解:因为点A在点O北偏东45°方向上,且=4,所以在坐标纸上点A距离O的横向小方格数与纵向小方格数相等,都为4,如图所示. (2),使=4,点B在点A正东; 解:因为点B在点A正东方向,且=4,所以在坐标纸上点B距离A的横向小方格数为4,纵向小方格数为0,如图所示. (3),使=6,点C在点B北偏东30°. 解:由于点C在点B北偏东30°方向上,且=6,由勾股定理知,在坐标纸上点C距点B的横向小方格数为3,纵向小方格数为3≈5.2,如图所示. 逐点清(二)　 相等向量与共线向量 02 1.相等向量 长度 且方向 的向量叫作相等向量.向量a与b相等, 记作 . 相等 相同 a= b 多维理解 2.共线向量 共线 (平行) 向量 若两个非零向量a,b的方向 或 ,则称这两个向量为共线向量或平行向量,也称这两个向量共线或平行,记作______ 相反 向量 若两个向量的长度 、方向 ,则称它们互为相反向量.向量a的相反向量记作______ 规定 零向量与任一向量 ,即对于任意的向量a,都有 .零向量的相反向量仍是________ 相同 相反 a∥b 相等 相反 -a 共线 0∥a 零向量 |微|点|助|解| (1)向量共线有三种情形:①共线且同向;②共线且反向;③有一个是零向量. (2)共线向量也就是平行向量,其要求是几个非零向量的方向相同或相反,当然向量所在的直线可以平行,也可以重合,其中“平行”的含义不同于平面几何中“平行”的含义. 1.已知向量a与b是两个不平行的向量,若a∥c且b∥c,则c等于 (　 ) A.0 B.a C.b D.不存在这样的向量 解析:零向量与任一向量是共线向量,故c=0满足条件.若c≠0,则a∥c且b∥c,得到a∥b,这与条件矛盾,排除.综上所述,c=0,故选A. √ 微点练明 2.如图,在四边形ABCD中,若=,则图中相等的向量是(　 ) A.与 与 C.与 与 解析:由=,可得四边形ABCD为平行四边形.与互为相反向量,A错误;与互为相反向量,B错误;与满足相等向量的定义,C正确;与方向不同不满足相等向量的定义,D错误.故选C. √ 3.设点O是正三角形ABC的中心,则向量是(　 ) A.相同的向量 B.模相等的向量 C.共起点的向量 D.共线向量 解析:如图,因为O是正△ABC的中心, 所以||=||=||=R(R为△ABC外 接圆的半径).所以向量是 模相等的向量,但方向不同.故选B. √ 4.如图,△ABC和△A'B'C'是在各边的三等分点处相交 的两个全等的正三角形,设△ABC的边长为a,写出图中 给出的长度为的所有向量中, (1)与向量相等的向量; 解:与向量相等的向量,即与向量大小相等, 方向相同的向量,有; (2)与向量共线的向量; 解:与向量共线的向量,即与向量方向相同或相反的向量, 有; (3)与向量平行的向量. 解:与向量平行的向量,即与向量方向相同或相反的向量, 有. 逐点清(三)　向量的夹角 03 (1)向量的夹角的定义:已知两个非零向量a和b,在平面内选一点O,作=a,=b,则θ= (0°≤θ≤180°)称为向量a与b的夹角. (2)夹角θ的大小与向量共线、垂直的关系:θ= (3)规定:零向量与任一向量 ,即对于任意的向量a,都有 . ∠AOB 同向 反向 垂直 0⊥a 多维理解 |微|点|助|解| 按照向量夹角的定义,只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角,如图所示,∠BAC不是向量与向量的夹角,∠BAD才是向量与向量的夹角. 1.在△ABC中,向量与向量的夹角为α,向量与向量的夹角为β,向量与向量的夹角为γ,则α+β+γ=(　 ) A.0° B.180° C.270° D.360° 解析:因为α,β,γ为△ABC的外角,所以α+β+γ=360°. √ 微点练明 2.在△ABC中,AB=,BC=1,AC=2,D是AC的中点,则与的夹角为　　　　.  解析:如图,△ABC中,AB2+BC2=AC2,所以∠ABC=90°. 而AB=,BC=1,AC=2,所以A=30°,C=60°.D是AC的 中点,则AD=DC=BD,∠ADB=120°,所以与的 夹角为120°. 120° 3.如图,在正五边形ABCDE中,O为正五边形的中心,指出下列各组向量的夹角. (1)与; 解:由正五边形知识知,正五边形的内角为108°,中心O与各顶点连线构成五个全等的顶角为72°,底角为54°的等腰三角形,所以得∠BOD=144°, 故与夹角为144°.与所成角为∠BOD的补角,故与夹角为180°-144°=36°.∠OBA为与所成角,故与夹角为54°. 综上可得, 与夹角为36°, (2)与; 解:与夹角为144°, (3)与. 解: 与夹角为54°. 课时跟踪检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 1.汽车以120 km/h的速度向西走了2 h,摩托车以45 km/h的速度向东北方向走了2 h,则下列命题正确的是 (　 ) A.汽车的速度大于摩托车的速度 B.汽车的位移大于摩托车的位移 C.汽车走的路程大于摩托车走的路程 D.以上都不对 解析:速度、位移是向量,既有大小,又有方向,不能比较大小,路程可以比较大小. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 2.(多选)下列说法正确的是 (　 ) A.零向量是没有方向的 B.零向量的长度为0 C.零向量的方向是任意的 D.单位向量的模都相等 √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 3.若向量a与b的夹角为60°,则向量-a与-b的夹角是 (　 ) A.60° B.120° C.30° D.150° 解析:平移向量a,b,使它们的起点重合,如图所示,则由对顶角相等可得向量-a与-b的夹角也是60°. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 4.若向量a与向量b不相等,则a与b一定 (　 ) A.不共线 B.长度不相等 C.不都是单位向量 D.不都是零向量 解析:若向量a与向量b不相等,则说明向量a与向量b的方向和长度至少有一个不同.所以a与b有可能共线,有可能长度相等,也有可能都是单位向量.所以A、B、C都是错误的.但是a与b一定不都是零向量.故选D. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 5.下列结论正确的是 (　 ) A.2 025 cm长的有向线段不可能表示单位向量 B.若O是直线l上的一点,单位长度已选定,则l上有且只有两个点A,B,使得是单位向量 C.方向为北偏西30°的向量与南偏东30°的向量不可能是共线向量 D.一人从A点向东走500米到达B点,则向量不能表示这个人从A点到B点的位移 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析:一个单位长度取2 025 cm时,2 025 cm长的有向线段刚好表示单位向量,故A错误;根据单位向量的知识可知,B正确;方向为北偏西30°的向量与南偏东30°的向量是一对方向相反的向量,因此是平行向量,所以两向量为共线向量,故C错误;根据位移的定义可知,向量表示这个人从A点到B点的位移,所以D错误. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 6.在△ABC中,=13,=5,||=12,则与的夹角的余弦值是(　 ) A. C.- D.- 解析:在△ABC中,与的夹角是角B的补角,由△ABC三边的长可知△ABC是直角三角形,cos B=,所以与的夹角的余弦值为-. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 7.(多选)下列四个条件能使a∥b成立的条件是 (　 ) A.a=b B.|a|=|b| C.a与b方向相反 D.|a|=0或|b|=0 解析:因为a与b为相等向量,所以a∥b,即A能够使a∥b成立;由于|a|=|b|并没有确定a与b的方向,即B不能够使a∥b成立;因为a与b方向相反时,a∥b,即C能够使a∥b成立;因为零向量与任意向量共线,所以|a|=0或|b|=0时,a∥b能够成立.故使a∥b成立的条件是A、C、D. √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 8. (多选)如图,在菱形ABCD中,∠DAB=120°,则以下说法正确的是 (　 ) A.与相等的向量只有一个(不含) B.与的模相等的向量有9个(不含) C.的模为模的倍 D.与不共线 √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析: A项,由相等向量的定义知,与相等的向量只有,故A正确; B项,因为AB=BC=CD=DA=AC,所以与的模相等的向量除外有 9个,故B正确;C项,在Rt△ADO中,∠DAO=60°,则DO=DA,所以BD=DA,故C正确;D项,因为四边形ABCD是菱形,所以与共线,故D错误. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 9.(多选)如图所示,每个小正方形的边长都是1,在其中标出了6个向量,则在这6个向量中 (　 ) A.向量的模相等 B.= C.向量共线 D.||+||=10 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析:==,||==2, A错误;||==,B正确;向量共线, C正确;||+||=2+3=5,D错误. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 10.(多选)如图,四边形ABCD,CEFG,CGHD都是全等的菱形,HE与CG相交于点M,则下列关系正确的是 (　 ) A.||=|| B.∥ C.∥∥ √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析:∵四边形ABCD,CEFG,CGHD都是全等的菱形,∴AB=EF, 即||=||,A正确.∵AB∥CD∥HG,∴AB∥FH.又与反向, ∴∥,B正确.若∥,则BD∥EH,∴∠BDC=∠DEH.若四边形ABCD,CEFG,CGHD都是全等的正方形, 如图所示,此时tan∠BDC=1,tan∠DEH=, 即∠BDC≠∠DEH,C错误.∵D,C,E三点共线, 方向相反,∴∥,D正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 11.如图,O是正三角形ABC的中心,四边形AOCD和AOBE均为平行四边形,则与向量共线的向量为　　 　;与向量的夹角为120°的向量为　　　　　　　.(填图中所画出的向量)  1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析:∵O是正三角形ABC的中心,∴OA=OB=OC.∴结合共线向量及向量夹角的定义可知与共线的向量为;与的夹角为120°的向量为. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 12.窗,古时亦称为牖,它伴随着建筑的起源而出现, 在中国建筑文化中是一种独具文化意蕴和审美魅 力的重要建筑构件.如图,是某古代建筑群的窗户设 计图,窗户的轮廓ABCD是边长为1米的正方形,内嵌 一个小正方形EFGH,且E,F,G,H分别是AF,BG,CH, DE的中点,则与相等的向量为　　　 　 　, 的相反向量为　　 　　 　.  1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析:因为四边形EFGH为正方形,所以EF=FG=GH=HE,且EF∥HG.又E,F,G,H分别是AF,BG,CH,DE的中点,所以BF=FG=GC=HD=AE.所以与相等的向量有.的相反向量有. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 13.(15分)已知线段AB被n(n≥2)等分,等分点为M1,M2,M3,…,Mn-1.从这(n+1)个点中任取两点作为向量的起点和终点. (1)当n=4时,一共可以构成多少个互不相等的非零向量? 解:当n=4时,等分点有M1,M2,M3,共3个,则从5个点中任取两点作为向量的起点和终点,模长为||时,有2个,为 模长为||时, 有2个,为 模长为||时,有2个,为 模长为||时,有2个,为,总共有8个. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)求互不相等的非零向量的总数,用n表示. 解:由(1)知,当模长为||时,有2个,当模长为||时,有2个,当模长为||时,有2个,依次类推,当模长为||时,有2个,总共有2n个. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 14.(15分)如图所示,在平行四边形ABCD中, E,F分别是CD,AB的中点. (1)写出与向量共线的向量; 解:因为在平行四边形ABCD中, E,F分别是CD,AB的中点,所以CE∥AF,CE=AF.所以四边形AFCE为平行四边形.所以CF∥AE.所以与向量共线的向量为. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)求证:=. 解:证明:在平行四边形ABCD中,AB∥DC,AB=DC. 因为E,F分别是DC,AB的中点,所以ED∥BF且ED=BF. 所以四边形BFDE是平行四边形. 所以BE=FD,BE∥FD.故=. $$