第1章 4.3 诱导公式与对称（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学必修第二册（北师大版2019）

4.3 诱导公式与对称 (深化学习课——梯度进阶式教学) 课时目标   1.通过单位圆的对称性掌握角α与-α的正弦函数、余弦函数关系. 2.通过单位圆的对称性掌握角α与π±α的正弦函数、余弦函数关系. 3.能用诱导公式把任意角的正弦函数、余弦函数的化简、求值问题转化为锐角的三角函数的化简、求值问题. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时跟踪检测 课前预知教材·自主落实基础 1.sin α,cos α与sin(-α),cos(-α)的关系 终边关系 图示 点P与P'关于x轴对称 公式 sin(-α)= ______,cos(-α)=______ 性质 正弦函数v=sin α是______ ,余弦函数u=cos α是______ -sin α cos α 偶函数 奇函数 2.sin α,cos α与sin(α±π),cos(α±π)的关系 终边关系 图示   点P与P'关于原点对称   公式 sin(α+π)=_________,cos(α+π)=_________, sin(α-π)=_________,cos(α-π)=_________ -sin α -cos α -sin α -cos α 3.sin α,cos α与sin(π-α),cos(π-α)的关系 终边关系 图示 点P与P'关于y轴对称 公式 sin(π-α)=_______,cos(π-α)=_______ sin α -cos α |微|点|助|解| (1)诱导公式中α可以是任意角. (2)诱导公式既可以用弧度制表示,也可以用角度制表示. (3)公式的记忆口诀:“函数名不变,符号看象限”. “函数名不变”是指等式两边的三角函数同名; “符号看象限”是指把原角看成锐角时新角在原函数下的符号,由新角所在象限确定符号,如sin(α+π),若把α看成锐角,则α+π在第三象限,所以取负值,故sin(α+π)=-sin α. 1.化简:cos(3π-α)= (　 ) A.cos α B.-cos α C.sin α D.-sin α 解析:cos(3π-α)=cos[2π+(π-α)]=cos(π-α)=-cos α.　 √ 基础落实训练 2.计算:sin 210°= (　 ) A. B.- C. D.- 解析:sin 210°=sin(180°+30°)=-sin 30°=-,故选D. √ 3.角与角的终边关于　　　　对称.  原点 课堂题点研究·迁移应用融通 题型(一)　对称的理解 [例1]　画出下列各角的终边与单位圆的交点,并说出它们的对称关系. (1),;　 解:如图: (2),-; 解:如图②,角与-的终边与单位圆的交点关于x轴对称. (3)-,;　 解:如图③,角-与的终边与单位圆的交点重合. (4)-,. 解:如图④,角-与的终边与单位圆的交点关于原点对称. |思|维|建|模|　判断两角终边位置关系的步骤 建系 画单位圆,以原点为圆心作出单位圆 找角 利用终边相同的角的公式把角化大为小 判断 利用角的终边与单位圆交点的横、纵坐标间的关系判断两角终边间的位置关系 针对训练 1.角α的终边与单位圆的交点坐标为,试写出角π-α,α+π,-α,α-π的终边与单位圆交点的坐标. 解:由角α与π-α的终边与单位圆的交点关于y轴对称,得角π-α的终边与单位圆的交点坐标为;由角α与α+π的终边与单位圆的交点关于原点对称,得角α+π的终边与单位圆的交点坐标为; 由角α与-α的终边与单位圆的交点关于x轴对称,得角-α的终边与单位圆的交点坐标为;由角α与α-π的终边与单位圆的交点关于原点对称,得角α-π的终边与单位圆的交点坐标为. 题型(二)　给角求值 [例2]　计算下列各式的值. (1)sin 750°. 解: sin 750°=sin(2×360°+30°)=sin 30°=. (2)sin-cos. 解:原式=-sin-cos=-sin- cos=sin+cos=+=1. (3)cos+cos+cos+cos+cos+cos. 解:原式=cos+cos+cos+cos+cos+ cos=cos+cos+cos-cos-cos-cos=0. |思|维|建|模|　 利用诱导公式解决给角求值问题的步骤 针对训练 2.计算下列各式的值. (1)cos(-660°)+sin 390°; 解: cos(-660°)+sin 390°=cos(-720°+60°)+sin 30°=+=1. (2)sin(-330°)-cos 960°-cos 1 035°; 解:sin(-330°)-cos 960°-cos 1 035°=sin(30°-360°)-cos(240°+720°)-cos(1 080°-45°)=sin 30°-cos 240°- cos(-45°)=sin 30°+cos 60°-cos 45°=+-=1-. (3)sin+cos+cos. 解:sin+cos+cos =sin+cos+cos =-sin+cos+cos =-sin-cos-cos=---=--. 题型(三)　条件求值 [例3]　已知cos=,求下列各式的值. (1)cos; 解: cos=cos=-cos=-. (2)cos. 解:cos=cos=cos=cos=. 变式拓展 若本例的条件不变,求cos-sin2的值. 解:因为cos=cos=-cos=-,sin2 =sin2=1-cos2=1-=, 所以cos-sin2=--=-. |思|维|建|模|　解决条件求值问题的两个技巧 [提醒]　设法消除已知式与所求式之间的种种差异是解决问题的关键. 3.若cos(π+α)=-,π<α<2π,则sin(2π+α)等于(　 ) A. B.± C. D.- 解析:由cos(π+α)=-,得cos α=,∵π<α<2π,∴α=. 故sin(2π+α)=sin α=sin=-sin=-. √ 针对训练 4.已知sin(π-x)=,则(n∈Z)=　　　　.  解析:由sin(π-x)=,得sin x=.当n为偶数,即n=2k(k∈Z)时, ===sin2x=; 当n为奇数,即n=2k+1(k∈Z)时, ===sin2x=.综上,原式=. 课时跟踪检测 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 A级——达标评价 1.cos的值是(　 ) A.- C.- 解析:cos=cos=cos=cos= -cos=-. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 2.如果cos(5π+A)=-,那么cos A=(　 ) A. B.- C.- 解析:由cos(5π+A)=-,得cos(5π+A)=cos(π+A)=-cos A=-,即cos A=. 故选D. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 3.已知sin(π-α)=,则sin(α-2 025π)的值为(　 ) A.　　 B.- C. D.- 解析:由sin(π-α)=sin α,得sin α=.所以sin(α-2 025π)= sin[(α-π)-2 024π]=sin(α-π)=sin[-(π-α)]=-sin(π-α)=-sin α=-. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 4.sin 2 024°最接近 (　 ) A.- B.- C. 解析:sin 2 024°=sin(12×180°-136°)=sin(-136°),其中-136°为第三象限角,且当α为第三象限角时,sin α<0,其中sin(-135°)=-sin 45°=-, 又sin(-120°)=-sin 60°=-,而-135°较-120°离-136°更近, 综上,sin 2 024°最接近-. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 5.(多选)已知n∈Z,则下列三角函数中,与sin数值相同的是(　 ) A.sin B.cos C.sin D.cos 解析:对于A,当n=2k,k∈Z时,sin=sin=sinπ =sin=-sin,所以A错误; √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 对于B, cos=cos=sin,所以B正确; 对于C,sin=sin,所以C正确; 对于D, cos=cos=cos= -cos=-sin,所以D错误. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 6.化简:sin+cos(-2 640°)的值为　　　　.  解析:sin+cos(-2 640°)=-sin+cos 2 640° =sin+cos(360°×7+120°)=+cos(180°-60°) =-cos 60°=-=0. 0 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 7.若cos=,则cos的值为　　　　.  解析:因为cos=, 所以cos=-cos =-cos=-cos=-. - 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8.(8分)计算:. 解:原式= ===-1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 9.(8分)若cos α=,α是第四象限角, 求的值. 解:由cos α=,α是第四象限角,不妨取角α终边上一点为(2,y),易知r=3. 由x2+y2=r2,得y=-=-,得sin α=-. 故==. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10.(12分)化简下列各式: (1); 解:原式=====-. (2)sin(-960°)cos 1 470°-cos(-240°)sin(-210°). 解:原式=-sin(180°+60°+2×360°)cos(30°+4×360°) +cos(180°+60°)sin(180°+30°)=sin 60°cos 30°+ cos 60°sin 30°=1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 B级——重点培优 11.(多选)下列化简正确的是(　 ) A.sin(π+1)=-sin 1 B.=1 C.=tan α D.=-1 √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:由诱导公式可得sin(π+1)=-sin 1,故A正确;==1, 故B正确;==-tan α,故C不正确; ==-1,故D正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 12.若角α顶点在原点,始边在x轴正半轴上,终边一点P的坐标为,则角α为(　 ) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 解析:因为sin=sin=sin=-sin=-<0, cos=cos=-cos=-<0,所以点P在第三象限. 所以角α为第三象限角.故选C. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13.高斯被誉为历史上最伟大的数学家之一,高斯函数f(x)=[x]也被广泛应用于生活、生产的各个领域,其中[x]表示不超过x的最大整数,如:[3.65]=3,[-1.27]=-2.若函数f(k)=(k∈Z),则f(k)的值域为　　　　.  解析:当k为偶数时,sin=sin,所以f(k)==1; 当k为奇数时,sin=-sin,所以f(k)=[0]=0.所以f(k)的值域为{0,1}. {0,1} 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14.(2024·北京高考)在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为始边,它们的终边关于原点对称.若α∈,则cos β的最大值为　　　　.  解析:因为α与β的终边关于原点对称,所以β=2kπ+π+α(k∈Z), 所以cos β=cos(2kπ+π+α)=-cos α.因为α∈,所以cos α∈, 所以cos β∈,故cos β的最大值为-. - 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.(13分)设函数f(x)满足f(x+π)=f(x)+sin x,x∈R.当0≤x<π时,f(x)=0, 求f. 解:∵f(x+π)=f(x)+sin x,∴f=f=f+sin =f+sin=f+sin+sin=f+sin+sin =f+sin+sin+sin. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 ∵当0≤x<π时,f(x)=0,∴f=0+sin+sin+sin =sin+sin+sin=sin-sin+sin=sin=. $$