2.3 第1课时 半角公式（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学必修第二册（湘教版2019）

2.3 简单的三角恒等变换 半角公式 (教学方式：深化学习课——梯度进阶式教学) 第1课时 课时目标 1.能用二倍角公式推导半角公式，了解半角公式的结构形式. 2.能熟练运用半角公式解决简单的求值、化简或证明问题. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时跟踪检测 课前预知教材·自主落实基础 01 正弦、余弦、正切的半角公式 三角函数 公式 正弦 sin=___________ 余弦 cos=___________ 正切 tan=± =_________=_______ ± ± |微|点|助|解|　 关于半角公式的几点说明 (1)理解半角的含义 角是角α的半角，角α是角2α的半角，角2α是角4α的半角. (2)确定半角的正弦、余弦、正切值正、负号的方法 ①若给出的角已确定其终边所在的象限，则可根据下表确定符号. α sin cos tan 第一象限 第一、三象限 +、- +、- + 第二象限 第一、三象限 +、- +、- + 第三象限 第二、四象限 +、- -、+ - 第四象限 第二、四象限 +、- -、+ - ②若给出角α的范围(即某一区间)，可先求出的范围，然后再根据的范围确定符号. ③若给出的角的象限不确定，则需分类讨论. 基础落实训练 1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)sin 15°=± . (　　) (2)cos 15°=. (　　) (3)tan=. (　　) ×　 ×　 × 2.已知180°<α<360°，则cos的值为(　　) A.- B. C.- D. 解析：因为cos2=，180°<α<360°，所以90°<<180°.所以cos=-. √ 3.tan 15°等于 (　　) A.2+ B.2- C.+1 D.-1 解析：由tan=，得tan 15°==2-. √ 课堂题点研究·迁移应用融通 02 题型(一)　利用半角公式求值 [例1]　已知cos α=，α为第四象限角，求sin，cos，tan. 解：∵α为第四象限角，∴为第二、四象限角.当为第二象限角时，sin==，cos=-=-，tan=-=-; 当为第四象限角时，sin=-=-， cos==，tan=-=-. |思|维|建|模| 利用半角公式求值的思路 (1)观察角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公式求解. (2)明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围. (3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常用tan==，其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题;涉及半角公式的正、余弦值时，常先利用sin2=，cos2=计算. (4)下结论：结合(2)求值. 针对训练 1.(2023·新课标Ⅱ卷)已知α为锐角，cos α=，则sin =(　　) A. B. C. D. 解析：因为α为锐角，所以sin>0，sin==. √ 2.已知α为锐角，cos α=，则tan=(　　) A. B. C.2 D.3 解析：∵α为锐角，cos α=，∴sin α=. ∴tan===. ∴tan===3. √ 题型(二)　三角函数式的化简 [例2]　化简： (-π<α<0). 解：原式= = ==. 因为-π<α<0，所以-<<0. 所以sin<0. 所以原式==cos α. |思|维|建|模| 探究三角函数式化简的要求、思路和方法 (1)化简的要求：①能求出值的应求出值;②尽量使三角函数种数最少;③尽量使项数最少;④尽量使分母不含三角函数;⑤尽量使被开方数不含三角函数. (2)化简的思路：对于和式，基本思路是降次、消项和逆用公式;对于三角分式，基本思路是分子与分母约分或逆用公式;对于二次根式，注意二倍角公式的逆用.另外，还可以用切化弦、变量代换、角度归一等方法. 3.设α∈，化简：. 解：∵α∈∈，∴cos α>0，cos<0. 故原式=====-cos. 针对训练 题型(三)　三角恒等式的证明 [例3]　求证：+=. 证明：法一：左边=+=+ ===右边. 所以原式成立. 法二：左边 = = ===右边. 所以原式成立. |思|维|建|模|　三角恒等式证明的5种常用方法 执因索果法 证明的形式一般化繁为简 左右归一法 证明左右两边都等于同一个式子 拼凑法 针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，简言之，即化异求同 比较法 设法证明“左边-右边=0”或“左边/右边=1” 分析法 从被证明的等式出发，逐步探求使等式成立的条件，一直到已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立 针对训练 4.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos A=，求证：=. 证明：因为cos A=， 所以1-cos A=， 1+cos A=. 所以=. 而==tan2==tan2， 所以tan2=·tan2， 即=. 课时跟踪检测 03 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 A级——达标评价 1.若cos α=，α∈(0，π)，则cos的值为(　　) A. B.- C. D.- √ 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 解析：由题意知∈， ∴cos>0，cos==. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 2.已知cos 2α=-，且α∈，则sin α的值为(　　) A. B. C.- D.- √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 解析：∵α∈，∴sin α>0.∵cos 2α=-，∴由半角公式可得sin α==.故选B. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 3.已知点P(4，3)是角α的终边上一点，则tan=(　　) A. B.-3 C.-3或 D.3或- 解析：由三角函数的定义可得sin α==，cos α==. 所以tan=====.故选A. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 4.(多选)tan 75°= (　　) A.2+ B. C. D.tan 25°tan 35°tan 85° √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：tan 75°=tan(45°+30°)===2+，故 A正确; 由正切的半角公式知tan 75°=，故B错误; tan 75°===，故C正确;由tan(60°-α) tan(60°+α)·tan α=tan 3α，令α=25°，得tan 75°=tan 25° tan 35°·tan 85°，故D正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 5.设a=cos212°-sin212°，b=，c=，则(　　) A.c<b<a B.a<b<c C.a<c<b D.b<a<c 解析：因为a=cos212°-sin212°=cos 24°，b== tan 24°<tan 30°=<=cos 30°<cos 24°=a，c== sin 24°<=tan 24°=b，所以c<b<a，故选A. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 6.设5π<θ<6π，cos=，则sin=______.  解析：∵<<，∴sin<0. ∴sin=- =-=-. - 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 7.已知sin-cos=-，且α∈，则tan=_____.  解析：由条件知∈，∴tan>0.∵sin-cos=-， ∴1-sin α=.∴sin α=，cos α=-，tan==2. 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8.若cos θ=-，θ∈(π，2π)，则sin+cos=___，sin-cos=___.  解析：因为θ∈(π，2π)，所以∈. 所以sin==， cos=-=-. 所以sin+cos=，sin-cos=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 9. (8分)求证：-tan θtan 2θ=1. 证明：-tan θtan 2θ=- == ===1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10.(10分)已知π<α<，化简+. 解：原式=+. ∵π<α<，∴<<. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 ∴cos<0，sin>0. ∴原式=+ =-+ =-cos. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 B级——重点培优 11.等腰三角形底和腰之比为黄金分割比的三角形称为 黄金三角形，它是最美的三角形.例如，正五角星由5个 黄金三角形和一个正五边形组成，且每个黄金三角形都 是顶角为36°的等腰三角形，如图所示，在黄金三角形ABC中，=.根据这些信息，可求得cos 324°的值为(　　) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 A. B.- C. D. 解析：在等腰△ABC中，cos 72°==，∴cos 324°=cos 36° ===.故选A. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 12.在△ABC中，已知tan=sin C，则△ABC的形状为(　　) A.正三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 解析：在△ABC中，tan=sin C=sin(A+B)=2sincos，所以2cos2=1.所以cos(A+B)=0，从而A+B=，△ABC为直角三角形. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13.若sin=-，0≤α≤π，则tan α的值是_______.  解析：因为-=-= sin+cos-=sin，所以2cos=sin或sin=0.所以tan=2或sin=0.当tan=2时，tan α===-，当sin=0时，tan α=0. 综上可知，tan α的值是-或0. -或0 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14.(10分)在△ABC中，若cos A=，cos B=，求sin，cos，tan的值. 解：因为A，B，C均为三角形的内角，所以sin A==， sin B==. 所以cos C=-cos(A+B)=sin Asin B-cos Acos B=×-×=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 所以sin===， cos===， tan==. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.(14分)已知向量m=(cos θ，sin θ)，n=(-sin θ，cos θ)，θ∈(π，2π)，若|m+n|=，求cos的值. 解：因为|m+n|=， 所以|m+n|2=， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 即|m|2+|n|2+2m·n=. 所以cos2θ+sin2θ+(-sin θ)2+cos2θ+2[cos θ(-sin θ)+sin θcos θ]=， 整理得(cos θ-sin θ)=. 所以cos=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 又因为θ∈(π，2π)， 所以+∈. 所以cos<0. 故cos=-=-=-. $$