第8章 整式乘法与因式分解（优质类型）-2024-2025学年七年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（沪科版2024新教材）

第8章 整式乘法与因式分解思维导图 【类型覆盖】 类型一、杨辉三角 【解惑】“杨辉三角”（如图），也叫“贾宪三角”，是中国古代数学无比睿智的成就之一，被后世广泛运用．用“杨辉三角”可以解释的展开式（按的次数由大到小的顺序）的系数规律，例如，在“杨辉三角”中第3行的3个数，恰好对应着的展开式中各项的系数：第4行的4个数1，，恰好对应着的展开式中各项的系数，等等．当是大于4的自然数时，上述规律仍然成立．则的展开式中含的系数（    ） A．21 B．1 C．35 D．7 【答案】C 【分析】本题主要考查整式的乘法运算规律，结合“杨辉三角”写出第八行的数得出的各项系数，即可求解． 【详解】解：依题意，第行的个数分别为： 第行的个数分别为： 第行的个数分别为： 第行的个数分别为： 即的各项系数为： 其中第四项为：， ∴的展开式中的系数是， 故选：C． 【融会贯通】 1．我围古代数学的许多发现都曾位居世界接前列，其中南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》中“杨辉三角”就是一例（如图），这个三角形的构造法则为：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方(左右)两数之和，这个三角形给出了（n为正整数）的展开式（按a的次数高低顺次排列）的系数规律，例如：各项系数即为第二行中三个数1，2，1；各项系数即为第三行中四个数1，3，3，1，根据以上规律，展开式的含有这一项的系数为（   ） A．1 B．6 C．15 D．20 【答案】B 【分析】本题考查了数字类规律型问题，解题的关键是正确理解题中给出的规律．根据规律求出的展开式中的系数，以进行降幂排列，即可得到答案． 【详解】解：根据题意得： 展开式中各项系数为：1，4，6，4，1， 展开式中各项系数为：1，5，10，10，5，1， 展开式中各项系数为：1，6，15，20，15，6，1，其中位于第二项， ∴含有这一项的系数为； 故选B． 2．我国宋代数学家杨辉发现了 展开式系数的规律： 展开式系数和为1 展开式系数和为 展开式系数和为 展开式系数和为 展开式系数和为 …… 以上系数三角表称为“杨辉三角”，根据上述规律，展开式的系数和是 ． 【答案】 【分析】本题考查多项式乘以多项式中的规律探究问题，根据已有等式，推出展开式的系数和为，即可． 【详解】解：的系数和为：； 的系数和为：； 的系数和为：； ∴展开式的系数和是； 故答案为：． 3．我国宋朝数学家杨辉在其著作《九章算法》中提到了下面的数表，人们将这个数表称为“杨辉三角”．                         观察“杨辉三角”与右侧的等式，根据各式的规律，展开的多项式中各项系数之和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了杨辉三角的应用，解答本题的关键是理解杨辉三角的规律，找出展开的多项式中各项系数之和． 找出展开各项的系数之和的规律为，即可解答． 【详解】解：，系数之和是， ，系数之和是， ，系数之和是， ，系数之和是， ， 所以，展开各项系数之和是， 所以展开各项的系数之和为， 故答案为：． 类型二、整除问题 【解惑】若为整数，则代数式的值一定可以（   ） A．被9整除 B．被6整除 C．被3整除 D．被2整除 【答案】C 【分析】本题主要考查了整式的四则混合运算、因式分解的应用等知识点，掌握整式的四则混合运算法则成为解题的关键． 先运用整式的四则混合运算化简，再因式分解，然后判断即可． 【详解】解：因为 ， 所以该代数式的值一定可以被3整除． 故选：C． 【融会贯通】 1．若k为任意整数，则的值总能（   ） A．被4整除 B．被5整除 C．被6整除 D．被7整除 【答案】A 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，利用平方差公式把因式分解为，据此可得答案． 【详解】解： ； ∵k为任意整数， ∴为整数， ∴一定能被4整除， ∴的值总能被4整除， 故选：A． 2．对于一个各个数位上的数字不相等且均不为零的四位自然数，且满足，则称这个数为“前和幂数”，如：，因为，所以5924是“前和幂数”．若是“前和幂数”，则这个数是 ；若四位数A是“前和幂数”，将“前和幂数”A的千位数字与百位数字对调，十位数字与个位数字对调，得到新数B，若能被33整除，则满足条件的A的最大值和最小值的差是 ． 【答案】 3674 4950 【分析】本题考查了新定义下的实数运算，一元一次方程的应用，因式分解的应用．理解新定义，正确推理计算是解题关键． 根据“前和幂数”的定义求解即可；设这个四位数，则，再结合“前和幂数”的定义，得出，再由能被33整除可知是整数，得到满足条件的的值为，进而得出满足条件的等式，即可得到A的最大值与最小值，即可解答． 【详解】解：∵是“前和幂数”， ∴， ∴， 这个数是3674； 设这个四位数，则， ， 四位数A是“前和幂数”， ， ， 能被33整除， 是整数，且，，，， 满足条件的的值为， ， 满足条件的等式为， 满足条件的A的最大值是，最小值为1263， 它们的差为． 故答案为：3674；4950． 3．对于一个各个数位上的数字均不为零的四位自然数（其中，b，c，，且a，b，c，d为整数），若满足，则称这个数为“幂差数”．如四位数6713，因为，所以6713是“幂差数”．若（且x、y为整数）是“幂差数”，那么这个数是 ．把“幂差数”A的千位数字与百位数字对调，得到另一个“幂差数”B，若能被37整除，则满足条件的A的最大值和最小值的差是 ． 【答案】 7524 7830 【分析】由“幂差数”的定义结合题意可得，且，从而得出或或或，求解并结合题意分析即可得出答案；由题意可得，，求出，再分情况：当时，存在最大值，此时；当时，存在最小值，此时；分别求出最大值与最小值，求差即可得解． 【详解】解：∵（且x、y为整数）是“幂差数”， ∴， ∵且x、y为整数， ∴，， ∴，且， ∴或或或， 解得：或或或， ∵且x、y为整数， ∴，即这个数是， ∵把“幂差数”A的千位数字与百位数字对调，得到另一个“幂差数”B， ∴，， ∴， ∵，b，c，，且a，b，c，d为整数， ∴当时，存在最大值，此时， ∴ ， ∵能被37整除，，b，c，，且a，b，c，d为整数， ∴能被整除， ∵， ∴能被整除， ∵，b，c，， ∴， ∴， ∴， ∴要使最大，此时，则，，即，， ∴的最大值为； 当时，存在最小值，此时， ∴ ， ∵能被37整除，，b，c，，且a，b，c，d为整数， ∴能被整除， ∵， ∴能被整除， ∵，b，c，， ∴， ∴， ∴， ∴要使最小，此时，则，，即，， ∴的最小值为； ∴满足条件的A的最大值和最小值的差是， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了整式的加减的应用、解二元一次方程组、利用平方差公式分解因式、新定义运算等知识点，正确理解题中的“幂差数”的概念，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 类型三、单(多)项式与多(单)项式的图形应用 【解惑】我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如图可以得到．请解答下列问题： (1)图中所表示的数学等式为 ；利用所得到的结论，解决问题：已知，，求的值； (2)小红同学用张边长为的正方形，张边长为的正方形，张两边长分别为的长方形纸片拼出了一个大长方形，大长方形的长和宽分别为、，求的值； (3)小丽同学用张边长为的正方形，张边长为的正方形，张两边分别为的长方形纸片拼出了一个长方形，请求出该长方形较长一边的长． 【答案】(1)，； (2)； (3)较长的一边的边长为． 【分析】（）根据图正方形面积两种求法即可得出等式，然后利用等式即可求出的值； （）利用大长方形的面积得出，从而求解； （）由长方形的面积即可求解； 本题考查了多项式乘以多项式的几何应用，利用面积法列出等式是解题的关键． 【详解】（1）解：图的面积求法一：，图的面积求法二：， ∴， 故答案为：； ∵，， ∴， ∴； （2）解：大长方形的面积 ， ∵大长方形的面积， ∴， ∴，，， ∴； （3）解：长方形的面积， ∴长方形的边长为和， ∵， 所以较长的一边的边长为． 【融会贯通】 1．某镇正在建造的文化广场工地上，有两种铺设广场地面的材料，一种是长为，宽为的矩形板材（如图），另一种是边长为的正方形地砖（如图）．    (1)用几块如图所示的正方形地砖能拼出一个新的正方形？并写出新正方形的面积（写出一个符合条件的答案即可）； (2)用如图所示的四块矩形板材铺成如图的大正方形或如图的大长方形，中间分别空出一个小正方形和小长方形（即图中阴影部分）； 请用含、的代数式分别表示图和图中阴影部分的面积； 试比较图和图中阴影部分的面积哪个大？大多少？ 【答案】(1)能，（答案不唯一） (2)①图③中阴影部分面积为；图④中阴影部分面积为；②图中阴影部分的面积较大，大 【分析】本题主要考查列代数式，整式乘法的应用，解题的关键是理解题意，熟练掌握完全平方公式． （1）根据拼成的正方形的边长，求出正方形的面积即可； （2）①根据正方形的边长求出正方形的面积即可；根据长方形的边长求出其面积即可； ②根据求出的正方形面积和长方形面积比较大小即可． 【详解】（1）解：四块即可拼成一个边长的的正方形，则面积是 ； （2）解：图中阴影部分的面积是：； 图中阴影部分的面积是： 故图中阴影部分的面积较大，大． 2．在已有的学习中我们知道，用两种不同的方法计算同一个几何图形的面积，可以得到一些代数恒等式，例如，如图1可以得到，基于此，请解答下列问题： (1)根据图2，写出一个代数恒等式： ； (2)如图3，现有，的正方形纸片和的长方形纸片各若干块，试选用这些纸片，拼出一个面积为的长方形（每种纸片至少用一次，每两个纸片之间既不重叠，也无空隙），并标出此长方形的长和宽； (3)如图4，写出一个代数恒等式，利用这个恒等式，解决下面的问题：若， 的值． 【答案】(1) (2)见详解（画图不唯一）： (3)20 【分析】此题考查的是几何图形面积与多项式的乘法，数形结合是解题的关键． （1）由图中大矩形的面积=中间的各图片的面积的和，就可得出代数式； （2）面积为，那么最小的正方形使用2次，较大的正方形使用2次，边长为a，b的长方形使用5次，依此即可求解； （3）根据正方形面积，正方形面积,可得等式，根据，进行计算即可求解． 【详解】（1）解：由题意可知，如下图： ； 故答案为：； （2）解：； 画图不唯一，画图正确即可，如下图： （3）解：由图4可知， ∴ ． 3．已知甲、乙两个长方形纸片，其边长如图所示，面积分别为和：    (1)①用含m的代数式表示：__________，__________； ②用“<”“=”或“>”填空：__________； (2)若一个正方形纸片的周长与长方形纸片乙的周长相等，其面积设为． ①该正方形纸片的边长是__________（用含m的代数式表示）； ②小方同学发现与的差是定值，请判断小方同学的发现是否正确，并通过计算说明你的理由． 【答案】(1)①；②> (2)①；②正确，理由见解析 【分析】本题主要考查了整式乘法的应用，比较基础，能够根据题意列出解题所需的代数式是解题关键． （1）①根据长方形面积公式列式计算； ②用作差法比较大小即可； （2）①求出乙长方形的周长，即可求出该正方形的边长；②列式计算与的差，可知与无关． 【详解】（1）解：①． ② ． 因为， 所以， 所以． 故答案为①；②>． （2）①长方形纸片乙的周长为． 因为正方形纸片的周长与长方形纸片乙的周长相等， 所以正方形纸片的边长为． 故答案为； ②正确．理由：， 所以与的差是定值，即小方同学的发现是正确的． 类型四、平方差公式的图形应用 【解惑】阅读与思考 已知，，求的值． 解：，，即． ，． 方法迁移 参考上述过程，解答下列问题： （1）若，： ①______； ②求的值． 拓展应用 （2）如图，已知长方形的周长为40，面积为．以为边，分别向下，向左作正方形和正方形，点，，，分别在，，，所在的直线上．求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）①  ②  （2）180 【分析】本题主要考查了完全平方公式和平方差公式的应用，熟练掌握完全平方公式及其变形是解题关键． （1）①参考题意，利用完全平方公式求解即可； ②利用完全平方公式变形求解即可； （2）设正方形的边长为x，正方形的边长为y， 则 ，且，根据长方形的周长为40，面积为，得出，，再利用完全平方公式变形，得到，根据图中阴影部分的面积，即可得到阴影部分的面积和． 【详解】解：（1）① ， ， ∴， ， ， 故答案为：； ②∵， ∴． （2）解：设正方形的边长为x，正方形的边长为y， 则 ，且， 则 ， ∵长方形的周长为40，面积为， ∴，即， ， ∴， ∴， 则图中阴影部分的面积． 【融会贯通】 1．在探索有关整式的乘法法则时，可以借助几何图形来解释某些法则． (1)观察图①的面积关系，写出一个数学公式_____； (2)请写出图②中的几何图形所表示的代数恒等式_____； (3)画出一个几何图形，使它的面积表示，其中． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题考查了平方差公式、多项式乘以多项式与几何图形的面积关系； 【详解】（1）解：根据图1可得， 故答案为：． （2）解：根据图形可得， 故答案为：． （3）解：如图所示， 2．通常情况下，用两种不同的方法计算一个图形的面积，可以得到一个数学等式．如图1，在①中边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形，再将阴影部分沿虚线剪开，可拼成②中的长方形． （1）写出图1所表示的数学等式：__________；如图2，大正方形的面积有两种表示方法，由此可以说明__________（填公式） 【问题探究】 （2）①已知，则的值为__________； ②如图2，若，则__________． 【拓展计算】 （3）． 【答案】（1），；（2）①12②74；（3） 【分析】本题考查乘法公式与几何图形的面积，熟练掌握数形结合的思想，是解题的关键： （1）利用两种方法表示出阴影部分的面积，写出图1的等式，利用正方形的面积公式以及分割法求图形的面积，表示出数学公式即可； （2）①利用平方差公式进行计算即可；②利用完全平方公式的变形进行求解即可； （3）利用平方差公式进行展开，再进行约分化简即可． 【详解】解：（1）阴影部分的面积可以用：，也可以用来表示， ∴图1所表示的数学等式为：； 大正方形的面积可以用：，也可以用表示， ∴可以说明； （2）①∵， ∴； 故答案为：12； ②∵， ∵， ∴ ； 故答案为：74； （3）原式 ． 3．如图1所示，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形．设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分面积为． (1)用含有字母a和b的式子分别表示S1与S2的面积： ， ． (2)根据图1与图2的面积关系，得到等式： ；运用这个等式可以简化一些乘法计算．例如，计算，可作如下变形：． (3)运用上述方法计算． 【答案】(1)； (2)； (3)39999 【分析】本题主要考查了平方差公式与几何图形，解题的关键是： （1）图1阴影部分面积等于边长为a的正方形面积减去边长为b的正方形面积，图2阴影部分面积是一个长为，宽为的长方形面积，据此求出两幅图中阴影部分面积； （2）根据（1）中两部分阴影面积相等即可得到对应的公式； （3）根据（2）的结论将原式变形，然后计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得；， 故答案为：；； （2）解：∵图1和图2中阴影部分面积相同， ∴， 故答案为：；； （3）解： ． 类型五、完全平方公式的图形应用 【解惑】我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式． (1)写出图 1 中所表示的数学等式为：_________； (2)写出图 2 中所表示的数学等式为∶_________； (3)利用(2)中所得到的结论，解决下面的问题：已知 ， ，则 _________ ； (4)小明同学又用 张边长为 的正方形， 张边长为 的正方形， 张边长分别为 、 的长方形纸片拼出了一个面积为长方形，那么 _________ ． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查的是多项式乘多项式、完全平方公式的应用，利用面积法列出等式是解题的关键． （1）直接求得长方形的面积，然后再根据长方形的面积等于各长方形的面积之和求解即可； （2）直接求得正方形的面积，然后再根据正方形的面积等于各长方形的面积之和求解即可； （2）将，，代入（1）中得到的关系式，然后进行计算即可； （3）将张边长为的正方形，张边长为的正方形，张边长分别为、的长方形的面积的和等于即可得到答案． 【详解】（1）解：根据图形可得， 故答案为：． （2）解：根据图形可得； 故答案为：． （3） ； 故答案为：． （4）由题意可知： ， ， ，，， ． 故答案为：． 【融会贯通】 1．【问题情景】 数学活动课上，老师出了一个题目，阅读下列解题过程． 若满足，，求的值． 解： 【实践探究】 根据以上解题方法，解决下列问题． 若满足 (1)请直接写出的值为____________． (2)求的值； (3)将正方形和正方形按如图所示摆放，点在边上，与交于点，且，，长方形的面积为15，以为边作正方形．设，①则____________，____________（用含的整式直接表示）． ②求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)5 (2) (3)①，②16 【分析】本题考查完全平方公式的应用以及整式的运算，解题的关键是灵活运用完全平方公式进行变形计算． （1）直接计算两式差即可得出结果； （2）利用完全平方公式变形，将已知条件代入计算； （3）（1）根据正方形边长关系得出和的表达式；（2）先根据长方形面积得出等式，再利用完全平方公式求阴影部分面积． 【详解】（1）解：， 故答案为：5； （2）解：， （3）解：①，正方形和正方形， ； 又因为， , 故答案为：，； ② 长方形的面积为15 图中阴影部分的面积为16． 2．对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图，可以得到，请解答下列问题： (1)写出图所表示的数学等式 ； (2)利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：若，，则 ； (3)用图中张边长为的正方形，张边长为的正方形，张长宽分别为、的长方形纸片拼出一个面积为的长方形，则 ． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了完全平方式的几何背景，灵活运用完全平方公式是解决本题的关键． （1）根据图形，可以写出相应的等式； （2）根据（1）中的结果和，，可以求得所求式子的值； （3）将展开，即可得到、、的值，再把三者相加即可解答． 【详解】（1）解：正方形的面积， 正方形的面积， ， 故答案为：； （2）解：，， ， ， ， ， 故答案为：； （3）解：由题可知，所拼图形的面积为：， ， ， ， ，，， ， 故答案为：． 3．数与形是数学研究客观物体的两个方面，数（代数）侧重研究物体数量方面，具有精确性，形（几何）侧重研究物体形的方面，具有直观性．“以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现，在如下图1和图2中阴影部分的面积便可利用几何直观的“等面积法”推导出数学等式． (1)发现问题：利用“等面积法”，表示图1和图2中阴影部分的面积，可获得的数学等式是： ①如图1，可知：___________； ②如图2，可知：=___________； (2)解决问题：若，，根据（1）中的数学等式，求的值． 【答案】(1)； (2)或 【分析】本题主要考查完全平方公式在几何图形中的应用，掌握完全平方公式的变形是解决问题的关键． （1）用两种不同的方法表示阴影部分面积，或根据大、小正方形的边长与长方形边长之间的关系可得答案； （2）利用，求得，再得到，进一步计算即可求出． 【详解】（1）解：①第一个图阴影部分的面积为， 第二个图阴影部分的面积为， ∴； ②大正方形的边长为，面积为， 中间小正方形的边长为，面积为， 四个小长方形的面积为， ∴阴影部分的面积为； 故答案为：；； （2）解：∵，， ∴， 由（1）可知， ∴， ， ∵ ， ∴当时，原式； 当时，原式； ∴的值为或． 类型六、十字相乘法的应用 【解惑】阅读下列材料： 将分解因式，我们可以按下面的方法解答： 解：步骤：①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验中项： ． ③横向写出两因式：． 我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法． 试用上述方法分解因式： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分解因式—十字相乘法， （1）根据十字相乘法分解因式即可； （2）根据十字相乘法分解因式即可； 掌握十字相乘法分解因式的步骤是解题的关键． 【详解】（1）解：①竖分二次项与常数项：，， ②交叉相乘，验中项： ， ③横向写出两因式：； （2）①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验中项： ， ③横向写出两因式：． 【融会贯通】 1．根据整式乘法法则分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分解因式，解题的关键是熟练掌握整式乘法法则分解因式的方法． （1）逆用乘法法则的方法解答即可； （2）先提取公因式，再逆用乘法法则的方法解答即可． 【详解】（1）解：原式， ； （2）解：原式， ， ． 2．【阅读理解】用“十字相乘法”分解因式． Ⅰ．次项系数． Ⅱ．常数项，验算：“交叉相乘之和” ①，②， ③，④． Ⅲ．发现第③个“交叉相乘之和”的结果等于一次项系数， 即， 则． 像这样分解因式的方法叫做十字相乘法． 【迁移运用】仿照此方法，分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是利用十字乘法分解因式． （1）直接利用十字乘法分解因式即可； （2）直接利用十字乘法分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 3．利用整式的乘法运算法则推导得出：．我们知道因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得．通过观察可把中看作以x为未知数，a、b、c、d为常数的二次三项式，此种因式分解是把二次三项式的二次项系数ac与常数项bd分别进行适当的分解来凑一次项的系数．分解过程可形象地表述为“竖乘得首、尾，叉乘凑中项”，如图1，这种分解的方法称为十字相乘法．例如：将二次三项式的二次项系数2与常数项12分别进行适当的分解，如图2，则． 根据阅读材料解决下列问题： (1)用十字相乘法分解因式：； (2)用十字相乘法分解因式：； (3)结合本题知识，分解因式：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查多项式乘多项式，因式分解，解答的关键是对相应的知识的掌握与运用． （1）利用十字相乘法进行求解即可； （2）利用十字相乘法进行求解即可； （3）先分组，再利用十字相乘法进行求解即可． 【详解】（1）解： ， ； （2）解： ， ； （3）解： ， ． 类型七、分组分解法的应用 【解惑】请灵活运用分组分解的方法对下列多项式进行因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分组分解法，提公因式分解因式． （1）先提取公因式，再分组分解，后利用提公因式即可求解； （2）先分组，再提取公因式，再次分组分解，即可求解． 【详解】（1）解： ． （2）解： 【融会贯通】 1．分解因式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． （）先分组，再利用提公因式进行因式分解即可； （）先分组，再利用完全平方公式和平方差公式进行因式分解即可； （）先分组，再利用完全平方公式和平方差公式进行因式分解即可； 【详解】（1）解： ． （2）解： ； （3）解： ． 2．阅读材料并解决问题：分解因式时，细心观察这个式子就会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了，过程为：，这种分解因式的方法叫做分组分解法．利用这种方法解决问题： (1)分解因式：； (2)已知的三边长，，，满足，试判断的形状． 【答案】(1) (2)是等腰三角形 【分析】本题考查了因式分解的应用．熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）应用分组分解法直接分解因式即可； （2）首先应用分组分解法，把分解因式，然后得到，从得到是等腰三角形． 【详解】（1）解： ； （2）解：的三边长，，满足， ， ， ， ， ． 是等腰三角形． 3．将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式分别分解的方法是因式分解中的分组分解法，常见的分组分解法的形式有：“”分法、“”分法、“”分法及“”分法等．如“”分法：． 再如“”分法：．利用上述方法解决下列问题： (1)分解因式： ①． ②． (2)已知：a、b、c为的三条边，，求的周长． 【答案】(1)①；② (2)7 【分析】本题考查因式分解，利用分组分解法时，要明确分组的目的，是分组分解后仍能继续分解，还是分组后利用各组本身的特点进行解题． （1）①根据“”分法即可得出答案；②根据“”分法即可得出答案； （2）运用完全平方公式进行分解因式，得出，即可得出答案． 【详解】（1）解：（1）①， ， ， ； ②， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ，，， ，， 的周长． 类型八、因式分解中的图形应用 【解惑】如图，将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成9块，其中有2块是边长为的大正方形，2块是边长为的小正方形，5块是长为，宽为的相同的小长方形，且． (1)观察图形，把多项式进行因式分解； (2)若这张大长方形纸板的周长为，图中空白部分的面积为，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了列代数式、因式分解． （1）结合代数式的几何意义因式分解； （2）根据空白部分的面积得到，再由大长方形的周长得到，化简得，，再根据阴影部分的面积为，整体代入求值即可得到阴影部分的面积． 【详解】（1）解：由题意得，大正方形的面积为，小正方形的面积为，小长方形的面积为， ∴为大长方形的面积， ∵大长方形的长为厘米，宽为厘米， ∴大长方形的面积为平方厘米， ∴， 故答案为：； （2）解：∵这张大长方形纸板的周长为，空白部分的面积为， ∴，， ∴，， ∴阴影部分的面积为： ， 答：图中阴影部分的面积为． 【融会贯通】 1．中国著名数学家华罗庚曾说过，“数形结合百般好，隔裂分家万事休”．数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化．我们学习的多项式的乘法可以利用图形的面积进行解释．如图1，现在有三种类型的纸片，1号纸片是边长为的正方形纸片，2号纸片是边长为的正方形纸片，3号纸片是长为、宽为的长方形纸片． (1)由边长分别为，的两个小正方形和两个长为、宽为的长方形拼成如图2所示的大正方形，可知大正方形的边长为，即可求得大正方形的面积．由此可得到一个乘法公式：______； (2)如图3，根据所拼图形的面积，可以把多项式分解因式，其结果是______； (3)用一张1号纸片，一张2号纸片，一张3号纸片可以拼接成如图4所示的图形．若阴影部分的面积为32，3号纸片的面积为24，求，的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查此题考查了完全平方公式的几何背景，弄清题意画出相应的图形，利用数形结合思想是解本题的关键． （1）根据面积相等的两次计算可得结论； （2）根据多项式的几何背景是边长为，的长方形扔面积，解答； （3）根据阴影面积＝总面积－两个三角形的面积求解即可． 【详解】（1）解：根据题意可得，； 故答案为：； （2）解：根据所拼图形的面积，可以把多项式分解因式，其结果是， 故答案为：； （3）解：图形的总面积为：， 两个三角形两种分别为：， ，阴影面积＝总面积－两个三角形的面积， （负数舍去） ， ． 2．【阅读材料】把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、最值等问题中都有着广泛的应用． 例如：①用配方法分解因式： ②求的最小值． ． ， ， 即的最小值为． 【解决问题】请根据上述材料，解答下列问题． (1)用配方法分解因式：； (2)如图，在中，，，，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向点运动，同时，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向点运动，当其中任何一点到达终点时，两点均停止运动．设运动时间为，的面积为． ①用含有的代数式表示． ②当为何值时，的值最大，最大值是多少？ 【答案】(1) (2)①；②当时，的值最大，最大值是 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，因式分解，熟练掌握配方法和因式分解是解题的关键． （1）根据材料，先凑完全平方，再利用平方差公式因式分解即可； （2）①根据题意，得到，分别表示，由，根据三角形面积公式即可解答；②利用材料中方法配方即可解答； 【详解】（1）解： ； （2）解：①∵，， ∴， ∴， 由题意得：， ∴， ∵， ∴的面积为；． ②由①知， ∵， ∴当时，的值最大，最大值是． 3．“以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现．如图②，将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成9块，其中有2块是边长为的大正方形纸板A，2块是边长为的小正方形纸板B，5块是长为，宽为的小长方形纸板C，且． (1)观察图②，从面积恒等变形的角度考虑，可以将代数式因式分解为__________． (2)若图②中大长方形纸板的周长为，则__________．； (3)在(2)的条件下，若图②中阴影部分的面积为，求图①中一张纸板A和一张纸板B的面积和． 【答案】(1) (2)9 (3) 【分析】本题考查了因式分解的应用、完全平方公式的应用，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）代数式所表示的面积正好是长方形的面积，即长乘宽，即可得到因式分解的结果； （2）根据长方形的周长即可得出的值； （3）根据阴影部分的面积求出，由（2）可得，再求出的值即可得解． 【详解】（1）解：观察图②，从面积恒等变形的角度考虑，可以将代数式因式分解为， 故答案为：； （2）解：∵图②中大长方形纸板的周长为， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵图②中阴影部分的面积为， ∴， ∴， 由（2）可得， ∴， ∴图①中一张纸板A和一张纸板B的面积和为． 类型九、整式中的规律问题 【解惑】阅读材料 计算下列两个两位数（十位上的数相同，个位上的数的和是10）相乘的运算： ，，，； 小明与田田观察上面的运算，发现了运算规律：十位上的数相同，个位上的数的和为10的两个两位数相乘，十位上的数乘以它与1的和作为结果的千位和百位，两个个位上的数相乘作为结果的十位和个位． 解决问题： (1)小明邀请田田利用上述速算方法，计算的积为 ； (2)尝试用含有字母的式子表示上述规律： 如果设一个两位数十位上的数是（，且为整数），个位上的数是（，且为整数），那么这个两位数可以表示为，则另一个两位数可以表示为 ，上述规律可以表示为 （用含，的式子表示）； (3)尝试对这个规律进行证明． 【答案】(1)2021 (2)， (3)见解析 【分析】本题考查多项式乘以多项式，列代数式： （1）根据题干给定的方法，进行计算即可； （2）根据两个两位数的特点，表示出另一个两位数，根据计算方法，写出规律即可； （3）利用多项式乘以多项式的法则，进行计算，证明即可． 【详解】（1）解：， ∴； （2）∵两个两位数的十位上的数相同，个位上的数的和为10， ∴另一个两位数的十位数字为：，个位上的数字为， ∴另一个两位数表示为：； ∴； （3）证明： ， ． 【融会贯通】 1．观察下列等式： ； ； ； ； … (1)请将2024写成两个整数平方差的形式： ； (2)用含有字母n（n为正整数）的等式表示这一规律，并用已学的数学知识验证这一规律； (3)相邻的两个整数的平方差是4的倍数吗？请说说你的理由． 【答案】(1)507，505 (2)规律：，验证见解析 (3)不是．理由见解析 【分析】本题考查了平方差公式的应用，熟练掌握平方差公式是解此题的关键． （1）根据并结合题中所给式子即可得解； （2）根据题中所给式子得出规律，再结合平方差公式验证即可； （3）设相邻的两个整数分别为，，其中为整数，再利用平方差公式验证即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：规律：，验证如下： ∵， ∴； （3）解：相邻的两个整数的平方差不是4的倍数，理由如下： 设相邻的两个整数分别为，，其中为整数， ∴， ∵为奇数，不是的倍数， ∴相邻的两个整数的平方差不是4的倍数． 2．（1）填空并观察下列各式的规律： ________； ； ； ； … 可得到________； （2）猜想：________（其中为正整数，且）； （3）利用（2）猜想的结论计算：． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了多项式乘多项式的规律问题，解题的关键是明确题意，利用猜想解答问题． （1）根据题目中的例题得到规律，则可以直接写出结果； （2）根据（1）中的例子可以写出相应的猜想； （3）把（2）中式子中的代入即可求解． 【详解】解：（1）根据规律可得， 故答案为：； （2）根据（1）中规律可得， 故答案为：； （3）设（2）中式子中的， 则有， 即， ∴． 3．用字母表示数可以从特殊到一般的表达数学规律，请观察下列关于正整数的等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； …… (1)直接写出第2025个等式； (2)用含n（n为正整数）的等式表示第n个等式，并利用整式的运算证明这个结论； (3)根据教材的学习经验，用图形的面积验证代数恒等式是常用的方法，请尝试借助图形的面积验证（2）的结论，具体思路是先将边长为的正方形（如图1）进行适当分割，再在图2处重新画出拼接的图形（要求在图中标出相应线段的长度）． 【答案】(1) (2)用含n（n为正整数）的等式表示第n个等式为，证明见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了数字类规律探索，整式的乘法，正确得出规律是解此题的关键． （1）根据题干所给的式子即可得解； （2）根据题干所给的式子得出规律即可； （3）根据（2）中的式子将正方形进行分割，再重新拼接即可得解． 【详解】（1）解：由题意可得：第2025个等式为； （2）解：由题意可得：用含n（n为正整数）的等式表示第n个等式为， 左边，右边， ∴左边右边； （3）解：如图所示： ． 类型十、整式中的新定义问题 【解惑】配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 我们定义：一个整数能表示成（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”． 例如，5是“完美数”．理由：因为，所以5是“完美数”． 利用上面提到的数学思想方法解决下列问题： 【应用】（1）数61__________“完美数”（填“是”或“不是”）； 【探究】（2）已知，则__________； （3）已知（x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的k值； 【拓展】（4）已知x、y满足，求代数式的最小值． 【答案】（1）是；（2）1；（3）9；（4） 【分析】本题考查了配方法的应用，掌握完全平方公式的特点是解题的关键． （1）根据新定义求解； （2）先把等式的左边进行配方，再根据非负数的性质求出、的值，再求； （3）先根据的前四项进行配方，再根据相等的条件求解； （4）根据条件求出的值，再进行配方求解． 【详解】（1）解：， 是“完美数”， 故答案为：是； （2）解：， ，， ， 故答案为：1； （3）解： ， 为“完美数”， ， ； （4）解：， ， ， ， 当时，的最小值为． 【融会贯通】 1．定义一种对整数的“”运算：，以表示对整数进行次“”运算．例如，表示对进行次“”运算，因为是偶数，所以，第一次运算的结果为，因为第一次运算的结果是奇数，所以第二次运算的结果为，所以的运算结果是．请回答下列问题： (1)直接写出的运算结果是__________． (2)若为偶数，且的运算结果为，求的值． (3)若为奇数，且，，求的值． 【答案】(1) (2)或 (3)，，， 【分析】本题考查了整式的运算，一元一次方程和不等式的应用，解题的关键是分类讨论和理解“”运算． （1）根据“”运算求解即可； （2）由于为偶数，则的第一次运算结果为，第二次运算分两种情况：当是偶数时，当是奇数时，根据“”运算求解即可； （3）根据为奇数，且，得到第一次运算的结果为，求出，由于为偶数，则第二次运算的结果为，第三次运算分两种情况：当是偶数时，当是奇数时，根据“”运算列出不等式，即可求解． 【详解】（1）解：中，是奇数， 的运算结果是， 故答案为：； （2）解：为偶数， 的第一次运算结果为， 当是偶数时，的第二次运算结果为， 解得：； 当是奇数时，的第二次运算结果为， 解得：； 综上所述，的值为或； （3）解：为奇数，且，， 第一次运算的结果为， 解得：， 、为奇数， 为偶数， 第二次运算的结果为， 当是偶数时，第三次运算的结果为， 解得：， 当是奇数时，第三次运算的结果为， 解得：， 综上所述，， 为奇数，且是整数， 的值为，，，． 2．定义：整式乘以整式，得到整式，如果整式的项数正好比整式的项数多1，那么我们称整式是整式的“相邻增项式”． (1)如果，，判断是否是的“相邻增项式”，并说明理由； (2)已知，都是关于的整式且、均为不等于0的有理数． ①填空：当时，如果是的“相邻增项式”，那么的值为_____； ②设，，如果关于的整式中不含的二次项，且整式是整式的“相邻增项式”，求的值． 【答案】(1)是，理由见解析 (2)①或；②的值为 【分析】本题考查了多项式乘多项式，解题的关键是理解题意，掌握多项式乘多项式法则． （1）根据多项式乘法算出，再根据“相邻增项式”的定义判断即可． （2）①当时，算出，根据是的“相邻增项式”，得出或，解答即可． ②根据，算出，根据关于的整式中不含的二次项，得出，求出，从而得出，再表示出，算出，即可求解． 【详解】（1）解：是，理由如下： 根据题意可得：， 的项数正好比的项数多1， 是的“相邻增项式”． （2）解：①当时，， ∵是的“相邻增项式”， ∴或， 解得：或． ②根据题意可得， ∴， 由于关于的整式中不含的二次项，， ∴，解得：， ， ∵， ∴， ， 当时，为关于的二项式，而为四项式， 此时不合题意，舍去； 当时，则为关于的三项式， 又是的“相邻增项式”且， ， 综上所述，的值为． 3．皓皓同学在学习了“平方根”这节课后知道了“负数在实数范围内没有平方根”，她对这句话产生了兴趣，她想知道负数在其他范围内是否有平方根，所以她上网查找了以下一些资料． 数的概念是从实践中产生和发展起来的，在学习了实数以后，像这样的方程还是没有实数解的，因为没有一个实数的平方等于，即负数在实数范围内没有平方根，所以为了了解形如这类方程的解，就要引入一个新的数． 定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数叫做虚数单位． 在这种情况下，可以与实数相乘再同实数相加从而得到形如“” 、为实数）的数，人们把这种数叫作复数，叫这个复数的实部，叫做这个复数的虚部．它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似． 比如： （1） （2） （3） 这样数的范围就由实数扩充到了复数，在这种规定下，负数在复数范围内就有平方根．比如：就是的平方根． 根据上面的材料解答以下问题： (1)计算： ①___________②___________③___________ (2)在复数范围内的平方根是___________ (3)在复数范围内分解因式___________． 【答案】(1)①②③ (2) (3) 【分析】本题考查的是实数的运算和因式分解的应用，理解新定义、正确运用因式分解的方法是解题的关键． （1）①根据合并同类项法则计算即可； ②根据积的乘方进行运算，③根据完全平方公式计算； （2）根据平方根的概念计算； （3）根据因式分解的方法进行计算即可． 【详解】（1）①， ②， ③； （2）； （3） ． 【一览众山小】 1．把多项式分解因式，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可． 【详解】解： 故选：A． 2．已知，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键，根据题意巧妙构造，再利用完全平方公式展开，合并同类项后即可得到答案． 【详解】解：已知， 则， 那么， 整理得：， 则， 故选：B． 3．如图，点是线段上一点，以，为边向两边作正方形和，已知，两正方形的面积和，则图中阴影部分的面积为（   ） A．10 B．20 C．40 D．25 【答案】A 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，掌握完全平方公式的结构特征是解答本题的关键．设，，可得，，然后根据完全平方公式求出即可． 【详解】解：设，， ， ， 又， ， 由完全平方公式可得，， ， ， ， 即：阴影部分的面积为． 故选：A． 4．已知，，则 ． 【答案】100 【分析】本题主要考查了因式分解的应用、代数式求值等知识点，掌握因式分解的方法成为解题的关键． 先运用提取公因式和公式法因式分解，然后将、代入计算即可． 【详解】解： ， 当，时，原式． 故答案为：100． 5．已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了整体代入法求代数式的值，单项式乘以多项式，根据已知可得，，代入代数式，即可求解． 【详解】解：∵，则 ∴，则 即， ∴ ∴ 故答案为：． 6．计算的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式进行计算，掌握平方差公式是解题的关键． 根据平方差公式因式分解即可求解． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 7．因式分解： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解． （1）先提取公因式2，然后利用平方差公式继续进行因式分解； （2）先提取公因式，然后利用完全平方公式继续进行因式分解． 【详解】（1）解： = =； （2）解： ． 8．【阅读材料】 教材中把形如的式子叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．利用配方法不仅可以将多项式进行因式分解，还能解决求一些多项式最大值或最小值等问题．例如： ①分解因式： ． ②求多项式的最小值： ， ， 当时，有最小值，最小值是． 【解决问题】 (1)按照上述方法分解因式：； (2)多项式的最小值为4，请求出的值； (3)若实数，满足，请求多项式的最值． 【答案】(1) (2) (3)最大值为 【分析】本题考查了完全平方公式，熟练利用完全平方公式因式分解和计算是解题的关键， （1）利用题中的“配方法”，构造完全平方公式，即可分解因式； （2）利用“配方法”将原式变成，由于，故，从而得到，进而得到，即可求出值； （3）根据（2）的方法，利用“配方法”将原式变成，通过移项得，由于，从而得到，即可得到的最大值． 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2）原式 ， ∵ ∴ ∴ ∵原多项式最小值为4． ， ， （3）原式可变形为： ∴， ． ∵ ∴ ∴ ∴ 取最大值为． 9．阅读：在计算的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫做特殊到一般．如下所示： (1)【观察】_____； _____； _____；…… (2)【猜想】由此可得：__________； (3)【应用】请运用上面的结论，解决下列问题：计算：的值． 【答案】(1)；； (2) (3) 【分析】此题主要考查了平方差公式、多项式乘以多项式以及数字变化规律，正确得出式子之间的变化规律是解题关键 （1）利用平方差公式和多项式乘以多项式计算即可； （2）利用（1）中变化规律进而得出答案； （3）设，则，即可求解． 【详解】（1）解：； ； ， 故答案为：；；； （2）解：（1）总结得到，， 故答案为：； （3）解： 设， 根据 则， ∴． 10．如图，边长为的大正方形内有一个边长为的小正方形． (1)用含字母的代数式表示图1中阴影部分的面积为_______________； (2)将图1的阴影部分沿斜线剪开后，拼成了一个如图2所示的长方形，用含字母的代数式表示此长方形的面积为______________； (3)比较（2）、（1）的结果，请你写出一个非常熟悉的乘法公式________________． (4)【问题解决】利用（3）的公式解决问题： ①已知，，则的值为___________． ②直接写出下面算式的计算结果：． 【答案】(1) (2) (3) (4)①3；② 【分析】3本题考查了平法差公式的应用，涉及了有理数的乘方运算，熟练掌握平方差公式的有关应用，灵活运用平法差公式是解题的关键． （1）阴影部分面积等于大正方形面积减去小正方形面积，故阴影部分面积等于． （2）经分析，图2中长方形长为、宽为．根据长方形面积公式，得长方形面积为． （3）因阴影部分图形拼接前后，面积不变，故． （4）①根据平方差公式，进行计算即可求解． ②连续使用平方差公式，进而即可求解。 【详解】（1） （2）经分析，拼接后的长方形长为、宽为． ∴ （3）∵阴影部分图形拼接前后，面积不变， ∴． （4）①解：①∵，， ∴ ∴， ② 故答案为：①3；②． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第8章 整式乘法与因式分解思维导图 【类型覆盖】 类型一、杨辉三角 【解惑】“杨辉三角”（如图），也叫“贾宪三角”，是中国古代数学无比睿智的成就之一，被后世广泛运用．用“杨辉三角”可以解释的展开式（按的次数由大到小的顺序）的系数规律，例如，在“杨辉三角”中第3行的3个数，恰好对应着的展开式中各项的系数：第4行的4个数1，，恰好对应着的展开式中各项的系数，等等．当是大于4的自然数时，上述规律仍然成立．则的展开式中含的系数（    ） A．21 B．1 C．35 D．7 【融会贯通】 1．我围古代数学的许多发现都曾位居世界接前列，其中南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》中“杨辉三角”就是一例（如图），这个三角形的构造法则为：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方(左右)两数之和，这个三角形给出了（n为正整数）的展开式（按a的次数高低顺次排列）的系数规律，例如：各项系数即为第二行中三个数1，2，1；各项系数即为第三行中四个数1，3，3，1，根据以上规律，展开式的含有这一项的系数为（   ） A．1 B．6 C．15 D．20 2．我国宋代数学家杨辉发现了 展开式系数的规律： 展开式系数和为1 展开式系数和为 展开式系数和为 展开式系数和为 展开式系数和为 …… 以上系数三角表称为“杨辉三角”，根据上述规律，展开式的系数和是 ． 3．我国宋朝数学家杨辉在其著作《九章算法》中提到了下面的数表，人们将这个数表称为“杨辉三角”．                         观察“杨辉三角”与右侧的等式，根据各式的规律，展开的多项式中各项系数之和为 ． 类型二、整除问题 【解惑】若为整数，则代数式的值一定可以（   ） A．被9整除 B．被6整除 C．被3整除 D．被2整除 【融会贯通】 1．若k为任意整数，则的值总能（   ） A．被4整除 B．被5整除 C．被6整除 D．被7整除 2．对于一个各个数位上的数字不相等且均不为零的四位自然数，且满足，则称这个数为“前和幂数”，如：，因为，所以5924是“前和幂数”．若是“前和幂数”，则这个数是 ；若四位数A是“前和幂数”，将“前和幂数”A的千位数字与百位数字对调，十位数字与个位数字对调，得到新数B，若能被33整除，则满足条件的A的最大值和最小值的差是 ． 3．对于一个各个数位上的数字均不为零的四位自然数（其中，b，c，，且a，b，c，d为整数），若满足，则称这个数为“幂差数”．如四位数6713，因为，所以6713是“幂差数”．若（且x、y为整数）是“幂差数”，那么这个数是 ．把“幂差数”A的千位数字与百位数字对调，得到另一个“幂差数”B，若能被37整除，则满足条件的A的最大值和最小值的差是 ． 类型三、单(多)项式与多(单)项式的图形应用 【解惑】我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如图可以得到．请解答下列问题： (1)图中所表示的数学等式为 ；利用所得到的结论，解决问题：已知，，求的值； (2)小红同学用张边长为的正方形，张边长为的正方形，张两边长分别为的长方形纸片拼出了一个大长方形，大长方形的长和宽分别为、，求的值； (3)小丽同学用张边长为的正方形，张边长为的正方形，张两边分别为的长方形纸片拼出了一个长方形，请求出该长方形较长一边的长． 【融会贯通】 1．某镇正在建造的文化广场工地上，有两种铺设广场地面的材料，一种是长为，宽为的矩形板材（如图），另一种是边长为的正方形地砖（如图）．    (1)用几块如图所示的正方形地砖能拼出一个新的正方形？并写出新正方形的面积（写出一个符合条件的答案即可）； (2)用如图所示的四块矩形板材铺成如图的大正方形或如图的大长方形，中间分别空出一个小正方形和小长方形（即图中阴影部分）； 请用含、的代数式分别表示图和图中阴影部分的面积； 试比较图和图中阴影部分的面积哪个大？大多少？ 2．在已有的学习中我们知道，用两种不同的方法计算同一个几何图形的面积，可以得到一些代数恒等式，例如，如图1可以得到，基于此，请解答下列问题： (1)根据图2，写出一个代数恒等式： ； (2)如图3，现有，的正方形纸片和的长方形纸片各若干块，试选用这些纸片，拼出一个面积为的长方形（每种纸片至少用一次，每两个纸片之间既不重叠，也无空隙），并标出此长方形的长和宽； (3)如图4，写出一个代数恒等式，利用这个恒等式，解决下面的问题：若， 的值． 3．已知甲、乙两个长方形纸片，其边长如图所示，面积分别为和：    (1)①用含m的代数式表示：__________，__________； ②用“<”“=”或“>”填空：__________； (2)若一个正方形纸片的周长与长方形纸片乙的周长相等，其面积设为． ①该正方形纸片的边长是__________（用含m的代数式表示）； ②小方同学发现与的差是定值，请判断小方同学的发现是否正确，并通过计算说明你的理由． 类型四、平方差公式的图形应用 【解惑】阅读与思考 已知，，求的值． 解：，，即． ，． 方法迁移 参考上述过程，解答下列问题： （1）若，： ①______； ②求的值． 拓展应用 （2）如图，已知长方形的周长为40，面积为．以为边，分别向下，向左作正方形和正方形，点，，，分别在，，，所在的直线上．求图中阴影部分的面积． 【融会贯通】 1．在探索有关整式的乘法法则时，可以借助几何图形来解释某些法则． (1)观察图①的面积关系，写出一个数学公式_____； (2)请写出图②中的几何图形所表示的代数恒等式_____； (3)画出一个几何图形，使它的面积表示，其中． 2．通常情况下，用两种不同的方法计算一个图形的面积，可以得到一个数学等式．如图1，在①中边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形，再将阴影部分沿虚线剪开，可拼成②中的长方形． （1）写出图1所表示的数学等式：__________；如图2，大正方形的面积有两种表示方法，由此可以说明__________（填公式） 【问题探究】 （2）①已知，则的值为__________； ②如图2，若，则__________． 【拓展计算】 （3）． 3．如图1所示，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形．设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分面积为． (1)用含有字母a和b的式子分别表示S1与S2的面积： ， ． (2)根据图1与图2的面积关系，得到等式： ；运用这个等式可以简化一些乘法计算．例如，计算，可作如下变形：． (3)运用上述方法计算． 类型五、完全平方公式的图形应用 【解惑】我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式． (1)写出图 1 中所表示的数学等式为：_________； (2)写出图 2 中所表示的数学等式为∶_________； (3)利用(2)中所得到的结论，解决下面的问题：已知 ， ，则 _________ ； (4)小明同学又用 张边长为 的正方形， 张边长为 的正方形， 张边长分别为 、 的长方形纸片拼出了一个面积为长方形，那么 _________ ． 【融会贯通】 1．【问题情景】 数学活动课上，老师出了一个题目，阅读下列解题过程． 若满足，，求的值． 解： 【实践探究】 根据以上解题方法，解决下列问题． 若满足 (1)请直接写出的值为____________． (2)求的值； (3)将正方形和正方形按如图所示摆放，点在边上，与交于点，且，，长方形的面积为15，以为边作正方形．设，①则____________，____________（用含的整式直接表示）． ②求图中阴影部分的面积． 2．对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图，可以得到，请解答下列问题： (1)写出图所表示的数学等式 ； (2)利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：若，，则 ； (3)用图中张边长为的正方形，张边长为的正方形，张长宽分别为、的长方形纸片拼出一个面积为的长方形，则 ． 3．数与形是数学研究客观物体的两个方面，数（代数）侧重研究物体数量方面，具有精确性，形（几何）侧重研究物体形的方面，具有直观性．“以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现，在如下图1和图2中阴影部分的面积便可利用几何直观的“等面积法”推导出数学等式． (1)发现问题：利用“等面积法”，表示图1和图2中阴影部分的面积，可获得的数学等式是： ①如图1，可知：___________； ②如图2，可知：=___________； (2)解决问题：若，，根据（1）中的数学等式，求的值． 类型六、十字相乘法的应用 【解惑】阅读下列材料： 将分解因式，我们可以按下面的方法解答： 解：步骤：①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验中项： ． ③横向写出两因式：． 我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法． 试用上述方法分解因式： (1)； (2)； 【融会贯通】 1．根据整式乘法法则分解因式： (1)； (2)． 2．【阅读理解】用“十字相乘法”分解因式． Ⅰ．次项系数． Ⅱ．常数项，验算：“交叉相乘之和” ①，②， ③，④． Ⅲ．发现第③个“交叉相乘之和”的结果等于一次项系数， 即， 则． 像这样分解因式的方法叫做十字相乘法． 【迁移运用】仿照此方法，分解因式： (1)； (2)． 3．利用整式的乘法运算法则推导得出：．我们知道因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得．通过观察可把中看作以x为未知数，a、b、c、d为常数的二次三项式，此种因式分解是把二次三项式的二次项系数ac与常数项bd分别进行适当的分解来凑一次项的系数．分解过程可形象地表述为“竖乘得首、尾，叉乘凑中项”，如图1，这种分解的方法称为十字相乘法．例如：将二次三项式的二次项系数2与常数项12分别进行适当的分解，如图2，则． 根据阅读材料解决下列问题： (1)用十字相乘法分解因式：； (2)用十字相乘法分解因式：； (3)结合本题知识，分解因式：． 类型七、分组分解法的应用 【解惑】请灵活运用分组分解的方法对下列多项式进行因式分解： (1)； (2)． 【融会贯通】 1．分解因式： (1)； (2)； (3)． 2．阅读材料并解决问题：分解因式时，细心观察这个式子就会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了，过程为：，这种分解因式的方法叫做分组分解法．利用这种方法解决问题： (1)分解因式：； (2)已知的三边长，，，满足，试判断的形状． 3．将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式分别分解的方法是因式分解中的分组分解法，常见的分组分解法的形式有：“”分法、“”分法、“”分法及“”分法等．如“”分法：． 再如“”分法：．利用上述方法解决下列问题： (1)分解因式： ①． ②． (2)已知：a、b、c为的三条边，，求的周长． 类型八、因式分解中的图形应用 【解惑】如图，将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成9块，其中有2块是边长为的大正方形，2块是边长为的小正方形，5块是长为，宽为的相同的小长方形，且． (1)观察图形，把多项式进行因式分解； (2)若这张大长方形纸板的周长为，图中空白部分的面积为，求图中阴影部分的面积． 【融会贯通】 1．中国著名数学家华罗庚曾说过，“数形结合百般好，隔裂分家万事休”．数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化．我们学习的多项式的乘法可以利用图形的面积进行解释．如图1，现在有三种类型的纸片，1号纸片是边长为的正方形纸片，2号纸片是边长为的正方形纸片，3号纸片是长为、宽为的长方形纸片． (1)由边长分别为，的两个小正方形和两个长为、宽为的长方形拼成如图2所示的大正方形，可知大正方形的边长为，即可求得大正方形的面积．由此可得到一个乘法公式：______； (2)如图3，根据所拼图形的面积，可以把多项式分解因式，其结果是______； (3)用一张1号纸片，一张2号纸片，一张3号纸片可以拼接成如图4所示的图形．若阴影部分的面积为32，3号纸片的面积为24，求，的值． 2．【阅读材料】把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、最值等问题中都有着广泛的应用． 例如：①用配方法分解因式： ②求的最小值． ． ， ， 即的最小值为． 【解决问题】请根据上述材料，解答下列问题． (1)用配方法分解因式：； (2)如图，在中，，，，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向点运动，同时，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向点运动，当其中任何一点到达终点时，两点均停止运动．设运动时间为，的面积为． ①用含有的代数式表示． ②当为何值时，的值最大，最大值是多少？ 3．“以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现．如图②，将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成9块，其中有2块是边长为的大正方形纸板A，2块是边长为的小正方形纸板B，5块是长为，宽为的小长方形纸板C，且． (1)观察图②，从面积恒等变形的角度考虑，可以将代数式因式分解为__________． (2)若图②中大长方形纸板的周长为，则__________．； (3)在(2)的条件下，若图②中阴影部分的面积为，求图①中一张纸板A和一张纸板B的面积和． 类型九、整式中的规律问题 【解惑】阅读材料 计算下列两个两位数（十位上的数相同，个位上的数的和是10）相乘的运算： ，，，； 小明与田田观察上面的运算，发现了运算规律：十位上的数相同，个位上的数的和为10的两个两位数相乘，十位上的数乘以它与1的和作为结果的千位和百位，两个个位上的数相乘作为结果的十位和个位． 解决问题： (1)小明邀请田田利用上述速算方法，计算的积为 ； (2)尝试用含有字母的式子表示上述规律： 如果设一个两位数十位上的数是（，且为整数），个位上的数是（，且为整数），那么这个两位数可以表示为，则另一个两位数可以表示为 ，上述规律可以表示为 （用含，的式子表示）； (3)尝试对这个规律进行证明． 【融会贯通】 1．观察下列等式： ； ； ； ； … (1)请将2024写成两个整数平方差的形式： ； (2)用含有字母n（n为正整数）的等式表示这一规律，并用已学的数学知识验证这一规律； (3)相邻的两个整数的平方差是4的倍数吗？请说说你的理由． 2．（1）填空并观察下列各式的规律： ________； ； ； ； … 可得到________； （2）猜想：________（其中为正整数，且）； （3）利用（2）猜想的结论计算：． 3．用字母表示数可以从特殊到一般的表达数学规律，请观察下列关于正整数的等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； …… (1)直接写出第2025个等式； (2)用含n（n为正整数）的等式表示第n个等式，并利用整式的运算证明这个结论； (3)根据教材的学习经验，用图形的面积验证代数恒等式是常用的方法，请尝试借助图形的面积验证（2）的结论，具体思路是先将边长为的正方形（如图1）进行适当分割，再在图2处重新画出拼接的图形（要求在图中标出相应线段的长度）． 类型十、整式中的新定义问题 【解惑】配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 我们定义：一个整数能表示成（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”． 例如，5是“完美数”．理由：因为，所以5是“完美数”． 利用上面提到的数学思想方法解决下列问题： 【应用】（1）数61__________“完美数”（填“是”或“不是”）； 【探究】（2）已知，则__________； （3）已知（x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的k值； 【拓展】（4）已知x、y满足，求代数式的最小值． 【融会贯通】 1．定义一种对整数的“”运算：，以表示对整数进行次“”运算．例如，表示对进行次“”运算，因为是偶数，所以，第一次运算的结果为，因为第一次运算的结果是奇数，所以第二次运算的结果为，所以的运算结果是．请回答下列问题： (1)直接写出的运算结果是__________． (2)若为偶数，且的运算结果为，求的值． (3)若为奇数，且，，求的值． 2．定义：整式乘以整式，得到整式，如果整式的项数正好比整式的项数多1，那么我们称整式是整式的“相邻增项式”． (1)如果，，判断是否是的“相邻增项式”，并说明理由； (2)已知，都是关于的整式且、均为不等于0的有理数． ①填空：当时，如果是的“相邻增项式”，那么的值为_____； ②设，，如果关于的整式中不含的二次项，且整式是整式的“相邻增项式”，求的值． 3．皓皓同学在学习了“平方根”这节课后知道了“负数在实数范围内没有平方根”，她对这句话产生了兴趣，她想知道负数在其他范围内是否有平方根，所以她上网查找了以下一些资料． 数的概念是从实践中产生和发展起来的，在学习了实数以后，像这样的方程还是没有实数解的，因为没有一个实数的平方等于，即负数在实数范围内没有平方根，所以为了了解形如这类方程的解，就要引入一个新的数． 定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数叫做虚数单位． 在这种情况下，可以与实数相乘再同实数相加从而得到形如“” 、为实数）的数，人们把这种数叫作复数，叫这个复数的实部，叫做这个复数的虚部．它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似． 比如： （1） （2） （3） 这样数的范围就由实数扩充到了复数，在这种规定下，负数在复数范围内就有平方根．比如：就是的平方根． 根据上面的材料解答以下问题： (1)计算： ①___________②___________③___________ (2)在复数范围内的平方根是___________ (3)在复数范围内分解因式___________． 【一览众山小】 1．把多项式分解因式，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 2．已知，则的值是（   ） A． B． C． D． 3．如图，点是线段上一点，以，为边向两边作正方形和，已知，两正方形的面积和，则图中阴影部分的面积为（   ） A．10 B．20 C．40 D．25 4．已知，，则 ． 5．已知，则 ． 6．计算的值为 ． 7．因式分解： (1) (2) 8．【阅读材料】 教材中把形如的式子叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．利用配方法不仅可以将多项式进行因式分解，还能解决求一些多项式最大值或最小值等问题．例如： ①分解因式： ． ②求多项式的最小值： ， ， 当时，有最小值，最小值是． 【解决问题】 (1)按照上述方法分解因式：； (2)多项式的最小值为4，请求出的值； (3)若实数，满足，请求多项式的最值． 9．阅读：在计算的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫做特殊到一般．如下所示： (1)【观察】_____； _____； _____；…… (2)【猜想】由此可得：__________； (3)【应用】请运用上面的结论，解决下列问题：计算：的值． 10．如图，边长为的大正方形内有一个边长为的小正方形． (1)用含字母的代数式表示图1中阴影部分的面积为_______________； (2)将图1的阴影部分沿斜线剪开后，拼成了一个如图2所示的长方形，用含字母的代数式表示此长方形的面积为______________； (3)比较（2）、（1）的结果，请你写出一个非常熟悉的乘法公式________________． (4)【问题解决】利用（3）的公式解决问题： ①已知，，则的值为___________． ②直接写出下面算式的计算结果：． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$