第8章 整式乘法与因式分解（中等类型）-2024-2025学年七年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（沪科版2024新教材）

第8章 整式乘法与因式分解思维导图 【类型覆盖】 类型一、完全平方公式运算 【解惑】下列计算正确的是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了整式的运算，根据同底数幂相除法则、积的乘方法则、单项式乘以单项式法则，完全平方公式逐项判断即可． 【详解】解：A．，原计算错误，不符合题意； B． ，原计算正确，符合题意； C． ，原计算错误，不符合题意； D． ，原计算错误，不符合题意； 故选：B． 【融会贯通】 1．下列代数式中，属于完全平方式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查完全平方式：两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式，熟练掌握公式结构特点是解题的关键．根据完全平方公式的结构特点依次分析即可． 【详解】解：A、不是完全平方式，本选项不符合题意； B、，是完全平方式，符合题意； C、不是完全平方式，本选项不符合题意； D、不是完全平方式，本选项不符合题意； 故选：B． 2．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查完全平方公式，根据，再代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 3．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查乘法公式，单项式乘以多项式， （1）先根据平方差公式、单项式乘以多项式将原式展开，再进行合并即可； （2）先根据完全平方公式将原式展开，再进行合并即可； 熟练掌握整式的运算法则和乘法公式是解题关键． 【详解】（1）解： ； （2） ． 类型二、平方差公式运算 【解惑】下列各式能用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平方差公式，根据平方差公式，进行判断即可． 【详解】解：A、，不符合题意； B、，不符合题意； C、，不符合题意； D、，符合题意； 故选：D． 【融会贯通】 1．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，平方差公式，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据合并同类项，同底数幂的乘法，平方差公式逐项判断即可． 【详解】解：A.不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意； B. ，故该选项符合题意； C. ，故该选项不符合题意； D. ，故该选项不符合题意； 故选：B ． 2．计算： （1） ； （2） ． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式和完全平方公式； （1）先由平方差公式进行运算，再去括号，即可求解； （2）由完全平方公式进行运算，即可求解； 能熟练利用平方差公式及完全平方公式进行运算是解题的关键． 【详解】解：（1）原式 ； 故答案为：； （2）原式； 故答案为：． 3．利用平方差公式计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】 （1）将看作一个整体，利用平方差公式进行计算即可； （2）利用平方差公式进行计算即可； 本题主要考查平方差公式，熟知两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差是解题的关键． 【详解】（1） 解：原式 ； （2） 解：原式 ． 类型三、完全平方公式与平方差公式巧算 【解惑】计算的结果是（   ） A．900.16 B．899 C．900 D．899.84 【答案】D 【分析】本题考查平方差公式，利用平方差公式进行简算即可． 【详解】解：； 故选D． 【融会贯通】 1．计算：（    ） A．1992 B．1993 C．1 D． 【答案】C 【分析】本题考查有理数的混合计算，平方差公式，利用平方差公式计算是解题关键．将原式变形为，再结合平方差公式计算即可． 【详解】解： ． 故选：C． 2．计算：的结果是 ． 【答案】7000 【分析】本题考查了利用平方差公式进行计算，根据平方差公式计算即可得解，熟练掌握平方差公式是解此题的关键． 【详解】解：， 故答案为：7000． 3．运用所学乘法公式进行简便运算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2）39601 【分析】本题主要考查因式分解的应用，熟练掌握完全平方公式和平方差公式 是解答本题的关键． （1）把2008写成，2006写成，运用平方差公式求解即可； （2）把199写成，运用完全平方公式解答即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 类型四、提公因式法分解因式 【解惑】已知，，则的值为（   ） A． B．84 C． D．300 【答案】D 【分析】本题考查了已知式子的值求代数式的值，整式的因式分解，先整理，把，代入计算，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：D． 【融会贯通】 1．利用因式分解计算等于（    ） A．1 B． C．2024 D．2025 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解的应用，根据提公因式法计算即可得解，熟练掌握提公因式法是解此题的关键． 【详解】解：， 故选：C． 2．分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了分解因式-提公因式法，能找出多项式的公因式是解此题的关键．先找出多项式的公因式是a，再分解因式即可． 【详解】解：． 故答案为：． 3．因式分解：． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止．变形后用提取公因式法分解即可． 【详解】解： ． 类型五、公式法分解因式 【解惑】下列因式分解不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了因式分解，用提公因式法，综合提公因式以及公式法，公式法等方法一一分析判断即可． 【详解】解：．，因式分解正确，故该选项不符合题意； ．，因式分解正确，故该选项不符合题意； ．，原因式分解错误，故该选项符合题意； ．，因式分解正确，故该选项不符合题意； 故选：C． 【融会贯通】 1．因式分解的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 原式利用完全平方公式和平方差公式分解即可． 【详解】分解：原式， 故选：D． 2．因式分解： ． 【答案】/ 【分析】本题考查因式分解，先利用平方差公式法进行因式分解，再利用完全平方公式进行求解即可． 【详解】解：原式； 故答案为：． 3．分解因式 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）直接利用平方差因式分解即可； （2）先分组，利用完全平方公式对因式分解，再利用平方差公式因式分解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 类型六、完全平方式 【解惑】若是完全平方式，则常数的值为（   ） A．4 B．或4 C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查完全平方公式，解题的关键是掌握完全平方公式的结构特征． 根据完全平方公式，将给定式子与公式对比，确定a，b的值，进而求出． 【详解】， ． 故选：B． 【融会贯通】 1．如果是一个完全平方式，那么为（   ） A．25 B． C．100 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查完全平方式的定义和结构，，像满足这样的形式的代数式叫完全平方式，所以，进而求出的值． 【详解】解：根据完全平方式的结构，把写出完全平方式结构； 即； ∴， 故选：A． 2．若是一个完全平方式，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题关键．先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定a的值． 【详解】解：， ， 解得：， 故答案为：． 3．已知：整式，整式． (1)化简：； (2)若是关于x的一个完全平方式，请写出一个满足条件的整式． 【答案】(1) (2)（答案不唯一） 【分析】本题考查了整式的化简，完全平方式特点，熟练掌握整式的混合运算法则以及完全平方式的结构特征是解题的关键． （1）将A、B代入，然后根据整式的混合运算法则计算即可； （2）根据完全平方式的结构特征解答即可． 【详解】（1）解：，， ； （2）解：由题可得：， 是关于x的一个完全平方式， 则可以为， 原式 ， 整式可以是（答案不唯一）． 类型七、不含某项 【解惑】若多项式不含x的一次项，则a的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了合并同类项法则及对多项式“项”的概念的理解，先把多项式合并，然后令x的一次项系数等于0，再解方程即可． 【详解】解：∵多项式不含x的一次项， ， 解得． 故选：B． 【融会贯通】 1．若关于的多项式与的乘积中不含的一次项，则实数的值为（   ） A．3 B．2 C．0 D． 【答案】D 【分析】此题考查了多项式乘多项式，根据多项式乘以多项式的法则，可表示为，计算即可． 【详解】解：根据题意得： ， 与的乘积中不含的一次项， 故选：D． 2．若的积中不含x和项，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了多项式乘以多项式、不含无关类问题及代数式求值，熟练掌握运算法则及不含无关类做题方法是解决本题关键．利用多项式乘以多项式的法则计算，再根据不含和的项，即可求出m与n的值，将m与n的值代入求解即可． 【详解】解： ∵展开后的结果中不含和的项， ∴， ∴，； ∵， ∴ ． 故答案为：． 3．若的积中不含x项与项． (1)求p，q的值； (2)求代数式的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查多项式乘多项式．注意不要漏项、漏字母、有同类项的合并同类项，解题的关键是正确求出p，q的值． （1）将原式根据多项式乘以多项式法则展开后合并同类项，由积中不含项与项可知项与项的系数均等于0，解方程即可； （2）由（1）中的值得，将原式整理变形成，再将的值代入计算即可． 【详解】（1）解：原式， ∵的积中不含x项和项， ∴且， ∴，； （2）解：当，时，， ． 类型八、完全平方公式变形求值 【解惑】若，，则（ ） A．11 B．12 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键．把原式转化为，然后代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故选B． 【融会贯通】 1．若，，则的值是（   ） A．121 B．100 C．81 D．64 【答案】B 【分析】本题考查完全平方公式变形计算，利用完全平方公式变形计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选B． 2．已知，，则 ． 【答案】19 【分析】本题考查了完全平方公式，先根据完全平方公式进行变形，再代入求出即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴ ∴ 故答案为：19． 3．【综合与实践】图1是长为，宽为的长方形，沿图中的虚线将该长方形裁剪成四块长为，宽为的小长方形，然后按图2方式拼成一个正方形． (1)根据图形可知，图2中，大正方形的边长为___________，阴影部分的面积为___________； (2)观察图2的面积可知，代数式，和之间存在一定的等量关系，请直接写出这个等量关系； (3)根据（2）中得到的等量关系，解决问题：已知长方形的周长为，面积为，求这个长方形长与宽的差． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景， （1）根据图2可得出大正方形的边长和阴影部分的正方形的边长，可得结论； （2）根据图形各个部分面积之间的和差关系即可得出结论； （3）设这个长方形的长为，宽为，则，，利用（2）中的结论，将数据代入然后进行计算即可； 掌握完全平方公式的结构特征以及图形中各个部分面积的和差关系式是解题的关键． 【详解】（1）解：图2中，大正方形的边长为，阴影部分正方形的边长为， ∴阴影部分的面积为， 故答案为：；； （2）图2中阴影部分的面积为， 也可以表示为大正方形的面积减去四个长方形的面积，即：， ∴代数式，和之间的数量关系是：； （3）设这个长方形的长为，宽为，则，， ∴， ∵， ∴ ， ∴这个长方形长与宽的差为． 类型九、幂的运算逆用 【解惑】已知，，，则的值是（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了逆用同底数幂的乘法与乘法以及幂的乘方，掌握同底数幂的乘法与乘法以及幂的乘方是解题的关键．根据同底数幂的乘法与乘法以及幂的乘方进行计算即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴ ， 故选：D． 【融会贯通】 1．已知，．则的值为（   ） A．3 B．18 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查幂的乘方的逆用、同底数幂除法的逆用．首先根据幂的乘方的运算方法求出的值；然后根据同底数幂的除法的运算方法求出的值为多少即可． 【详解】解：， ， 又， ， 故选D． 2．已知，则 ． 【答案】16 【分析】本题考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方，掌握幂的运算法则是解答本题的关键．由可得，再根据同底数幂的乘法法则以及逆用幂的乘方运算法则把所求式子变形求解即可． 【详解】解：， ， ． 故答案为：16． 3．计算 (1)若，求的值． (2)若，求x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查同底数幂的乘法和幂的乘方运算，积的乘方运算． （1）利用幂的乘方和同底数幂的乘法法则进行变形，再利用整体代入计算即可； （2）把变形为，得到关于x的方程，解方程即可得到答案； 【详解】（1）解：∵，， ∴． （2）解：∵． ∴， 解得 类型十、整式的化简求值 【解惑】先化简，再求值：，其中． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的四则混合运算以及求值，先按照平方差公式以及单项式乘以多项式展开，然后再合并同类项，最后代入数值计算即可． 【详解】解：原式， 当时， 原式 【融会贯通】 1．先化简，再求值：，其中，． 【答案】，0 【分析】本题考查的是整式的混合运算，化简求值，先计算括号内的整式的乘法运算，再合并同类项，最后计算多项式除以单项式得到化简的结果，再把，代入计算即可． 【详解】解： 当，时，原式 2．先化简，再求值： (1)，其中 ； (2)，其中 ． 【答案】(1)，3 (2)，16 【分析】本题主要考查了整式的化简求值． （1）先利用完全平方公式以及平方差公式展开，再根据多项式除以单项式开计算，最后再将代入化简后的结果计算即可． （2）先利用完全平方公式展开，然后直接代入计算即可． 【详解】（1）解：原式 当 时，原式 （2）解：原式 当时， 原式 3．先化简，再求值： (1)，其中； (2)，其中，． 【答案】(1)，5 (2)， 【分析】本题考查整式运算中的化简求值： （1）先利用乘法公式进行计算，再合并同类项，然后代值计算即可； （2）先利用乘法公式进行计算，再合并同类项，然后代值计算即可。 【详解】（1）解：原式 当时，原式． （2）原式 ． 当时，原式． 【一览众山小】 1．下列因式分解结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据提公因式法、公式法分解因式进行判断即可． 本题考查了因式分解-提公因式法、运用公式法，熟练掌握这两种因式分解的方法是解题的关键． 【详解】解：A、，原结果错误，故此选项不符合题意； B、在有理数范围内不能因式分解，故此选项不符合题意； C、，原结果错误，故此选项不符合题意； D、，结果正确，故此选项符合题意： 故选：D． 2．已知，则的值为（   ） A． B．或 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了幂的乘方，同底数幂的除法，熟练掌握运算法则是今天的关键. 根据幂的乘方得到，，代入计算即可得到答案. 【详解】解：， ， ， ， 故选：C. 3．已知 ， (为任意实数)， 、 的大小关系为(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了作差法比较代数式的大小，整式的加减运算，以及完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方式和作差法是解题的关键．用作差法比较，作差后利用完全平方公式求解即可． 【详解】∵ ， ∴ ∴． 故选：B． 4．分解因式： （） ； （） ； （） ； （） ． 【答案】 【分析】（）利用完全平方公式因式分解即可； （）利用完全平方公式因式分解即可； （）利用完全平方公式因式分解即可； （）利用完全平方公式因式分解即可； 本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键． 【详解】解：（）原式， 故答案为：； （）原式， 故答案为：； （）原式， 故答案为：； （）原式， 故答案为：． 5．计算的结果不含和的项，那么 ， ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘积无关型计算问题，用多项式乘多项式的运算法则展开求它们的积，把当做常数合并同类项，根据不含和的项，关于和的项的系数为0，即可求出的值． 【详解】解： ∵结果不含和的项， ∴ ∴ 故答案为：，． 6．在我国南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》一书中，揭示了（为非负整数）展开式的系数规律，后人也称为“杨辉三角”．如图，此三角形中第3行的3个系数1，2，1，恰好对应着展开式中各项的系数，类似规律如下：；；……，则展开式中，所有项的系数和是 ． 【答案】512 【分析】本题主要考查了数字类规律题，根据题意可知各项系数之和为，然后把代入计算即可． 【详解】解：各行系数和：当时：所有项系数之和为：， 当时，所有项系数之和为：， 当时，所有项系数之和为：， 当时，所有项系数之和为：， … 可知，当时，各项系数之和为：， 故答案为：512． 7．把下列各式因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查的知识点是用十字相乘法、提公因式法、公式法分解因式，解题关键是熟练掌握因式分解的多种方法． （1）利用十字相乘法进行因式分解即可； （2）综合提公因式法、公式法分解即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式， ， ． 8．计算与化简： (1)计算：． (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的混合运算，整式的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运算算术平方根，立方根，同底数幂相除，再运算除法，最后运算加减，即可作答． （2）运用乘法公式进行展开，再合并同类项，最后运算除法，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 9．如图①②，已知两个正方形，先将B放在A的内部得图③，再将并列放置后构造新的正方形得图④． (1)图③中阴影部分的面积可表示为_______；图④中空白部分的面积可表示为_______；图④中阴影部分的面积可表示为______________．（用含的代数式表示） (2)若图③中阴影部分的面积为3，图④中阴影部分的面积为15，求正方形的面积之和． 【答案】(1)；； (2)18 【分析】本题综合考查了完全平方公式的应用，正方形的面积公式，重点掌握完全平方公式的应用，难点是巧用变形求解两个正方形的面积和． （1）根据正方形的面积公式进行计算即可图③中阴影部分的面积；用两个正方形的面积之和可得图④中空白部分的面积；用大正方形面积减去两个小正方形的面积，即可得图④中阴影部分的面积； （2）根据题意得出，，求出的值即可得出答案． 【详解】（1）解：图③中阴影部分正方形的边长为，则面积为；图④中空白部分的面积可表示为；图④中大正方形的边长为，面积为，则阴影部分的面积可表示为：； 故答案为：；；； （2）解：图③中阴影部分的面积为3，图④中阴影部分的面积为15， ，， 由，得． 由，得． 故正方形的面积之和为18． 10．【阅读材料】19世纪的法国数学家苏菲·热门给出了一种分解因式的方法：他抓住了该式只有两项，而且属于平方和的形式，要使用公式法就必须添一项，随即将此项减去，即可得，人们为了纪念苏菲·热门给出的这一解法，就把它叫做“热门定理”． 【知识应用】（1）利用“热门定理”把分解因式． 【知识迁移】热门定理的本质是构造完全平方，用的是“添项”的方法，对于超过两项的多项式，也可以采取“添项”的方法，先添项再减去这项，构造完全平方进行分解．例如对于二次三项式，可以先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有，像这样的方法统称为“配方法”． （2）请利用“配方法”分解因式： ①； ②． 【答案】（1）；（2）①；② 【分析】本题主要考查了分解因式，灵活运用公式法进行因式分解是解题的关键． （1）把式子加上，再减去，再仿照题意分解因式即可； （2）①把式子加上9，再减去9，再仿照题意分解因式即可；②把式子加上，再减去，再仿照题意分解因式即可． 【详解】解：（1） ． （2）① ； ② ． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第8章 整式乘法与因式分解思维导图 【类型覆盖】 类型一、完全平方公式运算 【解惑】下列计算正确的是（） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．下列代数式中，属于完全平方式的是（   ） A． B． C． D． 2．若，则 ． 3．计算： (1)； (2)． 类型二、平方差公式运算 【解惑】下列各式能用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．计算： （1） ； （2） ． 3．利用平方差公式计算： (1)； (2)． 类型三、完全平方公式与平方差公式巧算 【解惑】计算的结果是（   ） A．900.16 B．899 C．900 D．899.84 【融会贯通】 1．计算：（    ） A．1992 B．1993 C．1 D． 2．计算：的结果是 ． 3．运用所学乘法公式进行简便运算： （1）； （2）． 类型四、提公因式法分解因式 【解惑】已知，，则的值为（   ） A． B．84 C． D．300 【融会贯通】 1．利用因式分解计算等于（    ） A．1 B． C．2024 D．2025 2．分解因式： ． 3．因式分解：． 类型五、公式法分解因式 【解惑】下列因式分解不正确的是（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．因式分解的结果为（   ） A． B． C． D． 2．因式分解： ． 3．分解因式 (1) (2) 类型六、完全平方式 【解惑】若是完全平方式，则常数的值为（   ） A．4 B．或4 C．2 D． 【融会贯通】 1．如果是一个完全平方式，那么为（   ） A．25 B． C．100 D． 2．若是一个完全平方式，则 ． 3．已知：整式，整式． (1)化简：； (2)若是关于x的一个完全平方式，请写出一个满足条件的整式． 类型七、不含某项 【解惑】若多项式不含x的一次项，则a的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【融会贯通】 1．若关于的多项式与的乘积中不含的一次项，则实数的值为（   ） A．3 B．2 C．0 D． 2．若的积中不含x和项，则 ． 3．若的积中不含x项与项． (1)求p，q的值； (2)求代数式的值． 类型八、完全平方公式变形求值 【解惑】若，，则（ ） A．11 B．12 C． D． 【融会贯通】 1．若，，则的值是（   ） A．121 B．100 C．81 D．64 2．已知，，则 ． 3．【综合与实践】图1是长为，宽为的长方形，沿图中的虚线将该长方形裁剪成四块长为，宽为的小长方形，然后按图2方式拼成一个正方形． (1)根据图形可知，图2中，大正方形的边长为___________，阴影部分的面积为___________； (2)观察图2的面积可知，代数式，和之间存在一定的等量关系，请直接写出这个等量关系； (3)根据（2）中得到的等量关系，解决问题：已知长方形的周长为，面积为，求这个长方形长与宽的差． 类型九、幂的运算逆用 【解惑】已知，，，则的值是（   ） A．1 B．2 C． D． 【融会贯通】 1．已知，．则的值为（   ） A．3 B．18 C． D． 2．已知，则 ． 3．计算 (1)若，求的值． (2)若，求x的值． 类型十、整式的化简求值 【解惑】先化简，再求值：，其中． 【融会贯通】 1．先化简，再求值：，其中，． 2．先化简，再求值： (1)，其中 ； (2)，其中 ． 3．先化简，再求值： (1)，其中； (2)，其中，． 【一览众山小】 1．下列因式分解结果正确的是（   ） A． B． C． D． 2．已知，则的值为（   ） A． B．或 C． D． 3．已知 ， (为任意实数)， 、 的大小关系为(   ) A． B． C． D． 4．分解因式： （） ； （） ； （） ； （） ． 5．计算的结果不含和的项，那么 ， ． 6．在我国南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》一书中，揭示了（为非负整数）展开式的系数规律，后人也称为“杨辉三角”．如图，此三角形中第3行的3个系数1，2，1，恰好对应着展开式中各项的系数，类似规律如下：；；……，则展开式中，所有项的系数和是 ． 7．把下列各式因式分解： (1)； (2)． 8．计算与化简： (1)计算：． (2)化简：． 9．如图①②，已知两个正方形，先将B放在A的内部得图③，再将并列放置后构造新的正方形得图④． (1)图③中阴影部分的面积可表示为_______；图④中空白部分的面积可表示为_______；图④中阴影部分的面积可表示为______________．（用含的代数式表示） (2)若图③中阴影部分的面积为3，图④中阴影部分的面积为15，求正方形的面积之和． 10．【阅读材料】19世纪的法国数学家苏菲·热门给出了一种分解因式的方法：他抓住了该式只有两项，而且属于平方和的形式，要使用公式法就必须添一项，随即将此项减去，即可得，人们为了纪念苏菲·热门给出的这一解法，就把它叫做“热门定理”． 【知识应用】（1）利用“热门定理”把分解因式． 【知识迁移】热门定理的本质是构造完全平方，用的是“添项”的方法，对于超过两项的多项式，也可以采取“添项”的方法，先添项再减去这项，构造完全平方进行分解．例如对于二次三项式，可以先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有，像这样的方法统称为“配方法”． （2）请利用“配方法”分解因式： ①； ②． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$