8.3 完全平方公式与平方差公式 -2024-2025学年七年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（沪科版2024新教材）

8.3 完全平方公式与平方差公式 一、完全平方公式 1.公式定义：两个数的和（或差）的平方，等于这两个数的平方和加（或减）这两个数乘积的2倍。 用字母表示：(a+b)²=a²+2ab+b²，(a-b)²=a²-2ab+b²。 2.公式特征：公式的左边是一个二项式的完全平方，公式的右边是一个三项式，其中两项是左边二项式的各项的平方和，另一项是这两项的乘积的2倍。 3.常见变形公式： a²+b²=(a+b)²-2ab=(a-b)²+2ab (a+b)²=(a-b)²+4ab (a-b)²=(a+b)²-4ab (a+b)²+(a-b)²=2(a²+b²) (a+b)²-(a-b)²=4ab 二、平方差公式 1.公式定义：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。 用字母表示：(a+b)(a-b)=a²-b²。 2.公式特征：等号左边是两个二项式相乘，这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数。等号右边是乘式中两项的平方差，即相同项的平方减去相反项的平方。 3.常见变化及应用： 位置变化：(b+a)(-b+a)=(a+b)(a-b)=a²-b² 符号变化：(-a-b)(a-b)=(-b-a)(-b+a)=(-b)²-a²=b²-a² 系数变化：(3a+2b)(3a-2b)=(3a)²-(2b)²=9a²-4b² 指数变化：(a³+b²)(a³-b²)=(a³)²-(b²)²=a⁶-b⁴ 增项变化：(a-b+c)(a-b-c)=(a-b)²-c² 连用公式：(a+b)(a-b)(a²+b²)=(a²-b²)(a²+b²)=a⁴-b⁴ 巩固课内例1:利用乘法公式计算——完全平方公式(加减) 1．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 2．填空： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 3．利用乘法公式计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 巩固课内例2:利用乘法公式计算——完全平方公式(相反数) 1．下列计算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 2．利用完全平方公式计算： （1） ； （2） ； （3） ． 3．计算： (1)； (2)； (3)． 巩固课内例3:利用乘法公式计算——平方差公式(直接运算) 1．下列整式乘法能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 2．计算： ． 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 巩固课内例4:利用乘法公式计算——平方差公式(简便运算) 1．设，则M与N的关系是（   ） A． B． C． D． 2．计算： ． 3．用乘法公式计算： (1)； (2)． 巩固课内例5:利用乘法公式计算——三项和的平方、两项的立方 1．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 2．请同学运用计算，解决问题：已知x、y、z满足，求的最大值是 ． 3．计算： (1)； (2)． 巩固课内例6:利用乘法公式计算——完全平方公式与平方差公式结合 1．化简的结果是（　　） A． B． C． D． 2．计算的结果为 ． 3．计算： (1)； (2)． 类型一、完全平方公式运算 1．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．化简： ． 3．先化简，再求值：，其中． 类型二、平方差公式运算 1．给出下列式子： ①； ②； ③； ④． 其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．计算 ． 3．计算： (1)； (2)． 类型三、平方差公式与完全平方公式巧算 1．计算（   ） A． B．2019 C． D．2017 2．化简： ． 3．利用乘法公式计算： (1)； (2)； (3)． 类型一、完全平方公式列几何图形 1．如图，将图1中阴影部分拼成图2，根据两个图形中阴影部分的关系，可以验证下列哪个公式（   ）． A． B． C． D． 2．利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式．根据图1，可以得到两数和的平方公式： ；根据图2，可以得到两数差的平方公式： ． 3．如图，将边长为的正方形剪出两个边长分别为的正方形（阴影部分）．观察图形，解答下列问题： (1)根据题意，用两种不同的方法表示阴影部分的面积，即用两个不同的代数式表示阴影部分的面积． 方法1：___________； 方法2：___________； (2)从中你得到什么等式？_____________； (3)运用你发现的结论，解决下列问题：已知，，求的值； 类型二、平方差公式列几何图形 1．如图①，从边长为a的大正方形的四个角中挖去四个边长为b的小正方形后，将剩余的部分剪拼成一个长方形，如图②．通过计算阴影部分的面积可以得到（   ） A． B． C． D． 2．从一个边长为a的大正方形纸板中挖出一个边长为b的小正方形，将其裁成四个相同的梯形（如图①），然后拼成一个平行四边形（如图②）． （1）图①中阴影部分的面积为 ； （2）图②的面积可以表示为 ； （3）这验证了平方差公式： ． 3．如图，在边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形，把余下的部分剪拼成一个矩形． (1)通过计算两个图形的面积（阴影部分的面积），可以验证的等式是 ；（请选择正确的一个） A． B． C． D． (2)应用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①已知，，求的值． ②计算：． 类型三、完全平方式 1．如果能写成一个完全平方的形式，则（   ） A． B．12 C． D． 2．已知 是完全平方式，则m的值是 ． 3．如图，有两个正方形A和B，其中A的边长为，B的边长为3，记A的面积为a，B的面积为b． (1)则________，________； (2)若是一个完全平方式，则常数m的值为多少？ 类型四、完全平方公式变形求值 1．已知，，则的值是（   ） A．12 B．10 C．8 D．6 2．已知，，则的值为 ． 3．很多同学在学习整式乘法及乘法公式时，计算公式都是死记硬背．为了让学生们能更直观地理解公式，李老师上了一节拼图实验课，她用四张长为、宽为的小长方形（如图①），拼成了一个边长为的正方形（如图②）．观察图形，回答下列问题： (1)图②中，阴影部分的面积是______________； (2)观察图①②，请你写出三个代数式：，，之间的关系______________； (3)应用：已知，求值： ①； ②． 类型五、不含某项 1．已知是一个多项式的完全平方，与的乘积中不含关于x的一次项，则的值是（    ） A． B．1 C．或1 D．或1 2．（1）若要使的展开式中不含项，则 ； （2）已知：，则 3．先化简，再求值：，其中的值满足的结果中不含的二次项和一次项． 类型六、整式的混合运算 1．以下是王双同学化简的解题过程： 原式    （第一步）     （第二步）     （第三步） 王双同学是从（   ）开始出现错误的． A．第一步 B．第二步 C．第三步 D．无法确定 2．（）已知，则 ． （）若，则为 ． 3．在化简整式中，“”表示运算符号“”“”中的某一个，“”表示一个整式． (1)若，求出整式； (2)已知的计算结果是二次单项式，当是常数项时，直接写出表示的符号及的值． 类型一、杨辉三角 1．“杨辉三角”给出了展开式的系数规律（其中n为正整数，展开式的项按a的次数降幂排列），它的构造规则是：两腰上都是数字1，而其余的数则是等于它肩上的两个数之和．例如：展开式的项的系数1，2，1与“杨辉三角”第三排对应：展开式的项的系数1，3，3，1与“杨辉三角”第四排对应；依此类推…判断下列说法正确的是（    ） ①“杨辉三角”第一排是1，第六排数字依次是：1，5，10，10，5，1； ②当时，代数式的值为； ③展开式中所有系数之和为； ④当代数式的值为1时，或3．    A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 2．在学习整式乘法的时候，我们发现一个有趣的问题：    将上述等号右边的式子的各项系数排成右上表，如图所示．这个图叫做“杨辉三角”，请观察这些系数的规律，直接写出 ． 3．我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例、如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（为正整数）的展开式（按的次数由大到小的顺序排列）的系数规律、例如，在三角形中第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中的系数． (1)根据上面的规律不难发现，的展开式共有______项，请写出它的展开式______； (2)的展开式第四项的系数是______； (3)的展开式共有______项，系数和为______； (4)运用：若今天是星期二，经过天后是星期______． 类型二、新定义问题 1．定义，，给出下列结论错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．我们定义一种新运算：，若，则 ． 3．[新考法]对于任意有理数a，b，c，d，定义一种新运算：． (1)对于有理数x，y，若是一个完全平方式，则__________； (2)对于有理数x，y，若． ①求的值； ②将长方形和长方形按照如图方式进行放置，其中点E在边上，连接，．若，图中阴影部分的面积为，求n的值． 类型三、规律问题 1．发现：，，，，，，，，依据上述规律，通过计算判断的结果的个位数字是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 2．观察下列各个式子的规律： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式： ； …… 第202个等式： ． 3．观察下列等式，并回答问题． ， ， ， …… (1)将36写成两个正整数平方差的形式： ______=____________； (2)观察、归纳，得出猜想： 用含有字母的整数）的等式表示上述的规律为：______； 并用已学的知识验证这一规律． 类型四、平方差公式的图形应用 1．如图，大正方形与小正方形的面积之差是8，则阴影部分的面积是（   ） A．8 B．4 C．2 D．1 2．图1为某校八（1）（2）两个班级的劳动实践基地，图2是从实践基地抽象出来的几何模型：两块边长为，的正方形，其中重叠部分为池塘，阴影部分，分别表示八（1）（2）两个班级的基地面积．若，，则 ． 3．【探究】如图，从边长为的大正方形中剪掉一个边长为的小正方形，将阴影部分按如图方式剪开，拼成图的长方形． 请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积：图： ，图： ，比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式 ； 【应用】请应用这个公式完成下列各题： （1）已知，，则的值为 ； （2）计算：； 【拓展】计算：的结果． 类型五、完全平方公式的图形应用 1．现有，两个正方形，将放在的内部如图甲所示；将，并列放置后构造新的正方形如图乙所示，若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为6和17，则正方形，的面积之和为（   ） A．11 B．9 C．21 D．23 2．以长方形的四条边为边向外作四个正方形，设计出“中”字图案，如图所示．若四个正方形的周长之和为40，面积之和为26，则长方形ABCD的面积为 ． 3．现有若干个正方形纸片，从中任取两个大小不等的正方形纸片如图摆放，三点在一条直线上． (1)如图1，若，则这两个正方形的面积之和是______． (2)如图2，若正方形和正方形的面积之和是36，的长度为8，求图中阴影部分的面积． (3)如图3，正方形和正方形的边长分别为，如果，求图中阴影部分的面积． 1．若，则的值为（   ） A．12 B．10 C．8 D．6 2．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．已知，则的值为（    ） A．1 B． C．5 D． 4．观察下面图形，你能利用图中面积的相等关系写出一个你熟悉的公式吗？ 答： ． 5．已知关于的二次三项式是一个完全平方式，则的值是 ． 6．如果，那么代数式的值为 ． 7．利用乘法公式计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 8．用简便方法计算： (1)； (2)； (3) 9．先化简，再求值： (1)，其中； (2)，其中． 10．阅读与思考 阅读以下材料并完成相应任务． 换元法，是指引入一个或者几个新的变量代替原来的变量，通过引入的新变量将分散的条件联系起来，变为熟悉的问题，其理论依据是等量代换．对于结构比较复杂的式子．可以把其中某些部分看作整体，用新的字母代替（即整体换元）可以化繁为简，从而找到解题的路径． 例：若x满足，求的值． 解：令，，则，， ，， ， ． 任务： (1)若x满足，求的值． (2)如图，在长方形中，，，E、F分别为边，上的点，且，分别过点E、F作边，的垂线段，交于点O，再以和为边向外作正方形和正方形．若长方形的面积为，求图中阴影部分的面积． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 8.3 完全平方公式与平方差公式 一、完全平方公式 1.公式定义：两个数的和（或差）的平方，等于这两个数的平方和加（或减）这两个数乘积的2倍。 用字母表示：(a+b)²=a²+2ab+b²，(a-b)²=a²-2ab+b²。 2.公式特征：公式的左边是一个二项式的完全平方，公式的右边是一个三项式，其中两项是左边二项式的各项的平方和，另一项是这两项的乘积的2倍。 3.常见变形公式： a²+b²=(a+b)²-2ab=(a-b)²+2ab (a+b)²=(a-b)²+4ab (a-b)²=(a+b)²-4ab (a+b)²+(a-b)²=2(a²+b²) (a+b)²-(a-b)²=4ab 二、平方差公式 1.公式定义：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。 用字母表示：(a+b)(a-b)=a²-b²。 2.公式特征：等号左边是两个二项式相乘，这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数。等号右边是乘式中两项的平方差，即相同项的平方减去相反项的平方。 3.常见变化及应用： 位置变化：(b+a)(-b+a)=(a+b)(a-b)=a²-b² 符号变化：(-a-b)(a-b)=(-b-a)(-b+a)=(-b)²-a²=b²-a² 系数变化：(3a+2b)(3a-2b)=(3a)²-(2b)²=9a²-4b² 指数变化：(a³+b²)(a³-b²)=(a³)²-(b²)²=a⁶-b⁴ 增项变化：(a-b+c)(a-b-c)=(a-b)²-c² 连用公式：(a+b)(a-b)(a²+b²)=(a²-b²)(a²+b²)=a⁴-b⁴ 巩固课内例1:利用乘法公式计算——完全平方公式(加减) 1．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 利用完全平方公式即可直接得出答案． 【详解】解：， 故选：． 2．填空： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 【答案】 【分析】本题考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键， （1）利用完全平方公式展开即可得到答案； （2）利用完全平方公式展开即可得到答案； （3）利用完全平方公式展开即可得到答案； （4）利用完全平方公式展开即可得到答案； 【详解】解：（1）； （2）； （3）； （4）． 故答案为：；；；． 3．利用乘法公式计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了整式的混合运算，平方差公式，完全平方公式，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）利用完全平方公式进行计算，即可解答； （2）利用平方差公式，完全平方公式进行计算，即可解答； （3）利用完全平方公式进行计算，即可解答； （4）利用平方差公式，完全平方公式进行计算，即可解答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 巩固课内例2:利用乘法公式计算——完全平方公式(相反数) 1．下列计算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握是解题关键．根据完全平方公式，把各选项中等式左侧展开，再与等式右侧相比较即可选出答案． 【详解】解：A、，原计算错误，不符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、，原计算错误，不符合题意； D、，原计算正确，符合题意； 故选：D． 2．利用完全平方公式计算： （1） ； （2） ； （3） ． 【答案】 ； ； 【分析】本题考查了多项式的乘法-完全平方公式，熟记乘法公式是解本题的关键． （1）用完平方公式式求解即可； （2）用完全平方公式求解即可； （3）用完全平方公式求解好可． 【详解】（1）； （2）； （3）； 故答案为：；；． 3．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用完全平方公式计算即可； （2）利用完全平方公式计算即可； （3）利用完全平方公式计算即可； 本题主要考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 巩固课内例3:利用乘法公式计算——平方差公式(直接运算) 1．下列整式乘法能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平方差公式，熟知平方差公式的特点是解题的关键：． 【详解】解：A、不能用平方差公式计算，不符合题意； B、可以用平方差公式计算，符合题意； C、不能用平方差公式计算，不符合题意； D、不能用平方差公式计算，不符合题意； 故选：B． 2．计算： ． 【答案】 【分析】此题考查了平方差公式，根据平方差公式进行计算即可． 【详解】解： 故答案为： 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了平方差公式运算； （1）由平方差公式，即可求解； （2）由平方差公式，即可求解； （3）由平方差公式，即可求解； （4）由平方差公式，即可求解； 掌握平方差公式是解题的关键． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式． 巩固课内例4:利用乘法公式计算——平方差公式(简便运算) 1．设，则M与N的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平方差公式和完全平方公式的应用；，由平方差公式和完全平方公式进行运算，即可求解；能熟练利用平方差公式和完全平方公式进行运算是解题的关键． 【详解】解： ， ， 故选：B． 2．计算： ． 【答案】1 【分析】本题考查平方差公式，利用平方差公式进行简算即可． 【详解】解： ． 故答案为：1． 3．用乘法公式计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平方差和完全平方公式的应用． （1）将原式变形为，再利用平方差公式进行计算即可； （2）将原式变形为，再利用平方差和完全平方公式进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 巩固课内例5:利用乘法公式计算——三项和的平方、两项的立方 1．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式，平方差公式和完全平方公式，熟知相关计算法则是解题的关键． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算正确，符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：C． 2．请同学运用计算，解决问题：已知x、y、z满足，求的最大值是 ． 【答案】15 【分析】本题考查运用已知公式，及平方的非负性，掌握灵活运用题中给的公式是解题的关键．根据已知条件化简，根据完全平方公式的非负性求得原式的最大值，进而即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ； ∵， ∴ ∴ = ， ， ∴原式． 故原式的最大值是15； 故答案为：15． 3．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查积的乘方，单项式乘以单项式，完全平方公式： （1）先进行乘方运算，再利用单项式乘以单项式的法则进行计算即可； （2）利用完全平方公式进行计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式． 巩固课内例6:利用乘法公式计算——完全平方公式与平方差公式结合 1．化简的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查整式的混合运算，解题的关键掌握公式的特点并灵活利用平方差公式和完全平方公式进行运算即可． 【详解】解： ． 故选：C． 2．计算的结果为 ． 【答案】1 【分析】本题考查整式的混合运算，根据整式的混合运算法则计算求解，即可解题． 【详解】解： ． 3．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式四则混合运算，完全平方公式，平方差公式等知识点，熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键． （1）利用完全平方公式和平方差公式将原式展开，然后再合并同类项即可； （2）利用完全平方公式和平方差公式将原式展开，然后再合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 类型一、完全平方公式运算 1．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了计算单项式乘单项式，完全平方公式，积的乘方，平方差公式等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以灵活运用是解题的关键．根据单项式乘单项式法则、完全平方公式、积的乘方法则、平方差公式逐项分析判断即可． 【详解】解：A. ，原计算错误，故选项不符合题意； B. ，原计算错误，故选项不符合题意； C. ，原计算错误，故选项不符合题意； D. ，计算正确，故选项符合题意； 故选：． 2．化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算，根据完全平方公式、平方差公式展开，再合并即可求解，掌握整式的运算法则和乘法公式是解题的关键． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 3．先化简，再求值：，其中． 【答案】，3 【分析】本题考查完全平方公式，平方差公式，多项式乘以单项式，先根据完全平方公式，平方差公式，多项式乘以单项式的运算法则化简，再将代入计算即可． 【详解】解：原式 ， 当时， 原式 ． 类型二、平方差公式运算 1．给出下列式子： ①； ②； ③； ④． 其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了整式的乘法运算—平方差公式，熟记平方差公式是解题的关键．运用平方差公式运算即可判断． 【详解】①，此题计算错误，故不符合题意； ②此题计算错误，故不符合题意； ③，此题计算正确，故符合题意； ④此题计算正确，故符合题意； 只有正确， 故选：B． 2．计算 ． 【答案】 【分析】根据题意，得，利用平方差公式，完全平方公式解答即可． 本题考查了平方差公式，完全平方公式的应用，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， ． 3．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式乘法的混合运算，全平方公式，平方差公式． （1）根据完全平方公式，单项式乘多项式运算法则，计算化简即可； （2）利用平方差公式简便计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 类型三、平方差公式与完全平方公式巧算 1．计算（   ） A． B．2019 C． D．2017 【答案】D 【分析】此题主要考查利用平方差公式简便运算．根据，两次利用平方差公式即可简便运算． 【详解】解： ． 故选：D． 2．化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方的逆运算，完全平方公式，平方差公式，先整理原式为，再化简，即可作答． 【详解】解：依题意， ， 故答案为：． 3．利用乘法公式计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2)1 (3)400 【分析】本题主要考查了利用完全平方公式和平方差公式进行简便计算，熟练掌握平方差公式和完全平方公式，是解题的关键． （1）根据完全平方公式进行计算即可； （2）根据平方差公式进行计算即可； （3）根据完全平方公式进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： 类型一、完全平方公式列几何图形 1．如图，将图1中阴影部分拼成图2，根据两个图形中阴影部分的关系，可以验证下列哪个公式（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，根据图形确定出图1与图2中阴影部分的面积，即可作出判断． 【详解】解：由图1得，阴影部分面积为：， 由图2得，阴影部分面积为：， ∴， 故选：C． 2．利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式．根据图1，可以得到两数和的平方公式： ；根据图2，可以得到两数差的平方公式： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何背景问题，在图1中分别用两种不同的方法求正方形的面积即可得，在图2中分别用两种不同的方法求正方形的面积即可得， 熟练掌握其性质并能通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释是解决此题的关键． 【详解】解：图1中大正方形的面积为， 也可以由一个边长为的小正方形，一个边长为的小正方形和两个长为a，宽为b的长方形的面积的和得到 ∴ 图2中左上角的正方形的面积为， 也可以由一个边长为的大正方形，一个边长为的小正方形，减去两个长为m，宽为n的长方形的面积得到， ∴， 故答案为：，． 3．如图，将边长为的正方形剪出两个边长分别为的正方形（阴影部分）．观察图形，解答下列问题： (1)根据题意，用两种不同的方法表示阴影部分的面积，即用两个不同的代数式表示阴影部分的面积． 方法1：___________； 方法2：___________； (2)从中你得到什么等式？_____________； (3)运用你发现的结论，解决下列问题：已知，，求的值； 【答案】(1)； (2) (3)24 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景． （1）方法1可采用两个正方形的面积和，方法2可以用大正方形的面积减去两个长方形的面积； （2）由（1）中两种方法表示的面积是相等的，从而得出结论； （3）①由（2）的结论，代入计算即可． 【详解】（1）解：方法1，阴影部分的面积是两个正方形的面积和，即， 方法2，从边长为的大正方形面积减去两个长为a，宽为b的长方形面积， 即， 故答案为：，； （2）解：在（1）两种方法表示面积相等可得， ， 故答案为：； （3）解：∵， ∴， 又∵， ∴ ． 类型二、平方差公式列几何图形 1．如图①，从边长为a的大正方形的四个角中挖去四个边长为b的小正方形后，将剩余的部分剪拼成一个长方形，如图②．通过计算阴影部分的面积可以得到（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平方差公式的几何背景，解题的关键是求出第一个图的阴影部分面积，进而根据长方形的面积计算公式求出拼成的长方形的面积，根据面积不变得出结论，这个图形变换可以用来证明平方差公式：已知在左图中，大正方形减小正方形剩下的部分面积为；因为拼成的长方形的长为，宽为，根据“长方形的面积长宽”代入为：，因为面积相等，进而得出结论． 【详解】解：由图可知，大正方形减小正方形剩下的部分面积为； 拼成的长方形的面积：， 所以得出：， 故选：C． 2．从一个边长为a的大正方形纸板中挖出一个边长为b的小正方形，将其裁成四个相同的梯形（如图①），然后拼成一个平行四边形（如图②）． （1）图①中阴影部分的面积为 ； （2）图②的面积可以表示为 ； （3）这验证了平方差公式： ． 【答案】 【分析】本题考查平方差公式的证明，图①中阴影部分的面积可以表示为大正方形的面积与小正方形面积的差；图②中平行四边形的底为，高为，面积等于；由此可解． 【详解】解：（1）图①中阴影部分的面积为； （2）图②的面积可以表示为； （3）这验证了平方差公式：． 3．如图，在边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形，把余下的部分剪拼成一个矩形． (1)通过计算两个图形的面积（阴影部分的面积），可以验证的等式是 ；（请选择正确的一个） A． B． C． D． (2)应用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①已知，，求的值． ②计算：． 【答案】(1)B (2)①3；② 【分析】本题考查平方差公式的几何背景和应用，代数式求值，有理数的混合运算以及数式规律问题，利用平方差公式将代数式进行变形是解题关键． （1）分别表示左图和右图中的阴影部分的面积，根据面积相等得出结论； （2）①利用平方差公式，整体代入即可求出答案；②利用平方差公式转化为分数的乘积形式，根据规律可得答案． 【详解】（1）解：根据两图形面积可得：， 故选：B； （2）解：①， ， 又， ； ． 类型三、完全平方式 1．如果能写成一个完全平方的形式，则（   ） A． B．12 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，掌握两数的平方和、再加上或减去它们积的2倍就构成了一个完全平方式成为解题的关键． 将原式化为，再根据完全平方公式解答即可． 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴，即． 故选D． 2．已知 是完全平方式，则m的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式．解题的关键在于熟练掌握：． 根据，计算求解即可． 【详解】解：是完全平方式， ，解得， 故答案为：． 3．如图，有两个正方形A和B，其中A的边长为，B的边长为3，记A的面积为a，B的面积为b． (1)则________，________； (2)若是一个完全平方式，则常数m的值为多少？ 【答案】(1)，9 (2) 【分析】本题主要考查了列代数式、完全平方公式等知识点，掌握完全平方公式成为解题的关键． （1）根据正方形的性质列代数式即可； （2）根据完全平方公式进行变形即可解答． 【详解】（1）解：由正方形的性质可得：，． 故答案为：，9． （2）解：∵，， ∴， ∴． ∴常数m的值为． 类型四、完全平方公式变形求值 1．已知，，则的值是（   ） A．12 B．10 C．8 D．6 【答案】B 【分析】此题考查了求代数式的值，完全平方公式的应用．利用完全平方公式可得，将，代入求值即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 故选：B． 2．已知，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式．根据完全平方公式得到，然后把，整体代入计算即可． 【详解】解： ， 当，时， ， ∴， 故答案为：． 3．很多同学在学习整式乘法及乘法公式时，计算公式都是死记硬背．为了让学生们能更直观地理解公式，李老师上了一节拼图实验课，她用四张长为、宽为的小长方形（如图①），拼成了一个边长为的正方形（如图②）．观察图形，回答下列问题： (1)图②中，阴影部分的面积是______________； (2)观察图①②，请你写出三个代数式：，，之间的关系______________； (3)应用：已知，求值： ①； ②． 【答案】(1) (2) (3)①；② 【分析】（）表示出阴影部分的边长即可得答案； （）用两种方法表示四个长方形面积可得答案； （）①利用（）所得关系式计算即可求解；②根据①的结果即可求解； 本题考查了完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：∵阴影部分是边长为的正方形， ∴阴影部分的面积是， 故答案为：； （2）解：由图可得，， 故答案为：； （3）解：①∵， ∴； ②∵， ∴． 类型五、不含某项 1．已知是一个多项式的完全平方，与的乘积中不含关于x的一次项，则的值是（    ） A． B．1 C．或1 D．或1 【答案】C 【分析】此题考查了完全平方式，以及多项式乘多项式，零次幂及负整指数幂，利用完全平方公式，以及多项式乘以多项式法则确定出与的值，代入原式计算即可求出值．熟练掌握公式及法则是解本题的关键． 【详解】解：∵是完全平方式，不含的一次项， ∴，， 解得：或，， 当，时，； 当，时，， 则或， 故选：C． 2．（1）若要使的展开式中不含项，则 ； （2）已知：，则 【答案】 10 【分析】本题考查了整式的运算，掌握多项式乘多项式法则及完全平方公式，等式性质，理解展开式中不含项，正确运用完全平方公式及等式性质是解决本题的关键． （1）利用多项式乘多项式法则先计算，再根据积的展开式中不含项求出a的值； （2）将已知中的两个完全平方公式展开再相加，然后两边除以2即可求出． 【详解】解：（1） 的展开式中不含项， ， ， 故答案为：； （2），， ，， 得，， 则， 故答案为：10． 3．先化简，再求值：，其中的值满足的结果中不含的二次项和一次项． 【答案】，59 【分析】本题主要考查整式的化简求值，涉及两个乘法公式，多项式乘多项式等知识，解题的关键是熟练掌握相关运算法则及乘法公式．利用多项式乘多项式法则计算，由积中不含x的二次项和一次项令其系数为0，即可求出a与b的值，再代入到化简后的整式中求值即可． 【详解】解： ， ． 因为的结果中不含的二次项和一次项，所以，解得． 当时，原式． 类型六、整式的混合运算 1．以下是王双同学化简的解题过程： 原式    （第一步）     （第二步）     （第三步） 王双同学是从（   ）开始出现错误的． A．第一步 B．第二步 C．第三步 D．无法确定 【答案】A 【分析】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．先根据完全平方公式和单项式乘多项式将式子展开，再去括号，最后合并同类项，即可判断． 【详解】解： （第一步）， （第二步）， （第三步）， 王双同学是从第一步开始出现错误的， 故选：A． 2．（）已知，则 ． （）若，则为 ． 【答案】 / / 【分析】（）根据多项式乘以单项式的运算法则计算即可； （）利用整式的减法和完全平方公式计算即可； 本题考查了整式的混合运算，掌握整式的运算法则和乘法公式是解题的关键． 【详解】解：（）∵， ∴， 故答案为：； （）∵， ∴ ， 故答案为：． 3．在化简整式中，“”表示运算符号“”“”中的某一个，“”表示一个整式． (1)若，求出整式； (2)已知的计算结果是二次单项式，当是常数项时，直接写出表示的符号及的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）由可得，利用平方差公式及整式的混合运算法则即可得出答案； （2）由的计算结果是二次单项式且是常数项可得表示的运算符号是“”，进而可得，由计算结果是二次单项式且是常数项可得，解方程即可求出的值． 【详解】（1）解：， ； （2）解：的计算结果是二次单项式，且是常数项， 表示的运算符号是“”， ， 计算结果是二次单项式，且是常数项， ， 解得：， 的值为． 【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，平方差公式，整式的加减运算，计算多项式乘多项式，解一元一次方程等知识点，熟练掌握整式的运算法则及平方差公式是解题的关键． 类型一、杨辉三角 1．“杨辉三角”给出了展开式的系数规律（其中n为正整数，展开式的项按a的次数降幂排列），它的构造规则是：两腰上都是数字1，而其余的数则是等于它肩上的两个数之和．例如：展开式的项的系数1，2，1与“杨辉三角”第三排对应：展开式的项的系数1，3，3，1与“杨辉三角”第四排对应；依此类推…判断下列说法正确的是（    ） ①“杨辉三角”第一排是1，第六排数字依次是：1，5，10，10，5，1； ②当时，代数式的值为； ③展开式中所有系数之和为； ④当代数式的值为1时，或3．    A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】C 【分析】运用杨辉三角形的排列规律，及展开式的系数规律采用赋值法逐一验证即可求解． 【详解】解：如图，    依次规律可得“杨辉三角”第六排数字依次是：1，5，10，10，5，1，故说法①正确； 当时，，故②说法错误； 令，则，故说法③正确； 当代数式的值为1时， 即， ∴， ∴或（不合题意，舍去）， ∴， 解得或，故说法④正确， 综上可得，说法正确的有①③④， 故选：C． 【点睛】本题考查了杨辉三角的规律与展开式的系数规律，正确把握其中的关系以及合理使用赋值法是解题的关键． 2．在学习整式乘法的时候，我们发现一个有趣的问题：    将上述等号右边的式子的各项系数排成右上表，如图所示．这个图叫做“杨辉三角”，请观察这些系数的规律，直接写出 ． 【答案】 【分析】根据“杨辉三角”找到展开式的规律即可． 【详解】解：由“杨辉三角”得：的展开式是一个七次八项式，对a是降幂排列，对b是升幂排列，每项次数均是七次，其展开式的系数为：1，7，21，35，35，21，7，1． ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查通过寻找规律解数学问题，完全平方公式，发现展开式系数规律是求解本题的关键． 3．我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例、如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（为正整数）的展开式（按的次数由大到小的顺序排列）的系数规律、例如，在三角形中第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中的系数． (1)根据上面的规律不难发现，的展开式共有______项，请写出它的展开式______； (2)的展开式第四项的系数是______； (3)的展开式共有______项，系数和为______； (4)运用：若今天是星期二，经过天后是星期______． 【答案】(1)6， (2)560 (3)， (4)三 【分析】本题考查完全平方公式的定义，熟练掌握完全平方公式以及材料规律是解题的关键． （1）观察规律可知，的展开式共有6项，三角形是一个由数字排列成的三角形数表，它的两条斜边都是数字1组成，而其余数则是等于它其上方左右两数之和，即可解答； （2）观察材料所给的规律即可知道的展开式第四项的系数是； （3）的展开式共有项，写出前几项系数，得出一般规律即可； （4）利用7天为一个周期，的最后一项是1， 则的余数是1，即可得出答案． 【详解】（1）解：根据题意可知，的展开式共有6项， . 故答案为：6；; （2）的展开式第四项的系数是， 的展开式第四项的系数是， 的展开式第四项的系数是， 以此类推， 的展开式第四项的系数是， 故答案为：560； （3）的展开式共有项， 系数和为, 系数和为, 系数和为, 故系数和为。 故答案为：；; （4）的最后一项是1， 则的余数是1， ∴ 若今天是星期二，经过天后是星期三． 故答案为：三． 类型二、新定义问题 1．定义，，给出下列结论错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【分析】本题考查了完全平方式，解题的关键是读懂题意，掌握运算法则． 根据完全平方公式，得，，逐项判断即可． 【详解】解：由完全平方公式，得，， 若，则，，则； 若，则，，所以和不一定相等，故A错误，B正确； 若，则， 又因为，， 所以，所以；故C正确，不符合题意； 若，则或，则，故D正确，不符合题意． 故选A． 2．我们定义一种新运算：，若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了新定义，先根据题意得到，再由新定义得到，再把代入中进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴， ， 故答案为：． 3．[新考法]对于任意有理数a，b，c，d，定义一种新运算：． (1)对于有理数x，y，若是一个完全平方式，则__________； (2)对于有理数x，y，若． ①求的值； ②将长方形和长方形按照如图方式进行放置，其中点E在边上，连接，．若，图中阴影部分的面积为，求n的值． 【答案】(1) (2)①130；② 【分析】本题考查了新定义，完全平方公式的应用，解方程，图形的面积表示，熟练掌握新定义，完全平方公式，分割法求面积是解题的关键． （1）根据完全平方式有和差两种形式，解答即可； （2）①根据新定义，得，然后根据完全平方公式进行变形，最后整体代入计算即可； ②根据题意，得化简计算即可． 【详解】（1）解：根据，得， ∵是一个完全平方式， ∴， 解得， 故答案为：； （2）解：①． 因为， 所以， 即， 所以， 所以． ②由题图知， 所以， 化简，得． 因为， 所以． 因为由①知， 所以，解得． 类型三、规律问题 1．发现：，，，，，，，，依据上述规律，通过计算判断的结果的个位数字是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了平方差公式和尾数特征．解题的关键是熟练掌握平方差公式的运用．观察时注意4的指数的奇偶性与个位数字的关系，利用平方差公式进行计算，然后利用观察的规律解答． 【详解】解：，，，，，，，， 观察上面运算结果发现：当4的指数是奇数时，运算结果的个位数字是4；当4的指数是偶数时，运算结果的个位数字是6； ． 由规律可得的个位数字是6， ∴的结果的个位数字是6． 故选：C． 2．观察下列各个式子的规律： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式： ； …… 第202个等式： ． 【答案】 【分析】本题考查了规律探索，正确完全平方公式，找到规律是解题的关键．按照规律表示出第n个等式，即可求解． 【详解】解：根据题中规律可得， 进而得出第n个等式：， ∴， 故答案为：；． 3．观察下列等式，并回答问题． ， ， ， …… (1)将36写成两个正整数平方差的形式： ______=____________； (2)观察、归纳，得出猜想： 用含有字母的整数）的等式表示上述的规律为：______； 并用已学的知识验证这一规律． 【答案】(1)；； (2)，证明见解析 【分析】本题考查了找规律，用代数式表示，整式的运算，解题的关键是整理题目给出的规律． （1）利用题意得到即可解题； （2）根据题中等式进行归纳即可表示出该规律，再利用整式的运算法则即可验证． 【详解】（1）解：∵， ， ， …… ∴； （2）解：； 证明：等式右边 ， 等式左边右边， ． 类型四、平方差公式的图形应用 1．如图，大正方形与小正方形的面积之差是8，则阴影部分的面积是（   ） A．8 B．4 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了利用平方差公式求面积，由题意得出，表示出，即可得出答案，采用数形结合的思想，正确表示出阴影部分的面积是解此题的关键． 【详解】解：如图， 大正方形与小正方形的面积之差是8， ， 由图可知： ， 故选B． 2．图1为某校八（1）（2）两个班级的劳动实践基地，图2是从实践基地抽象出来的几何模型：两块边长为，的正方形，其中重叠部分为池塘，阴影部分，分别表示八（1）（2）两个班级的基地面积．若，，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查平方差公式与几何图形的面积，根据，得到，进行求解即可． 【详解】解：由图可知：， ∴， ∵，， ∴； ∴； 故答案为：6． 3．【探究】如图，从边长为的大正方形中剪掉一个边长为的小正方形，将阴影部分按如图方式剪开，拼成图的长方形． 请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积：图： ，图： ，比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式 ； 【应用】请应用这个公式完成下列各题： （1）已知，，则的值为 ； （2）计算：； 【拓展】计算：的结果． 【答案】[探究]，，；[应用]（）；（）；[拓展]． 【分析】本题考查了平方差公式的几何背景，掌握平方差公式的结构特征是解题的关键． [探究]根据不同方法求面积即可； [应用]（）根据即可求解； （）根据即可求解； [拓展]根据即可求解． 【详解】[探究]解：题图中阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的题图是长为，宽为的长方形，因此面积为，所以有， 故答案为：，，； [应用]解：（）∵，， ∴， 故答案为：； （）原式 ； [拓展]解：原式 ． 类型五、完全平方公式的图形应用 1．现有，两个正方形，将放在的内部如图甲所示；将，并列放置后构造新的正方形如图乙所示，若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为6和17，则正方形，的面积之和为（   ） A．11 B．9 C．21 D．23 【答案】D 【分析】本题考查的是完全平方公式的几何背景，掌握平方差公式和完全平方公式是解题的关键．设A正方形的边长为a，B正方形的边长为b，根据图形得到，，得到答案． 【详解】解：设A正方形的边长为a，B正方形的边长为b， 由图甲可知，，即， ∴， 由图乙可知，，即， ∴， 故选：D． 2．以长方形的四条边为边向外作四个正方形，设计出“中”字图案，如图所示．若四个正方形的周长之和为40，面积之和为26，则长方形ABCD的面积为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，用代数式表示两个正方形的周长和面积是解决问题的前提．令，，根据题意得到，，再利用完全平方公式求解即可． 【详解】解：令，， 长方形的四条边为边向外作四个正方形，四个正方形的周长之和为40，面积之和为26， ，， ，， ， 故答案为：6． 3．现有若干个正方形纸片，从中任取两个大小不等的正方形纸片如图摆放，三点在一条直线上． (1)如图1，若，则这两个正方形的面积之和是______． (2)如图2，若正方形和正方形的面积之和是36，的长度为8，求图中阴影部分的面积． (3)如图3，正方形和正方形的边长分别为，如果，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)10 (2)14 (3)16 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，求阴影部分的面积， （1）根据边长之间的关系求出，即可求出答案； （2）设正方形的边长为，正方形的边长为，可得，进而求出，再根据阴影部分的面积等于，可得答案； （3）先求出，再将阴影部分的面积整理，再整体代入求值． 【详解】（1）解：根据题意可知. ∵， ∴， 即， 解得， ∴． 则两个正方形的面积之和是. 故答案为：10； （2）解：设正方形的边长为，正方形的边长为， 根据题意得， ， ， 阴影部分的面积之和为； （3）解：， ， 阴影部分的面积 ． 1．若，则的值为（   ） A．12 B．10 C．8 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了平方差公式的运用，掌握平方差公式的计算是解题的关键． 根据题意，运用平方差公式将等于左边因式分解后计算得，再与等式右边比较，即可求解． 【详解】解：等式左边 ， ∴， ∴， 故选：B ． 2．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了合并同类项，平方差公式，幂的乘方，同底数幂的乘法逆运算等知识．根据合并同类项，平方差公式，幂的乘方，同底数幂的乘法逆运算对各选项进行判断作答即可． 【详解】解：A、，本选项不符合题意； B、，本选项不符合题意； C、，本选项不符合题意； D、，本选项符合题意； 故选：D． 3．已知，则的值为（    ） A．1 B． C．5 D． 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式、偶次方和算术平方根的非负性等知识，熟练掌握完全平方公式是解题关键．先根据完全平方公式可得，再根据偶次方和算术平方根的非负性可得，，从而可得，然后代入计算即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故选：B． 4．观察下面图形，你能利用图中面积的相等关系写出一个你熟悉的公式吗？ 答： ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式与图形面积的计算，掌握完全平方公式是解题的关键． 根据题意，大正方形的边长为，其面积等于，等于边长为的正方形的面积加上长、宽为的两个长方形的面积加上边长为的正方形的面积，由此即可求解． 【详解】解：， 故答案为： ． 5．已知关于的二次三项式是一个完全平方式，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方式，解题的关键是知道常数项是一次项系数一半的平方． 符合形式的式子叫完全平方式，要明确，常数项是一次项系数一半的平方，进而求出即可． 【详解】解：∵关于y的二次三项式是完全平方式， ∴， ∴． 故答案为：． 6．如果，那么代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，运算后整体代入求解是关键． 【详解】解：原式 ， 当时， 原式． 故答案为：． 7．利用乘法公式计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】本题组考查了完全平方公式和平方差公式的灵活运用，计算时要认真仔细． （1）用完全平方公式和平方差公式结合合并同类项计算； （2）用完全平方公式和平方差公式结合合并同类项计算； （3）用完全平方公式和平方差公式结合合并同类项计算； （4）用完全平方公式和平方差公式结合合并同类项计算； （5）用完全平方公式和平方差公式结合合并同类项计算． 【详解】（1）解：原式， ， ； （2）原式， ， ， ； （3）原式， ， ； （4）原式， ， ， ， ； （5）原式， ， ． 8．用简便方法计算： (1)； (2)； (3) 【答案】(1)190 (2) (3) 【分析】本题考查了平方差公式，完全平方公式，积的乘方的逆运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先整理原式为，再去括号，然后计算，即可作答． （2）先整理原式为，再去括号，然后计算，即可作答． （3）运用平方差公式进行简便运算，即可作答． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． 9．先化简，再求值： (1)，其中； (2)，其中． 【答案】(1)． (2)． 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，化简求值， 对于（1），根据完全平方公式和平方差公式展开整理，再代入求值即可； 对于（2），根据完全平方公式，整式乘法，平方差公式展开整理，再整体代入求值. 【详解】（1）解：原式 ． 当时，原式； （2）解：原式 ． 因为，所以， 所以原式． 10．阅读与思考 阅读以下材料并完成相应任务． 换元法，是指引入一个或者几个新的变量代替原来的变量，通过引入的新变量将分散的条件联系起来，变为熟悉的问题，其理论依据是等量代换．对于结构比较复杂的式子．可以把其中某些部分看作整体，用新的字母代替（即整体换元）可以化繁为简，从而找到解题的路径． 例：若x满足，求的值． 解：令，，则，， ，， ， ． 任务： (1)若x满足，求的值． (2)如图，在长方形中，，，E、F分别为边，上的点，且，分别过点E、F作边，的垂线段，交于点O，再以和为边向外作正方形和正方形．若长方形的面积为，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查完全平方公式的变形，完全平方公式与图形面积： （1）令，，则，，利用完全平方公式求出即可； （2）设，则，．令，，则，，，最后根据即可求解． 【详解】（1）解：令，， 则，， ， ， ， ． （2）解：设， 则，． 令，， 则． ， ， ． ， ， ， ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$