2025年九年级数学中考一轮复习考点复习讲义：微专题一根据一次函数的增减性求最值

微专题一　根据一次函数的增减性求最值 一次函数y＝kx＋b(k≠0)的自变量x的取值范围是全体实数，图象是一条直线，因而没有最大值与最小值；但当m≤x≤n时，则一次函数的图象是一条线段，根据一次函数的增减性，就有最大值与最小值． 典题例证 6月13日是“文化和自然遗产日”，某商店为了抓住此次活动的商机，决定购买一些纪念品进行销售，若购进A种纪念品20件，B种纪念品10件，需要2 000元；若购进A种纪念品8件，B种纪念品6件，需要1 100元． (1)求购进A，B两种纪念品每件各需多少元？ (2)若每件A种纪念品的售价为60元，每件B种纪念品的售价为180元．考虑到市场需求，商店决定购进这两种纪念品共300件，要求购进B种纪念品的数量不少于30件，设购进B种纪念品m件，总利润为w元，请写出总利润w(元)与m(件)的函数关系式，并根据函数关系式说明利润最高时的进货方案． [解]　(1)设购进A种纪念品每件需x元，B种纪念品每件需y元，根据题意，得 解得 答：购进A种纪念品每件需25元，B种纪念品每件需150元． (2)根据题意，得解得30≤m≤300，w＝(60－25)·(300－m)＋(180－150)m＝－5m＋10 500. 因为－5＜0，所以w随m的增大而减小， 所以当m＝30时，w有最大值，此时w＝－5×30＋10 500＝10 350，300－30＝270(件)，故购进A种纪念品270件，购进B种纪念品30件时利润最高，为10 350元． 对点应用 1．某商店出售普通练习本和精装练习本，150本普通练习本和100本精装练习本销售总额为1 450元；200本普通练习本和50本精装练习本销售总额为1 100元． (1)普通练习本和精装练习本的销售单价分别是多少？ (2)该商店计划再次购进500本练习本，普通练习本的数量不低于精装练习本数量的3倍，已知普通练习本的进价为2元/本，精装练习本的进价为7元/本，设购进普通练习本x本，获得的利润为W元． ①求W关于x的函数解析式； ②该商店应如何进货才能使销售总利润最大？并求出最大总利润． 解：(1)设普通练习本的销售单价为m元，精装练习本的销售单价为n元． 根据题意得 解得 答：普通练习本的销售单价为3元，精装练习本的销售单价为10元． (2)①购进普通练习本x本，则购进精装练习本(500－x)本．根据题意得 W＝(3－2)x＋(10－7)(500－x)＝－2x＋1 500. ②因为普通练习本的数量不低于精装练习本数量的3倍， 所以 解得375≤x<500. 因为W＝－2x＋1 500中，k＝－2<0， 所以W随x的增大而减小， 所以当x＝375时，W取得最大值， 此时500－375＝125(本)， W最大＝－2×375＋1 500＝750(元). 答：当购进375本普通练习本，125本精装练习本时，销售总利润最大，最大总利润为750元． 2．李老师需要制作几份相同的材料．该材料用A4纸打印，每份有170张纸，纯文字的纸张用黑白打印，含图片的纸张彩色、黑白皆可打印，彩色打印费用为2元/张，黑白打印费用如下表： 纸张数量a(张) 0<a≤400 400<a≤600 a>600 黑白(元/张) 1 0.9 0.8 该材料封面、封底均含图片，打印方案如下： 普通版：封面、封底用彩色打印，其余都用黑白打印； 精美版：含图片纸张用彩色打印，其余都用黑白打印． (1)若制作1份普通版和1份精美版共需362元，求该材料(1份)中含图片的纸张数； (2)若每份材料中含图片的纸张数不少于纯文字纸张数的，但又不多于纸张总数的，求制作4份精美版材料的最少费用． 解：(1)设该材料(1份)中含图片的纸张有x张， 则(168×1＋2×2)＋2x＋(170－x)×1＝362，解得x＝20. 答：该材料(1份)中含图片的纸张有20张． (2)设每份材料中含图片的纸张有y张，制作4份精美版材料的费用为w元， 则 解得42.5≤y≤68，即43≤y≤68. 因为(170－43)×4＝508， 所以w＝4×2y＋0.9(170－y)×4＝4.4y＋612. 因为k＝4.4>0， 所以w随着y的增大而增大，当y＝43时，w有最小值801.2. 答：制作4份精美版材料的最少费用为801.2元． 学科网（北京）股份有限公司 $$