2025年九年级数学中考一轮复习考点复习讲义：反比例函数及其应用

反比例函数及其应用 一、反比例函数的图象及性质 解析式 y＝或xy＝k或y＝kx－1(k为常数，k≠0) k k＞0 k＜0 图象 图象特征 图象无限接近坐标轴，但不与坐标轴相交，即x≠0，y≠0 所在象限 第一、三象限(x，y同号) 第二、四象限(x，y异号) 增减性 在每一象限内，y随x的增大而减小 在每一象限内，y随x的增大而增大 对 称 性 中心 对称 关于原点成中心对称．如双曲线一支上的点P(x，y)关于原点的对称点P′(－x，－y)在双曲线另一支上 轴对称 有两条对称轴，分别为直线y＝x和y＝－x 二、反比例函数中比例系数k的几何意义 设点P(m，n)是双曲线y＝(k≠0)上的任意一点． (1)过点P作x轴或y轴的垂线，垂足为A，则S△OAP＝OA·AP＝|m|·|n|＝|mn|＝|k|. (2)过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为A，B，则S矩形OAPB＝OA·AP＝|m|·|n|＝|mn|＝|k|. 三、反比例函数解析式的确定 待定系 数法 (1)设出反比例函数解析式y＝(k≠0). (2)找出满足反比例函数解析式的一点P(a，b). (3)将P(a，b)代入解析式得k＝ab． (4)确定反比例函数解析式y＝ 几何法 一般是由图形面积求出|k|，再根据函数图象所在象限判断k的符号，确定k的值 四、反比例函数的应用 1．反比例函数与一次函数的综合应用 (1)根据点的坐标确定函数解析式． (2)根据图象比较两函数值的大小． (3)求三角形或四边形的面积． (4)由几何图形面积确定点的坐标或函数的解析式． 2．反比例函数的实际应用 解题 方法 (1)分析实际问题中变量之间的关系． (2)建立反比例函数模型． (3)用反比例函数的有关知识解答，注意利用反比例函数两变量之积是定值的性质，算出定值 常见 应用 问题 (1)行程问题：速度＝. (2)工程问题：工作效率＝. (3)压强问题：压强＝. (4)电学问题：电阻＝ 思考辨析 下列说法是否正确，正确的画“√”，错误的画“×”． (1)函数①y＝2x，②y＝x，③y＝x－1，④y＝中反比例函数只有③④.(　　) (2)压力一定时，压强与受力面积成反比例．(　　) (3)反比例函数y＝的图象关于原点成中心对称．(　　) (4)反比例函数y＝中，y随x的增大而减小．(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)× 易混易错 1．反比例函数y＝(k≠0)的自变量x的取值为一切非零实数，函数y的取值是一切非零实数． 2．反比例函数的表达式中，分子是不为零的常数k，分母不能是多项式，只能是x的一次单项式． 3．反比例函数的图象不是连续的，因此在描述反比例函数的增减性时，一定要有“在其每个象限内”这个前提．当k＞0时，在每一象限(第一、三象限)内y随x的增大而减小，但不能笼统地说y随x的增大而减小．同样，当k＜0时，也不能笼统地说y随x的增大而增大． 4．运用反比例函数中比例系数k的几何意义时，注意k的正负． 错点小练 1．下列函数中，不是反比例函数的是(　　) A．y＝－ B．y＝－ C．y＝ D．3xy＝2 答案：C 2．已知反比例函数y＝(k≠0)，当x1<x2<0时，y1<y2，则它的图象一定在(　　) A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、二象限 D．第三、四象限 答案：B 3．如图，A是反比例函数y＝的图象上一点，AB⊥y轴于点B，点C在x轴上，若△ABC的面积为2，则k的值为(　　) A．－4 B．1 C．2 D．4 答案：D 考点一　反比例函数的图象及性质 典题例证 命题角度1　反比例函数增减性的应用 (2024·合肥一模)已知点(x1，y1)，(x2，y2)均在双曲线y＝上，当x1＜x2时，y1与y2的大小关系是(　　) A．y1＜y2 B．y1＞y2 C．y1＝y2 D．无法确定 [解析]　因为k＝2＞0， 所以反比例函数图象的两个分支在第一、三象限，且在每个象限内y随x的增大而减小， 当x1＜x2＜0或0＜x1＜x2时，y1＞y2， 当x1＜0＜x2时，y1＜y2， 所以不能确定y1与y2的大小关系． 故选D. [答案]　D 命题角度2　k与反比例函数图象所在象限的关系 若反比例函数y＝(2m－1)xm2－2的图象在第二、四象限，则m的值是(　　) A.－1或1 B.小于的任意实数 C．－1 D．不能确定 [解析]　因为y＝(2m－1)·xm2－2是反比例函数， 所以 解得m＝±1. 又因为图象在第二、四象限， 所以2m－1＜0， 解得m＜， 即m的值是－1. [答案]　C 提分特训 1．(2024·合肥二模)下列函数中，当x＜0时，y的值随x的增大而增大的是(　　) A．y＝－x B．y＝ C．y＝x－1 D．y＝x2－1 答案：C 2．已知反比例函数y＝的图象分布在第二、四象限，则k的取值范围是________． 答案：k<－1 012 提分技法 比较反比例函数函数值大小的方法 (1)若已知点的横坐标，可直接把点的横坐标代入反比例函数解析式，求出相应的y值，再比较大小；若没有给出横坐标可采用“特殊值法”，根据横坐标的大小关系，设出几个特殊值，求出特殊值对应的y值，再比较大小． (2)在反比例函数图象上描出各点，根据各点的位置高低，比较函数值的大小． (3)利用反比例函数的增减性与已知点的横坐标的大小关系比较函数值的大小． 考点二　反比例函数中k的几何意义及其解析式的确定 典题例证 (2024·安徽冲刺卷)如图，在平面直角坐标系中，△AOC的边OA在y轴上，点C在第一象限内，点B为AC的中点，反比例函数y＝(x＞0)的图象经过B，C两点．若△AOC的面积是6，则k的值为________． [解析]　如图，过点C作CD⊥y轴于点D. 设点C的坐标为(a，b)，点A的坐标为(0，c)， 所以CD＝a，OA＝c. 因为△AOC的面积是6， 所以S△AOC＝CD·OA＝ac＝6， 所以ac＝12. 因为点C(a，b)在反比例函数y＝(x＞0)的图象上， 所以k＝ab. 因为点B为AC的中点， 所以点B. 因为点B在反比例函数y＝(x＞0)的图象上， 所以k＝·， 即4k＝a(b＋c)， 所以4k＝ab＋ac， 将ab＝k，ac＝12代入上式，得k＝4. [答案]　4 提分特训 3．(2024·池州二模)如图，反比例函数y＝的图象上有A，B两点，连接OA，OB，过点B作BD⊥y轴于点D，交OA于点C.若AC＝2OC，△BOC的面积为2，则k的值为(　　) A． B．－ C． D．－ 答案：B 4．(2022·安徽)如图，平行四边形OABC的顶点O是坐标原点，A在x轴的正半轴上，B，C在第一象限，反比例函数y＝的图象经过点C，y＝(k≠0)的图象经过点B.若OC＝AC，则k＝________． 解析：如图，过点C作CD⊥OA于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，连接OB. 所以CD∥BE. 因为四边形OABC为平行四边形， 所以CB∥OA，OC＝AB，即CB∥DE， 所以四边形CDEB为平行四边形． 因为CD⊥OA， 所以平行四边形CDEB为矩形， 所以CD＝BE. 所以在Rt△COD和Rt△BAE中， 所以Rt△COD≌Rt△BAE(HL)， 所以S△OCD＝S△ABE. 因为OC＝AC，CD⊥OA， 所以OD＝AD. 因为反比例函数y＝的图象经过点C， 所以S△OCD＝S△ACD＝S△ABE＝， 所以S▱OCBA＝4S△OCD＝2， 所以S△OBA＝S▱OCBA＝1， 所以S△OBE＝S△OBA＋S△ABE＝1＋＝. 因为y＝(k≠0)的图象经过点B且在第一象限，所以k＝2×＝3. 答案：3 考点三　反比例函数与一次函数的综合应用 典题例证 (2024·安徽)已知反比例函数y＝(k≠0)与一次函数y＝2－x的图象的一个交点的横坐标为3，则k的值为(　　) A．－3 B．－1 C．1 D．3 [答案]　A 提分特训 5．(2024·合肥一模)已知点A(2，0)，B为直线x＝1上一个动点，C为直线AB与双曲线y＝－的交点，则满足AC＝2AB的点C的个数是(　　) A．1 B．3 C．1或3 D．0 答案：A 6．(2023·安徽)如图，O是坐标原点，Rt△OAB的直角顶点A在x轴的正半轴上，AB＝2，∠AOB＝30°，反比例函数y＝(k＞0)的图象经过斜边OB的中点C. (1)k＝________； (2)D为该反比例函数图象上的一点，若DB∥AC，则OB2－BD2的值为________． 答案：(1)　(2)4 7．(2024·亳州三模)如图，一次函数y＝ax＋b的图象与反比例函数y＝－的图象相交于A(m，1)，B(2，n)两点，与y轴交于点C. (1)求一次函数的解析式； (2)设D为线段AC上的一个动点(不包括A，C两点)，过点D作DE∥y轴交反比例函数的图象于点E，当△CDE的面积是4时，求点E的坐标． 解：(1)把A(m，1)，B(2，n)分别代入y＝－中，得A(－6，1)，B(2，－3). 因为A(－6，1)，B(2，－3)在一次函数y＝ax＋b的图象上， 所以 解得 所以一次函数的解析式为y＝－x－2. (2)由(1)可知C(0，－2).设点D的坐标为，则E. 所以ED＝－－＝－＋p＋2， 所以S△CDE＝·(－p)·＝－p2－p＋3＝4， 解得p＝－2， 所以E(－2，3). 提分技法 反比例函数与一次函数综合应用的解题方法 (1)探求同一坐标系下两函数的图象常用排除法． (2)探求两函数的解析式常利用两函数图象的交点坐标． (3)探求两函数图象的交点坐标，常利用解方程(组)的方法求解． 考点四　反比例函数的实际应用 典题例证 东东在网上销售一种成本为30元/件的T恤衫．销售过程中的其他各种费用(不再含T恤衫成本)总计50(百元).若销售价格为x(元/件)，销售量为y(百件)，当40≤x≤60时，y与x之间满足一次函数关系，且当x＝40时，y＝6.有关销售量y(百件)与销售价格x(元/件)的相关信息如下： 销售量y(百件) ________ y＝ 销售价格x(元/件) 40≤x≤60 60≤x≤80 (1)求当40≤x≤60时，y与x的函数解析式． (2)①求销售这种T恤衫的利润w(百元)与销售价格x(元/件)的函数解析式； ②销售价格定为每件多少元时，获得的利润最大？最大利润是多少？ [解]　(1)把x＝60代入y＝，得y＝4. 当40≤x≤60时，设y与x的函数解析式为y＝kx＋b. 因为当x＝40时，y＝6，当x＝60时，y＝4， 所以 解得 所以y与x的函数解析式为y＝－0.1x＋10. (2)①当40≤x≤60时，w＝(x－30)(－0.1x＋10)－50＝－0.1x2＋13x－350； 当60≤x≤80时，w＝(x－30)·－50＝－＋190. 综上，w＝ ②当40≤x≤60时，w＝－0.1x2＋13x－350＝－0.1(x－65)2＋72.5. 因为－0.1<0，40≤x≤60， 所以w随x的增大而增大， 当x＝60时，w最大＝70(百元). 当60≤x≤80时，w＝－＋190. 因为－7 200<0， 所以w随x的增大而增大，当x＝80时，w最大＝100(百元). 因为70<100， 所以w最大＝100(百元). 答：销售价格定为80元/件时，获得的利润最大，最大利润是100百元． 提分特训 8．甲、乙两家商场进行促销活动．甲商场采用“满200减100”的促销方式，即购买商品的总金额满200元但不足400元，少付100元，满400元但不足600元，少付200元；……；乙商场按顾客购买商品的总金额打六折促销． (1)若顾客在甲商场购买了510元的商品，付款时应付多少钱？ (2)若顾客在甲商场购买商品的总金额为x(400≤x<600)元，优惠后得到商家的优惠率为p，写出p与x之间的函数解析式，并说明p随x的变化情况； (3)品牌、质量、规格等都相同的某种商品，在甲、乙两家商场的标价都是x(200≤x<400)元，你认为选择哪家商场购买该商品花钱较少？ 解：(1)付款时应付310元． (2)p与x之间的函数解析式为 p＝(400≤x＜600)， 当400≤x<600时，p随x的增大而减小． (3)当200≤x<250时，y甲<y乙，选择甲商场购买该商品花钱较少； 当x＝250时，y甲＝y乙，选择两家商场购买该商品花钱相同； 当250<x<400时，y甲>y乙，选择乙商场购买该商品花钱较少． 提分技法 利用反比例函数解决实际问题的步骤 (1)审清题意，找出题目中的常量、变量，并理清常量与变量之间的关系． (2)根据常量与变量之间的关系，设出函数解析式，待定的系数用字母表示． (3)由题目的已知条件列出方程，求出待定系数． (4)写出函数解析式，并注意解析式中自变量的取值范围． (5)用函数的图象和性质解决实际问题． 1．定义：若x，y满足x2＝4y＋t，y2＝4x＋t且x≠y(t为常数)，则称点M(x，y)为“和谐点”． (1)若P(3，m)是“和谐点”，则m＝________； (2)若双曲线y＝(－3＜x＜－1)上存在“和谐点”，则k的取值范围为________． 答案：(1)－7　(2)3＜k＜4 2．(2024·吉林)已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I(单位：A)与电阻R(单位：Ω)是反比例函数关系，它的图象如图所示． (1)求这个反比例函数的解析式(不要求写出自变量R的取值范围)； (2)当电阻R为3 Ω时，求此时的电流I. 解：(1)设这个反比例函数的解析式为I＝(U≠0). 把(9，4)代入I＝(U≠0)中，得4＝(U≠0)， 解得U＝36， 所以这个反比例函数的解析式为I＝. (2)在I＝中，当R＝3 Ω时，I＝＝12 A， 所以此时的电流I为12 A． 学科网（北京）股份有限公司 $$