2025年九年级数学中考一轮复习考点复习讲义：一元一次方程与二元一次方程

一元一次方程与二元一次方程(组) 一、等式的性质 同加减 (等式的性质1) 如果a＝b，那么a±c＝b±c 同乘除 (等式的性质2) 如果a＝b，那么ac＝bc； 如果a＝b，那么＝，其中c≠0 对称性 如果a＝b，那么b＝a 传递性 如果a＝b，b＝c，那么a＝c 二、一元一次方程及其解法 一元一 次方程 (1)概念：只含有一个未知数(元)，且未知数的次数是1的整式方程． (2)一般形式：ax＋b＝0(a，b是常数，且a≠0). (3)方程的解：使方程左、右两边的值相等的未知数的值 解一元 一次方 程的步 骤　　 模板： 解方程：1－＝. 去分母，得6－2(5－x)＝3x． 去括号，得6－10＋2x＝3x． 移项，得2x－3x＝10－6． 合并同类项，得－x＝4． 系数化为1，得x＝－4 三、二元一次方程(组)及其解法 相关 概念 二元一次 方程 含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程 二元一次 方程组 共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程 二元一次 方程的解 适合二元一次方程的一组未知数的值 二元一次 方程组的解 二元一次方程组的两个方程的公共解 基本 思想 二元一次方程组一元一次方程 求解 方法 代入消元法 将其中一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程 加减消元法 (1)通过两式相加(减)消去其中一个未知数． (2)当方程组中某个未知数的系数相同，或互为相反数，或成整数倍关系时，用加减消元法比较简单 四、列一次方程(组)解应用题的一般步骤 审 审清题意，分清题中的已知量、未知量 设 设其中某个量为未知数，并注明单位，对含有两个未知量的问题，需设两个未知数 列 弄清题意，找出等量关系，根据等量关系，列方程(组) 解 解方程(组) 检 检验结果是否符合题意 答 写答案(不要忘记单位) 思考辨析 下列说法是否正确，正确的画“√”，错误的画“×”． (1)方程x＝0，3x＋5＝3(x－2)都是一元一次方程．(　　) (2)若a＝b成立，则＝成立．(　　) (3)二元一次方程组是指方程组中两个方程都含有两个未知数且每个未知数的次数都是1.(　　) (4)二元一次方程组是指方程组中含有两个未知数且每个未知数的次数都是1.(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 易混易错 1．利用等式的性质进行变形时，等式两边都要参加运算，而且是同一种运算． 2．运用等式的性质2时，等式两边不能同时除以0，因为0不能作除数或分母． 3．一元一次方程中未知数所在的式子是整式，即分母中不含未知数． 4．对于分母中含有小数的一元一次方程，当分母中含有一位小数时，含分母项的分子、分母都乘10，化分母中的小数为整数；当分母中含有两位小数时，含分母项的分子、分母都乘100，化分母中的小数为整数． 5．二元一次方程组的“二元”和“一次”都是针对整个方程组而言的，组成方程组的两个一 次方程不必同时含有两个未知数，这两个一次方程不一定都是二元一次方程，但这两个一次方程必须一共含有两个未知数． 错点小练 1．下列说法正确的是(　　) A．若ac＝bc，则a＝b B．若a2＝b2，则a＝b C．若＝，则a＝b D．若－x＝6，则x＝2 答案：C 2．若等式m＋a＝n－b根据等式的性质变形得到m＝n，则a，b满足的条件是(　　) A．相等 B．互为倒数 C．互为相反数 D．无法确定 答案：C 3．下列4组数中，不是二元一次方程2x＋y＝4的解的是(　　) A． B． C． D． 答案：D 4．下列各式：①－2＋5＝3；②3x－5＝x2＋3x；③2x＋1＝1；④＝1；⑤2x＋3；⑥x＝4.其中是一元一次方程的有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 答案：B 考点一　等式的性质及二元一次方程(组)的相关概念 典题例证 (2024·宿州一模)设x，y，z为互不相等的实数，且x－y＝(y＋z)，则下列结论正确的是(　　) A．x＋z＝6(x－y) B．x＞y＞z C．y－z＝5(x－y) D．y＞z＞x [解析]　因为x－y＝(y＋z)， 所以5(x－y)＝y＋z， 所以5x－5y＝y＋z， 所以x＋z＝6x－6y， 所以x＋z＝6(x－y). 故选A. [答案]　A 提分特训 1．(2024·安徽一模)实数a，b，c满足a＋b＝c，则下列结论不正确的是(　　) A．若a＝b，则a＝c B．若c＝2a，则b＝2c C．若a＞b，则a＞c D．若a＞c，则b＞c 答案：D 2．若是关于x，y的二元一次方程ax＋y＝3的解，则a＝________． 答案：1 提分技法 已知二元一次方程(组)的解，求方程(组)中字母的值的两种方法 (1)代入法：当已知方程(组)的解时，把解代入方程(组)，得到新的方程(组)，再解新的方程(组)，从而求出字母的值． (2)整体法：根据方程(组)中的未知数的系数特点，利用整体思想求某些字母的值． 考点二　二元一次方程组的解法 典题例证 (2024·安徽模拟)解方程组： [解]　 把①代入②，得3x＋2×2x＝7， 解得x＝1， 把x＝1代入①，得y＝2， 所以方程组的解为 提分特训 3．已知关于x，y的方程组 的解满足x＋y＝2k，求k的值． 解：①＋②，得5x＋5y＝4＋6k， 所以5(x＋y)＝4＋6k， 所以x＋y＝， 所以2k＝，解得k＝1. 4．用消元法解方程组时，两位同学的解法如下． 法一： 由①－②，得3x＝3. 法二： 由②，得3x＋(x－3y)＝2，③ 把①代入③，得3x＋5＝2. (1)反思：上述两个解题过程中有无计算错误？若有，请在错误处打“×”； (2)请选择一种你喜欢的解法，完成解答． 解：(1)法一中的解题过程有错误． 由①－②，得3x＝3.　× 应为由①－②，得－3x＝3. (2)由①－②，得－3x＝3， 解得x＝－1. 把x＝－1代入①，得－1－3y＝5， 解得y＝－2. 故这个方程组的解是 提分技法 二元一次方程组解法的选择 (1)当方程组中某一个未知数的系数是1或者－1时，选用代入消元法较合适． (2)当方程组中某一个方程的常数项为0时，选用代入消元法较合适． (3)当两个方程中同一个未知数的系数相同或互为相反数时，选用加减消元法较合适． (4)当两个方程中同一个未知数的系数成整数倍关系时，选用加减消元法较合适． 考点三　一次方程(组)的应用 典题例证 命题角度1　一元一次方程的应用 (2023·安徽)根据经营情况，公司对某商品在甲、乙两地的销售单价进行了如下调整：甲地上涨10%，乙地降价5元．已知销售单价调整前甲地比乙地少10元，调整后甲地比乙地少1元．求调整前甲、乙两地该商品的销售单价． [解]　设调整前甲地该商品的销售单价为x元，则乙地该商品的销售单价为(x＋10)元．根据题意，得x(1＋10%)＋1＝x＋10－5，解得x＝40， 所以x＋10＝40＋10＝50. 答：调整前甲、乙两地该商品的销售单价分别为40元、50元． 命题角度2　二元一次方程组的应用 (2022·安徽)某地区2020年进出口总额为520亿元.2021年进出口总额比2020年有所增加，其中进口额增加了25%，出口额增加了30%.注：进出口总额＝进口额＋出口额． (1)设2020年进口额为x亿元，出口额为y亿元，请用含x，y的代数式填表： 年份 进口额/亿元 出口额/亿元 进出口总额/亿元 2020 x y 520 2021 1.25x 1.3y (2)已知2021年进出口总额比2020年增加了140亿元，求2021年进口额和出口额分别是多少亿元？ [解]　(1) 年份 进口额/亿元 出口额/亿元 进出口总额/亿元 2020 x y 520 2021 1.25x 1.3y 1.25x＋1．3y (2)根据题意得 解得 2021年进口额是1.25x＝1.25×320＝400(亿元)，2021年出口额是1.3y＝1.3×200＝260(亿元). 答：2021年进口额和出口额分别是400亿元、260亿元． 提分特训 5．(2024·安徽押题卷)《孙子算经》中有一道题，原文是：今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？意思是：一个笼中装有鸡和兔子，上面数共有35个头，下面数共有94只脚，问鸡兔各有几只？如果设鸡有x只、兔有y只，则列出正确的方程组是(　　) A． B． C． D． 答案：B 6．(2024·安徽押题卷)某车间有68名工人，每人每天能生产8个甲种配件或5个乙种配件，已知2个甲种配件和3个乙种配件配成一套，为使每天生产的两种配件刚好配套，应安排多少名工人生产甲种配件？ 解：设应安排x名工人生产甲种配件，则安排(68－x)名工人生产乙种配件． 依题意，得＝， 解得x＝20. 答：应安排20名工人生产甲种配件． 7．(2024·安徽)乡村振兴战略实施以来，很多外出人员返乡创业．某村有部分返乡青年承包了一些田地，采用新技术种植A，B两种农作物．种植这两种农作物每公顷所需人数和投入资金如表： 农作物品种 每公顷所需人数 每公顷所需投入资金(万元) A 4 8 B 3 9 已知农作物种植人员共24位，且每人只参与一种农作物种植，投入资金共60万元．问A，B这两种农作物的种植面积各多少公顷？ 解：设A种农作物的种植面积为x公顷，B种农作物的种植面积为y公顷． 由题意，得 解得 答：A种农作物的种植面积为3公顷，B种农作物的种植面积为4公顷． 提分技法 列二元一次方程组解实际问题的方法步骤 (1)审：认真阅读并理解问题中的有关材料及信息，分析问题中的数量关系． (2)设：弄清问题中的已知量和未知量，设出两个未知数． (3)列：从问题中找出等量关系，根据等量关系，列出方程组． (4)解：解方程组，求出未知数的值． (5)检：把求得的未知数代入原问题中检验其是否符合题意及实际情况． (6)答：写答案，注意不要忘记单位． 1．(2024·广西)《九章算术》是我国古代重要的数学著作，其中记载了一个问题，大致意思为：现有田出租，第一年3亩1钱，第二年4亩1钱，第三年5亩1钱．三年共得100钱．问：出租的田有多少亩？设出租的田有x亩，可列方程为(　　) A．＋＋＝1 B．＋＋＝100 C．3x＋4x＋5x＝1 D．3x＋4x＋5x＝100 答案：B 2．(2024·吉林)钢琴素有“乐器之王”的美称，键盘上白色琴键和黑色琴键共有88个，白色琴键比黑色琴键多16个．求白色琴键和黑色琴键的个数． 解：设黑色琴键有x个，则白色琴键有(x＋16)个． 由题意，得x＋(x＋16)＝88， 解得x＝36， 所以白色琴键有36＋16＝52(个). 答：白色琴键有52个，黑色琴键有36个． 学科网（北京）股份有限公司 $$