专题3.7 三元一次方程组及其解法（举一反三讲义）数学新教材沪科版七年级上册

专题3.7 三元一次方程组及其解法（举一反三讲义） 【新教材沪科版】 题型归纳 【题型1 三元一次方程（组）的定义】 2 【题型2 消元法解三元一次方程组的步骤判断】 2 【题型3 解三元一次方程组】 3 【题型4 求三元一次方程（组）中的参数】 4 【题型5 构造三元一次方程组求解】 5 【题型6 三元一次方程的整数解】 6 【题型7 由两个三元一次方程求值】 6 【题型8 整体代入解三元一次方程组求值】 7 【题型9 三元一次方程组中的新定义问题】 7 【题型10 三元一次方程（组）的应用】 8 考点1 三元一次方程组 知识点1 三元一次方程组的相关概念 1. 三元一次方程 含有三个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1，这样的方程叫做三元一次方程． 2. 三元一次方程组 （1）共含有三个未知数的三个一次方程所组成的一组方程，叫做三元一次方程组． （2）三元一次方程组需具备的3个条件 ①含有三个未知数； ②每个方程中含未知数的项的次数都是1； ③是整式方程组． 三者缺一不可． 3. 三元一次方程组的解 （1）三元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个三元一次方程组的解． （2）判断一组数是否为三元一次方程组的解时，将各数分别代人三个方程，若三个方程均成立，则这组数是该方程组的解． 知识点2 三元一次方程组的解法 1. 解三元一次方程组的基本思路 用代入法或加减法消去一个未知数，化成二元一次方程组，再解这个二元一次方程组． 2. 解三元一次方程组的一般步骤 （1）利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另外两个方程分别组成方程组，消去方程组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组； （2）解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值； （3）将求得的两个未知数的值代人原方程组中一个系数比较简单的方程中，得到一个一元一次方程； （4）解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值； （5）将求得的三个未知数的值用大括号合写在一起． 【题型1 三元一次方程（组）的定义】 【例1】（25-26七年级上·全国·课后作业）下列方程组中，是三元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】已知(m＋1)x＋y|m|＋z＝4是三元一次方程，则m＝________． 【变式1-2】下列方程中，三元一次方程共有(   　 ) (1)x + y + z = 3； (2) x · y · z = 3；(3) ；(4) ． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-3】（24-25七年级下·全国·随堂练习）下列是三元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【题型2 消元法解三元一次方程组的步骤判断】 【例2】解方程组，把上面的三元一次方程组消元转化成下面的二元一次方程组，需要经过如下的步骤，请你选出正确的步骤（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】解三元一次方程组：， 具体过程如下： (1)②－①，得b＝2， (2)①×2＋③，得4a－2b＝7， (3)所以， (4)把b＝2代入4a－2b＝7，得4a－2×2＝7(以下求解过程略)． 其中开始出现错误的一步是(　　) A．(1) B．(2) C．(3) D．(4) 【变式2-2】解方程组的关键是“消元”，即把“二元”转化为“一元”，同样，我们可以用“消元”的方法解三元一次方程组．下面，我们就来解一个三元一次方程组: 小段同学的部分解答过程如下： 解： + ，得，④ + ，得，⑤ 与 联立，得方程组 （1）请你补全小段同学的解答过程； （2）若满足方程组，则= 【变式2-3】《九章算术》是我国古代著名的数学专著，其“方程”章中给出了“遍乘直除”的算法解方程组．比如对于方程组，，先将方程①中的未知数系数排成数列，然后执行如下步骤：（如图）第一步，将方程②中的未知数系数乘以3，然后不断地减一行，直到第二行第一个数变为0；第二步，对第三行做同样的操作，其余步骤都类似． 方程①： 第一步方程②： 第二步方程③： 其实以上步骤的本质就是在消元，根据以上操作，有下列结论：（1）数列M为：（2）（3）其中正确的有（    ） A．（1）（2） B．（2）（3） C．（1）（3） D．（1）（2）（3） 【题型3 解三元一次方程组】 【例3】（1）解方程组： （2）解方程组： 【变式3-1】解方程组：． 【变式3-2】下面所示为教材中三元一次方程组的解题过程，请根据教材提供的做法和有关信息解决问题． 例1  解方程组： 解  由方程②，得．……步骤一④ 将④分别代入方程①和③，得 ……步骤二 整理，得 解这个二元一次方程组，得 代入④，得． 所以原方程组的解是 (1)其中的步骤二通过______法消去未知数，将三元一次方程组转化成了______． (2)仿照以上思路解方程组，消去字母后得到的二元一次方程组为______． 【变式3-3】（2026·福建漳州·一模）阅读材料，回答问题． 探索《九章算术》中机械化算法思想 《九章算术》是中国传统数学的重要著作，其算法具有强烈的程序化、机械化特点，便于编写计算机程序．在解方程组时，古人用算筹构建数阵（只写系数与常数项），采用重复的乘法和减法计算，将复杂数阵转化为简单的阶梯数阵，最终求出答案． 例如：解三元一次方程组：思路大致如下（第一、第二、第三行分别用①②③表示）：            （1）                           （2）                （3）                   （4） 将原方程组中略去了未知数后形成数阵（1），通过“行乘倍数，行相减”逐步消元（类似加减消元法），将数阵（1）转化到阶梯数阵（4）．不难发现数阵（4）对应的方程组是，第三行的方程，易解出的值，再依次代入上一行方程分别求出的值． (1)直接写出示例方程组的解； (2)仿照材料中的机械化算法思想，解决下列问题： （i）解方程组： （ii）已知关于的方程组：有唯一解，求的取值范围． 【题型4 求三元一次方程组中的参数】 【例4】（25-26七年级下·广西钦州·阶段检测）已知是三元一次方程组的解，那么的值为__________． 【变式4-1】若三元一次方程组的解使，则的值是_______． 【变式4-2】如果方程组的解使代数式kx+2y﹣z的值为10，那么k=　________ ． 【变式4-3】已知多项式中，，，为常数，的取值与多项式对应的值如下表： 1 2 7 则值为（    ） A．15 B．19 C．21 D．23 【题型5 构造三元一次方程组求解】 【例5】（24-25七年级下·全国·随堂练习）已知，则代数式的值为______． 【变式5-1】（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）如果关于x的方程的根分别为，1，3，那么a的值是________． 【变式5-2】在等式中，当时，当时；当时，则的值为______． 【变式5-3】（25-26七年级下·河南驻马店·阶段检测）如图是一个正方体的展开图，若正方体相对面上的数相等，则（     ） A．3 B．5 C．7 D．9 【题型6 三元一次方程的整数解】 【例6】三元一次方程的正整数解有（    ） A．2组 B．4组 C．6组 D．8组 【变式6-1】方程的正整数解是________． 【变式6-2】（2024·湖南长沙·模拟预测）我们探究得方程的正整数解只有组，方程的正整数解只有组，方程的正整数解只有组，…，那么方程的正整数解有______组． 【变式6-3】方程的正整数解的组数为______． 【题型7 由两个三元一次方程求值】 【例7】（25-26七年级下·四川遂宁·阶段检测）已知方程组，则 ___________． 【变式7-1】（25-26八年级上·全国·周测）若方程组的解是，则的值为________． 【变式7-2】（24-25七年级下·广东江门·阶段检测）已知方程组，则________． 【变式7-3】已知，则____________． 【题型8 整体代入解三元一次方程组求值】 【例8】已知，则的值为______． 【变式8-1】（25-26七年级下·吉林长春·期末）先阅读材料，然后解方程组． 材料：解方程组 在本题中，先将看作一个整体，将①整体代入②，得，解得． 把代入①得，所以 这种解法称为“整体代入法”，你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答． (1)用这种方法解方程组 (2)方程组的解为__________． 【变式8-2】（25-26七年级下·湖南长沙·期末）数学课上，老师布置了这样一道题目：已知方程组，求的值．针对此问题，乐乐同学认为可以用“整体思想”和“消元、转化”方法求解．因为问题是求解整体的值，因此可以在原方程组中“分离”出即可，即，接下来把和分别看作一个整体，采用“代入消元法”或者“加减消元法”均可解决该问题了． (1)请你替乐乐同学完成接下来的步骤，求出的值； (2)请你用上述思想方法求解问题：已知，求的值． 【变式8-3】（25-26七年级下·四川宜宾·期中）阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法． 解：将方程②变形：即③， 把方程①代入③得：，解得， 把代入①得：，解得， 所以，方程组的解为， 请你模仿小军的“整体代换”法解决以下问题： (1)解方程组； (2)已知正整数x，y，z满足，试求x，y，z的值． 【题型9 三元一次方程组中的新定义问题】 【例9】（25-26七年级下·四川宜宾·期末）用“※”定义一种新运算：对于任意有理数，规定，其中为常数．已知，则：的值为（     ） A． B．3 C． D．1 【变式9-1】（24-25七年级下·全国·课后作业）若对于实数x和y，定义一种运算“△”：，其中a，b，c为常数．例如：，已知，，，则的值为________． 【变式9-2】我们知道方程组的解与方程组中每个方程的系数和常数项有联系，系数和常数项经过一系列变形、运算就可以求出方程组的解．规定：关于x，y的二元一次方程组可以写成矩阵的形式．例如：可以写成矩阵的形式． 根据以上信息解决下列问题： (1)请求出矩阵对应的方程组的解； (2)若矩阵所对应的方程组的解为，求的值． 【变式9-3】一个三位正整数，当的百位数字减去6等于十位数字减去个位数字时，称这个三位数是“吉祥数”，记的百位数字是，十位数字是，个位数字是，并规定：．若，则________；若有两个“吉祥数”，，其中，且，则的最大值为________． 【题型10 三元一次方程（组）的应用】 【例10】（24-25七年级上·福建泉州·期末）某数学兴趣小组开展综合实践活动，活动的任务是制作包装盒，请你和该小组一起完成以下探究任务： (1)任务一：利用如图（1）所示的图形，制作包装盒，请写出这个包装盒的立体图形的名称，并根据图中给出的数据（单位：），求这个包装盒的侧面积；（用含a，b的代数式表示） (2)任务二：利用如图（2）所示的图形，制作一个无盖的长方体包装盒，a，b，c分别是包装盒的长、宽、高，并根据图中给出的数据（单位：），求此包装盒的容积． 【变式10-1】（24-25七年级下·全国·随堂练习）一个三位数各位上的数字之和为17，百位上的数字与十位上的数字的和比个位上的数字大3，如果把百位上的数字与个位上的数字对调，那么所得的数比原数大495．求原三位数． 【变式10-2】（25-26七年级下·内蒙古赤峰·期末）春节期间，相关部门为增添节日气氛，对政府广场进行装饰．其中用到甲、乙、丙三种造型的花束，甲种花束由5朵红花、4朵黄花和3朵紫花搭配而成，乙种花束由3朵红花、3朵黄花和2朵紫花搭配而成，丙种花束由2朵红花、1朵黄花和1朵紫花搭配而成．这些花束一共用了1060朵红花，680朵黄花，则紫花一共用了（     ）朵． A．480 B．560 C．580 D．610 【变式10-3】（25-26七年级下·江苏南京·期末）小虎的妈妈从花店买回一个花瓶和一把喷水壶，小虎按如图所示放置并测量，则桌子的高度为_______． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.7 三元一次方程组及其解法（举一反三讲义） 【新教材沪科版】 题型归纳 【题型1 三元一次方程（组）的定义】 2 【题型2 消元法解三元一次方程组的步骤判断】 2 【题型3 解三元一次方程组】 4 【题型4 求三元一次方程（组）中的参数】 7 【题型5 构造三元一次方程组求解】 12 【题型6 三元一次方程的整数解】 14 【题型7 由两个三元一次方程求值】 16 【题型8 整体代入解三元一次方程组求值】 18 【题型9 三元一次方程组中的新定义问题】 20 【题型10 三元一次方程（组）的应用】 23 考点1 三元一次方程组 知识点1 三元一次方程组的相关概念 1. 三元一次方程 含有三个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1，这样的方程叫做三元一次方程． 2. 三元一次方程组 （1）共含有三个未知数的三个一次方程所组成的一组方程，叫做三元一次方程组． （2）三元一次方程组需具备的3个条件 ①含有三个未知数； ②每个方程中含未知数的项的次数都是1； ③是整式方程组． 三者缺一不可． 3. 三元一次方程组的解 （1）三元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个三元一次方程组的解． （2）判断一组数是否为三元一次方程组的解时，将各数分别代人三个方程，若三个方程均成立，则这组数是该方程组的解． 知识点2 三元一次方程组的解法 1. 解三元一次方程组的基本思路 用代入法或加减法消去一个未知数，化成二元一次方程组，再解这个二元一次方程组． 2. 解三元一次方程组的一般步骤 （1）利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另外两个方程分别组成方程组，消去方程组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组； （2）解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值； （3）将求得的两个未知数的值代人原方程组中一个系数比较简单的方程中，得到一个一元一次方程； （4）解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值； （5）将求得的三个未知数的值用大括号合写在一起． 【题型1 三元一次方程（组）的定义】 【例1】（25-26七年级上·全国·课后作业）下列方程组中，是三元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用三元一次方程组的定义判断即可． 【详解】解：A．是三元一次方程组，符合题意； B．方程组含有4个未知数，不是三元一次方程组，不符合题意； C．只含有2个未知数，不是三元一次方程组，不符合题意； D．方程组含有4个未知数，不是三元一次方程组，不符合题意； 故选：A． 【点睛】此题考查了解三元一次方程组，熟练掌握三元一次方程组的定义是解本题的关键． 【变式1-1】已知(m＋1)x＋y|m|＋z＝4是三元一次方程，则m＝________． 【答案】1 【分析】由于(m＋1)x＋y|m|＋z＝4是三元一次方程，可知指数为1，各未知数系数不为0． 【详解】∵(m＋1)x＋y|m|＋z＝4是三元一次方程， ∴ ， 解得，m=1． 故答案为：1． 【点睛】本题考查了三元一次方程组，明白其定义是解题的关键． 【变式1-2】下列方程中，三元一次方程共有(   　 ) (1)x + y + z = 3； (2) x · y · z = 3；(3) ；(4) ． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】利用三元一次方程的定义判断即可． 【详解】解：（1）x + y + z = 3，是三元一次方程； （2）x · y · z = 3，含有未知数的乘积项，是三元三次方程； （3），是三元一次方程； （4）分母含有未知数，是分式方程； 则三元一次方程有2个， 故选：B 【点睛】本题考查三元一次方程的知识，熟练掌握三元一次方程的定义是解题的关键． 【变式1-3】（24-25七年级下·全国·随堂练习）下列是三元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三元一次方程组的定义．根据三元一次方程组必须满足“三元”和“一次”两个要素来求解． 【详解】解：A、方程组中含有三个未知数，但含未知数的项的最高次数是3，不是三元一次方程组，本选项不符合题意； B、方程组中只含有两个未知数，不是三元一次方程组，本选项不符合题意； C、方程组中只含有两个未知数，不是三元一次方程组，本选项不符合题意； D、方程组中含有三个未知数，且含未知数的项的次数都是一次，是三元一次方程组，本选项符合题意； 故选：D． 【题型2 消元法解三元一次方程组的步骤判断】 【例2】解方程组，把上面的三元一次方程组消元转化成下面的二元一次方程组，需要经过如下的步骤，请你选出正确的步骤（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对各选项进行分析后即可判断． 【详解】A选项：得，得，故正确； B选项：得，得，故错误； C选项：得，得，故错误； D选项：得，得，故错误. 故选：A. 【点睛】考查了解三元一次方程组，解题关键是利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 【变式2-1】解三元一次方程组：， 具体过程如下： (1)②－①，得b＝2， (2)①×2＋③，得4a－2b＝7， (3)所以， (4)把b＝2代入4a－2b＝7，得4a－2×2＝7(以下求解过程略)． 其中开始出现错误的一步是(　　) A．(1) B．(2) C．(3) D．(4) 【答案】B 【分析】根据所给提示进行计算验证即可. 【详解】解：第（2）步①×2＋③，得4a-b=7, 所以第（2）错误, 故选B. 【点睛】本题考查解三元一次方程组,中等难度,熟悉解三元一次方程组的一般步骤即可解题. 【变式2-2】解方程组的关键是“消元”，即把“二元”转化为“一元”，同样，我们可以用“消元”的方法解三元一次方程组．下面，我们就来解一个三元一次方程组: 小段同学的部分解答过程如下： 解： + ，得，④ + ，得，⑤ 与 联立，得方程组 （1）请你补全小段同学的解答过程； （2）若满足方程组，则= 【答案】（1）①，②，②，③，④，⑤， ；（2）3． 【分析】（1）根据每一步得到的方程反推其计算的由来，得到二元一次方程组后用加减消元法解出x和y，再代回原方程组求z； （2）把（m+n）看作整体，解关于（m+n）、p、q的三元一次方程组． 【详解】解：（1）方程组: 小段同学的部分解答过程如下： 解：①＋②得：④， ②＋③得：⑤， ④与⑤联立，得方程组， ⑤×2得：， ⑥－④得：，即， 把y=1代入④得：， 解得：x=2， 把代入①得：， 解得：， ∴方程组的解为：； （2）方程组， ①＋②得：， ②＋③得：， ④与⑤联立得：， ⑤×4得：， ⑥－④得：，即， 把代入④得：， 解得：， 把代入①得： 解得： ∴方程组的解为； ∴. 【点睛】本题考查了解三元一次方程组，利用整体思想解多元方程组，解题关键是理解并正确运用消元法逐步减少未知数并解方程． 【变式2-3】《九章算术》是我国古代著名的数学专著，其“方程”章中给出了“遍乘直除”的算法解方程组．比如对于方程组，，先将方程①中的未知数系数排成数列，然后执行如下步骤：（如图）第一步，将方程②中的未知数系数乘以3，然后不断地减一行，直到第二行第一个数变为0；第二步，对第三行做同样的操作，其余步骤都类似． 方程①： 第一步方程②： 第二步方程③： 其实以上步骤的本质就是在消元，根据以上操作，有下列结论：（1）数列M为：（2）（3）其中正确的有（    ） A．（1）（2） B．（2）（3） C．（1）（3） D．（1）（2）（3） 【答案】B 【分析】根据题意逐步求解三元一次方程即可. 【详解】解： 由，得④， 由，得⑤， 由，得， ∴， 由，得⑥， 由，得， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查解三元一次方程组，解题的关键是根据题干信息将方程组中的系数表示出来． 【题型3 解三元一次方程组】 【例3】（1）解方程组： （2）解方程组： 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查解三元一次方程组． （1）先将①②写成，设，再代入③，继而得到，即可得到本题答案； （2）先，得④，再得⑤式，④与⑤组成方程组，解出，再代入②得即可． 【详解】解：（1）， 由①②，得． 设，k为常数且． 代入③，得，解得． ∴． ∴原方程组的解为； （2）， 解：，得，④ ，得．⑤ ④与⑤组成方程组，解得， 把代入②，得， ∴原方程组的解为． 【变式3-1】解方程组：． 【答案】 【详解】解： 得，即④， 将①代入④得，解得， 将②代入④得，解得， 将③代入④得，解得， ∴方程组的解为． 【变式3-2】下面所示为教材中三元一次方程组的解题过程，请根据教材提供的做法和有关信息解决问题． 例1  解方程组： 解  由方程②，得．……步骤一④ 将④分别代入方程①和③，得 ……步骤二 整理，得 解这个二元一次方程组，得 代入④，得． 所以原方程组的解是 (1)其中的步骤二通过______法消去未知数，将三元一次方程组转化成了______． (2)仿照以上思路解方程组，消去字母后得到的二元一次方程组为______． 【答案】(1)代入消元（代入） ， 二元一次方程组 (2)① 或 或等，答案不唯一 【分析】（1）根据解三元一次方程组的解法进行分析即可； （2）利用加减消元法进行求解即可． 【详解】（1）解方程组： 由方程②，得 将④分别代入方程①和③，得 整理，得 故答案为：代入消元（代入）     二元一次方程组 （2）解方程组： 由方程②+①，得3x+3y=9 由方程①+③，得4x+6y=14 由方程③-②得x+3y=5 由x+y=3 （3x+3y=9）， 2x+3y=7（4x+6y=14） ， x+3y=5中  任意两个组合得到均可 故答案为： 或 或等，答案不唯一 【点睛】此题考查了一次方程组的解法，解三元一次方程组，解本题的关键是消元． 【变式3-3】（2026·福建漳州·一模）阅读材料，回答问题． 探索《九章算术》中机械化算法思想 《九章算术》是中国传统数学的重要著作，其算法具有强烈的程序化、机械化特点，便于编写计算机程序．在解方程组时，古人用算筹构建数阵（只写系数与常数项），采用重复的乘法和减法计算，将复杂数阵转化为简单的阶梯数阵，最终求出答案． 例如：解三元一次方程组：思路大致如下（第一、第二、第三行分别用①②③表示）：            （1）                           （2）                （3）                   （4） 将原方程组中略去了未知数后形成数阵（1），通过“行乘倍数，行相减”逐步消元（类似加减消元法），将数阵（1）转化到阶梯数阵（4）．不难发现数阵（4）对应的方程组是，第三行的方程，易解出的值，再依次代入上一行方程分别求出的值． (1)直接写出示例方程组的解； (2)仿照材料中的机械化算法思想，解决下列问题： （i）解方程组： （ii）已知关于的方程组：有唯一解，求的取值范围． 【答案】(1) (2)（i） （ii） 【分析】（1）解出的值，再依次代入上一行方程分别求出的值； （2）根据材料的方法仿照解题即可． 【详解】（1）解：方程组， 由③得，， 代入②，解得， 代入①，解得， ∴方程组的解为； （2）解：（i）方程组， 仿照材料可得： 最后一个数阵对应的方程组是， 由⑥得， 代入⑤，解得， 代入④，解得， ∴方程组的解为； （ii）方程组， 仿照材料可得： 最后一个数阵对应的方程组是 ， 当，即时， 由⑥得， 代入⑤，解得， 代入④，解得， ∴方程组的解为，符合题意； ∴． 【题型4 求三元一次方程组中的参数】 【例4】（25-26七年级下·广西钦州·阶段检测）已知是三元一次方程组的解，那么的值为__________． 【答案】 【分析】由已知条件把，，的值代入关于，，的三元一次方程组，利用这个方程组可得到的值． 【详解】解： 是三元一次方程组的解， ， 得， ． 【变式4-1】若三元一次方程组的解使，则的值是_______． 【答案】 【分析】本题考查了解三元一次方程组，学会采用消元法和代入法解三元一次方程组是解题的关键．先解三元一次方程组，求出，，的值，再代入方程 求解． 【详解】解：， 由得， 由得 ， 解得， 将代入得， 将代入得， 将，，代入得， 解得， 故答案为：． 【变式4-2】如果方程组的解使代数式kx+2y﹣z的值为10，那么k=　________ ． 【答案】 【分析】先解三元一次方程组求出的值 ，然后代入所给式子得到关于k的方程，解方程即可 【详解】 ①-②得：x-z=2④， ③+④得：2x=6， 解得：x=3， 将x=3代入④得：z=1， 将z=1代入②得：y=5， ∴ 代入kx+2y-z中得：3k+10-1=10， 解得：k=． 故答案是：． 【点睛】本题考查了解三元一次方程组，解题的关键是先正确的算出三元一次方程组的解． 【变式4-3】已知多项式中，，，为常数，的取值与多项式对应的值如下表： 1 2 7 则值为（    ） A．15 B．19 C．21 D．23 【答案】D 【分析】本题考查的是三元一次方程组的特殊解法，先根据表格信息建立方程组，再利用整体未知数的方法解方程即可；先求解，，再利用整体代入法可得答案． 【详解】解：当时，①， 当时，②， 当时，③， 当时，④， ③①得：，即， ④②得：， ∴， ∴， ∴； 故选D 【题型5 构造三元一次方程组求解】 【例5】（24-25七年级下·全国·随堂练习）已知，则代数式的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了三元一次方程组，代数式求值，非负数的性质：绝对值；偶次方；解决本题的关键是当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．根据这个结论可以求解这类题目． 先根据非负数的性质列出方程组，求出x、y、z的值，再代入代数式求值即可． 【详解】解：由题意得，解得， 故． 故答案为：． 【变式5-1】（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）如果关于x的方程的根分别为，1，3，那么a的值是________． 【答案】 【分析】把方程的根代入方程，解三元一次方程组即可求解． 本题考查了方程的解，消元法解三元一次方程组是解题的关键． 【详解】解：的根分别为，1，3， 代入得， 解得 故答案为：． 【变式5-2】在等式中，当时，当时；当时，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了解三元一次方程组，代数式求值，根据题意可列得三元一次方程组，求出三元一次方程组的解，再把的值代入到代数式计算即可求解，正确求出三元一次方程组的解是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，， 解得， ∴， 故答案为：． 【变式5-3】（25-26七年级下·河南驻马店·阶段检测）如图是一个正方体的展开图，若正方体相对面上的数相等，则（     ） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】A 【分析】根据Z字形，确定相对面，得到，进而求出的值，再进行计算即可. 【详解】解：由图和题意可得：， 解得， ∴. 【题型6 三元一次方程的整数解】 【例6】三元一次方程的正整数解有（    ） A．2组 B．4组 C．6组 D．8组 【答案】C 【分析】最小的正整数是1，当x=1时，y+z=4，y分别取1，2,，3，此时z分别对应3，2，1；当x=2时，y+z=3，y分别取1，2，此时z分别对应2，1；当x=3时，y+z=2，y分别取1，此时z分别对应1；依此类推，然后把个数加起来即可． 【详解】解：当x=1时，y+z=4，y分别取1，2,，3，此时z分别对应3，2，1，有3组正整数解； 当x=2时，y+z=3，y分别取1，2，此时z分别对应2，1，有2组正整数解； 当x=3时，y+z=2，y分别取1，此时z分别对应1，有1组正整数解； 所以正整数解的组数共：3+2+1=6（组）． 故选：C． 【点睛】本题考查三元一次不定方程的解，解题关键是确定x、y、z的值，分类讨论． 【变式6-1】方程的正整数解是________． 【答案】 【分析】由，可得出，，又由 均为正整数，分析即可得到正确答案． 【详解】解：∵， ∴ ∴ ∴， 同理可得： 又∵ 均为正整数 ∴满足条件的解有且只有一组，即 故答案为： 【点睛】本题考查三元一次方程的变式，牢记相关的知识点并能够灵活应用是解题关键． 【变式6-2】（2024·湖南长沙·模拟预测）我们探究得方程的正整数解只有组，方程的正整数解只有组，方程的正整数解只有组，…，那么方程的正整数解有______组． 【答案】 【分析】本题考查三元一次方程的问题，先把看作整体，得到的正整数解有组；再分析分别等于时对应的正整数解组数，把所有组数相加即为总的解组数．解题的关键是将三元一次方程里的两个未知数看作一个整体，再分层计算． 【详解】解：令， 则的正整数解中的值可以为：，，，，，， ∴的正整数解有组， 又∵的正整数解有组； 的正整数解有组； 的正整数解有组； 的正整数解有组； 的正整数解有组； 的正整数解有组； ∴方程的正整数解组数为：． 故答案为：． 【变式6-3】方程的正整数解的组数为______． 【答案】2 【分析】本题主要考查了三元一次不定方程，根据来简化方程是本题解题的关键． 根据均为正整数，而且，所以可以将原方程转化为三元一次方程组，然后根据是奇数，求解的值即可． 【详解】解：∵都是正整数， ∴原方程可转化为：或， ∵为奇数， ∴或， ∴共有两组正整数解． 故答案为：2． 【题型7 由两个三元一次方程求值】 【例7】（25-26七年级下·四川遂宁·阶段检测）已知方程组，则 ___________． 【答案】 【分析】利用加减消元法表示出，，即可解答； 【详解】解：， 得③， 得，化简得， 把代入①式，得，解得， ∴， 即． 【变式7-1】（25-26八年级上·全国·周测）若方程组的解是，则的值为________． 【答案】 【分析】本题考查了三元一次方程组的解，方程组的解就是使方程组中每一个方程都成立的未知数的值是解题的关键．把代入方程组通过整体思想即可求解 【详解】解：把代入方程组得： 得： 由①得 将④代入得： 将③代入 故： 故答案为： ． 【变式7-2】（24-25七年级下·广东江门·阶段检测）已知方程组，则________． 【答案】8 【分析】将乘以2，得，再减去即可得到解答． 【详解】解：， 由得：， 由得：． 【变式7-3】已知，则____________． 【答案】1 【分析】该题主要考查了三元一次方程组，解题的关键是加减消元． 根据算出，再根据算出，代入即可求解； 【详解】解：， 得：，即， 得：，即， ∴， 故答案为：1． 【题型8 整体代入解三元一次方程组求值】 【例8】已知，则的值为______． 【答案】2023 【分析】本题考查解二元一次方程组的拓展，把代入原方程组，化简后，利用加减消元法求解． 【详解】解：把代入原方程组，得： ， 化简，得， ，得． 故答案为：2023． 【变式8-1】（25-26七年级下·吉林长春·期末）先阅读材料，然后解方程组． 材料：解方程组 在本题中，先将看作一个整体，将①整体代入②，得，解得． 把代入①得，所以 这种解法称为“整体代入法”，你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答． (1)用这种方法解方程组 (2)方程组的解为__________． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将①整体代入②，得，再把代入①，即可求解； （2）将①整体代入②，得，把代入得，再把代入①得：，即可求解． 【详解】（1）解：， 将①整体代入②，得， 解得， 把代入①得：， 解得， 所以原方程组的解为； （2）解：， 将①整体代入②，得， 解得：， 把代入得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为． 【变式8-2】（25-26七年级下·湖南长沙·期末）数学课上，老师布置了这样一道题目：已知方程组，求的值．针对此问题，乐乐同学认为可以用“整体思想”和“消元、转化”方法求解．因为问题是求解整体的值，因此可以在原方程组中“分离”出即可，即，接下来把和分别看作一个整体，采用“代入消元法”或者“加减消元法”均可解决该问题了． (1)请你替乐乐同学完成接下来的步骤，求出的值； (2)请你用上述思想方法求解问题：已知，求的值． 【答案】(1)20 (2)1 【分析】（1）求出，然后代入①求解即可； （2）将原方程组变形成，然后同（1）求解即可． 【详解】（1）解：， 得，， 将③代入①，得，即； （2）解：将原方程组变形成， 得：， 将③代入①，得，即． 【变式8-3】（25-26七年级下·四川宜宾·期中）阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法． 解：将方程②变形：即③， 把方程①代入③得：，解得， 把代入①得：，解得， 所以，方程组的解为， 请你模仿小军的“整体代换”法解决以下问题： (1)解方程组； (2)已知正整数x，y，z满足，试求x，y，z的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）将看作整体，依照例题求解即可； （2）将看作整体，将②变形后代入①化成，求得，得到，再根据x，y都是正整数，求解即可． 【详解】（1）解：， 由②得，即③， 将①代入③得，， 解得， 把代入①得：，解得， 所以，方程组的解为； （2）解：， 由②得，即③， 将③代入①得， 解得， ∴， ∵x，y都是正整数， ∴， ∴． 【题型9 三元一次方程组中的新定义问题】 【例9】（25-26七年级下·四川宜宾·期末）用“※”定义一种新运算：对于任意有理数，规定，其中为常数．已知，则：的值为（     ） A． B．3 C． D．1 【答案】A 【分析】根据新定义可得方程组，利用加减消元法得到，，据此计算的值即可． 【详解】解： ，且，，所求为， ∴， 得， ∴， 把代入①得， ∴， ∴． 【变式9-1】（24-25七年级下·全国·课后作业）若对于实数x和y，定义一种运算“△”：，其中a，b，c为常数．例如：，已知，，，则的值为________． 【答案】－10 【分析】本题考查了解三元一次方程组，有理数的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． 根据新定义运算，列出关于a，b，c的方程组，通过消元法求解a，b，c的值，再代入计算5△7的值． 【详解】解：由题意，得 ，得④， ，得，即⑤， ，得，解得， 将代入④，得，解得， 将，代入①，得，解得， ∴方程组的解为 因此，． 故答案为：． 【变式9-2】我们知道方程组的解与方程组中每个方程的系数和常数项有联系，系数和常数项经过一系列变形、运算就可以求出方程组的解．规定：关于x，y的二元一次方程组可以写成矩阵的形式．例如：可以写成矩阵的形式． 根据以上信息解决下列问题： (1)请求出矩阵对应的方程组的解； (2)若矩阵所对应的方程组的解为，求的值． 【答案】(1) (2)13 【分析】本题考查了新定义下的实数运算，解二元一次方程组，三元一次方程组的解．解题的关键在于理解题意并正确的运算． （1）由题意得：矩阵对应的方程组为，计算求解即可； （2）由矩阵所对应的方程组的解为，可得，①②③得，． 【详解】（1）解：由题意得：矩阵对应的方程组为， 解得：， 矩阵对应的方程组的解为； （2）解：矩阵所对应的方程组的解为， 将代入， 得， ①②③得，． 【变式9-3】一个三位正整数，当的百位数字减去6等于十位数字减去个位数字时，称这个三位数是“吉祥数”，记的百位数字是，十位数字是，个位数字是，并规定：．若，则________；若有两个“吉祥数”，，其中，且，则的最大值为________． 【答案】 853 1431 【分析】本题为新定义题型，涉及解三元一次方程组，准确理解题意是解题的关键，先根据“吉祥数”的定义得到，求解即可；再根据定义得出各个字母之间的数量关系，求解即可． 【详解】由题意得， 解得， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴ ， ∵均为整数， ∴为整数， ∴当时，有最大值为1431， 故答案为：853，1431． 【题型10 三元一次方程（组）的应用】 【例10】（24-25七年级上·福建泉州·期末）某数学兴趣小组开展综合实践活动，活动的任务是制作包装盒，请你和该小组一起完成以下探究任务： (1)任务一：利用如图（1）所示的图形，制作包装盒，请写出这个包装盒的立体图形的名称，并根据图中给出的数据（单位：），求这个包装盒的侧面积；（用含a，b的代数式表示） (2)任务二：利用如图（2）所示的图形，制作一个无盖的长方体包装盒，a，b，c分别是包装盒的长、宽、高，并根据图中给出的数据（单位：），求此包装盒的容积． 【答案】(1) (2)此包装盒的容积为 【分析】本题考查简单几何体的表面展开图，列代数式，三元一次方程组的应用，掌握常见的表面展开图的特征是解决问题的关键． （1）根据三棱柱的展开图特征即可判断，再根据三棱柱侧面都是长方形即可求侧面积； （2）根据长方体容积公式代入数据计算即可． 【详解】（1）解：如图，这个包装盒的立体图形是三棱柱， ∵三棱柱的侧面积为， ∴这个包装盒的侧面积为； （2） 解：如图，根据题意：， 解得：， ∴长方体的体积为， ∴此包装盒的容积为． 【变式10-1】（24-25七年级下·全国·随堂练习）一个三位数各位上的数字之和为17，百位上的数字与十位上的数字的和比个位上的数字大3，如果把百位上的数字与个位上的数字对调，那么所得的数比原数大495．求原三位数． 【答案】原来的三位数为287． 【分析】本题主要考查了三元一次方程组的应用， 先设原数的个位、十位、百位上的数字分别为x，y，z，再根据等量关系列出方程组，求出解即可. 【详解】解：设原数的个位、十位、百位上的数字分别为x，y，z， 由题意，得， 解得， 答：原来的三位数为287． 【变式10-2】（25-26七年级下·内蒙古赤峰·期末）春节期间，相关部门为增添节日气氛，对政府广场进行装饰．其中用到甲、乙、丙三种造型的花束，甲种花束由5朵红花、4朵黄花和3朵紫花搭配而成，乙种花束由3朵红花、3朵黄花和2朵紫花搭配而成，丙种花束由2朵红花、1朵黄花和1朵紫花搭配而成．这些花束一共用了1060朵红花，680朵黄花，则紫花一共用了（     ）朵． A．480 B．560 C．580 D．610 【答案】C 【分析】设甲、乙、丙三种花束分别有x束、y束、z束，再通过列方程消元整体推导紫花总数即可． 【详解】解：设甲、乙、丙三种花束分别有x束、y束、z束． ∵红花共用了1060朵，黄花共用了680朵， ∴， 得，， 将③代入②得， ∴， 由题意得，紫花总数为， ∴ 将③和④代入得，， ∴紫花总数为580朵． 【变式10-3】（25-26七年级下·江苏南京·期末）小虎的妈妈从花店买回一个花瓶和一把喷水壶，小虎按如图所示放置并测量，则桌子的高度为_______． 【答案】 【分析】设桌子高度为，喷水壶高度为，花瓶高度为，根据图中两种测量方式测出的数据，可列出方程组，再利用消元法解之即可得出结论． 【详解】解：设桌子高度为，喷水壶高度为，花瓶高度为， 根据图中测量关系列方程组： ， 将两个等式相加，和抵消，得， 解得， 即桌子高度为． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $