4.2、正比例（难度分层训练）（解析版+学生版）-2024-2025学年六年级数学下册（北师大版）

【难度分层训练】2024-2025学年六年级数学下册（北师大版） 第四单元、正比例和反比例 4.2、正比例 1．当梯形的（    ）一定时，梯形的面积与高成正比例。 A．上底 B．下底 C．上、下底之和 2．如果＝b，那么a和b（    ）。 A．成正比例 B．成反比例 C．不成比例 3．表示x和y（x、y均不为0）成正比例关系的是（    ）。 A．x－y＝15 B．y＝2x2 C．x＝y 4．下面各题，两种量成正比例关系的是（    ）。 A．汽车的速度一定，行驶的时间和路程 B．平行四边形面积一定，它的底和高 C．圆的面积与它的半径 5．下面两个量成正比例关系的是（    ）。 A．正方体体积和棱长 B．小明的身高和年龄 C．汽车耗油量和行程 6．（a、b均不为0），则a、b成（ ）比例，＝（ ）。 7．一辆车匀速行驶，路程是s千米，时间是t小时，路程和时间的比值是（ ），路程和时间成（ ）比例。 8．实践活动：大树有多高？ 操场上，同学们在阳光下测量木棒、竹竿的高度以及它们影子的长度，测量数据如下表： 木棒或竹竿 实际高度 影长 实际高度与影长的比值 木棒1 1 0.25 （ ） 木棒2 1.2 0.3 （ ） 竹竿1 1.6 0.4 （ ） 竹竿2 2 0.5 （ ） （1）请填写完整上面的表格。 （2）仔细观察表格中木棒、竹竿的实际高度与影长的比值，发现实际高度与影长之间成（ ）比例。 （3）根据你的发现想一想，如果这时同学们测出大树的影长是4.6米，那么大树的实际高度应是（ ）米。 9．一个工人的工作总量和工作时间如下表，根据要求填空。 工作总量 10 15 20 25 40 工作时间 4 6 20 30 （1）表中（ ）和（ ）是相关联的量，（ ）随着（ ）的变化而变化。     （2）表中第三组这两种量相对应的比是（ ），比值是（ ），第五组这两种量相对应的两个数的比是（ ），比值是（ ）。 （3）上面所求出的比值表示的意义是（ ），工作总量和工作时间的（ ）是一定的，所以工作总量和工作时间（ ）。 10．同学们买《数学家的故事》，把表填写完整。 本 数 10 9 8 7 6 5 4 钱数（元） 80 72 64 上表中，买的书越少，需付的钱就（ ），而且钱数与本数的（ ）相同，钱数与本数成（ ）比例。 11．房屋每平方米物业管理费一定，房屋面积和所缴的物业管理费成（ ）比例。 12．若28x＝91y，则x∶y＝（ ），题中两个量成（ ）关系。 13．购买从洪濑到泉州的客车成人票，根据票价把下表填完整。 人数（人） 1 2 3 4 5 车费（元） 10 （ ） （ ） （ ） （ ） 从表中我发现了（ ），车费和人数（ ）比例关系。 14．圆柱的高一定，体积和底面积成（ ）比例。 15．0.4∶1.6的比值是（ ），如果前项加上0.8，要使比值不变，后项应加上（ ）。如果 ＝ ，那么m∶n＝（ ）∶（ ），m和n成（ ）比例。 16．已知x与y成正比例关系，在下表的空格中填写合适的数。 x 1 2 4 5 20 y 2.5 7.5 20 17．每袋面粉的质量一定，面粉的总质量和袋数（ ）正比例。（填“成”或者“不成） 18．东东看《水浒传》的时间和页数如下表。 看的天数/天 1 2 3 4 5 … 看的页数/页 20 40 60 80 100 … （1）表中（ ）和（ ）是两种相关联的量，看的页数随着（ ）的变化而变化。 （2）看的页数与看的天数这两种量中相对应的两个数的比值是（ ）。 （3）因为每天看的页数一定，所以看的页数和看的天数成（ ）比例。 19．购买一种自动铅笔的数量和总价如下表。 数量/支 1 2 3 4 5 6 … 总价/元 1.5 3.0 4.5 6.0 7.5 9.0 … 表中（ ）和（ ）是两种相关联的量。它们是成（ ）比例关系的两种量，因为（ ）。 20．判断下面各题中的两种量是否成正比例，并说明理由。 （1）工作效率一定，工作时间和工作总量。 （2）圆的周长和直径。 （3）比例尺一定，图上距离和实际距离。 （4）减数一定，被减数和差。 21．一辆汽车以90千米/时的速度行驶，行驶的路程与时间如下。 时间/时 1 2 3 4 5 6 路程/km 90 180 270 （1）把上表填写完整。 （2）你发现了什么？ （3）路程与时间成正比例吗？ 22．平行四边形的高是3cm，先填表，再根据表中的数据回答问题。 底/cm 8 10 20 30 面积/cm2 24 90 （1）表中平行四边形的底和面积是（    ）的量，平行四边形的（    ）随着（    ）的变化而变化。 （2）写出几组这两种量中相对应的两个数的比，求出比值，并比较比值的大小。 （3）上面求出的比值表示的意义是什么？ （4）表中相关联的两种量成正比例吗？为什么？ 23．天气晴朗的上午，同学们正在操场上测量竹竿、木棒的长度及它们的影长，测量数据如下表。 实际长度/m 影长/m 实际长度与影长的比值 竹竿1 2 0.5 竹竿2 1.6 0.4 木棒 1 0.25 完成表格，比较每次求得的比值，实际长度与影长成正比例吗？ 24．乘船的人数与所付船费如下表所示。 人数 1 2 3 4 5 6 … 船费/元 5 10 20 30 … （1）把上表填写完整。 （2）所付船费与乘船人数成_________比例。 25．下表是一辆汽车的行驶时间和路程的统计情况。 时间/时 1 2 3 4 5 路程/千米 82 164 246 328 410 请根据表中的数据写出两个不同的比例。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【难度分层训练】2024-2025学年六年级数学下册（北师大版） 第四单元、正比例和反比例 4.2、正比例 1．当梯形的（    ）一定时，梯形的面积与高成正比例。 A．上底 B．下底 C．上、下底之和 【答案】C 【分析】根据梯形的面积公式：梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2，上底＋下底的和一定，梯形面积与高成正比例。 【详解】由分析可知，梯形的上底和下底的和一定，梯形面积与高成正比例。 故答案选：C 2．如果＝b，那么a和b（    ）。 A．成正比例 B．成反比例 C．不成比例 【答案】A 【分析】两个相关联的量，如果它们的乘积一定，成反比例关系；如果它们的比值一定，成正比例关系，据此选择。 【详解】如果＝b，那么＝3，a和b的比值一定。成正比例。 故选择：A 3．表示x和y（x、y均不为0）成正比例关系的是（    ）。 A．x－y＝15 B．y＝2x2 C．x＝y 【答案】C 【分析】两种相关联的量，如果它们的比值一定，则这两种量成正比例关系。据此逐项分析。 【详解】A．x和y的差一定，则x和y不成正比例； B．y＝2x2，则＝2x，比值不一定，那么x和y不成正比例； C．x＝y，则，比值一定，那么x和y成正比例。 故答案为：C 4．下面各题，两种量成正比例关系的是（    ）。 A．汽车的速度一定，行驶的时间和路程 B．平行四边形面积一定，它的底和高 C．圆的面积与它的半径 【答案】A 【分析】两种相关联的量，如果它们对应的比值一定，那么这两个量就成正比例关系。据此选择。 【详解】A．路程÷时间＝速度（一定），比值一定，所以汽车的速度一定，行驶的时间和路程成正比例关系。 B．底×高＝面积（一定），乘积一定，所以平行四边形面积一定，它的底和高成反比例关系。 C．圆的面积与它的半径不成比例。 故答案为：A 5．下面两个量成正比例关系的是（    ）。 A．正方体体积和棱长 B．小明的身高和年龄 C．汽车耗油量和行程 【答案】C 【分析】两个量成正比例关系，即一个量变化，另一个量也随之变化，但它们的比值是恒定的。 【详解】A．正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，它与棱长的比值并不是常数，所以该选项错误； B．小明的身高会随着年龄变化而变化，但比值不是常数，所以选项错误； C．汽车的耗油量＝每公里耗油量×行程，它们的比值是恒定的，所以选项正确。 故答案选择C。 6．（a、b均不为0），则a、b成（ ）比例，＝（ ）。 【答案】 正 0.06 【分析】根据比和分数的关系，比的前项相当于分母，比的后项相当于分子，即原式变为：5a∶6＝b∶20，根据比例的基本性质：内项积＝外项积，则5a×20＝6b，即100a＝6b，再根据等式的性质2，等式两边同时除以b，再同时除以100，即a÷b＝0.06，当两个相关联的量比值一定，则成正比例关系，据此即可填空。 【详解】由分析可知： （a、b均不为0），则a、b成正比例，＝0.06 7．一辆车匀速行驶，路程是s千米，时间是t小时，路程和时间的比值是（ ），路程和时间成（ ）比例。 【答案】 正 【分析】根据速度＝路程÷时间，可知路程和时间的比值是速度，比值一定时，路程和时间成正比例，据此解答即可。 【详解】由分析可知；一辆车匀速行驶，路程是s千米，时间是t小时，路程和时间的比值是，路程和时间成正比例。 8．实践活动：大树有多高？ 操场上，同学们在阳光下测量木棒、竹竿的高度以及它们影子的长度，测量数据如下表： 木棒或竹竿 实际高度 影长 实际高度与影长的比值 木棒1 1 0.25 （ ） 木棒2 1.2 0.3 （ ） 竹竿1 1.6 0.4 （ ） 竹竿2 2 0.5 （ ） （1）请填写完整上面的表格。 （2）仔细观察表格中木棒、竹竿的实际高度与影长的比值，发现实际高度与影长之间成（ ）比例。 （3）根据你的发现想一想，如果这时同学们测出大树的影长是4.6米，那么大树的实际高度应是（ ）米。 【答案】 4 4 4 4 正 18.4 【分析】（1）写出实际高度与影长的比，再求出比值即可。 （2）仔细观察表格中竹竿、木棒的实际高度与影长的比值，发现比值是一定的，所以实际高度与影长之间成正比例； （3）根据实际高度与影长成正比例，列式4.6×4计算解答即可。 【详解】（1） 填表如下： （2）仔细观察表格中木棒、竹竿的实际高度与影长的比值，发现比值一定，所以实际高度与影长之间成正比例。 （3）（米） 9．一个工人的工作总量和工作时间如下表，根据要求填空。 工作总量 10 15 20 25 40 工作时间 4 6 20 30 （1）表中（ ）和（ ）是相关联的量，（ ）随着（ ）的变化而变化。     （2）表中第三组这两种量相对应的比是（ ），比值是（ ），第五组这两种量相对应的两个数的比是（ ），比值是（ ）。 （3）上面所求出的比值表示的意义是（ ），工作总量和工作时间的（ ）是一定的，所以工作总量和工作时间（ ）。 【答案】 工作总量 工作时间 工作总量 工作时间 20∶8 2.5 40∶16 2.5 工作效率 比值 成正比例 【分析】先判断两种相关联的量，然后判断两种量的变化情况；写出对应的量的比，然后求出比值；根据数量关系判断比值表示的意义， 然后确定两个量的比值一定，二者成正比例。 【详解】（1）表格中工作总量和工作时间是相关联的量，工作总量随着工作时间的变化而变化； （2）表中这三组这两种量相对应的比是20∶8，比值是20÷8＝2.5；第五组这两种量相对应的两个数的比是40∶16，比值是2.5； （3）上面所求的比值表示的意义是工作效率，工作总量和工作时间的比值是一定的，所以工作总量和工作时间成正比例。 10．同学们买《数学家的故事》，把表填写完整。 本 数 10 9 8 7 6 5 4 钱数（元） 80 72 64 上表中，买的书越少，需付的钱就（ ），而且钱数与本数的（ ）相同，钱数与本数成（ ）比例。 【答案】 3 2 1 56 48 40 32 24 16 8 少 比值 正 【分析】①根据“总价÷数量＝单价”求出一本《数学家的故事》多少元，然后填表即可； ②判断书的本数和钱数之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。 【详解】①填表如下： 买的书越少，需付的钱就越少； ②因为书的总钱数÷本数＝书的单价（一定）， 即书的总钱数与本数的比值一定， 符合正比例的意义，所以钱数与本数正比例； 11．房屋每平方米物业管理费一定，房屋面积和所缴的物业管理费成（ ）比例。 【答案】正 【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定。如果比值一定，就成正比例，如果乘积一定，就成反比例。 【详解】题中，（一定），据此可知房屋面积和所缴的物业管理费成正比例关系。 12．若28x＝91y，则x∶y＝（ ），题中两个量成（ ）关系。 【答案】 91∶28 正比例 【分析】根据比例的性质两个外项的积等于两个内项的积即可得出x∶y；判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。 【详解】28x＝91y，即x∶y ＝91∶28，是比值一定，所以x和y成正比例； 13．购买从洪濑到泉州的客车成人票，根据票价把下表填完整。 人数（人） 1 2 3 4 5 车费（元） 10 （ ） （ ） （ ） （ ） 从表中我发现了（ ），车费和人数（ ）比例关系。 【答案】 20 30 40 50 客车成人票的单价一定 正 【分析】判断两种相关联的量成不成比例，成什么比例，就看这两种量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，就成反比例，如果是其它的量一定或乘积、比值不一定，就不成比例。 【详解】因为客车成人票的单价一定，所以车费和人数的比值就一定，成正比例关系； 填写表格见下图： 14．圆柱的高一定，体积和底面积成（ ）比例。 【答案】正 【分析】分析题意可知，本题的知识点是正比例的意义，两种相关联的量一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，因为圆柱的体积＝底面积×高，圆柱的高＝体积∶底面积， （比值一定）所以圆柱高一定，体积和底面积成正比例。据此解答。 【详解】根据正比例的意义，因为圆柱的高＝体积∶底面积，（比值一定）所以圆柱高一定，体积和底面积成正比例。 15．0.4∶1.6的比值是（ ），如果前项加上0.8，要使比值不变，后项应加上（ ）。如果 ＝ ，那么m∶n＝（ ）∶（ ），m和n成（ ）比例。 【答案】 0.25 3.2 5 7 正 【分析】第一问：用前项除以后项即可求出比值；第二问：前项加上的数是前项的2倍，根据比的基本性质，后项加上的数也要是后项的2倍；第三问：原来的比例中m和7是内项，n和5是外项，把m和7写成外项，n和5写成内项即可；判断m和n的比值一定还是乘积一定就能确定它们之间是什么比例关系。 【详解】0.4∶1.6＝0.4÷1.6＝0.25；如果前项加上0.8，要使比值不变，后项应该加上1.6×2＝3.2；m∶n＝5∶7；m和n的比值一定，m和n成正比例。 16．已知x与y成正比例关系，在下表的空格中填写合适的数。 x 1 2 4 5 20 y 2.5 7.5 20 【答案】 3 8 5 10 12.5 50 【分析】已知x与y成正比例关系，即x∶y的比值一定，根据x∶y＝1∶2.5＝0.4逐项解答即可。 【详解】因为x∶y＝1∶2.5＝0.4 2∶y＝0.4 y＝2÷0.4 y＝5 x∶7.5＝0.4 x＝7.5×0.4 x＝3 4∶y＝0.4 y＝4÷0.4 y＝10 5∶y＝0.4 y＝5÷0.4 y＝12.5 x∶20＝0.4 x＝20×0.4 x＝8 20∶y＝0.4 y＝20÷0.4 y＝50 17．每袋面粉的质量一定，面粉的总质量和袋数（ ）正比例。（填“成”或者“不成） 【答案】成 【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。即可解答。 【详解】因为面粉的总质量÷袋数＝每袋面粉的质量（一定），所以每袋面粉的质量一定，面粉的总质量和袋数成正比例。 18．东东看《水浒传》的时间和页数如下表。 看的天数/天 1 2 3 4 5 … 看的页数/页 20 40 60 80 100 … （1）表中（ ）和（ ）是两种相关联的量，看的页数随着（ ）的变化而变化。 （2）看的页数与看的天数这两种量中相对应的两个数的比值是（ ）。 （3）因为每天看的页数一定，所以看的页数和看的天数成（ ）比例。 【答案】 页数 天数 天数 20 正 【分析】（1）上表中，表格中是页数和天数两种相关联的量，看的页数的多少是随着天数的变化而变化的； （2）看的页数与天数这两种量中相对应的两个数的比值，即页数÷天数； （3）因为页数÷天数＝每天看的页数，所以每天看的页数，即比值一定，所以看的页数与看的天数成正比例，据此解答。 【详解】（1）表格中的页数和天数是两种相关联的量，看的页数的多少是随着天数的变化而变化的； （2）看的页数与看的天数这两种量中相对应的两个数的比值是20∶1＝40∶2＝20； （3）因为每天看的页数一定，所以看的页数与看的天数成正比例关系。 19．购买一种自动铅笔的数量和总价如下表。 数量/支 1 2 3 4 5 6 … 总价/元 1.5 3.0 4.5 6.0 7.5 9.0 … 表中（ ）和（ ）是两种相关联的量。它们是成（ ）比例关系的两种量，因为（ ）。 【答案】 数量 总价 正 单价一定，就是总价和数量的比值一定。 【分析】观察表格中两种量可得总价随着数量的变化而变化，即数量和总价是两种相关联的量；再根据总价、数量、单价之间的关系判定即可。 【详解】观察表中数据得：数量和总价是两种相关联的量； 1.5∶1＝1.5 3.0∶2＝1.5 4.5∶3＝1.5 6.0∶4＝1.5 … 可得相对应的总价与数量的比值是1.5（一定），表示单价。自动铅笔的单价一定，就是总价和数量的比值一定，所以总价和数量成正比例关系。 故答案为：数量；总价；正；单价一定，就是总价和数量的比值一定。 【点睛】本题主要考查正比例关系的判定，解题时要牢记判断两种相关联的量成不成比例，成什么比例，就看这两种量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，就成反比例。 20．判断下面各题中的两种量是否成正比例，并说明理由。 （1）工作效率一定，工作时间和工作总量。 （2）圆的周长和直径。 （3）比例尺一定，图上距离和实际距离。 （4）减数一定，被减数和差。 【答案】（1）成正比例；工作总量工作时间工作效率（一定） （2）成正比例；圆的直径周长（一定） （3）成正比例；图上距离实际距离比例尺（一定） （4）不成正比例；被减数差减数（一定），不是比值一定 【分析】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系，据此解答。 【详解】（1）因为工作总量工作时间工作效率（一定），符合正比例的意义，所以工作效率一定，工作总量与工作时间成正比例。 （2）圆的直径周长（一定），符合正比例的意义，所以圆的周长和直径成正比例。 （3）图上距离实际距离比例尺（一定），符合正比例的意义，所以图上距离和实际距离成正比例。 （4）被减数差减数（一定），不是比值一定，所以被减数和差不成正比例。 21．一辆汽车以90千米/时的速度行驶，行驶的路程与时间如下。 时间/时 1 2 3 4 5 6 路程/km 90 180 270 （1）把上表填写完整。 （2）你发现了什么？ （3）路程与时间成正比例吗？ 【答案】（1）360；450；540 （2）见详解 （3）成正比例 【分析】（1）根据速度×时间＝路程，代入数据计算并填表即可； （2）观察统计表数据，发现随着时间的增加路程也在增加，速度是一定的，时间与路程的比值也一定；据此解答。 （3）根据正比例的意义进行判定即可。 【详解】（1）90÷1＝90（千米/时） 180÷2＝90（千米/时） 270÷3＝90（千米/时） 即速度是90千米/时 所以4小时行驶：4×90＝360（千米） 5小时行驶：5×90＝450（千米） 6小时行驶：6×90＝540（千米） 填表如下： （2）由分析可知：路程随时间的变化而变化；路程与时间的比值一定。 （3）由于路程与时间的比值一定，所以路程与时间成正比例。 22．平行四边形的高是3cm，先填表，再根据表中的数据回答问题。 底/cm 8 10 20 30 面积/cm2 24 90 （1）表中平行四边形的底和面积是（    ）的量，平行四边形的（    ）随着（    ）的变化而变化。 （2）写出几组这两种量中相对应的两个数的比，求出比值，并比较比值的大小。 （3）上面求出的比值表示的意义是什么？ （4）表中相关联的两种量成正比例吗？为什么？ 【答案】（1）相关联；面积；底； （2）＝3；＝3；＝3；＝3。比值大小相等，是个定值3。 （3）平行四边形的高 （4）相关联的两种量成正比例；由（2）可知＝3（一定），是比值一定，所以成正比例。 【分析】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。用字母表示＝k（一定）。 （1）根据平行四边形的面积公式：面积＝底×高＝3×底，填空即可。 （2）利用表中的数据计算出比值，比较大小即可。 （3）借助于平行四边形的面积公式理解其表示的意义即可。 （4）利用（2）的比值是否一定，来判定是否成正比例即可。 【详解】10×3＝30；20×3＝60。 （1）表中平行四边形的底和面积是相关联的量，平行四边形的面积随着底的变化而变化。 （2）＝3；＝3；＝3；＝3。比值大小相等，是个定值3。 （3）＝高，比值表示的意义是平行四边形的高。 （4）相关联的两种量成正比例。 由（2）可知＝3（一定），是比值一定，所以成正比例。 23．天气晴朗的上午，同学们正在操场上测量竹竿、木棒的长度及它们的影长，测量数据如下表。 实际长度/m 影长/m 实际长度与影长的比值 竹竿1 2 0.5 竹竿2 1.6 0.4 木棒 1 0.25 完成表格，比较每次求得的比值，实际长度与影长成正比例吗？ 【答案】见详解 【分析】写出实际高度与影长的比，再求出比值即可；要判断实际长度和影长是否成正比例，只需比较它们的比值是不是一定的，即可做出判断。 【详解】2∶0.5 ＝2÷0.5 ＝4 1.6∶0.4 ＝1.6÷0.4 ＝4 1∶0.25 ＝1÷0.25 ＝4 填表如下： 通过计算可知：实际长度和影子的比值是4，比值是一定的，所以成正比例。 答：实际长度和影子成正比例。 24．乘船的人数与所付船费如下表所示。 人数 1 2 3 4 5 6 … 船费/元 5 10 20 30 … （1）把上表填写完整。 （2）所付船费与乘船人数成_________比例。 【答案】（1） （2）正 【分析】（1）求出单价，再用人数×单价即可。 （2）船费与人数是相关联的两个量，且船费与人数的比值一定，所以成正比例。 （3）横轴为人数，纵轴为船费，描点、连线、标数据即可。 【详解】（1）10÷2＝5（元） 3×5＝15（元） 5×5＝25（元） 所以完整表格如下： （2）船费与乘船人数的商固定不变，所以所付船费与乘船人数成正比例； 25．下表是一辆汽车的行驶时间和路程的统计情况。 时间/时 1 2 3 4 5 路程/千米 82 164 246 328 410 请根据表中的数据写出两个不同的比例。 【答案】1∶82＝2∶164；164∶82＝328∶164 【分析】＝速度（是定值），那么路程与时间成正比例，据此从表中挑出2个路程和对应的时间即可写出两个不同的比例。 【详解】1∶82＝2∶164；164∶82＝328∶164（答案不唯一） 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$