黄金卷08（新题型，重庆专用）-【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷

【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷 一、选择题：（每题4分，共40分.下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的.） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B D C D B C A A C 二、填空题：（每小题5分，共30分.） 11． 12． 13．5 14．18 15． 4 16． 8354 6213 三、解答题：（本大题共8个小题，共80分.） 17. 解：（1）原式＝ ＝ （2分） ＝ ＝；（5分） （2）原式＝ （7分） ＝．（10分） 18. （1）解：如图，为的角平分线， （6分） （2）(2)； ； ；另一组对角的角平分线互相平行 （10分） 19. (1)50，48，10（3分） （2）解：甲班的成绩较好，理由：甲乙两班的平均数相等、甲班的中位数、众数都比乙班的大；（6分） （3）解：（人）， 答：估计该校初三年级参加此次测试中成绩等级为“优秀”的学生人数有人．（10分） 20. （1）解：设2，3两个月的销售量月平均增长率为， 依题意，得：，（2分） 解得：(不符合题意，舍去)． 答：2，3两个月的销售量月平均增长率为．（5分） （2）解：设这种台灯每个降价元时，商场四月份销售这种台灯获利4800元， 依题意，得：，（7分） 整理，得：， 解得(不符合题意，舍去)， ∴售价为38元 答：该这种台灯售价为38元．（10分） 21. （1）解：由题意知，，，，，（海里）， ，， 在中， （海里），（5分） 答：渔政船与渔船的距离为海里； （2）解：过点作的垂线，垂足为点， ， 由题意知， 在中，， （海里）， （海里）， 在中，， ， （海里）， 渔船的到达小岛的时间：（小时）， 渔政船到达小岛的时间：（小时）， ， 即渔政船先到达小岛．（10分） 22. (1)（4分） (2) 图见解析，当时，随着的增大而增大，当时，随着的增大而减小（6分） （8分） (3)（10分） 23. （1）抛物线与轴交于、两点， 设抛物线的表达式为：， 将代入得： 则， 解得：， 则抛物线的表达式为：；（3分） （2）过点作轴于点，如图1， 由点、的坐标得，， ，则， 则， 设直线的表达式为：， 将、代入得， ，解得：， 所以直线的表达式为：， 设点，则点， 则， ， 则有最大值为，此时点，；（8分） (3)存在，点的坐标为：或．（10分） 24. （1）①解：如图，过点作于点， ，， ，， ， 在中，，，， ， 点为中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 在中，， ．（4分） ②证明：如图，延长至点，使，连接，连接交于点， ， ， 点为的中点， ， 在和中， ， ． ， ， ， 设，． 在中，， ， ， ． ，， 即． ． 点为中点． ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， 在中，， ， ， 在中，， ， ；（8分） （2）如图，沿直线翻折后，点的对应点落在直线上， 当时，取得最小值， 由题意可知，，， ， ， ， ， ，， ， ， 过点作的垂线，过点作垂线相交于点， 点在以为圆心，为半径的圆上，半径，当，，三点共线时，取得最小值， 此时， ． 过点作于点， ， ， ，， ， 或．（10分） 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：（每题4分，共40分.下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的.） 1．的倒数是（ ） A． B． C． D． 2．如图所示标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 3．下列事件中，属于必然事件的是（    ） A．射击运动员射击一次，命中10环 B．有一匹马奔跑的速度是70米/秒 C．任意抛掷一只纸杯，杯口朝下 D．在地面上向空中抛掷一石块，石块终将落下 4．已知与是位似图形，相似比是，则与的面积比是（    ） A． B． C． D． 5．估计的值在数轴上最可能表示的点是（　　） A． B． C． D． 6．如图，直线AB，CD被直线CE所截，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 7．如图，下列图形均是完全相同的点按照一定的规律所组成的，第①个图形中一共有3个点，第②个图形中一共有8个点，第③个图形中一共有15个点，…，按此规律排列下去，第9个图形中点的个数是（　　） A．80 B．89 C．99 D．109 8．如图，是的直径，点在上，点在的延长线上，已知若的半径是，，则阴影部分的面积为（    ）    A． B． C． D． 9．如图，在正方形的边上有一点，连接，把绕点逆时针旋转，得到，连接并延长与的延长线交于点．则的值为（    ） A． B． C． D． 10．有两个依次排列的代数式：，用第二个代数式减去第一个代数式得到，将加8得到，将第2个代数式与相加得到第3个代数式，将加8得到，将第3个代数式与相加得到第四个代数式，……依此类推.则以下结论： ①； ②当第个代数式的值为时，或； ③ (n为正整数) ．其中正确的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 二、填空题：（每小题5分，共30分.） 11． ． 12．小颖有红、黄、蓝三支彩笔，这三支彩笔的笔杆与笔帽的颜色一致，完成绘画后她随机将三个笔帽盖在笔杆上，每个笔帽与笔杆的颜色都不匹配的概率为 ． 13．已知正 边形的一个内角为 ，则 . 14．若关于x的不等式组有且仅有5个整数解，且关于x的一次函数的图象不经过第二象限，则满足条件的所有整数a的和为 ． 15．如图，已知是的直径，弦于点，过点作的切线交的延长线于点，为的中点，连接．若，则的半径是 ， ． 16．如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个四位数为“和方数”．例如：四位数2613，因为，所以2613是“和方数”；四位数2514，因为，所以2514不是“和方数”．若是“和方数”，则这个数是 ；若四位数M是“和方数”，将“和方数”M的千位数字与百位数字对调，十位数字与个位数字对调，得到新数N，若能被33整除，则满足条件的M的最大值是 ． 三、解答题：（本大题共8个小题，共80分.） 17．计算： （1）； （2）． 18．小文非常喜效钻研数学，学了多边形的相关知识后，她知道了n边形的内角和等于，那么四边形的内角和是，于是她想探究：如果一个四边形（轴对称图形除外）的一组对角都为，那么另一组对角的角平分线有怎样的位置关系？请完成以下作图和填空： 如图，在四边形中，，平分． (1)尺规作图：作的角平分线，交于点F（只保留作图痕迹）． (2)探究：与的位置关系．将下面的过程补充完整． 解：∵且， ∴① ∵平分、平分， ∴，， ∴． ∵在中，， ∴② ∴③ 通过推理论证，小红得到如下结论：如果一个四边形（轴对称图形除外）的一组对角都为，那么④ 19．中考体考在即，某校对初三年级共830名学生进行了最后一次体测（满分50分且分数均为整数）.测试完成后，发现所有学生成绩均为40分及以上.现从该年级甲、乙两班中各随机抽取10名学生的成绩进行整理、描述和分析（分数用x表示，为合格，为良好，为优秀），得到下列信息： 甲班10名学生的测试成绩为：50，46，40，49，50，50，47，49，50，47 乙班10名学生的测试成绩中，“良好”等级包含的所有数据为：48，47，48，48，47 抽取的甲、乙两班学生测试成绩统计表 班级 平均数 中位数 众数 甲班 47.8 49 a 乙班 47.8 b 49      根据以上信息回答以下问题： (1)填空：____________，____________，____________； (2)你认为甲乙两个班哪个班的学生测试成绩较好，并说明理由（写出一条理由即可）； (3)请估计该校初三年级参加此次测试中成绩等级为“优秀”的学生人数有多少名？ 20．某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，1月份销售400个，2月份和3月份这种台灯销售量持续增，在售价不变的基础上，3月份的销售量达到576个，设2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率不变． (1)求2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率； (2)从4月份起，在3月份销售量的基础上，商场决定降价促销．经调查发现，售价在35元至40元范围内，这种台灯的售价每降价元，其销售量增加6个．若商场要想使4月份销售这种台灯获利4800元，则这种台灯售价应定为多少元？ 21．如图，我国某海域里，一艘渔船正在A处停留，小岛B在A的正东方向．一艘渔政船在C处巡逻，这时测得渔船在它的北偏东方向上，渔政船的航行速度为每小时20海里，它从C处沿东北方向航行2小时后到达D处，这时测得渔船在它的西北方向．（参考数据：） (1)求当渔政船到达D处时，渔政船与渔船的距离；（结果精确到0.1） (2)若该渔政船在D处测得小岛B在它的北偏东方向上，这时渔船以每小时25海里的速度从A处向小岛B航行，同时渔政船以原速度由D向B航行，则哪艘船先到达小岛B？ 22．如图，在中，，，，．若动点以每秒2个单位长度的速度从点出发，沿着匀速运动到点时停止运动，设点运动的时间为秒，的面积为．      (1)直接写出关于的函数关系式，并注明的取值范围； (2)若函数，请在给定的平面直角坐标系中画出和的函数图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接估计时，的取值范围．（保留一位小数，误差不超过0.2） 23．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，连接、． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点是抛物线上位于直线下方一动点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作的平行线交轴于点，求的最大值及此时点的坐标； (3)如图2，点是抛物线上一点，连接，当线段的中点恰好在轴上时，探究抛物线上是否存在点，使．若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 24．在中，点为线段上一动点，点为射线上一动点，连接，． (1)若，，当点在线段上时，，交于点，点为中点． ①如图1，若，，，求的长度； ②如图2，点为线段上一点，连接并延长交的延长线于点．若点为中点，，，求证：． (2)如图3，若，．当点在线段的延长线上时，连接，将沿所在直线翻折至所在平面内得到，连接，当取得最小值时，内存在点，使得，当取得最小值时，请直接写出的值． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：（每题4分，共40分.下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的.） 1．的倒数是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由互为倒数的两数之积为1，即可求解． 【详解】解：∵， ∴的倒数是. 故选C 2．如图所示标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； B．既是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意； C．是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意； D．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查中心对称图形和轴对称图形的知识，关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合． 3．下列事件中，属于必然事件的是（    ） A．射击运动员射击一次，命中10环 B．有一匹马奔跑的速度是70米/秒 C．任意抛掷一只纸杯，杯口朝下 D．在地面上向空中抛掷一石块，石块终将落下 【答案】D 【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可． 【详解】解：A.射击运动员射击一次，命中10环，是随机事件，不符合题意； B.有一匹马奔跑的速度是70米/秒，是不可能事件，不符合题意； C.任意抛掷一只纸杯，杯口朝下，是随机事件，不符合题意； D.在地面上向空中抛掷一石块，石块终将落下，是必然事件，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件是指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 4．已知与是位似图形，相似比是，则与的面积比是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据位似图形的面积比等于位似比的平方，即可得到答案． 【详解】解：∵与是位似图形，位似比是， ∴与的面积比为． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了位似图形的性质，熟练掌握位似图形的面积比等于位似比的平方是解题的关键． 5．估计的值在数轴上最可能表示的点是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先化简二次根式，计算乘法，再估算结果得到答案． 【详解】解： ∵， ∴， ∴式子的值在数轴上最可能表示的点是D， 故选：D． 【点睛】此题考查了二次根式的混合运算，估算无理数，正确掌握二次根式混合运算法则是解题的关键． 6．如图，直线AB，CD被直线CE所截，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线的性质，即可进行解答． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行，同旁内角互补． 7．如图，下列图形均是完全相同的点按照一定的规律所组成的，第①个图形中一共有3个点，第②个图形中一共有8个点，第③个图形中一共有15个点，…，按此规律排列下去，第9个图形中点的个数是（　　） A．80 B．89 C．99 D．109 【答案】C 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，观察图形可知第n幅图中有个点，据此规律求解即可． 【详解】解：第1幅图中有个点， 第2幅图中有个点， 第3幅图中有个点， ……， 以此类推，可知，第n幅图中有个点， ∴第9幅图中，有个点． 故选C． 8．如图，是的直径，点在上，点在的延长线上，已知若的半径是，，则阴影部分的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，推出∽，得到，由圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形外角的性质推出是等边三角形，得到，即可求出的长，求出扇形的面积，的面积，即可求出阴影的面积． 【详解】解：连接. ∵， ∴. ∵， ∽， ∴. ∵， ∴. ， ∴. ∵是的外角， ∴. ， ∴， ∴， 是等边三角形， ， ∴， ∴. 在中，，， ∴， ∴， 扇形的面积， 的面积， 阴影的面积的面积扇形的面积． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了扇形面积的计算，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，关键是求出． 9．如图，在正方形的边上有一点，连接，把绕点逆时针旋转，得到，连接并延长与的延长线交于点．则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点F作延长线的垂线，垂足为点H，则，证明，则，设，得到，则，故，同理可求，则，因此． 【详解】解：过点F作延长线的垂线，垂足为点H，则， 由旋转得， ∵四边形是正方形， ∴，，，设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，，设， 则， ∴， ∴，而， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理可求， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，旋转的性质，正确添加辅助线，构造“一线三等角全等”是解题的关键． 10．有两个依次排列的代数式：，用第二个代数式减去第一个代数式得到，将加8得到，将第2个代数式与相加得到第3个代数式，将加8得到，将第3个代数式与相加得到第四个代数式，……依此类推.则以下结论： ①； ②当第个代数式的值为时，或； ③ (n为正整数) ．其中正确的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】由题意可推导一般性规律为，；第个代数式为；则，可判断①的正误；当第个代数式的值为时，，可求或，可判断②的正误；，可判断③的正误． 【详解】解：由题意知，， ， 第3个代数式为， ， 第四个代数式为， ， 第5个代数式为， …… ∴可推导一般性规律为，； 第个代数式为； ∴，正确，故①符合要求； 当第个代数式的值为时， ，整理得，， ∴， 解得，或，错误，故②不符合要求； ，正确，故③符合要求； 故选：C． 【点睛】本题考查了整式的加减混合运算，整式的规律探究，完全平方公式，直接开平方法解一元二次方程等知识．根据题意推导一般性规律是解题的关键． 2、 填空题：（每小题5分，共30分.） 11． ． 【答案】 【分析】此题主要考查了特殊角的三角函数值，直接利用特殊角的三角函数值代入，进而化简得出答案． 【详解】解：原式． 故答案为：． 12．小颖有红、黄、蓝三支彩笔，这三支彩笔的笔杆与笔帽的颜色一致，完成绘画后她随机将三个笔帽盖在笔杆上，每个笔帽与笔杆的颜色都不匹配的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查了用列举法求概率．列出所有可能出现的结果，再找出每个笔帽和笔芯的颜色都不匹配的结果，利用概率公式计算即可求解，正确列出所有可能出现的结果是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，共有种结果：红红，黄黄，蓝蓝；红红，蓝黄，黄蓝；黄红，红黄，蓝蓝；黄红，蓝黄，红蓝；蓝红，红黄，黄蓝；蓝红，黄黄，红蓝； 其中每个笔帽和笔芯的颜色都不匹配的有种结果， ∴每个笔帽和笔芯的颜色都不匹配的概率是， 故答案为：． 13．已知正 边形的一个内角为 ，则 . 【答案】5 【分析】根据正n边形的内角和为（n-2）×，建立关于n的方程，解方程求出n的值． 【详解】由题意得：（n-2）×=×n 解得：n=5 故答案为：5． 【点睛】本题考查多边形的内角和，解题的关键是掌握正多边形的性质． 14．若关于x的不等式组有且仅有5个整数解，且关于x的一次函数的图象不经过第二象限，则满足条件的所有整数a的和为 ． 【答案】18 【分析】先求出不等式组的解集为，根据不等式组有且仅有5个整数解可得，再根据一次函数的图象与性质可得，从而可得，由此即可得出答案． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 这个不等式组有解， ， 又这个不等式组有且仅有5个整数解， ， 解得， 关于的一次函数的图象不经过第二象限， ， 解得， ， 则满足条件的所有整数的和为， 故答案为：18． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组、一次函数的图象与性质，熟练掌握不等式组的解法和一次函数的图象与性质是解题关键． 15．如图，已知是的直径，弦于点，过点作的切线交的延长线于点，为的中点，连接．若，则的半径是 ， ． 【答案】 4 【分析】本题主要考查了切线的性质定理、垂径定理、勾股定理、圆周角定理、含30度角的直角三角形的性质、解直角三角形等知识，正确作出辅助线是解题关键． 连接，，，根据垂径定理可得，根据切线的性质定理可得，即，进而可得，再解得，然后证明，设，易得，，在中，利用勾股定理解得，即可求出半径，再用三角函数求出的长即可求解． 【详解】解：如图，连接，，， 是的切线， ， ， ， ， 于点，， ， 设， 为的中点， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ，即的半径为4． ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：4，． 16．如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个四位数为“和方数”．例如：四位数2613，因为，所以2613是“和方数”；四位数2514，因为，所以2514不是“和方数”．若是“和方数”，则这个数是 ；若四位数M是“和方数”，将“和方数”M的千位数字与百位数字对调，十位数字与个位数字对调，得到新数N，若能被33整除，则满足条件的M的最大值是 ． 【答案】 8354 6213 【分析】本题考查了新定义下的实数运算，一元一次方程的应用，因式分解的应用．理解新定义，正确推理计算是解题关键．根据“和方数”的定义求解即可；设这个四位数，则，再结合“和方数”的定义，得出，再由能被33整除可知是整数，得到满足条件的的值为，进而得出满足条件的等式，即可得到M的最大值． 【详解】解：是“和方数”， ， 解得：， 这个数是8354； 设这个四位数，则， ， 四位数M是“和方数”， ， ， 能被33整除， 是整数，且，，，， 满足条件的的值为， ， 满足条件的等式为， 满足条件的M的最大值是， 故答案为：8354；6213． 三、解答题：（本大题共8个小题，共80分.） 17．计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）根据异分母分式的加减法法则计算即可； （2）先把括号里的通分，再根据分式的除法法则计算即可. 【详解】解：（1）原式＝ ＝ ＝ ＝； （2）原式＝ ＝． 【点睛】本题考查了分式的混合运算，在运算过程中，分子、分母能进行因式分解的先因式分解，熟练掌握分式的加减乘除运算是解题的关键. 18．小文非常喜效钻研数学，学了多边形的相关知识后，她知道了n边形的内角和等于，那么四边形的内角和是，于是她想探究：如果一个四边形（轴对称图形除外）的一组对角都为，那么另一组对角的角平分线有怎样的位置关系？请完成以下作图和填空： 如图，在四边形中，，平分． (1)尺规作图：作的角平分线，交于点F（只保留作图痕迹）． (2)探究：与的位置关系．将下面的过程补充完整． 解：∵且， ∴① ∵平分、平分， ∴，， ∴． ∵在中，， ∴② ∴③ 通过推理论证，小红得到如下结论：如果一个四边形（轴对称图形除外）的一组对角都为，那么④ 【答案】(1)见解析 (2)； ； ；另一组对角的角平分线互相平行 【分析】本题主要考查作角平分线以及平行线的判定： （1）以为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，分别心为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点M，过点M作射线交于点，则即为所作； （2）由四边形内角和定理得，由角平分线定义得到，三角形内角和定理得，故可得，从而可得，即可得结论 【详解】（1）解：如图，为的角平分线， （2）解：∵且， ∴， ∵平分、平分， ∴，， ∴． ∵在中，，， ∴， ∴ 通过推理论证，小红得到如下结论：如果一个四边形（轴对称图形除外）的一组对角都为，那么另一组对角的角平分线互相平行 19．中考体考在即，某校对初三年级共830名学生进行了最后一次体测（满分50分且分数均为整数）.测试完成后，发现所有学生成绩均为40分及以上.现从该年级甲、乙两班中各随机抽取10名学生的成绩进行整理、描述和分析（分数用x表示，为合格，为良好，为优秀），得到下列信息： 甲班10名学生的测试成绩为：50，46，40，49，50，50，47，49，50，47 乙班10名学生的测试成绩中，“良好”等级包含的所有数据为：48，47，48，48，47 抽取的甲、乙两班学生测试成绩统计表 班级 平均数 中位数 众数 甲班 47.8 49 a 乙班 47.8 b 49      根据以上信息回答以下问题： (1)填空：____________，____________，____________； (2)你认为甲乙两个班哪个班的学生测试成绩较好，并说明理由（写出一条理由即可）； (3)请估计该校初三年级参加此次测试中成绩等级为“优秀”的学生人数有多少名？ 【答案】(1)50，48，10 (2)甲班的成绩较好，理由：甲乙两班的平均数相等、甲班的中位数、众数都比乙班的大； (3)人． 【分析】本题考查频数分布表、中位数、众数、用样本估计总体，理解中位数和众数的定义，并会利用这些统计量作决策是解答的关键． （1）根据题中数据和中位数、众数的定义求解即可； （2）根据甲乙两班的平均数、中位数和众数分析决策即可； （3）用总人数乘以样本中优秀人数所占的比例求解即可． 【详解】（1）解：甲班的测试成绩出现次数最多的是50，因此众数是50， ∴， ∵乙班10名学生的测试成绩中，“良好”等级包含的所有数据为：47，47，48， 48，48，48出现3次，众数是49， ∴49出现4次， 优秀人数为（人）， ∴优秀的学生都是49， ∴从小到大排列后处在中间位置的两个数都是48， ∴中位数， ∵乙组合格的人数为， ∴， 即， 故答案为：50，48，10 （2）解：甲班的成绩较好，理由：甲乙两班的平均数相等、甲班的中位数、众数都比乙班的大； （3）解：（人）， 答：估计该校初三年级参加此次测试中成绩等级为“优秀”的学生人数有人． 20．某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，1月份销售400个，2月份和3月份这种台灯销售量持续增，在售价不变的基础上，3月份的销售量达到576个，设2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率不变． (1)求2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率； (2)从4月份起，在3月份销售量的基础上，商场决定降价促销．经调查发现，售价在35元至40元范围内，这种台灯的售价每降价元，其销售量增加6个．若商场要想使4月份销售这种台灯获利4800元，则这种台灯售价应定为多少元？ 【答案】(1)2，3两个月的销售量月平均增长率为； (2)该这种台灯售价为38元． 【分析】本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设2，3两个月这种台灯销售量的月均增长率为，利用3月份的销售量1月份的销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）设每台降价元，则每台的销售利润为元，四月份可售出台，利用总利润二每台的销售利润四月份的销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； 【详解】（1）解：设2，3两个月的销售量月平均增长率为， 依题意，得：， 解得：(不符合题意，舍去)． 答：2，3两个月的销售量月平均增长率为． （2）解：设这种台灯每个降价元时，商场四月份销售这种台灯获利4800元， 依题意，得：， 整理，得：， 解得(不符合题意，舍去)， ∴售价为38元 答：该这种台灯售价为38元． 21．如图，我国某海域里，一艘渔船正在A处停留，小岛B在A的正东方向．一艘渔政船在C处巡逻，这时测得渔船在它的北偏东方向上，渔政船的航行速度为每小时20海里，它从C处沿东北方向航行2小时后到达D处，这时测得渔船在它的西北方向．（参考数据：） (1)求当渔政船到达D处时，渔政船与渔船的距离；（结果精确到0.1） (2)若该渔政船在D处测得小岛B在它的北偏东方向上，这时渔船以每小时25海里的速度从A处向小岛B航行，同时渔政船以原速度由D向B航行，则哪艘船先到达小岛B？ 【答案】(1)渔政船与渔船的距离为海里； (2)渔政船先到达小岛． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是理解题意，掌握锐角三角函数，添加辅助线构造直角三角形． （1），，在中，运用正切函数即可得； （2）过点作的垂线，垂足为点，可得，由题意知，在中，，运用三角函数得，，在中，，运用三角函数得，，即可得渔船的到达小岛的时间（小时），渔政船到达小岛的时间，比较即可得． 【详解】（1）解：由题意知，，，，，（海里）， ，， 在中， （海里）， 答：渔政船与渔船的距离为海里； （2）解：过点作的垂线，垂足为点， ， 由题意知， 在中，， （海里）， （海里）， 在中，， ， （海里）， 渔船的到达小岛的时间：（小时）， 渔政船到达小岛的时间：（小时）， ， 即渔政船先到达小岛． 22．如图，在中，，，，．若动点以每秒2个单位长度的速度从点出发，沿着匀速运动到点时停止运动，设点运动的时间为秒，的面积为．      (1)直接写出关于的函数关系式，并注明的取值范围； (2)若函数，请在给定的平面直角坐标系中画出和的函数图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接估计时，的取值范围．（保留一位小数，误差不超过0.2） 【答案】(1) (2)图见解析，当时，随着的增大而增大，当时，随着的增大而减小 (3) 【分析】本题考查了含直角三角形的性质、一次函数的应用、画函数图象、反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由直角三角形的性质得出，分两种情况：当点在上，即时，；当点在上运动时，即，作于；分别根据三角形面积公式计算即可得出答案； （2）根据解析式画出函数图象，再根据函数图象写出性质即可； （3）根据函数图象即可得出答案． 【详解】（1）解：在中，，，， ， 动点以每秒2个单位长度的速度从点出发，沿着匀速运动到点时停止运动，设点运动的时间为秒， 当点在上，即时，， 的面积为， 当点在上运动时，即，作于， 此时， ， ， ，， ， 的面积为， 综上所述，； （2）解：画出和的函数图象，如图所示， 由图可得：当时，随着的增大而增大，当时，随着的增大而减小； （3）解：由图象可得，时，的取值范围为． 23．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，连接、． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点是抛物线上位于直线下方一动点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作的平行线交轴于点，求的最大值及此时点的坐标； (3)如图2，点是抛物线上一点，连接，当线段的中点恰好在轴上时，探究抛物线上是否存在点，使．若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)有最大值为，此时点，； (3)存在，点的坐标为：或． 【分析】（1）设抛物线的表达式为：，用待定系数法即可求解； （2）证明，即可求解； （3）当时，则，即可求解． 【详解】（1）抛物线与轴交于、两点， 设抛物线的表达式为：， 将代入得： 则， 解得：， 则抛物线的表达式为：； （2）过点作轴于点，如图1， 由点、的坐标得，， ，则， 则， 设直线的表达式为：， 将、代入得， ，解得：， 所以直线的表达式为：， 设点，则点， 则， ， 则有最大值为，此时点，； （3）存在，理由： 如图2，当线段的中点恰好在轴上时，由中点坐标公式得：， 即点， 设直线交于点， 设点， 当时， 则， 即， 解得：， 即点， 由点、的坐标得，直线的表达式为：， 联立直线和抛物线的表达式得： 解得：（舍弃）或， 当和平行时，直线的解析式为：， 与抛物线解析式联立可求的坐标为：． 即点的坐标为：或． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到解直角三角形、一次函数的性质、等腰三角形的性质等，综合性强，难度适中． 24．在中，点为线段上一动点，点为射线上一动点，连接，． (1)若，，当点在线段上时，，交于点，点为中点． ①如图1，若，，，求的长度； ②如图2，点为线段上一点，连接并延长交的延长线于点．若点为中点，，，求证：． (2)如图3，若，．当点在线段的延长线上时，连接，将沿所在直线翻折至所在平面内得到，连接，当取得最小值时，内存在点，使得，当取得最小值时，请直接写出的值． 【答案】(1)①；②见解析 (2)或． 【分析】（1）①过点作于点，通过勾股定理得到的长，证明，利用勾股定理即可求解； ②延长至点，使，连接，连接交于点，证明三角形全等，结合直角三角形的两个锐角互余，三角形内角和等知识即可得证； （2）沿直线翻折后，点的对应点落在直线上，当时，取得最小值，通过含角的直角三角形的特征求出，过点作的垂线，过点作垂线相交于点，点在以为圆心，为半径的圆上，半径，当，，三点共线时，取得最小值，利用勾股定理相似三角形的判定与性质即可得出最后结果． 【详解】（1）①解：如图，过点作于点， ，， ，， ， 在中，，，， ， 点为中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 在中，， ． ②证明：如图，延长至点，使，连接，连接交于点， ， ， 点为的中点， ， 在和中， ， ． ， ， ， 设，． 在中，， ， ， ． ，， 即． ． 点为中点． ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， 在中，， ， ， 在中，， ， ； （2）如图，沿直线翻折后，点的对应点落在直线上， 当时，取得最小值， 由题意可知，，， ， ， ， ， ，， ， ， 过点作的垂线，过点作垂线相交于点， 点在以为圆心，为半径的圆上，半径，当，，三点共线时，取得最小值， 此时， ． 过点作于点， ， ， ，， ， 或． 【点睛】本题考查了几何变换综合应用，涉及全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，折叠性质，直角三角形的性质，勾股定理，三角形内角和定理等知识，添加辅助线构造直角三角形和全等三角形是解答本题的关键． 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$