黄金卷07（新题型，重庆专用）-【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷

【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：（每题4分，共40分.下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的.） 1．的相反数是（　　） A． B． C． D． 2．下图中是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 3．下列调查中，适合采用全面调查的是（   ） A．调查一批圆珠笔的使用寿命 B．调查全国九年级学生的睡眠情况 C．调查重庆市民坐轻轨出行的意愿 D．调查“神十八”载人飞船各零部件质量 4．如图，已知，直线分别交、于点、，平分，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 5．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，连接DE，若S△ADE＝1，则四边形DBCE的面积为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 6．估算的值应在（    ） A．7和8之间 B．8和9之间 C．9和10之间 D．10和11之间 7．如图所示是一组有规律的图案，第①个图案由4个基础图形组成，第②个图案由7个基础图形组成，第③个图案由10个基础图形组成，…，第⑩个图案中的基础图形个数为（    ） A．31 B．30 C．40 D．41 8．如图，在扇形中，，为边上一点且，连接，将沿折叠，点恰好落在上的点处，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 9．如图，、、三点共线，分别以、为边，在的同侧构造正方形和正方形，点在上，，．连接．若是的中点，连接，那么的长是（   ） A． B． C． D．2 10．对于两个代数式，记，，以下说法正确的个数是（   ） ①若，则； ②若关于的方程的解为和，则的值为； ③若关于的方程有两个不相等的实数根，则． A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题：（每小题5分，共30分.） 11．计算： ． 12．十月佳节将至，某班将举办“庆中秋，迎国庆”文艺汇演活动．现打算从班级的四位同学中（两名男同学和两名女同学）随机选取两名同学来当节目主持人，则选中一男一女的概率是 ． 13．已知五边形各内角的度数如图所示，则图中 °． 14．若数m使关于x的不等式组有且仅有四个整数解，且使关于x的分式方程有非负数解，则所有满足条件的整数m的值之和是 ． 15．如图，是直径，将劣弧沿弦折叠至所在平面内，折叠后的弧交于点，连接，延长交于点，连接，过点作的切线交的延长线于点．若，，则半径 ：的面积 ． 16．对于一个四位自然数，如果满足各数位上的数字不全相同且均不为0，它的千位数字减去个位数字之差等于百位数字减去十位数字之差，那么称这个数为“差同数”．对于一个“差同数”，将它的千位和个位构成的两位数减去百位和十位构成的两位数所得差记为，将它的千位和十位构成的两位数减去百位和个位构成的两位数所得差记为，规定：．例：，因为，故：是一个“差同数”．所以：，，则：．已知4378是一个“差同数”，则 ．若自然数都是“差同数”，其中（都是整数），规定：，当能被11整除时，则的最小值为 ． 三、解答题：（本大题共8个小题，共80分.） 17．计算： (1)； (2)． 18．林林自主探究时发现：三角形一个角的平分线与其对边的高重合时，这个三角形是等腰三角形，他通过证明三角形全等得到结论．请根据他的思路完成以下作图与填空： (1)用直尺和圆规，作的角平分线交于D．（保留作图痕迹） (2)已知：在中，是的角平分线，． 求证：． 证明：∵是的角平分线， ∴①______． ∵， ∴， 在和中 ∴， ∴③______． 林林进一步研究发现，若在上图中已知是的角平分线，，同样可以通过证明三角形全等得到．因此，林林归纳出另外一个结论：三角形一个角的④______重合时，这个三角形是等腰三角形． 19．为丰富同学们的课外生活，某中学开展了一次知识竞赛，校学生会随机抽取部分参赛同学的成绩作为样本，根据得分（满分100分）按四个等级进行分类统计：低于60分的为“不合格”，60分以上（含）且低于80分的为“合格”；80分以上（含）且低于90分的为“良好”；90分以上（含）为“优秀”．汇总后将所得数据绘制成如图所示的不完整的统计图． 请根据统计图所提供的信息，解答下列问题： (1)本次抽查的学生人数是___________人，圆心角___________． (2)补全条形统计图，并指出成绩的中位数落在哪个等级； (3)学校计划给获得“优秀”、“良好”等级的同学每人分别奖励价值30元、20元的学习用品，若学校共有800名学生参加本次竞赛，试估计该校用于本次竞赛的奖品费用． 20．长清某学校为备战体育中考，计划购进一批篮球和足球，其中篮球的单价比足球的单价多元，已知用元购进的足球和用元购进的篮球数量相等． (1)篮球和足球的单价各是多少元？ (2)已知篮球进价为每个元，足球进价为每个元，若商场售出足球的数量比篮球数量的倍少个，且获利超过元，问篮球最少要卖多少个？ 21．“十·一”国庆假期．李老师一家乘坐轻轨到重庆磁器口古镇游玩．轻轨到站后，李老师一家从轻轨站出口E处沿北偏东方向行走200米到达景点D处．再从D处沿正东方向行走400米到达景点C处．然后从C处沿南偏东方向行走400米就来到了在嘉陵江边B处．从B处沿正西方向到G处是一条巴渝风情步行街．出租车乘车点A在B处南偏西方向上．（A、G都位于E的正南方向上）    (1)求巴渝风情步行街的长度（结果保留根号）； (2)结束游玩之后李老师需要赶到重庆西站乘坐高铁．李老师从B处出发，现可沿①路线回到E处乘坐轻轨到达西站，轻轨到达西站需要1个小时；也可沿②路线到达出租车乘车点A处打车到达西站，出租车到达西站需20分钟，但会堵车半个小时．已知李老师步行速度是20米/分钟，请问李老师选择哪条路线能更快到达重庆西站（，，，，）． 22．如图，在矩形中，，，点为边上的中点．动点从点出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度向点运动，到点时停止．设运动的时间为秒，记为． (1)请直接写出关于的函数表达式以及对应的的取值范围（）； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)函数与的图象有且仅有2个交点，请直接写出的取值范围． 23．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点、，与轴交于点．已知点为轴上一点，且． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，作的角平分线交轴于点，点为直线上方抛物线上的一个动点，过点作交直线于点，过点作轴交直线于点，求的最大值，并求出此时点的坐标； (3)如图2，将原抛物线沿轴向左平移个单位得到新抛物线，新抛物线交轴于点、，点为新抛物线的对称轴与轴的交点，点为新抛物线上一动点，使得，请直接写出所有满足条件的点的坐标． 24．在中，，将绕点顺时针旋转得到，连接交直线于点． (1)如图1，若，，，，求的面积； (2)如图2，若，将绕点顺时针旋转得到，连接交于点，请用等式表示线段、、之间的数量关系，并证明； (3)在（2）的条件下，点是直线上一点，连接、，将沿翻折后得到，连接，点是的中点，连接，若，当最大时，请直接写出的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：（每题4分，共40分.下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的.） 1．的相反数是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案． 【详解】解：的相反数是． 故选：D 【点睛】本题考查了相反数．解题的关键是掌握相反数的概念．相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数． 2．下图中是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的概念，根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：选项A能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形； 选项B、C、D不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形； 故选：A． 3．下列调查中，适合采用全面调查的是（   ） A．调查一批圆珠笔的使用寿命 B．调查全国九年级学生的睡眠情况 C．调查重庆市民坐轻轨出行的意愿 D．调查“神十八”载人飞船各零部件质量 【答案】D 【分析】此题考查了抽样调查和全面调查的区别，根据抽样调查和全面调查的特征即可，解题的关键是理解选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查． 【详解】解：A、调查一批圆珠笔的使用寿命，具有破坏性，适宜采用抽样调查，故选项不符合题意； B、调查全国九年级学生的睡眠情况适宜采用抽样调查，故选项不符合题意； C、调查重庆市民坐轻轨出行的意愿适宜采用抽样调查，故选项不符合题意； D、调查“神十八”载人飞船各零部件质量，涉及安全性，适宜采用全面调查，故选项符合题意； 故选：D． 4．如图，已知，直线分别交、于点、，平分，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由平行线的性质，角平分线的定义，得到∠FEG=55°，再利用三角形的外角性质，即可得到的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴∠FEG=55°， ∴； 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，以及三角形的外角性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的求出∠FEG=55°． 5．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，连接DE，若S△ADE＝1，则四边形DBCE的面积为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】先由中位线定理得出DE∥BC，DE＝BC，从而判定△ADE∽△ABC并得出相似比，进而得出△ADE与△ABC的面积比，然后结合S△ADE＝1，可得答案． 【详解】解：在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点， ∴DE//BC，DE＝BC， ∴△ADE∽△ABC，＝， ∴S△ADE：S△ABC＝1：4， ∵S△ADE＝1， ∴S△ABC＝4， ∴四边形DBCE的面积为3． 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的中位线定理和相似三角形的判定与性质，数形结合并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． 6．估算的值应在（    ） A．7和8之间 B．8和9之间 C．9和10之间 D．10和11之间 【答案】B 【分析】被开方数越大，二次根式的值越大，由即可选出答案． 【详解】解：，，， ， ， 在8和9之间， 故选：B． 【点睛】本题主要考查二次根式的估值，解题的关键是要找到离最近的两个能开方的整数，就可以选出答案． 7．如图所示是一组有规律的图案，第①个图案由4个基础图形组成，第②个图案由7个基础图形组成，第③个图案由10个基础图形组成，…，第⑩个图案中的基础图形个数为（    ） A．31 B．30 C．40 D．41 【答案】A 【分析】观察发现，后一个图案的基础图案比前一个图案多3个基础图案，然后根据此规律解答即可． 【详解】解：∵第1个图案中基础图形的个数为3×1+1=4； 第2个图案中基础图形的个数为3×2+1=7； 第3个图案中基础图形的个数为3×3+1=10； … ∴第10个图案中基础图形的个数为3×10+1=31． 故选A． 【点睛】本题主要考查图形的变化规律，对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的． 8．如图，在扇形中，，为边上一点且，连接，将沿折叠，点恰好落在上的点处，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了折叠问题，求扇形面积，等边三角形的性质与判定，勾股定理；连接，交于点，根据折叠得出是等边三角形，进而得出是等腰直角三角形，求得半径，进而根据即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，交于点 ∵折叠， ∴，， 又∵ ∴ ∴是等边三角形， ∴ ∵， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴ ∴ ∴ 故选：B． 9．如图，、、三点共线，分别以、为边，在的同侧构造正方形和正方形，点在上，，．连接．若是的中点，连接，那么的长是（   ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，二次根式的化简，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握以上知识点并能作出辅助线是解题的关键．连接和，先证明是直角三角形，利用勾股定理分别求出，和的长度，最后利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，推导出，求得答案． 【详解】解：连接和，如图所示： 四边形和是正方形，， ，，， ， ，是的中点， 故选：B． 10．对于两个代数式，记，，以下说法正确的个数是（   ） ①若，则； ②若关于的方程的解为和，则的值为； ③若关于的方程有两个不相等的实数根，则． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了解一元二次方程，根与系数的关系，二次函数与一元二次方程的解；根据解一元二次方程判断①；根据根与系数的关系判断②，根据，设，根据函数图象可得有两个交点时，，即可求解． 【详解】解：将，代入方程 得，即 解得：，故①不正确； ②将，代入方程 得， ∴， ∵ ∴ ∴，故②不正确； ③将，代入方程得， 设 如图所示， 当，， ∴当经过和之间时，有两个交点时， 当时，，当时，； ∴，故③错误 故选：A． 2、 填空题：（每小题5分，共30分.） 11．计算： ． 【答案】2 【分析】先计算负整数指数幂，二次根式的化简，特殊角的三角函数值，再计算乘法，再合并即可． 【详解】解： ． 故答案为：2． 【点睛】本题考查的是特殊角的三角函数值的运算，负整数指数幂的含义，二次根式的化简，掌握相关运算法则是解本题的关键． 12．十月佳节将至，某班将举办“庆中秋，迎国庆”文艺汇演活动．现打算从班级的四位同学中（两名男同学和两名女同学）随机选取两名同学来当节目主持人，则选中一男一女的概率是 ． 【答案】 【分析】先画出树状图，从而可得随机选取两名同学的所有可能的结果，再找出选中一男一女的结果，利用概率公式求解即可得． 【详解】解：由题意，画出树状图如下：    由图可知，从班级的四位同学中（两名男同学和两名女同学）随机选取两名同学的所有等可能的结果共有12种，其中，选中一男一女的结果共有8种， 则选中一男一女的概率是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了利用列举法求概率，熟练掌握列举法是解题关键． 13．已知五边形各内角的度数如图所示，则图中 °． 【答案】120 【分析】根据多边形内角和公式：（n-2）×180°即可求解 【详解】解：由题意得这是一个五边形 ∴其内角和=（5-2）×180°=540° ∴4x+60=540 解得x=120 故答案为：120. 【点睛】本题主要考查了多边形的内角和公式，熟练掌握多边形内角和公式是解题的关键. 14．若数m使关于x的不等式组有且仅有四个整数解，且使关于x的分式方程有非负数解，则所有满足条件的整数m的值之和是 ． 【答案】-1 【分析】分别求出使不等式组有四个整数解的m的范围和使方程有非负数解的m的范围，综合这两个范围求整数m的值. 【详解】解不等式组，可得， ∵不等式组有且仅有四个整数解， ∴﹣1≤＜0， ∴﹣4＜m≤3， 解分式方程，可得x＝， 又∵分式方程有非负数解， ∴x≥0，且x≠2， 即≥0，≠2， 解得 且m≠-2， ∴﹣4<m≤2，且m≠-2 ∴满足条件的整数m的值为﹣3，-1，0，1，2 ∴所有满足条件的整数m的值之和是： 故答案为：﹣1． 【点睛】本题考查了求不等式组中的字母系数的范围及求分式方程的整数解的方法，求分式方程中的字母系数的范围时要注意字母系数既要满足题中的条件，又要不使分母等于0. 15．如图，是直径，将劣弧沿弦折叠至所在平面内，折叠后的弧交于点，连接，延长交于点，连接，过点作的切线交的延长线于点．若，，则半径 ：的面积 ． 【答案】 【分析】连接，设关于的对称点为，连接，根据折叠的性质得出，进而证明，设半径，得出，勾股定理求得，进而证明，根据相似三角形的性质得出，；进而可得，过点作于点，根据，求得的长，进而根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，设关于的对称点为，连接， ∵四边形是圆内接四边形， ∴ ∵将劣弧沿弦折叠，关于对称， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵， ∴ 又 ∴ ∴ 设， ∵是的切线， ∴ ∴， ∵，则 ∴ 又∵ ∴ ∴， 设半径 ∵，即， ∴， ∴ ∵是直径， ∴， 在中， ∴ ∵是直径， ∴， ∴， ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴， ∴ ∴， ∴ ∴ 在中，， ∵ ∴ 如图所示，过点作于点， ∴， ∴， 故答案为：，． 【点睛】考查了圆周角定理，折叠问题，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，勾股定理，切线的性质；熟练掌握以上知识是解题的关键． 16．对于一个四位自然数，如果满足各数位上的数字不全相同且均不为0，它的千位数字减去个位数字之差等于百位数字减去十位数字之差，那么称这个数为“差同数”．对于一个“差同数”，将它的千位和个位构成的两位数减去百位和十位构成的两位数所得差记为，将它的千位和十位构成的两位数减去百位和个位构成的两位数所得差记为，规定：．例：，因为，故：是一个“差同数”．所以：，，则：．已知4378是一个“差同数”，则 ．若自然数都是“差同数”，其中（都是整数），规定：，当能被11整除时，则的最小值为 ． 【答案】 1 【分析】本题主要考查了整式加减的应用、不等式的性质、有理数加减乘除运算的应用．理解“差同数”的定义，善于把新知识转化为常规知识来解决问题是解题关键． （1）根据“差同数”的定义求得s和和t，进而求得； （2）根据“差同数”的定义和已知条件，求得，进而求得，再根据字母的取值范围，分情况考虑即可求出k的最小值． 【详解】解：由题意知，，， ∴， ∵，其中， ∴P的千位数字为x，百位数字为6，十位数字为，个位数字为6， ∴由“差同数”知：， 即； 而， ， ∴； ∵，其中， ∴Q的千位数字为3，百位数字为m，十位数字为，个位数字为， ∴由“差同数”知：， 即； 而， ， ∴； ∴， ∵，， ∴； ∵，， ∴， ∴； ∵能被11整除， ∴或0或11； ①当时，， ∵， ∴或， ∴或4， 当时，； 当时，，不合题意； ∴； ②当时，， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴不存在； ③当时，， ∵， ∴， ∴或， ∴或1； 由①知，； ∴的最小值为； 故答案为：1；． 三、解答题：（本大题共8个小题，共80分.） 17．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的混合运算、整式的混合运算，解题的关键是根据计算法则和公式法来解答． （1）先提取公因式，然后利用单项式乘以多项式计算方法进行计算即可； （2）先用通分的方法算出小括号里的结果，再把除法转化为乘法，进行约分即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 18．林林自主探究时发现：三角形一个角的平分线与其对边的高重合时，这个三角形是等腰三角形，他通过证明三角形全等得到结论．请根据他的思路完成以下作图与填空： (1)用直尺和圆规，作的角平分线交于D．（保留作图痕迹） (2)已知：在中，是的角平分线，． 求证：． 证明：∵是的角平分线， ∴①______． ∵， ∴， 在和中 ∴， ∴③______． 林林进一步研究发现，若在上图中已知是的角平分线，，同样可以通过证明三角形全等得到．因此，林林归纳出另外一个结论：三角形一个角的④______重合时，这个三角形是等腰三角形． 【答案】(1)见解析 (2)， ，，角平分线与中线． 【分析】本题考查了作图基本作图，等腰三角形三线合一的性质，证明是解题的关键． （1）根据角平分线的基本作法作出图形即可； （2）根据证明即可得出结论． 【详解】（1）如图所示； （2）证明：∵是的角平分线， ∴． ∵， ∴， 在和中 ∴， ∴． 林林归纳出另外一个结论：三角形一个角的角平分线与中线重合时，这个三角形是等腰三角形． 故答案为：， ，，角平分线与中线． 19．为丰富同学们的课外生活，某中学开展了一次知识竞赛，校学生会随机抽取部分参赛同学的成绩作为样本，根据得分（满分100分）按四个等级进行分类统计：低于60分的为“不合格”，60分以上（含）且低于80分的为“合格”；80分以上（含）且低于90分的为“良好”；90分以上（含）为“优秀”．汇总后将所得数据绘制成如图所示的不完整的统计图． 请根据统计图所提供的信息，解答下列问题： (1)本次抽查的学生人数是___________人，圆心角___________． (2)补全条形统计图，并指出成绩的中位数落在哪个等级； (3)学校计划给获得“优秀”、“良好”等级的同学每人分别奖励价值30元、20元的学习用品，若学校共有800名学生参加本次竞赛，试估计该校用于本次竞赛的奖品费用． 【答案】(1)50；72 (2)统计图见解析，成绩的中位数落在良好等级 (3)14240元 【分析】本题主要考查了扇形统计图与条形统计图信息相关联，用样本估计总体，求中位数等等： （1）用良好等级的人数除以其人数占比即可求出参与调查的人数，再用360度乘以合格等级的人数占比即可得到答案； （2）先求出优秀等级的人数，再补全统计图，最后根据中位数的定义求解即可； （3）分别求出学校优秀和良好的人数，然后分别计算出对应奖品的费用，求和即可得到答案． 【详解】（1）解：人， ∴本次抽查的学生人数是50人， ∴， 故答案为：50；72； （2）解：等级为优秀的人数有人， 补全统计图如下： 把这50名学生成绩从低到高排列，处在第25名和第26名的乘积都在良好这一等级， ∴成绩的中位数落在良好等级； （3）解：元， ∴估计该校用于本次竞赛的奖品费用为14240元． 20．长清某学校为备战体育中考，计划购进一批篮球和足球，其中篮球的单价比足球的单价多元，已知用元购进的足球和用元购进的篮球数量相等． (1)篮球和足球的单价各是多少元？ (2)已知篮球进价为每个元，足球进价为每个元，若商场售出足球的数量比篮球数量的倍少个，且获利超过元，问篮球最少要卖多少个？ 【答案】(1)篮球的单价是元，足球的单价是元 (2)篮球最少要卖个 【分析】（）设足球的单价是元，则篮球的单价是元，根据题意列分式方程即可； （）设篮球要卖个，则足球要卖个，根据题意列一元一次不等式即可． 【详解】（1）解：设足球的单价是元，则篮球的单价是元，根据题意可得， ， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：篮球的单价是元，足球的单价是元； （2）解：设篮球要卖个，则足球要卖个，根据题意可得， ， 解得：， ∵为正整数， ∴的最小值为， 答：篮球最少要卖个． 【点睛】本题考查了分式方程与实际问题，一元一次不等式与实际问题，审清题意找出数量关系是解题的关键． 21．“十·一”国庆假期．李老师一家乘坐轻轨到重庆磁器口古镇游玩．轻轨到站后，李老师一家从轻轨站出口E处沿北偏东方向行走200米到达景点D处．再从D处沿正东方向行走400米到达景点C处．然后从C处沿南偏东方向行走400米就来到了在嘉陵江边B处．从B处沿正西方向到G处是一条巴渝风情步行街．出租车乘车点A在B处南偏西方向上．（A、G都位于E的正南方向上）    (1)求巴渝风情步行街的长度（结果保留根号）； (2)结束游玩之后李老师需要赶到重庆西站乘坐高铁．李老师从B处出发，现可沿①路线回到E处乘坐轻轨到达西站，轻轨到达西站需要1个小时；也可沿②路线到达出租车乘车点A处打车到达西站，出租车到达西站需20分钟，但会堵车半个小时．已知李老师步行速度是20米/分钟，请问李老师选择哪条路线能更快到达重庆西站（，，，，）． 【答案】(1)的长度为米 (2)选择2号路线更快 【分析】（1）过C作于H，延长相交于F，再中可求得的长，再中可求得的长，即可求出答案； （2）分别计算出两条路线的长度，可求得时间，比较即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，过C作于H，延长相交于F，    则，，矩形， 由题意得： ，，， ∵中，，， ∴， ， ∵中，， ∴， ∴米， 答：的长度为米 ． （2）解：由题意得：，， ∵中，， ∴， ， 2号路线所用时间分钟， 1号路线所用时间分钟， 因为， ∴选择2号路线更快． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握相关知识是解题关键． 22．如图，在矩形中，，，点为边上的中点．动点从点出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度向点运动，到点时停止．设运动的时间为秒，记为． (1)请直接写出关于的函数表达式以及对应的的取值范围（）； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)函数与的图象有且仅有2个交点，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了一次函数的应用，正确求出函数解析式，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）分两种情况：当点在上运动时，即时，当点在上运动时，即时，分别利用三角形面积公式计算即可得解； （2）根据（1）中所求的解析式画出图象即可得解； （3）画出图象，采用数形结合的解法求解． 【详解】（1）解：当点在上运动时，即时，，则，此时， 当点在上运动时，即时，，则， ∵点为边上的中点， ∴， ∴； 综上所述：； （2）解：画出函数图象如图所示： ， 由图象可得：性质：当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大； （3）解：函数恒过， 如图： ， ∵函数与的图象有且仅有2个交点， ∴直线一定在和之间， 将代入函数得：， ∴， 将代入函数得：， ∴， ∴． 23．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点、，与轴交于点．已知点为轴上一点，且． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，作的角平分线交轴于点，点为直线上方抛物线上的一个动点，过点作交直线于点，过点作轴交直线于点，求的最大值，并求出此时点的坐标； (3)如图2，将原抛物线沿轴向左平移个单位得到新抛物线，新抛物线交轴于点、，点为新抛物线的对称轴与轴的交点，点为新抛物线上一动点，使得，请直接写出所有满足条件的点的坐标． 【答案】(1)； (2)，； (3)或． 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，直角三角形的性质，勾股定理，分类讨论是解题的关键． （1）利用待定系数法，即可求解； （2）交直线于，过点作于，可得出是正三角形，只需求的最大值即可； （3）求出平移后的函数解析式为，求出、，分点在的上方和下方两种情况讨论； 【详解】（1）解：将点、代入， 得：， 解得， ； （2）如图1，交直线于，过点作于， 在中，， ，， 平分， ， ， ， 轴， ，， ， ， ， ， 在中，， 是正三角形， 平分， ， 在，， 在正中，， 是中线， ， ， ， 故当取最大值时，最大， ， 在中，且， ， 或（舍去）， ， 设直线解析式为， ， ， ， 设，则， ， 当时，最大， ， ， 即， 当时，有最大值； （3）， 对称轴为， 将向左平移个单位后新抛物线， 、，的对称轴为直线， ，， ，， ， ， ， ，， ， ， 则， ， ， ， 与重合， 当在下方时， ，， ， ，， ， 设直线的解析式为：， ， ， 直线的解析式为：， 联立得：， 解得：或（舍去）， ， 点的坐标为或． 24．在中，，将绕点顺时针旋转得到，连接交直线于点． (1)如图1，若，，，，求的面积； (2)如图2，若，将绕点顺时针旋转得到，连接交于点，请用等式表示线段、、之间的数量关系，并证明； (3)在（2）的条件下，点是直线上一点，连接、，将沿翻折后得到，连接，点是的中点，连接，若，当最大时，请直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由可得，，进而根据求出，由即可解题； （2）先证明，可得，，过点作，交于，证明得是等边三角形，进而可得，再证明可得，由此可得，再在等腰三角形中求出即可得出结论. （3）连接，由（2）得，结合，可得 ，再由，可得，得是中位线，得出， 由翻折可知：，由此可得，即当、、三点共线时，最大，由此求出，进而求出. 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∵，， ∴， ∵ （2）结论：， 证明：由旋转可知：，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ， 如图，过点作，交于， 作，垂足为， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴ 又∵， ∴ ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴. （3）连接，如图， 由（2）得， 又∵， ∴，解得：， 由（2）得， ∴， ∵点是的中点，即， ∴， ∴当最大时，最大， 由翻折可知：， ∴， ∴当、、三点共线时，最大，如图： 此时 ∴， ∴. 【点睛】本题考查了解三角形、旋转的性质和全等三角形判定和性质、等边三角形判定和性质、三角形中位线性质、最短距离等知识点，涉及了几何中几种常见模型：倍长中线模型、旋转全等模型、最短距离模型，解题关键是证明过点作，交于，证明是等边三角形，得，，得是中位线. 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷 一、选择题：（每题4分，共40分.下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的.） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A D C C B A B B A 二、填空题：（每小题5分，共30分.） 11．2 12． 13．120 14．-1 15． 16． 1 三、解答题：（本大题共8个小题，共80分.） 17. 解（1） （2分） ；（5分） （2） （7分） ．（10分） 18. （1）如图所示； （6分） （2）证明：∵是的角平分线， ∴． ∵， ∴， 在和中 ∴， ∴． 林林归纳出另外一个结论：三角形一个角的角平分线与中线重合时，这个三角形是等腰三角形． 故答案为：， ，，角平分线与中线．（10分） 19. （1）解：人， ∴本次抽查的学生人数是50人， ∴， 故答案为：50；72；（2分） （2）解：等级为优秀的人数有人， 补全统计图如下： 把这50名学生成绩从低到高排列，处在第25名和第26名的乘积都在良好这一等级， ∴成绩的中位数落在良好等级；（6分） （3）解：元， ∴估计该校用于本次竞赛的奖品费用为14240元．（10分） 20. （1）解：设足球的单价是元，则篮球的单价是元，根据题意可得， ， 解得：，（3分） 经检验：是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：篮球的单价是元，足球的单价是元；（5分） （2）解：设篮球要卖个，则足球要卖个，根据题意可得， ，（7分） 解得：， ∵为正整数， ∴的最小值为， 答：篮球最少要卖个．（10分） 21. （1）解：如图，过C作于H，延长相交于F，    则，，矩形， 由题意得： ，，， ∵中，，， ∴， ， ∵中，， ∴， ∴米， 答：的长度为米 ．（5分） （2）解：由题意得：，， ∵中，， ∴， ， 2号路线所用时间分钟， 1号路线所用时间分钟， 因为， ∴选择2号路线更快．（10分） 22. （1）解：当点在上运动时，即时，，则，此时， 当点在上运动时，即时，，则， ∵点为边上的中点， ∴， ∴； 综上所述：；（4分） （2）解：画出函数图象如图所示： ，（6分） 由图象可得：性质：当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；（8分） （3）解：函数恒过， 如图： ， ∵函数与的图象有且仅有2个交点， ∴直线一定在和之间， 将代入函数得：， ∴， 将代入函数得：， ∴， ∴．（10分） 23. （1）解：将点、代入， 得：， 解得， ；（3分） （2）如图1，交直线于，过点作于， 在中，， ，， 平分， ， ， ， 轴， ，， ， ， ， ， 在中，， 是正三角形， 平分， ， 在，， 在正中，， 是中线， ， ， ， 故当取最大值时，最大， ， 在中，且， ， 或（舍去）， ， 设直线解析式为， ， ， ， 设，则， ， 当时，最大， ， ， 即，（6分） 当时，有最大值；（8分） （3）， 对称轴为， 将向左平移个单位后新抛物线， 、，的对称轴为直线， ，， ，， ， ， ， ，， ， ， 则， ， ， ， 与重合， 当在下方时， ，， ， ，， ， 设直线的解析式为：， ， ， 直线的解析式为：， 联立得：， 解得：或（舍去）， ， 点的坐标为或．（10分） 24. （1）解：∵， ∴，， ∵，， ∴， ∵（4分） （2）结论：， 证明：由旋转可知：，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ， 如图，过点作，交于， 作，垂足为， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴ 又∵， ∴ ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴.（8分） （3）连接，如图， 由（2）得， 又∵， ∴，解得：， 由（2）得， ∴， ∵点是的中点，即， ∴， ∴当最大时，最大， 由翻折可知：， ∴， ∴当、、三点共线时，最大，如图： 此时 ∴， ∴.（10分） 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$