2025年安徽省中考数学模拟检测试卷（一）

2025年安徽省中考数学模拟检测卷（一） (时间：120分钟　满分：150分) 一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分．每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的) 1．实数－2的相反数是(　　) A．2 B．－2 C． D．－ 答案：A 2．2024年春节出游人次和旅游总花费均创历史新高，经文化和旅游部数据中心测算，春节假期全国国内旅游出游4.74亿人次．4.74亿＝474 000 000，将474 000 000用科学记数法表示为(　　) A．4.74×109 B．4.74×108 C．47.4×107 D．474×106 答案：B 3．如图是某个几何体的三视图，则该几何体是(　　) A．圆锥 B．圆柱 C．三棱柱 D．长方体 答案：B 4．下列计算正确的是(　　) A．3a＋2b＝5ab B．a2·a3＝a6 C．(－a3b)2＝a6b2 D．a2b÷a＝b3 答案：C 5．如图，在扇形AOB中，∠AOB＝80°，半径OA＝3，C是上一点，连接OC，D是OC上一点，且OD＝DC，连接BD.若BD⊥OC，则的长为(　　) A． B． C． D．π 答案：B 6．函数y＝与y＝m(x－1)(m≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是(　　) A． B． C． D． 答案：C 7．如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，大于BC的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点；②作直线MN交AB于点D，连接CD.若CD＝AC，∠B＝26°，则∠ACB的度数为(　　) A．26° B．52° C．128° D．102° 答案：D 8．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则下列说法错误的是(　　) A．图象关于直线x＝1对称 B．函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的最小值是－4 C．－1和3是方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根 D．当x＞1时，y随x的增大而减小 答案：D 9．如图，正方形ABCD中，AD＝4，点P为AB上一个动点，将△PBC沿CP折叠得到△PCE，点B的对称点为点E，作射线AE交CD于点F，若点E恰好为AF的中点，则BP的长为(　　) A．2 B． C．3 D． 答案：B 10．如图1，点P从菱形ABCD的边AD上一点开始运动，沿直线运动到菱形的中心，再沿直线运动到点C停止，设点P的运动路程为x，点P到AB的距离为m，到CD的距离为n，且y＝(当点P与点C重合时，y＝0)，点P运动时y随x的变化关系如图2所示，则菱形ABCD的面积为(　　) 　 A．6 B．5 C．10 D．6 答案：A 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分) 11．式子中x的取值范围是________． 答案：x≥0且x≠1 12．比较大小：3________2.(填“＞”“＜”或“＝”) 答案：＞ 13．生肖也称属相，是中国传统文化中的一种纪年方式，是一种十二年一个循环的纪年系统，每年用一种动物来代表，是由十二地支演变而来的．小明手绘了“十二生肖”中的子鼠、丑牛、寅虎三种生肖卡，准备将其中的两张送给好朋友小亮．小明将它们洗匀后背面朝上放在桌面上(手绘生肖卡背面完全相同)，让小亮从中随机抽取两张，则小亮抽到的两张生肖卡恰好是子鼠和丑牛的概率是________． 答案： 14．如图，正方形ABCD中，点E在边AB上，且BE＝AB＝1，点F在边BC上，点G在边CD上，∠GFE＝90°. (1)若tan ∠GEF＝3，则GE的长为________； (2)若△EFG与△FCG相似，则GE的长为________． 解析：(1)因为BE＝AB＝1， 所以AB＝4. 因为四边形ABCD是正方形， 所以∠B＝∠C＝90°， 所以∠BEF＋∠BFE＝90°. 因为∠GFE＝90°， 所以∠CFG＋∠BFE＝90°， 所以∠BEF＝∠CFG， 所以△BEF∽△CFG， 所以＝＝. 在Rt△EFG中，tan ∠GEF＝＝3， 所以＝＝， 所以FC＝3， 所以BF＝BC－FC＝4－3＝1， 所以CG＝3，EF2＝12＋12＝2， 所以FG2＝32＋32＝18， 所以GE2＝EF2＋FG2＝2＋18＝20， 所以GE＝＝2. (2)有两种情况： ①△EFG∽△GCF， 即∠EGF＝∠GFC， 所以EG∥BC， 则四边形BCGE为矩形， 所以GE＝BC＝4； ②△EFG∽△FCG， 则＝. 由(1)，得＝， 即＝， 所以＝， 所以FC＝BF＝2. 因为由(1)，得＝， 所以＝， 所以CG＝4， 即点G和点D重合． 因为AE＝AB－BE＝4－1＝3， 所以GE＝＝5. 综上，GE的长为4或5. 答案：(1)2　(2)4或5 三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分) 15．解方程：x(x＋1)＝2(2x＋5). 解：x2＋x＝4x＋10， x2－3x－10＝0， (x－5)(x＋2)＝0， x－5＝0或x＋2＝0， 解得x1＝5，x2＝－2. 16．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，放置一个平面直角坐标系，原点O及点A，B，C均在格点上． (1)结合所给图形，写出点的坐标：点A________，点C________； (2)平移△ABC得到△A′B′C′，其中点A，B，C的对应点分别是A′，B′，C′，且点C′与点B关于原点O中心对称，画出△A′B′C′，并说明△A′B′C′是由△ABC怎样平移得到的？ 解：(1)(－2，3)　(0，－2) (2)如图，△A′B′C′即为所求作． △A′B′C′是由△ABC向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的． 四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分) 17．某厂一种农副产品的年产量不超过100万件，该产品的生产费用y(万元)与年产量x(万件)之间的函数图象是顶点为原点的抛物线的一部分(如图所示)；该产品的总销售额z(万元)＝预售总额(万元)＋波动总额(万元)，预售总额＝每件产品的预售额(元)×年销售量x(万件)，波动总额与年销售量x的平方成正比，部分数据如表所示． 年销售量x(万件) … 20 40 … 总销售额z(万元) … 560 1 040 … 生产出的该产品都能在当年销售完，达到产销平衡，所获年毛利润为w万元．(年毛利润＝总销售额－生产费用) (1)求y与x以及z与x之间的函数解析式； (2)若要使该产品的年毛利润最大，该产品的年产量应为多少？ (3)若要使该产品的年毛利润不低于1 000万元，结合函数图象，求该产品年销售量x的变化范围． 解：(1)由题意，设y＝ax2(a≠0). 因为图象经过点(100，1 000)， 所以a·1002＝1 000， 解得a＝. 所以y＝x2. 设每件产品的预售额为m元， 因为该产品的总销售额z(万元)＝预售总额(万元)＋波动总额(万元)，预售总额＝每件产品的预售额(元)×年销售量x(万件)，波动总额与年销售量x的平方成正比，设比例系数为m， 所以z＝mx＋nx2， 所以 解得 所以z＝30x－x2. (2)由题意，得w＝z－y＝30x－x2－x2＝－x2＋30x＝－(x－75)2＋1 125， 因为－＜0， 所以当x＝75时，年毛利润最大． 所以要使该产品的年毛利润最大，该产品的年产量应为75万件． (3)由题意，令w＝－x2＋30x＝1 000， 所以x2－150x＋5 000＝0， 所以(x－50)(x－100)＝0， 所以x1＝50，x2＝100. 因为年毛利润不低于1 000万元，且相应抛物线开口向下， 所以该产品年销售量x的变化范围为50≤x≤100. 18．【问题呈现】如图1，在边长为1的正方形网格中，分别连接格点A，B和C，D，AB和CD相交于点P，求tan ∠BPD的值． 【方法归纳】利用网格将线段CD平移到线段BE，连接AE，得到格点△ABE，且AE⊥BE，则∠BPD就变换成Rt△ABE中的∠ABE. 【问题解决】 (1)图1中tan ∠BPD的值为________； (2)如图2，在边长为1的正方形网格中，分别连接格点A，B 和 C，D，AB与CD交于点P，求cos ∠BPD的值； 【思维拓展】 (3)如图3，AB⊥CD，垂足为B，且AB＝4BC，BD＝2BC，点E在AB上，且AE＝BC，连接AD交CE的延长线于点P，利用网格求sin ∠CPD. 　　 解：(1)由勾股定理可得AE＝＝2，BE＝＝. 因为CD∥BE， 所以tan ∠BPD＝tan ∠ABE＝＝＝2. 故答案为：2 (2)如图，过点A作AE∥CD，连接BE，可知E点在格点上，且∠AEB＝90°. 由勾股定理可得AE＝＝，AB＝＝， 所以cos ∠BPD＝cos ∠BAE＝＝＝＝＝. (3)如图，构造网格，过点A作AN∥PC，连接DN，由图可知N点在格点上，且∠AND＝90°. 由勾股定理可得DN＝＝，AD＝＝2， 所以sin ∠CPD＝sin ∠NAD＝＝＝＝＝. 五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分) 19．某地广播电视塔由塔体(含塔座、塔身、塔楼)和桅杆两部分组成，如图1. 　 某数学兴趣小组的同学们开展了测量塔体部分高度的实践活动，过程如下： 【制订方案】如图2，在塔座底部所在的水平面上，选取两个不同的测量地点A，B，分别由甲、乙两组同学测量塔体顶端点D和桅杆天线顶部点C的仰角，丙组同学测量这两个测量地点之间的距离． 【实地测量】水平地面上测量地点A，B与塔体底端(点H)在同一条直线上，线段AE，BF分别表示测角仪支架，线段CD表示桅杆天线，DH表示塔体． 测量一：甲组同学在A处测量一次，测得塔体顶端点D的仰角为31°； 测量二：乙组同学在B处测量一次，测得桅杆天线顶部点C的仰角为45°； 测量三：丙组同学测量了三次，数据如下： 测量项目 第一次 第二次 第三次 A，B之间的距离 57.6 m 57.8 m 57.7 m (1)丙组同学三次测量A，B之间距离的平均值为________m； (2)已知塔顶部桅杆天线CD高100 m，测角仪支架高1.6 m，求塔体DH的高度(结果精确到1 m．参考数据：tan 31°≈0.60，sin 31°≈0.52，cos 31°≈0.86)； (3)从减小误差的角度考虑，你认为哪个小组的测量方法更合理？请说明理由． 解：(1)×(57.6＋57.8＋57.7)＝57.7(m). 故答案为：57.7 (2)如图，延长EF交CH于点N， 则∠CNF＝90°，∠CFN＝45°， 所以CN＝NF. 设DN＝x m，则NF＝CN＝(x＋100)m. 因为AB＝EF＝57.7 m， 所以EN＝57.7＋(x＋100)＝(x＋157.7)m. 在Rt△DEN中，tan ∠DEN＝， 则DN＝EN·tan ∠DEN， 即x≈0.60×(x＋157.7)， 解得x＝236.55， 则DH＝DN＋NH＝236.55＋1.6＝238.15≈238(m). 答：塔体DH的高度约为238 m. (3)丙组的测量方法更合理．因为对多次测量结果取平均值可以减小误差． 20．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，过点C作⊙O的切线与AD的延长线相交于点E，EF⊥BC，交BC的延长线于点F. (1)求证：∠BAC＝∠ECF； (2)若AD＝6，CD＝2，cos ∠BAC＝，求CF的长． 解：(1)证明：因为AC为⊙O的直径， 所以∠ADC＝∠DAC＋∠DCA＝90°. 因为CE是⊙O的切线， 所以∠ACE＝∠DCE＋∠DCA＝90°， 所以∠DAC＝∠DCE. 因为四边形ABCD内接于⊙O， 所以∠DAB＋∠BCD＝180°. 因为∠DCF＋∠BCD＝180°， 所以∠DAB＝∠DCF， 所以∠BAC＝∠ECF. (2)因为AC为⊙O的直径， 所以∠ADC＝∠CDE＝90°. 又由(1)知∠DAC＝∠DCE， 所以△ACD∽△CED， 所以＝. 因为AD＝6，CD＝2， 所以＝，所以DE＝， 所以CE＝＝ ＝. 由(1)知∠BAC＝∠ECF， 所以cos ∠BAC＝cos ∠ECF＝. 因为EF⊥BC，所以∠CFE＝90°， 所以在Rt△CEF中，cos ∠ECF＝＝， 所以CF＝CE·cos ∠ECF＝×＝. 六、(本题满分12分) 21．综合与探究 小明同学在学习“圆”这一章内容时，发现如果四个点在同一个圆上(即四点共圆)时，就可以通过添加辅助圆的方式，使得某些复杂的问题变得相对简单，于是开始和同学一起探究四点共圆的条件．小明同学已经学习了圆内接四边形的一个性质：圆内接四边形的对角互补．因此，他想探究它的逆命题是否成立，以下是小明同学的探究过程，请你补充完整． (1)【猜想】“圆内接四边形的对角互补”的逆命题为：___________________________________________________________________， 如果该逆命题成立，则可以作为判定四点共圆的一个依据； (2)【验证】如图1，在四边形ABCD中，∠ABC＋∠ADC＝180°，请在图1中作出过A，B，C三点的⊙O，并直接判断点D与⊙O的位置关系；(要求尺规作图，要保留作图痕迹，不用写作法) 　 (3)【证明】已知：如图1，在四边形ABCD中，∠ABC＋∠ADC＝180°. 求证：点A，B，C，D四点共圆． 证明：过A，B，C三点作⊙O，假设点D不在⊙O上， 则它有可能在圆内(如图2)，也有可能在圆外(如图3). 假设点D在⊙O内时，如图2，延长CD交⊙O于点E，连接AE. 因为∠ADC是△DEA的外角， 所以∠ADC＞∠AEC. 因为四边形ABCE是⊙O的内接四边形，所以∠ABC＋∠AEC＝180°. 又因为∠ABC＋∠ADC＝180°， 所以∠ADC＝∠AEC. 图3 这与∠ADC＞∠AEC相矛盾，所以假设不成立，所以点D不可能在⊙O内． 请仿照以上证明，用反证法证明“假设点D在⊙O外”(如图3)的情形． 解：(1)对角互补的四边形是圆的内接四边形 (2)如图，⊙O即为所求作． 点D在⊙O上． (3)证明：假设点D在⊙O外，如图，记CD交⊙O于点E，连接AE. 因为∠AEC是△DEA的外角， 所以∠AEC＞∠ADC. 因为四边形ABCE是⊙O的内接四边形， 所以∠ABC＋∠AEC＝180°. 又因为∠ABC＋∠ADC＝180°， 所以∠AEC＝∠ADC. 这与∠AEC＞∠ADC相矛盾，所以假设不成立， 所以点D不可能在⊙O外． 七、(本题满分12分) 22．(1)【问题发现】如图1，矩形AEFG与矩形ABCD相似，且矩形AEFG的两边分别在矩形ABCD的边AB和AD上，BC∶AB＝1∶，连接CF.线段CF与DG的数量关系为________； (2)【拓展探究】如图2，将矩形AEFG绕点A逆时针旋转，其他条件不变．在旋转的过程中，(1)中的结论是否仍然成立，请利用图2说明理由； 　 图3 (3)【解决问题】如图3，当矩形ABCD的边AD＝AB时，点E为直线CD上异于点D，C的一点，以AE为边作正方形AEFG，点H为正方形AEFG的中心，连接DH，若AD＝4，DE＝2，直接写出DH的长． 解：(1)如图，延长EF，交CD于点H，连接AF. 因为四边形ABCD和四边形AEFG都是矩形， 所以∠D＝∠AGF＝∠EFG＝90°， 所以∠D＝∠FGD＝∠HFG＝90°， 所以四边形DGFH是矩形， 所以FH＝GD，∠DHF＝90°. 因为矩形AEFG与矩形ABCD相似，BC∶AB＝1∶， 所以＝＝， 所以＝＝， 即＝＝. 在Rt△CFH中，由勾股定理，得CF＝＝2FH， 所以CF＝2GD. 故答案为：CF＝2GD (2)(1)中的结论仍然成立． 理由如下： 如图，连接AF，AC. 因为矩形AEFG与矩形ABCD相似， 所以＝. 由旋转可得∠CAF＝∠DAG， 所以△ACF∽△ADG， 所以＝. 因为BC∶AB＝1∶， 所以CD∶AD＝∶1， 所以＝＝， 所以＝， 所以CF＝2GD. (3)①如图，当点E在线段CD上时，连接AC，AH. 因为四边形ABCD，四边形AEFG为正方形， 所以∠CAD＝∠EAH＝45°，＝＝， 所以∠CAE＝∠DAH， 所以△ACE∽△ADH， 所以＝＝. 因为AD＝CD＝4，DE＝2， 所以CE＝4－2＝2， 所以DH＝； ②如图，当点E在线段CD的延长线上时，连接AC，AH. 因为四边形ABCD，四边形AEFG为正方形， 所以∠CAD＝∠EAH＝45°，＝＝， 所以∠CAE＝∠DAH， 所以△ACE∽△ADH， 所以＝＝. 因为AD＝CD＝4，DE＝2， 所以CE＝4＋2＝6， 所以DH＝3. 综上所述，DH的长为或3. 八、(本题满分14分) 23．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于点A(1，0)和B(3，0)，与y轴交于点C，点D为线段BC上一点，过点D作y轴的平行线交抛物线于点E，连接BE. (1)求抛物线的解析式； (2)当∠EBD＝90°时，求线段DE的长度； (3)在抛物线上是否存在这样的点P，使得∠ACP＝45°？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 解：(1)因为抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于点A(1，0)和B(3，0)， 所以 解得 所以抛物线的解析式为y＝－x2＋4x－3. (2)令x＝0，得y＝－3， 所以C(0，－3). 设直线BC的解析式为y＝kx＋n， 所以解得 所以直线BC的解析式为y＝x－3. 因为点D为线段BC上一点， 所以设D(m，m－3)，则点E(m，－m2＋4m－3)， 所以DE＝(－m2＋4m－3)－(m－3)＝－m2＋3m. 因为B(3，0)，C(0，－3)， 所以OB＝OC＝3， 所以∠OBC＝∠OCB＝45°. 因为DE∥y轴， 所以∠EDB＝∠OCB＝45°. 记DE交x轴于点G(图略). 因为∠BDE＝45°，∠EBD＝90°， 所以∠DEB＝45°， 所以△BED为等腰直角三角形， 所以EG＝GD＝DE. 因为GD＝3－m， 所以3－m＝(－m2＋3m)， 解得m＝2或m＝3(不合题意，舍去)， 所以m＝2， 所以DE＝－22＋3×2＝－4＋6＝2. (3)在抛物线上存在点P，使得∠ACP＝45°. 因为A(1，0)，B(3，0)，C(0，－3)， 所以OA＝1，OB＝3，OC＝3， 所以AB＝OB－OA＝2， 所以AC＝＝. 如图，延长CP交x轴于点F. 由(2)，知∠OBC＝∠OCB＝45°， 所以∠AFC＋∠FCB＝45°. 因为∠ACP＝45°， 所以∠ACB＋∠FCB＝∠ACP＝45°， 所以∠AFC＝∠ACB. 又因为∠FAC＝∠CAB， 所以△AFC∽△ACB， 所以＝，所以＝， 所以AF＝5， 所以OF＝OA＋AF＝6， 所以F(6，0). 设直线CF的解析式为y＝dx＋e， 所以 解得 所以直线FC的解析式为y＝x－3. 令x－3＝－x2＋4x－3， 解得x1＝0(舍去)，x2＝， 所以点P的坐标为. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年安徽省中考数学模拟检测卷（一） (时间：120分钟　满分：150分) 一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分．每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的) 1．实数－2的相反数是(　　) A．2 B．－2 C． D．－ 2．2024年春节出游人次和旅游总花费均创历史新高，经文化和旅游部数据中心测算，春节假期全国国内旅游出游4.74亿人次．4.74亿＝474 000 000，将474 000 000用科学记数法表示为(　　) A．4.74×109 B．4.74×108 C．47.4×107 D．474×106 3．如图是某个几何体的三视图，则该几何体是(　　) A．圆锥 B．圆柱 C．三棱柱 D．长方体 4．下列计算正确的是(　　) A．3a＋2b＝5ab B．a2·a3＝a6 C．(－a3b)2＝a6b2 D．a2b÷a＝b3 5．如图，在扇形AOB中，∠AOB＝80°，半径OA＝3，C是上一点，连接OC，D是OC上一点，且OD＝DC，连接BD.若BD⊥OC，则的长为(　　) A． B． C． D．π 6．函数y＝与y＝m(x－1)(m≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是(　　) A． B． C． D． 7．如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，大于BC的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点；②作直线MN交AB于点D，连接CD.若CD＝AC，∠B＝26°，则∠ACB的度数为(　　) A．26° B．52° C．128° D．102° 8．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则下列说法错误的是(　　) A．图象关于直线x＝1对称 B．函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的最小值是－4 C．－1和3是方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根 D．当x＞1时，y随x的增大而减小 9．如图，正方形ABCD中，AD＝4，点P为AB上一个动点，将△PBC沿CP折叠得到△PCE，点B的对称点为点E，作射线AE交CD于点F，若点E恰好为AF的中点，则BP的长为(　　) A．2 B． C．3 D． 10．如图1，点P从菱形ABCD的边AD上一点开始运动，沿直线运动到菱形的中心，再沿直线运动到点C停止，设点P的运动路程为x，点P到AB的距离为m，到CD的距离为n，且y＝(当点P与点C重合时，y＝0)，点P运动时y随x的变化关系如图2所示，则菱形ABCD的面积为(　　) 　 A．6 B．5 C．10 D．6 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分) 11．式子中x的取值范围是________． 12．比较大小：3________2.(填“＞”“＜”或“＝”) 13．生肖也称属相，是中国传统文化中的一种纪年方式，是一种十二年一个循环的纪年系统，每年用一种动物来代表，是由十二地支演变而来的．小明手绘了“十二生肖”中的子鼠、丑牛、寅虎三种生肖卡，准备将其中的两张送给好朋友小亮．小明将它们洗匀后背面朝上放在桌面上(手绘生肖卡背面完全相同)，让小亮从中随机抽取两张，则小亮抽到的两张生肖卡恰好是子鼠和丑牛的概率是________． 14．如图，正方形ABCD中，点E在边AB上，且BE＝AB＝1，点F在边BC上，点G在边CD上，∠GFE＝90°. (1)若tan ∠GEF＝3，则GE的长为________； (2)若△EFG与△FCG相似，则GE的长为________． 三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分) 15．解方程：x(x＋1)＝2(2x＋5). 16．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，放置一个平面直角坐标系，原点O及点A，B，C均在格点上． (1)结合所给图形，写出点的坐标：点A________，点C________； (2)平移△ABC得到△A′B′C′，其中点A，B，C的对应点分别是A′，B′，C′，且点C′与点B关于原点O中心对称，画出△A′B′C′，并说明△A′B′C′是由△ABC怎样平移得到的？ 四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分) 17．某厂一种农副产品的年产量不超过100万件，该产品的生产费用y(万元)与年产量x(万件)之间的函数图象是顶点为原点的抛物线的一部分(如图所示)；该产品的总销售额z(万元)＝预售总额(万元)＋波动总额(万元)，预售总额＝每件产品的预售额(元)×年销售量x(万件)，波动总额与年销售量x的平方成正比，部分数据如表所示． 年销售量x(万件) … 20 40 … 总销售额z(万元) … 560 1 040 … 生产出的该产品都能在当年销售完，达到产销平衡，所获年毛利润为w万元．(年毛利润＝总销售额－生产费用) (1)求y与x以及z与x之间的函数解析式； (2)若要使该产品的年毛利润最大，该产品的年产量应为多少？ (3)若要使该产品的年毛利润不低于1 000万元，结合函数图象，求该产品年销售量x的变化范围． 18．【问题呈现】如图1，在边长为1的正方形网格中，分别连接格点A，B和C，D，AB和CD相交于点P，求tan ∠BPD的值． 【方法归纳】利用网格将线段CD平移到线段BE，连接AE，得到格点△ABE，且AE⊥BE，则∠BPD就变换成Rt△ABE中的∠ABE. 【问题解决】 (1)图1中tan ∠BPD的值为________； (2)如图2，在边长为1的正方形网格中，分别连接格点A，B 和 C，D，AB与CD交于点P，求cos ∠BPD的值； 【思维拓展】 (3)如图3，AB⊥CD，垂足为B，且AB＝4BC，BD＝2BC，点E在AB上，且AE＝BC，连接AD交CE的延长线于点P，利用网格求sin ∠CPD. 　　 五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分) 19．某地广播电视塔由塔体(含塔座、塔身、塔楼)和桅杆两部分组成，如图1. 　 某数学兴趣小组的同学们开展了测量塔体部分高度的实践活动，过程如下： 【制订方案】如图2，在塔座底部所在的水平面上，选取两个不同的测量地点A，B，分别由甲、乙两组同学测量塔体顶端点D和桅杆天线顶部点C的仰角，丙组同学测量这两个测量地点之间的距离． 【实地测量】水平地面上测量地点A，B与塔体底端(点H)在同一条直线上，线段AE，BF分别表示测角仪支架，线段CD表示桅杆天线，DH表示塔体． 测量一：甲组同学在A处测量一次，测得塔体顶端点D的仰角为31°； 测量二：乙组同学在B处测量一次，测得桅杆天线顶部点C的仰角为45°； 测量三：丙组同学测量了三次，数据如下： 测量项目 第一次 第二次 第三次 A，B之间的距离 57.6 m 57.8 m 57.7 m (1)丙组同学三次测量A，B之间距离的平均值为________m； (2)已知塔顶部桅杆天线CD高100 m，测角仪支架高1.6 m，求塔体DH的高度(结果精确到1 m．参考数据：tan 31°≈0.60，sin 31°≈0.52，cos 31°≈0.86)； (3)从减小误差的角度考虑，你认为哪个小组的测量方法更合理？请说明理由． 20．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，过点C作⊙O的切线与AD的延长线相交于点E，EF⊥BC，交BC的延长线于点F. (1)求证：∠BAC＝∠ECF； (2)若AD＝6，CD＝2，cos ∠BAC＝，求CF的长． 六、(本题满分12分) 21．综合与探究 小明同学在学习“圆”这一章内容时，发现如果四个点在同一个圆上(即四点共圆)时，就可以通过添加辅助圆的方式，使得某些复杂的问题变得相对简单，于是开始和同学一起探究四点共圆的条件．小明同学已经学习了圆内接四边形的一个性质：圆内接四边形的对角互补．因此，他想探究它的逆命题是否成立，以下是小明同学的探究过程，请你补充完整． (1)【猜想】“圆内接四边形的对角互补”的逆命题为：___________________________________________________________________， 如果该逆命题成立，则可以作为判定四点共圆的一个依据； (2)【验证】如图1，在四边形ABCD中，∠ABC＋∠ADC＝180°，请在图1中作出过A，B，C三点的⊙O，并直接判断点D与⊙O的位置关系；(要求尺规作图，要保留作图痕迹，不用写作法) 　 (3)【证明】已知：如图1，在四边形ABCD中，∠ABC＋∠ADC＝180°. 求证：点A，B，C，D四点共圆． 证明：过A，B，C三点作⊙O，假设点D不在⊙O上， 则它有可能在圆内(如图2)，也有可能在圆外(如图3). 假设点D在⊙O内时，如图2，延长CD交⊙O于点E，连接AE. 因为∠ADC是△DEA的外角， 所以∠ADC＞∠AEC. 因为四边形ABCE是⊙O的内接四边形，所以∠ABC＋∠AEC＝180°. 又因为∠ABC＋∠ADC＝180°， 所以∠ADC＝∠AEC. 图3 这与∠ADC＞∠AEC相矛盾，所以假设不成立，所以点D不可能在⊙O内． 请仿照以上证明，用反证法证明“假设点D在⊙O外”(如图3)的情形． 七、(本题满分12分) 22．(1)【问题发现】如图1，矩形AEFG与矩形ABCD相似，且矩形AEFG的两边分别在矩形ABCD的边AB和AD上，BC∶AB＝1∶，连接CF.线段CF与DG的数量关系为________； (2)【拓展探究】如图2，将矩形AEFG绕点A逆时针旋转，其他条件不变．在旋转的过程中，(1)中的结论是否仍然成立，请利用图2说明理由； 　 图3 (3)【解决问题】如图3，当矩形ABCD的边AD＝AB时，点E为直线CD上异于点D，C的一点，以AE为边作正方形AEFG，点H为正方形AEFG的中心，连接DH，若AD＝4，DE＝2，直接写出DH的长． 八、(本题满分14分) 23．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于点A(1，0)和B(3，0)，与y轴交于点C，点D为线段BC上一点，过点D作y轴的平行线交抛物线于点E，连接BE. (1)求抛物线的解析式； (2)当∠EBD＝90°时，求线段DE的长度； (3)在抛物线上是否存在这样的点P，使得∠ACP＝45°？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$