第八章 立体几何初步（单元重点综合测试）-2024-2025学年高一数学单元速记·巧练（人教A版2019必修第二册）

第八章 立体几何初步（单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（23-24高二下·云南·期末）如图，在正方体中，直线与直线BD（   ） A．异面 B．平行 C．相交且垂直 D．相交但不垂直 2．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期末）一个水平放置的平面图形按斜二测画法得到的直观图如图所示，四边形为等腰梯形，，则平面图形的面积为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·山东·一模）如图所示，在四棱锥中，分别为上的点，且平面，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．以上均有可能 4．（2025·广东·一模）已知，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，给出了下列命题： ①若，，则； ②若，，则； ③若，，则， ④若，，且，，则，（    ） A．②④ B．①②④ C．①④ D．①③ 5．（2025·新疆·模拟预测）在我国著名的数学论著《九章算术》中，将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的棱柱称为“堑堵”.已知在堑堵中，，，，为的中点，则三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 6．（2024·甘肃张掖·一模）在圆台中，下底面半径为上底面半径的4倍，高为4，体积为，则圆台的母线与下底面所成角的正切值为（   ） A． B． C． D． 7．（辽宁省五校（东北育才中学、辽宁省实验中学、大连24中学、大连八中、鞍山一中）2025高三上学期期末考试数学试卷）如图，四棱柱中，四边形为平行四边形，分别在线段上，且在上且平面平面，则（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高二上·河北张家口·期末）如图，正方体的棱长为为侧面内的动点，在对角线上，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（2025高三·全国·专题练习）下图中在立方体中作两条线段，线段的端点要么是立方体的顶点，要么是棱的中点，则这两条线段位于同一平面的立方体是（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高三上·浙江·期中）如图，是边长为2的正方形，，，，都垂直于底面，且，点在线段上，平面交线段于点，则（   ） A．，，，四点不共面 B．该几何体的体积为8 C．过四点，，，四点的外接球表面积为 D．截面四边形的周长的最小值为10 11．（24-25高三上·河北张家口·期末）已知圆柱的轴截面为矩形为下底面圆的直径，点在下底面圆周上，为的中点，，则（    ） A．该圆柱的体积为 B．该圆柱的表面积为 C．直线与平面所成角为 D．二面角为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（24-25高二上·上海·阶段练习）空间四边形分别为的中点，若异面直线和成的角，则 . 13．（24-25高二上·上海·阶段练习）如图，在正方体中，是棱的中点，记平面与平面的交线，平面与平面的交线，若直线与所成角为，直线与所成角为，则的值是 ． 14．（24-25高三上·贵州贵阳·阶段练习）如图，在棱长为 的正方体 中， 为面 上的动点， ，则动点 的轨迹长度为 ． 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（2024高三·全国·专题练习）如图，在直三棱柱中，，，，，分别为，，的中点 (1)求证：平面； (2)求证：、、、四点共面； 16．（23-24高一下·江苏扬州·阶段练习）如图所示，平面为圆柱的轴截面，点为底面圆周上异于，的任意一点． (1)求证：平面； (2)若为的中点，求证：平面． 17．（24-25高二上·山东·阶段练习）在三棱锥中，G是的重心，P是面内一点，且平面．    (1)画出点P的轨迹，并说明理由； (2)平面，，，，当最短时，指出P的位置，并说明理由． 18．（24-25高一上·上海嘉定·期中）在如图所示的圆柱中，AB是底面圆的直径，PA是圆柱的母线，且，设点C（与不重合）是底面圆周上的动点． (1)求证：平面； (2)当二面角P-BC-A的大小为时，求点C到平面PAB的距离； (3)记点D是线段PB的中点，点E在线段PA上，若，求的最小值． 19．（24-25高三上·江西萍乡·期中）定义：多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的一个顶点，（，且）为多面体的所有与点相邻的顶点，且平面、平面、、平面和平面为多面体的所有以为公共点的面．如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，，． (1)求四棱锥在顶点处的离散曲率； (2)求四棱锥内切球的表面积； (3)若是棱上的一个动点，求直线与平面所成角的取值范围． / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第八章 立体几何初步（单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（23-24高二下·云南·期末）如图，在正方体中，直线与直线BD（   ） A．异面 B．平行 C．相交且垂直 D．相交但不垂直 【答案】A 【知识点】异面直线的判定 【分析】法一：根据异面直线的概念判断即可.法二：利用反证法可证明直线与直线异面. 【详解】法一：由图形可知，直线与直线不同在任何一个平面，这两条直线为异面直线. 法二：（反证法）假设直线与直线不异面，则直线与直线共面， 设直线与直线确定的平面，又不共线，所以确定平面， 所以平面与平面重合，从而可得平面，与平面矛盾， 所以直线与直线异面. 故选：A. 2．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期末）一个水平放置的平面图形按斜二测画法得到的直观图如图所示，四边形为等腰梯形，，则平面图形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由直观图还原几何图形、斜二测画法中有关量的计算 【分析】根据直观图定义还原几何图形即可根据梯形面积公式求解. 【详解】根据直观图定义可将等腰梯形还原如图所示，它是一个直角梯形， 依题意在x轴上，且； 在y轴上，且， 轴，且， 所以平面图形的面积为. 故选：B. 3．（2024·山东·一模）如图所示，在四棱锥中，分别为上的点，且平面，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．以上均有可能 【答案】B 【知识点】线面平行的性质 【分析】根据给定条件，利用线面平行的性质推理判断即可. 【详解】直线平面，平面，平面平面， 所以. 故选：B 4．（2025·广东·一模）已知，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，给出了下列命题： ①若，，则； ②若，，则； ③若，，则， ④若，，且，，则，（    ） A．②④ B．①②④ C．①④ D．①③ 【答案】C 【知识点】线面关系有关命题的判断、面面关系有关命题的判断、判断线面平行、判断面面是否垂直 【分析】在①中，由面面垂直的判定定理得；在②中，或；在③中，与相交、平行或；在④中，由线面平行的判定定理得，． 【详解】解：由，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，知： ①若，，则由面面垂直的判定定理得，故①正确； ②若，，则或，故②错误； ③若，，则与相交、平行或，故③错误； ④若，，且，， 则由线面平行的判定定理得，，故④正确． 故选：． 5．（2025·新疆·模拟预测）在我国著名的数学论著《九章算术》中，将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的棱柱称为“堑堵”.已知在堑堵中，，，，为的中点，则三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】依题意可得底面为正三角形，且边长为，即可求出外接圆的半径，设三棱锥的外接球的半径为，则，从而求出，再由表面积公式计算可得. 【详解】因为，，，所以，则， 又为的中点，所以，所以底面为正三角形，且边长为， 则外接圆的半径， 又平面，，设三棱锥的外接球的半径为， 则，即，解得， 故外接球表面积为. 故选：D. 6．（2024·甘肃张掖·一模）在圆台中，下底面半径为上底面半径的4倍，高为4，体积为，则圆台的母线与下底面所成角的正切值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】台体体积的有关计算、求线面角、柱、锥、台体的轴截面 【分析】结合题目条件根据圆台体积公式求出底面半径，作出圆台的轴截面，利用线面角的定义知为母线CB与下底面所成的角，结合等腰梯形的性质在直角三角形中求解即可. 【详解】由题意得，圆台的高，体积，设上底面半径为，则下底面半径为4r. 圆台的体积，解得. 作出圆台的轴截面，如图，    则，为母线CB与下底面所成的角. 过点作于点，则1， 所以，所以. 故选：A. 7．（辽宁省五校（东北育才中学、辽宁省实验中学、大连24中学、大连八中、鞍山一中）2025高三上学期期末考试数学试卷）如图，四棱柱中，四边形为平行四边形，分别在线段上，且在上且平面平面，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】面面平行证明线线平行 【分析】作出辅助线，根据三角形相似得到，根据面面平行得到线线平行，得到∽，故，从而，得到，所以. 【详解】延长交于点，连接， 则∽， 因为，所以， 因为平面平面，平面平面， 平面平面， 所以，又四边形为平行四边形， 所以∽，所以， 因为，所以， 因为，所以， 所以， 所以. 故选：B 8．（24-25高二上·河北张家口·期末）如图，正方体的棱长为为侧面内的动点，在对角线上，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】线面垂直证明线线垂直、立体几何中的轨迹问题 【分析】根据条件可得点在以为圆心，为半径的圆弧上，连接，过作交于，利用几何关系可得在上，即可求解. 【详解】连接，易知面，又面，所以， 因为为侧面内的动点，且，，所以，即点在以为圆心，为半径的圆弧上， 连接，过作交于，易知面， 因为，所以，又，， 所以，，故在上， 所以当与重合时，最小，又，所以最小值为， 故选：B. 【点晴】方法点晴，通过勾股定理将空间几何问题转化为平面几何问题，即由得到，从而得到点的轨迹，再利用几何关系即可求解. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（2025高三·全国·专题练习）下图中在立方体中作两条线段，线段的端点要么是立方体的顶点，要么是棱的中点，则这两条线段位于同一平面的立方体是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【知识点】平面的基本性质及辨析 【分析】利用平面的基本性质判断. 【详解】 对于选项A，如图所示：，两条线段不平行，可知其不共面； 对于选项B，如图所示：，两条线是平行的，因而是在同一个平面； 对于选项C，如图所示：，不能作出一个平面，因而是不共面的， 对于选项D，如图所示：，两条线平行，是共面的. 故选：BD 10．（24-25高三上·浙江·期中）如图，是边长为2的正方形，，，，都垂直于底面，且，点在线段上，平面交线段于点，则（   ） A．，，，四点不共面 B．该几何体的体积为8 C．过四点，，，四点的外接球表面积为 D．截面四边形的周长的最小值为10 【答案】BCD 【知识点】球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题、面面平行证明线线平行 【分析】对于A，利用证明四点共面；对于B，通过补形可知，此几何体体积是底面边长为2的正方形，高为4的长方体体积的一半，进而求体积；对于C，过，，，构造正方体，则外接球直径为正方体的体对角线，进而求表面积；对于D，利用面面平行的性质定理证明四边形为平行四边形，则周长，进而求的最小值即可. 【详解】对于A，取中点，取靠近的三等分点， 易知四边形为平行四边形，四边形为平行四边形， 所以，，则， 所以，，，四点共面，故错误； 对于B，由对称性知，此几何体体积是底面边长为2的正方形，高为4的长方体体积的一半，所以，故B正确； 对于C，过四点，，，构造正方体， 所以，外接球直径为正方体的体对角线， 所以，则，所以此四点的外接球表面积为，故C正确； 对于D， 由题意，平面平面，平面平面，平面平面， 所以，同理可得， 所以四边形为平行四边形，则周长， 沿将相邻两四边形推平，当，，三点共线时，最小，最小值为5， 所以周长的最小值为，故D正确， 故选：BCD 11．（24-25高三上·河北张家口·期末）已知圆柱的轴截面为矩形为下底面圆的直径，点在下底面圆周上，为的中点，，则（    ） A．该圆柱的体积为 B．该圆柱的表面积为 C．直线与平面所成角为 D．二面角为 【答案】AD 【知识点】圆柱表面积的有关计算、柱体体积的有关计算、求线面角、求二面角 【分析】由几何关系结合圆柱的体积公式可得A正确；由圆柱的表面积公式可得B错误；由线面垂直得到线面角，再由正弦值可得C错误；由二面角的概念得到为二面角的平面角，再求其值可得D正确； 【详解】对于A，因为底面，底面，所以， 又，平面，所以平面， 因为平面，所以，又，平面，所以平面，即， 因为为的中点，所以为等腰直角三角形，所以， 又，为底面圆的直径，所以， 所以该圆柱的体积为，故A正确； 对于B，由A可得该圆柱的表面积为，故B错误； 对于C，因为底面，底面，所以， 又，平面，所以平面， 所以直线与平面所成角， 因为，所以，即，故C错误； 对于D，由C可得为二面角的平面角，因为为等腰直角三角形，所以，即二面角为，故D正确； 故选：AD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（24-25高二上·上海·阶段练习）空间四边形分别为的中点，若异面直线和成的角，则 . 【答案】或 【知识点】由异面直线所成的角求其他量 【分析】根据已知条件，可得或其补角就是异面直线和所成的角，由异面直线和成的角，可得. 【详解】 分别为的中点，连接， 所以，， 所以或其补角就是异面直线和所成的角， 因为异面直线和成的角， 或. 故答案为：或. 13．（24-25高二上·上海·阶段练习）如图，在正方体中，是棱的中点，记平面与平面的交线，平面与平面的交线，若直线与所成角为，直线与所成角为，则的值是 ． 【答案】/ 【知识点】求异面直线所成的角、由异面直线所成的角求其他量、面面平行证明线面平行、线面平行的性质 【分析】作出辅助线，得到为直线，故，利用边长关系求出，再由线面平行的性质定理得到，，由三角形全等得到，从而计算出的值. 【详解】延长与直线相交于，连接， 则平面与平面的交线为， 即为直线，故即为， 又，， 是棱的中点，且， ，， 又为锐角，且，， 则， 又平面平面，平面， 所以平面， 又平面，平面平面， 所以，又， 故直线与所成角为， 又，故， 所以， 故答案为：. 14．（24-25高三上·贵州贵阳·阶段练习）如图，在棱长为 的正方体 中， 为面 上的动点， ，则动点 的轨迹长度为 ． 【答案】 【知识点】多面体与球体内切外接问题、证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直、立体几何中的轨迹问题 【分析】应用正方体图形特征结合球的特征结合弧长公式计算可得轨迹长度. 【详解】如图，连接，由正方体的性质可得，平面， 则平面，又平面，则， 又平面， 则平面，又平面，则， 因为平面，则平面，不妨设垂足为， 则， 又因为，解得，所以动点的轨迹是在平面中， 以正的中心为圆心，为半径的圆弧，如图4，即动点的轨迹为劣弧； 如图5，过作的垂线，垂足为，连接，在中，，， 所以，又因为，所以，所以， 所以，所以动点的轨迹长度为． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（2024高三·全国·专题练习）如图，在直三棱柱中，，，，，分别为，，的中点 (1)求证：平面； (2)求证：、、、四点共面； 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】空间中的点（线）共面问题、证明线面平行 【分析】（1）先证四点共面，再证明，由线线平行得到线面平行. （2）连接，结合条件可证，从而证明. 【详解】（1）如图： 连接，因为分别为的中点，所以 在三棱柱中，.所以四点共面. 因为分别为的中点，所以，. 所以四边形为平行四边形. 所以.因为平面平面， 所以平面. （2）如图： 连接，因为为直三棱柱，且分别为的中点， 所以，又，所以，所以、、、四点共面. 16．（23-24高一下·江苏扬州·阶段练习）如图所示，平面为圆柱的轴截面，点为底面圆周上异于，的任意一点． (1)求证：平面； (2)若为的中点，求证：平面． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【知识点】证明线面平行、证明线面垂直 【分析】（1）为的直径，点为上的异于，的任意一点，可得, 又圆柱中，底面可得，得证． （2）取中点，连结、，应用三角形中位线定理得，又圆柱中，，且，推出为平行四边形，得到即得证． 【详解】（1）∵为的直径，点为上的异于，的任意一点， ∴．又在圆柱中，底面，底面， ∴，又，平面， ∴平面． （2）取的中点，连接，， ∵为的中点，∴在中，，且， 又在圆柱中，，且， ∴，，∴四边形为平行四边形， ∴．而平面，平面， ∴平面. 17．（24-25高二上·山东·阶段练习）在三棱锥中，G是的重心，P是面内一点，且平面．    (1)画出点P的轨迹，并说明理由； (2)平面，，，，当最短时，指出P的位置，并说明理由． 【答案】(1)取三等分点E，F，其中，为点P的轨迹，理由见解析 (2)点P与E重合时，最短，理由见解析 【知识点】线面垂直证明线线垂直、证明线面垂直、证明线面平行 【分析】（1）分别取三等分点E，F，因为G是的重心，结合面面平行的判定定理即可证明平面平面，故有平面，得点P的轨迹为；假设P不在上，根据平行关系会得出矛盾结果； （2）由余弦定理得，根据垂直关系可证，故当点P与E重合时，最短． 【详解】（1）分别取三等分点E，F，其中， 连接，则为点P的轨迹. ①因为，所以， 因为平面，平面，所以平面， 因为G是的重心，所以，因为平面，平面. 所以平面，因为，平面， 所以平面平面，当P在上 时，平面； ②如图，假设P不在上，任取上一点Q，连接， 因为平面，平面，，平面， 所以平面平面，所以平面， 因为平面平面，平面， 所以，所以，与矛盾，所以假设不成立， 综上所述，为点P的轨迹.    （2）点P与E重合时，最短，理由如下： 由余弦定理得，解得， 所以，所以，因为，所以， 因为平面，所以， 因为平面，，所以平面， 因为平面，所以，当点P与E重合时，最短. 18．（24-25高一上·上海嘉定·期中）在如图所示的圆柱中，AB是底面圆的直径，PA是圆柱的母线，且，设点C（与不重合）是底面圆周上的动点． (1)求证：平面； (2)当二面角P-BC-A的大小为时，求点C到平面PAB的距离； (3)记点D是线段PB的中点，点E在线段PA上，若，求的最小值． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【知识点】证明线面垂直、求点面距离、线面垂直证明线线垂直、由二面角大小求线段长度或距离 【分析】（1）根据给定条件，利用线面垂直的性质、判定推理得证. （2）利用几何法，结合二面角大小求出，再利用等体积法求出距离. （3）延长至，使得，由勾股定理可得，把问题转化为求即可. 【详解】（1）由AB是圆柱底面圆的直径，是底面圆周上除外的点，得， 而平面，平面，则，又平面， 所以平面. （2）由（1）知，平面，平面，则，而， 于是为二面角的平面角，，在中，，， 设点到面的距离为，由，得， 即，则 所以点到面的距离. （3）延长至，使得，则 因此，当且仅当为与的交点时取等号， 取的中点，连接，由点D是线段PB的中点，得，则平面， 平面，于是，又，则， 所以的最小值为. 19．（24-25高三上·江西萍乡·期中）定义：多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的一个顶点，（，且）为多面体的所有与点相邻的顶点，且平面、平面、、平面和平面为多面体的所有以为公共点的面．如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，，． (1)求四棱锥在顶点处的离散曲率； (2)求四棱锥内切球的表面积； (3)若是棱上的一个动点，求直线与平面所成角的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题、求线面角、立体几何新定义 【分析】（1）求出、、的值，结合曲率的定义可计算出结果； （2）计算出四棱锥的表面积，根据等体积法计算出四棱锥内切球的半径，结合球体体积公式可求得结果； （3）过点作交于点，连接，推导出平面，分析可知，为直线与平面所成的角，然后设，利用余弦定理求出，利用三角形相似求出，结合函数基本性质求出的范围，即可得出结果. 【详解】（1）因为平面，平面，所以， 因为，则． 因为平面，平面，所以， 又，，、平面，所以平面， 又平面，所以，即， 由离散曲率的定义得． （2）因为四边形为正方形，则， 因为平面，平面，则， 因为，、平面，所以，平面， 因为平面，所以， 设四棱锥的表面积为， 则 ． 设四棱锥的内切球的半径为，则， 所以， 所以四棱锥内切球的表面积． （3）如图，过点作交于点，连接， 因为平面，所以平面， 则为直线与平面所成的角． 易知，当与重合时，； 当与不重合时，设， 在中，由余弦定理得 因为，所以，所以，则， 所以． 当分母最小时，最大，即最大，此时（与重合）， 由，得，即， 所以的最大值为， 所以直线与平面所成角的取值范围为． 【点睛】方法点睛：计算线面角，一般有如下几种方法： （1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角； （2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度，从而不必作出线面角，则线面角满足（为斜线段长），进而可求得线面角； （3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设为直线的方向向量，为平面的法向量，则线面角的正弦值为. / 学科网（北京）股份有限公司 $$